Heights and Distances Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે:
$x = a \cos \theta + b \sin \theta$
$y = b \cos \theta - a \sin \theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$x^{2} = (a \cos \theta + b \sin \theta)^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta$
$y^{2} = (b \cos \theta - a \sin \theta)^{2} = b^{2} \cos^{2} \theta + a^{2} \sin^{2} \theta - 2ab \cos \theta \sin \theta$
$x^{2}$ અને $y^{2}$ નો સરવાળો કરતા:
$x^{2} + y^{2} = (a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta) + (b^{2} \cos^{2} \theta + a^{2} \sin^{2} \theta - 2ab \cos \theta \sin \theta)$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી:
$x^{2} + y^{2} = a^{2}(1) + b^{2}(1) = a^{2} + b^{2}$

(A) ધારો કે બે થાંભલાની ઊંચાઈ $h_1 = 12 \ m$ અને $h_2 = 7 \ m$ છે. તેમના પાયા વચ્ચેનું અંતર $d = 12 \ m$ છે.
જ્યારે આપણે ટૂંકા થાંભલાની ટોચથી ઊંચા થાંભલા સુધી એક આડી રેખા દોરીએ છીએ,ત્યારે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે.
આ ત્રિકોણનો પાયો થાંભલાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો એટલે કે $12 \ m$ છે.
આ ત્રિકોણની ઊભી ઊંચાઈ બે થાંભલાઓની ઊંચાઈનો તફાવત છે: $12 \ m - 7 \ m = 5 \ m$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ટોચના ભાગો વચ્ચેનું અંતર $(AC)$ નીચે મુજબ મળે:
$AC^2 = (12)^2 + (5)^2$
$AC^2 = 144 + 25 = 169$
$AC = \sqrt{169} = 13 \ m$.

(C) ધારો કે સીડી $AC$ છે,જ્યાં $AC = 10 \ m$ છે. ધારો કે દીવાલ $AB$ છે અને જમીન $BC$ છે. સીડી જમીન સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\angle C = 30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે સીડીના નીચેના છેડાનું દીવાલથી અંતર શોધવાનું છે,જે $BC$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 30^{\circ} = \frac{BC}{AC}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{10}$
$BC = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \times \sqrt{3}$
આપેલ છે કે $\sqrt{3} = 1.732$,તેથી:
$BC = 5 \times 1.732 = 8.66 \ m$.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ મીટર છે.
આપેલ છે કે ટાવરના પાયાથી અંતર $100 \ m$ છે અને ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan(\theta) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$.
અહીં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{100}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{100}$.
આમ,$h = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.

(D) ધારો કે વ્યક્તિની ઊંચાઈ $CD = 6 \ ft$ છે.
ઝાડની ઊંચાઈ $AB = \frac{26}{3} \ ft$ છે.
વ્યક્તિ અને ઝાડ વચ્ચેનું અંતર $BD = \frac{8}{\sqrt{3}} \ ft$ છે.
ધારો કે $AB$ પર એક બિંદુ $E$ છે જેથી $CE$ એ $BD$ ને સમાંતર હોય. તેથી,$BE = CD = 6 \ ft$.
વ્યક્તિની આંખના સ્તરથી ઉપર ફળની ઊંચાઈ $AE = AB - BE = \frac{26}{3} - 6 = \frac{26 - 18}{3} = \frac{8}{3} \ ft$ છે.
ક્ષૈતિજ અંતર $CE = BD = \frac{8}{\sqrt{3}} \ ft$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta AEC$ માં,$\tan \theta = \frac{AE}{CE}$.
$\tan \theta = \frac{8/3}{8/\sqrt{3}} = \frac{8}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\theta = 30^{\circ}$ મળે છે.

(B) ધારો કે જમીનથી પતંગની ઊંચાઈ $AB = 75 \ m$ છે.
ધારો કે દોરી જમીન સાથે બનાવેલ ખૂણો $\angle ACB = \Theta$ છે.
આપેલ છે કે $\cot \Theta = 8/15$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં,$\cot \Theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{સામેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB}$.
તેથી,$\frac{BC}{75} = \frac{8}{15}$.
$BC = \frac{8 \times 75}{15} = 8 \times 5 = 40 \ m$.
દોરીની લંબાઈ એ કર્ણ $AC$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$.
$AC = \sqrt{75^2 + 40^2} = \sqrt{5625 + 1600} = \sqrt{7225}$.
$AC = 85 \ m$.

(D) વ્યક્તિ દ્વારા કાપવામાં આવેલ માર્ગ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જ્યાં પાયો $12 \ km$ (પૂર્વ) છે અને વેધ $5 \ km$ (ઉત્તર) છે.
શરૂઆતના બિંદુ $L$ અને અંતિમ બિંદુ $M$ વચ્ચેનું ટૂંકામાં ટૂંકું અંતર એ આ કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\text{ટૂંકામાં ટૂંકું અંતર} = \sqrt{(\text{પાયો})^2 + (\text{વેધ})^2}$
$= \sqrt{12^2 + 5^2}$
$= \sqrt{144 + 25}$
$= \sqrt{169}$
$= 13 \ km$

(D) ધારો કે ઇમારત $BC = 10 \ m$ છે અને ધ્વજદંડ $AB$ છે. ધારો કે $P$ એ જમીન પરનું બિંદુ છે.
$\Delta BCP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{CP} = \frac{10}{CP}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{CP}$,તેથી $CP = 10\sqrt{3} \ m$.
$\Delta ACP$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{AC}{CP} = \frac{AB + BC}{CP}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{AB + 10}{10\sqrt{3}}$.
તેથી,$AC = 10\sqrt{3} \ m$.
ધ્વજદંડની લંબાઈ $AB = AC - BC = 10\sqrt{3} - 10$.
$AB = 10(1.732) - 10 = 17.32 - 10 = 7.32 \ m$.

(D) ધારો કે $AD$ એ $108 \; m$ ઊંચાઈ ધરાવતો ટાવર છે અને $B$ તથા $C$ એ ટાવરની બંને બાજુએ રહેલી બે વસ્તુઓ છે.
આપેલ છે: $AD = 108 \; m$,$\angle ABD = 30^{\circ}$ અને $\angle ACD = 45^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABD$ માં:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AD}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{108}{BD}$
$BD = 108\sqrt{3} \; m$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ADC$ માં:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{DC}$
$1 = \frac{108}{DC}$
$DC = 108 \; m$
વસ્તુઓ વચ્ચેનું અંતર $BC = BD + DC$ છે.
$BC = 108\sqrt{3} + 108 = 108(\sqrt{3} + 1) \; m$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે.
જ્યારે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ હોય ત્યારે પડછાયાની લંબાઈ $x \ m$ છે તેમ ધારો.
ટાવર અને $60^{\circ}$ ના ખૂણે બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan 60^{\circ} = h / x$,તેથી $x = h / \sqrt{3}$.
જ્યારે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ હોય ત્યારે પડછાયાની લંબાઈ $(x + 40) \ m$ થાય છે.
ટાવર અને $30^{\circ}$ ના ખૂણે બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan 30^{\circ} = h / (x + 40)$,તેથી $x + 40 = h / \tan 30^{\circ} = h \sqrt{3}$.
$x = h / \sqrt{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $h / \sqrt{3} + 40 = h \sqrt{3}$.
$40 = h \sqrt{3} - h / \sqrt{3} = h (\sqrt{3} - 1 / \sqrt{3}) = h ( (3 - 1) / \sqrt{3} ) = 2h / \sqrt{3}$.
$2h = 40 \sqrt{3}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $h = 20 \sqrt{3} \ m$ મળે છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $L = 9 \text{ m}$ છે.
આપેલ ઉત્સેધકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
ટાવર અને તેના પડછાયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\tan \theta = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પડછાયાની લંબાઈ}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^{\circ} = \frac{h}{9}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{9}$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3} \text{ m}$.

(B) ધારો કે $AB = h$ એ થાંભલાની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $DE = 169 \; cm$ એ માણસની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $CD = 130 \; cm$ એ માણસનો પડછાયો છે.
ધારો કે $BC = 420 \; cm$ એ થાંભલાનો પડછાયો છે.
સૂર્યના કિરણો સમાંતર હોવાથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta CED$ એ $\Delta ABC$ ને સમરૂપ છે.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{BC}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{169}{h} = \frac{130}{420}$
$h = \frac{169 \times 420}{130}$
$h = \frac{169 \times 42}{13}$
$h = 13 \times 42$
$h = 546 \; cm$
આમ,થાંભલાની ઊંચાઈ $546 \; cm$ છે.

(B) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $C$ એ જમીન પરનું બિંદુ છે.
આપેલ છે કે ટાવરના પાયા $B$ થી બિંદુ $C$ નું અંતર $BC = 20 \; m$ છે.
ઉત્સેધકોણ $\angle ACB = 30^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{20}$
$AB = \frac{20}{\sqrt{3}} \; m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $\frac{20}{\sqrt{3}} \; m$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ $h \; m$ ઊંચાઈનો ટાવર છે.
ધારો કે $C$ એ પ્રારંભિક બિંદુ છે જ્યાં $BC = 160 \; m$ અને $\angle ACB = \theta$ છે.
ટાવર તરફ $100 \; m$ ચાલ્યા પછી,આપણે બિંદુ $D$ પર પહોંચીએ છીએ,જ્યાં $CD = 100 \; m$ છે. તેથી,$BD = BC - CD = 160 - 100 = 60 \; m$.
બિંદુ $D$ પર,આંતરેલો ખૂણો $2\theta$ છે,તેથી $\angle ADB = 2\theta$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{160}$.
$\triangle ABD$ માં,$\tan 2\theta = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{60}$.
સૂત્ર $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h}{60} = \frac{2(h/160)}{1 - (h/160)^2}$.
$\frac{h}{60} = \frac{h/80}{1 - h^2/25600}$.
$h$ વડે ભાગતા (કારણ કે $h \neq 0$):
$\frac{1}{60} = \frac{1/80}{(25600 - h^2)/25600} = \frac{320}{25600 - h^2}$.
$25600 - h^2 = 19200$.
$h^2 = 6400$.
$h = 80 \; m$.

(B) ધારો કે $AB$ એ ટાવરની ઊંચાઈ $h \; m$ છે.
ધારો કે $C$ એ ટાવરના પાયા $B$ થી $50 \; m$ ના અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
તેથી,$BC = 50 \; m$.
ઉત્સેધકોણ $\angle ACB = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં:
$\tan 30^{\circ} = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}$
$h = \frac{50}{\sqrt{3}} \; m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $\frac{50}{\sqrt{3}} \; m$ છે.

(D) ધારો કે $AB = 3x$ એકમ અને $BC = 2x$ એકમ છે.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$PB = \frac{AB}{2} = \frac{3x}{2}$ એકમ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CPB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$CP = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{(\frac{3x}{2})^2 + (2x)^2}$
$CP = \sqrt{\frac{9x^2}{4} + 4x^2} = \sqrt{\frac{9x^2 + 16x^2}{4}} = \sqrt{\frac{25x^2}{4}} = \frac{5x}{2}$ એકમ.
હવે,$\triangle CPB$ માં,$\sin(\angle CPB) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{BC}{CP}$.
$\sin(\angle CPB) = \frac{2x}{\frac{5x}{2}} = 2x \cdot \frac{2}{5x} = \frac{4}{5}$.

(A) પદાવલિ $\frac{\sin A}{1+\cos A}+\frac{\sin A}{1-\cos A}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે સામાન્ય છેદ લઈએ છીએ:
$= \frac{\sin A(1-\cos A) + \sin A(1+\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)}$
$= \frac{\sin A - \sin A \cos A + \sin A + \sin A \cos A}{1 - \cos^2 A}$
$= \frac{2 \sin A}{\sin^2 A}$
$= \frac{2}{\sin A} = 2 \operatorname{cosec} A$

(D) આપેલ સમીકરણો:
$r \sin \theta = 1$ --- $(1)$
$r \cos \theta = \sqrt{3}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
હવે,$(\sqrt{3} \tan \theta + 1)$ પદાવલિમાં $\tan \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \sqrt{3} \times \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 1$
$= 1 + 1 = 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ $h$ એકમ ઊંચાઈ ધરાવતો ટાવર છે.
ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ટાવરના પાયા $B$ થી અનુક્રમે $PB = a$ અને $QB = b$ અંતરે આવેલા છે.
આપેલ છે કે ઉત્સેધકોણ કોટિકોણ છે,તેથી ધારો કે $\angle AQB = \theta$ અને $\angle APB = 90^{\circ} - \theta$ છે.
$\triangle AQB$ માં,$\tan \theta = \frac{AB}{QB} = \frac{h}{b}$.
$\triangle APB$ માં,$\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{AB}{PB} = \frac{h}{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,તેથી $\cot \theta = \frac{h}{a}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{h}{b}\right) \cdot \left(\frac{h}{a}\right)$.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,તેથી $1 = \frac{h^2}{ab}$.
આમ,$h^2 = ab$,જેનો અર્થ છે કે $h = \sqrt{ab}$.

(B) ધારો કે $AB$ એ $100 \ m$ ઊંચાઈનો ટાવર છે.
ધારો કે $C$ એ કારનું પ્રારંભિક સ્થાન છે અને $D$ એ થોડા સમય પછીનું અંતિમ સ્થાન છે.
ધારો કે કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $CD = x \ m$ છે.
$\Delta ABD$ માં,ઉત્સેધકોણ $60^{\circ}$ છે.
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{100}{BD} \Rightarrow BD = \frac{100}{\sqrt{3}} \ m$.
$\Delta ABC$ માં,ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે.
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{BD + CD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{\frac{100}{\sqrt{3}} + x}$.
$\frac{100}{\sqrt{3}} + x = 100 \sqrt{3}$.
$x = 100 \sqrt{3} - \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{300 - 100}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \ m$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$x = \frac{200 \sqrt{3}}{3} \ m$.

(A) ધારો કે ટૂંકા થાંભલાની ઊંચાઈ $h \text{ m}$ છે અને ઊંચા થાંભલાની ઊંચાઈ $2h \text{ m}$ છે.
ધારો કે થાંભલાઓ $CD$ અને $AB$ છે,જ્યાં $CD = h$ અને $AB = 2h$ છે.
તેમના પાયા $B$ અને $D$ વચ્ચેનું અંતર $x \text{ m}$ છે.
ધારો કે $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $OB = OD = \frac{x}{2} \text{ m}$ થાય.
$\triangle OCD$ માંથી,$\tan \theta = \frac{CD}{OD} = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}$ મળે.
$\triangle OAB$ માંથી,ઉત્સેધકોણ $(90^{\circ} - \theta)$ છે,તેથી $\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{AB}{OB} = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,તેથી $\cot \theta = \frac{4h}{x}$ થાય.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{2h}{x}\right) \cdot \left(\frac{4h}{x}\right)$ મળે.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,તેથી $1 = \frac{8h^2}{x^2}$ મળે.
આમ,$h^2 = \frac{x^2}{8}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}} \text{ m}$ મળે.

(C) ધારો કે બે વિમાનો $A$ અને $D$ બિંદુઓ પર છે. ધારો કે જમીન પરનું બિંદુ $C$ છે. પ્રથમ વિમાન $A$ ની ઊંચાઈ $AB = 5000 \; m$ છે.
ધારો કે બીજા વિમાન $D$ ની ઊંચાઈ $DB = h$ છે.
બિંદુ $C$ થી બિંદુ $B$ (વિમાનોની બરાબર નીચે) નું અંતર $BC = x$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} = \frac{5000}{x}$.
$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ હોવાથી,$x = \frac{5000}{\sqrt{3}} \; m$ મળે.
$\Delta DBC$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{DB}{BC} = \frac{h}{x}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$h = x = \frac{5000}{\sqrt{3}} \; m$ મળે.
બંને વિમાનો વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર $AD = AB - DB = 5000 - h$ છે.
$AD = 5000 - \frac{5000}{\sqrt{3}} = 5000\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \; m$.

(C) ધારો કે $AB$ એ ટાવર છે અને $BC$ તેનો પડછાયો છે.
ટાવરની ઊંચાઈ $AB = x$ ધારો.
પ્રશ્ન મુજબ,પડછાયાની લંબાઈ $BC = \frac{1}{\sqrt{3}} \times AB = \frac{x}{\sqrt{3}}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ઉન્નતકોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{x}{\frac{x}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $\theta = 60^{\circ}$.
આમ,સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $60^{\circ}$ છે.