HCF and LCM Questions in Hindi

(C) $27, 18$ और $36$ का म.स.प. $(H.C.F.)$ ज्ञात करने के लिए:
चरण $1$: $27$ और $18$ का म.स.प. ज्ञात करें।
$27 = 18 \times 1 + 9$
$18 = 9 \times 2 + 0$
अतः,$27$ और $18$ का म.स.प. $9$ है।
चरण $2$: परिणाम $(9)$ और शेष संख्या $(36)$ का म.स.प. ज्ञात करें।
$36 = 9 \times 4 + 0$
अतः,$9$ और $36$ का म.स.प. $9$ है।
इसलिए,$27, 18$ और $36$ का म.स.प. $9$ है।

(A) भिन्नों का $L.C.M.$ ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$L.C.M. = \frac{\text{अंशों का } L.C.M.}{\text{हरों का } H.C.F.}$
भिन्नों $\frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \frac{6}{25}$ के लिए:
$2, 3$ और $6$ का $L.C.M. = 6$
$5, 10$ और $25$ का $H.C.F. = 5$
अतः,अभीष्ट $L.C.M. = \frac{6}{5}$ है।

(B) $25, 30, 35$ और $40$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:

$2$	$25, 30, 35, 40$
$5$	$25, 15, 35, 20$
	$5, 3, 7, 4$

$\therefore \quad$ ल.स.प. भाजकों और शेष पदों का गुणनफल है:
$L.C.M. = 2 \times 5 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 10 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 50 \times 3 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 150 \times 7 \times 4$
$L.C.M. = 1050 \times 4$
$L.C.M. = 4200$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(D) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $852, 1065$ और $1491$ को पूर्णतः विभाजित करती है,हमें इन तीन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक $(H.C.F.)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: भाग विधि का उपयोग करके $852$ और $1065$ का $H.C.F.$ ज्ञात करें।
$1065 = 852 \times 1 + 213$
$852 = 213 \times 4 + 0$
अतः,$852$ और $1065$ का $H.C.F.$ $213$ है।
चरण $2$: परिणाम $(213)$ और तीसरी संख्या $(1491)$ का $H.C.F.$ ज्ञात करें।
$1491 = 213 \times 7 + 0$
चूंकि $1491$ को $213$ से पूर्णतः विभाजित किया जा सकता है,इसलिए तीनों संख्याओं का $H.C.F.$ $213$ है।

(C) भिन्नों का $H.C.F.$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
$H.C.F. = \frac{\text{अंशों का } H.C.F.}{\text{हरों का } L.C.M.}$
दी गई भिन्नें: $\frac{4}{9}, \frac{10}{21}, \frac{20}{63}$
चरण $1$: अंशों $(4, 10, 20)$ का $H.C.F.$ ज्ञात करें:
$4$ के गुणनखंड = $2 \times 2$
$10$ के गुणनखंड = $2 \times 5$
$20$ के गुणनखंड = $2 \times 2 \times 5$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है। अतः,$H.C.F. = 2$.
चरण $2$: हरों $(9, 21, 63)$ का $L.C.M.$ (ल.स.प.) ज्ञात करें:
$9 = 3^2$
$21 = 3 \times 7$
$63 = 3^2 \times 7$
$L.C.M. = 3^2 \times 7 = 9 \times 7 = 63$.
चरण $3$: परिणामों को संयोजित करें:
$H.C.F. = \frac{2}{63}$.

(C) सबसे पहले,$16, 18, 20$ और $25$ का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात करें।
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$20 = 2^2 \times 5$
$25 = 5^2$
$L.C.M. = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 16 \times 9 \times 25 = 3600$.
कोई भी संख्या जिसे $16, 18, 20$ और $25$ से विभाजित करने पर $4$ शेषफल बचता है,वह $(3600K + 4)$ के रूप में होती है,जहाँ $K$ एक प्राकृतिक संख्या है।
हमें दिया गया है कि यह संख्या $7$ से पूर्णतः विभाज्य है।
$(3600K + 4) \div 7$ में शेषफल $0$ है।
$3600 \div 7$ करने पर $2$ शेषफल बचता है (क्योंकि $3600 = 7 \times 514 + 2$)।
अतः,$(2K + 4)$ को $7$ से विभाज्य होना चाहिए।
$K = 5$ के लिए,$2(5) + 4 = 14$,जो $7$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,अभीष्ट संख्या $= 3600 \times 5 + 4 = 18000 + 4 = 18004$।

(D) माना फूलों की क्यारी की लंबाई $L$ मीटर है। चौड़ाई $3 \ m$ होने के कारण,प्रत्येक खेत में फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल $3L \ m^2$ होगा।
चूंकि $3L$ को $165, 195$ और $85$ के क्षेत्रफलों का एक सामान्य भाजक होना चाहिए,इसलिए हम पहले $165, 195$ और $85$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) ज्ञात करते हैं।
अभाज्य गुणनखंडन:
$165 = 3 \times 5 \times 11$
$195 = 3 \times 5 \times 13$
$85 = 5 \times 17$
$165, 195$ और $85$ का म.स.प. $5$ है।
अतः,प्रत्येक खेत से बनाई जा सकने वाली फूलों की क्यारी का अधिकतम क्षेत्रफल $5 \ m^2$ है।
चौड़ाई $3 \ m$ दी गई है,इसलिए $3 \times L = 5$।
अतः,$L = \frac{5}{3} \ m \approx 1.67 \ m$।
चूंकि $\frac{5}{3}$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर "इनमें से कोई नहीं" है।

(B) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $2112$ और $2792$ को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में $4$ शेषफल छोड़े,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. दी गई संख्याओं को आवश्यक संख्या से पूर्णतः विभाजित करने के लिए दोनों संख्याओं में से $4$ शेषफल घटाएं।
$2112 - 4 = 2108$
$2792 - 4 = 2788$
$2$. अब $2108$ और $2788$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करें।
$2108$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2^2 \times 17 \times 31 = 4 \times 17 \times 31$
$2788$ का अभाज्य गुणनखंडन = $2^2 \times 17 \times 41 = 4 \times 17 \times 41$
$3$. $HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है:
$HCF = 4 \times 17 = 68$
अतः,वह सबसे बड़ी संख्या $68$ है।

(D) माना कि दो संख्याएँ $12x$ और $12y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और $x < y$ है।
चूँकि $H.C.F.$ $12$ है,इसलिए दोनों संख्याएँ $12$ की गुणज होनी चाहिए।
संख्याओं का अंतर $12y - 12x = 12$ दिया गया है,जिसे सरल करने पर $y - x = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि संख्याएँ $12$ के क्रमागत गुणज हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$84$ और $96$ के लिए: $H.C.F.(84, 96) = 12$ और $96 - 84 = 12$ होता है।
अतः,वे संख्याएँ $84$ और $96$ हैं।

(A) पीपों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक पीपे की क्षमता वह अधिकतम मान होनी चाहिए जो $435$,$493$ और $551$ को पूर्णतः विभाजित करे। यह क्षमता $435$,$493$ और $551$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) है।
सबसे पहले,$435$ और $493$ का म.स.प. ज्ञात करें:
$493 = 435 \times 1 + 58$
$435 = 58 \times 7 + 29$
$58 = 29 \times 2 + 0$
अतः,$435$ और $493$ का म.स.प. $29$ है।
अब,जांचें कि क्या $551$,$29$ से विभाज्य है:
$551 \div 29 = 19$.
इस प्रकार,$435, 493$ और $551$ का म.स.प. $29$ है।
प्रत्येक पीपे की क्षमता $29$ लीटर है।
आवश्यक पीपों की कुल संख्या $= (435 \div 29) + (493 \div 29) + (551 \div 29)$
$= 15 + 17 + 19 = 51$.

(C) $25, 73$ और $97$ को विभाजित करने पर समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं के बीच का अंतर निकालते हैं:
$73 - 25 = 48$
$97 - 73 = 24$
$97 - 25 = 72$
अब,इन अंतरों का म.स.प. $(H.C.F.)$ ज्ञात करें: $48, 24$ और $72$ का म.स.प.।
संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन है:
$48 = 2^4 \times 3$
$24 = 2^3 \times 3$
$72 = 2^3 \times 3^2$
म.स.प. उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है: $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $24$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $27a$ और $27b$ हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य (co-prime) संख्याएँ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $216$ है,इसलिए:
$27a + 27b = 216$
$27(a + b) = 216$
$a + b = \frac{216}{27} = 8$
अब,हम सह-अभाज्य संख्याओं के ऐसे जोड़े $(a, b)$ ज्ञात करते हैं जिनका योग $8$ हो:
संभावित जोड़े $(1, 7)$ और $(3, 5)$ हैं।
जोड़े $(1, 7)$ के लिए,संख्याएँ $(27 \times 1, 27 \times 7) = (27, 189)$ होंगी।
जोड़े $(3, 5)$ के लिए,संख्याएँ $(27 \times 3, 27 \times 5) = (81, 135)$ होंगी।
चूंकि विकल्पों में $(27, 189)$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $(27, 189)$ है।

(C) वह समय अंतराल जिसके बाद पाँचों घंटियाँ एक साथ बजेंगी,$5, 6, 8, 12$ और $20$ सेकंड का $L.C.M.$ (लघुत्तम समापवर्त्य) है।
अभाज्य गुणनखंडन:
$5 = 5^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3^1$
$20 = 2^2 \times 5^1$
$L.C.M. = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$ सेकंड।
चूंकि $120$ सेकंड $= 2$ मिनट,घंटियाँ हर $2$ मिनट में एक साथ बजती हैं।
एक घंटे ($3600$ सेकंड) में,अंतरालों की संख्या $3600 \div 120 = 30$ है।
चूंकि घंटियाँ शुरुआत में ($0$ सेकंड पर) एक साथ बजना शुरू करती हैं,इसलिए हम कुल अंतरालों की संख्या में $1$ जोड़ते हैं।
वे कुल $30 + 1 = 31$ बार एक साथ बजेंगी।

(A) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $964, 1238$ और $1400$ को विभाजित करने पर क्रमशः $41, 31$ और $51$ शेषफल देती है,हम पहले दी गई संख्याओं में से शेषफल को घटाएंगे:
$964 - 41 = 923$
$1238 - 31 = 1207$
$1400 - 51 = 1349$
अब,हमें $923, 1207$ और $1349$ का महत्तम समापवर्तक $(H.C.F.)$ ज्ञात करना होगा।
पहले $923$ और $1207$ का $H.C.F.$ ज्ञात करते हैं:
$1207 = 923 \times 1 + 284$
$923 = 284 \times 3 + 71$
$284 = 71 \times 4 + 0$
अतः,$923$ और $1207$ का $H.C.F.$ $71$ है।
अब,$71$ और $1349$ का $H.C.F.$ ज्ञात करते हैं:
$1349 = 71 \times 19 + 0$
चूंकि $1349$ संख्या $71$ से पूर्णतः विभाज्य है,इसलिए $923, 1207$ और $1349$ का $H.C.F.$ $71$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $71$ है।

(D) सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा ज्ञात करने के लिए,हमें कमरे की लंबाई और चौड़ाई का $H.C.F.$ (म.स.प.) निकालना होगा।
सबसे पहले,आयामों को सेंटीमीटर में बदलें:
लंबाई $= 5 \, m \, 44 \, cm = 544 \, cm$.
चौड़ाई $= 3 \, m \, 74 \, cm = 374 \, cm$.
अब,$544$ और $374$ का $H.C.F.$ ज्ञात करें:
$544 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 17 = 2^5 \times 17$.
$374 = 2 \times 11 \times 17$.
$H.C.F.$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है:
$H.C.F. = 2 \times 17 = 34$.
अतः,सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा $34 \, cm$ है।

(A) यह पता लगाने के लिए कि ट्रैफिक लाइट फिर से एक साथ कब बदलेंगी,हमें दिए गए अंतराल $48, 72$ और $108$ सेकंड का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
$48$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^4 \times 3^1$.
$72$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^3 \times 3^2$.
$108$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^2 \times 3^3$.
$LCM = 2^4 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$ सेकंड।
अब,$432$ सेकंड को मिनट और सेकंड में बदलें:
$432 \div 60 = 7$ मिनट और $12$ सेकंड।
अतः,लाइट $7$ मिनट और $12$ सेकंड के बाद फिर से एक साथ बदलेंगी।
इसे प्रारंभिक समय $8: 20: 00$ में जोड़ने पर:
$8: 20: 00 + 0: 07: 12 = 8: 27: 12$ बजे।

(A) माना कि दो संख्याएँ $13x$ और $13y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य (co-prime) संख्याएँ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $6760$ है।
$13x \times 13y = 6760$
$169xy = 6760$
$xy = \frac{6760}{169} = 40$
अब,हमें सह-अभाज्य संख्याओं के ऐसे जोड़े $(x, y)$ खोजने हैं जिनका गुणनफल $40$ हो।
$40$ के गुणनखंड $(1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)$ हैं।
संख्याओं का $H.C.F.$ $13$ होने के लिए,$x$ और $y$ को सह-अभाज्य होना चाहिए (अर्थात उनका $H.C.F.$ $1$ होना चाहिए)।
जोड़ों की जाँच करने पर:
$(1, 40)$: $H.C.F.(1, 40) = 1$ (मान्य)
$(2, 20)$: $H.C.F.(2, 20) = 2$ (अमान्य)
$(4, 10)$: $H.C.F.(4, 10) = 2$ (अमान्य)
$(5, 8)$: $H.C.F.(5, 8) = 1$ (मान्य)
अतः,ऐसी $2$ जोड़ियाँ संभव हैं: $(1, 40)$ और $(5, 8)$।

(A) चरण $1$: भाजकों और उनके संबंधित शेषफलों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
$10 - 4 = 6$
$15 - 9 = 6$
$21 - 15 = 6$
$28 - 22 = 6$
चूंकि अंतर समान $(6)$ है,इसलिए अभीष्ट संख्या $(10, 15, 21, 28 \text{ \text{का ल}.\text{स}.\text{प}.}) \times k - 6$ होगी।
चरण $2$: $10, 15, 21, 28$ का ल.स.प. ज्ञात करें।
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$28 = 2^2 \times 7$
ल.स.प. $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.
चरण $3$: $420$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें।
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$9999 \div 420 = 23$ और शेषफल $339$ प्राप्त होता है।
अतः,$9999 - 339 = 9660$.
चरण $4$: इस संख्या में से अचर अंतर $(6)$ को घटाएं।
$9660 - 6 = 9654$.

(B) अभाज्य गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले आधार $6$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें: $6 = 2 \times 3$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(2 \times 3)^{10} \times (7)^{17} \times (11)^{27} = 2^{10} \times 3^{10} \times 7^{17} \times 11^{27}$.
अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या इन अभाज्य संख्याओं के घातांकों का योग है।
अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या $= 10 + 10 + 17 + 27 = 64$.

(C) $3962, 4085$ और $4167$ को विभाजित करने पर समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं के बीच का अंतर निकालते हैं:
$4085 - 3962 = 123$
$4167 - 4085 = 82$
$4167 - 3962 = 205$
अब,हम इन अंतरों का म.स.प. $(H.C.F.)$ ज्ञात करते हैं: $123, 82$ और $205$ का म.स.प.
$123 = 41 \times 3$
$82 = 41 \times 2$
$205 = 41 \times 5$
अतः,म.स.प. $41$ है।
इसलिए,सबसे बड़ी संख्या $41$ है।

(D) सबसे बड़े संभव बक्से की क्षमता ज्ञात करने के लिए,जिसमें चाय की प्रत्येक मात्रा को पूरी तरह से पैक किया जा सके,हमें $408, 468$ और $516$ का महत्तम समापवर्तक $(H.C.F.)$ निकालना होगा।
चरण $1$: $408$ का अभाज्य गुणनखंड $2^3 \times 3 \times 17$ है।
चरण $2$: $468$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2 \times 3^2 \times 13$ है।
चरण $3$: $516$ का अभाज्य गुणनखंड $2^2 \times 3 \times 43$ है।
चरण $4$: $H.C.F.$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है,जो $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ है।
अतः,सबसे बड़े संभव बक्से की क्षमता $12 \text{ kg}$ है।

(C) कमरे की लंबाई $= 4\, m\, 37\, cm = 437\, cm$.
कमरे की चौड़ाई $= 3\, m\, 23\, cm = 323\, cm$.
न्यूनतम वर्गाकार स्लैब की संख्या ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक वर्गाकार स्लैब की भुजा कमरे की लंबाई और चौड़ाई का $H.C.F.$ होनी चाहिए।
$437$ और $323$ का $H.C.F.$:
$437 = 19 \times 23$
$323 = 19 \times 17$
अतः,$H.C.F. = 19\, cm$.
वर्गाकार स्लैब की भुजा $19\, cm$ है।
स्लैब की संख्या $= \frac{\text{कमरे का क्षेत्रफल}}{\text{एक स्लैब का क्षेत्रफल}} = \frac{437 \times 323}{19 \times 19}$.
स्लैब की संख्या $= 23 \times 17 = 391$.

(D) $3, 4, 5, 6$ और $8$ से विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करेंगे।
$\begin{array}{c|ccccc} 2 & 3, & 4, & 5, & 6, & 8 \\ \hline 2 & 3, & 2, & 5, & 3, & 4 \\ \hline 3 & 3, & 1, & 5, & 3, & 2 \\ \hline & 1, & 1, & 5, & 1, & 2 \end{array}$
$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2 = 120$.
$120$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2^3 \times 3^1 \times 5^1$.
किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। $120$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम इसे आवश्यक गुणनखंडों से गुणा करेंगे ताकि घातांक सम हो जाएं: $2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30$.
अभीष्ट संख्या $= 120 \times 30 = 3600$.

(A) चरण $1$: $12, 16, 21, 36, 40$ का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात कीजिए।
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$21 = 3 \times 7$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$40 = 2^3 \times 5$
$L.C.M. = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 16 \times 9 \times 5 \times 7 = 5040$.
चरण $2$: पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$10000$ को $5040$ से विभाजित करने पर: $10000 = 5040 \times 1 + 4960$.
चरण $3$: $5040$ से विभाज्य पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $10000$ में $(5040 - 4960) = 80$ जोड़ते हैं।
संख्या $= 10000 + 80 = 10080$.
चरण $4$: प्रत्येक स्थिति में $8$ शेषफल प्राप्त करने के लिए,ल.स.प. के गुणज में शेषफल जोड़ें।
अभीष्ट संख्या $= 10080 + 8 = 10088$.

(A) प्रत्येक तख्ते की अधिकतम संभव लंबाई ज्ञात करने के लिए,हमें लकड़ी के टुकड़ों की लंबाई,जो कि $42 \ m$,$49 \ m$ और $63 \ m$ है,का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ निकालना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$49 = 7 \times 7$
$63 = 3 \times 3 \times 7$
चरण $2$: तीनों संख्याओं में मौजूद उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) की पहचान करें:
यहाँ उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल $7$ है।
अतः,$42, 49$ और $63$ का $HCF$ $7$ है।
इस प्रकार,प्रत्येक तख्ते की अधिकतम संभव लंबाई $7 \ m$ है।

(D) प्रत्येक व्यक्ति द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय $\text{Time} = \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
पहले व्यक्ति के लिए: $T_1 = \frac{11}{4} \text{ घंटे}$.
दूसरे व्यक्ति के लिए: $T_2 = \frac{11}{5.5} = \frac{11}{11/2} = 2 \text{ घंटे}$.
तीसरे व्यक्ति के लिए: $T_3 = \frac{11}{8} \text{ घंटे}$.
वे शुरुआती बिंदु पर कब मिलेंगे,यह समय एक चक्कर पूरा करने में लगे समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है: $\text{LCM}(\frac{11}{4}, 2, \frac{11}{8})$.
भिन्नों का $LCM$ ज्ञात करने का सूत्र: $\text{LCM}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f}) = \frac{\text{LCM}(a, c, e)}{\text{HCF}(b, d, f)}$.
यहाँ,भिन्न $\frac{11}{4}, \frac{2}{1}, \frac{11}{8}$ हैं।
$\text{LCM}(11, 2, 11) = 22$.
$\text{HCF}(4, 1, 8) = 1$.
अतः,आवश्यक समय $\frac{22}{1} = 22 \text{ घंटे}$ है।

(A) घंटियाँ फिर से कब एक साथ बजेंगी,यह जानने के लिए हमें दिए गए अंतरालों $36, 45, 72, 81$ और $108$ सेकंड का लघुत्तम समापवर्त्य $(L.C.M.)$ ज्ञात करना होगा।
विभाजन विधि का उपयोग करते हुए:

$2$	$36, 45, 72, 81, 108$
$2$	$18, 45, 36, 81, 54$
$2$	$9, 45, 18, 81, 27$
$3$	$9, 45, 9, 81, 27$
$3$	$3, 15, 3, 27, 9$
$3$	$1, 5, 1, 9, 3$
$3$	$1, 5, 1, 3, 1$
$5$	$1, 5, 1, 1, 1$

$L.C.M. = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3240$
अतः,घंटियाँ $3240$ सेकंड के बाद फिर से एक साथ बजेंगी।

(C) वह सबसे बड़ा माप ज्ञात करने के लिए जो दी गई सभी मात्राओं को सटीक रूप से माप सके,हमें $403$,$434$ और $465$ का महत्तम समापवर्तक $(H.C.F.)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें।
$403 = 13 \times 31$
$434 = 2 \times 7 \times 31$
$465 = 3 \times 5 \times 31$
चरण $2$: उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करें।
$403$,$434$ और $465$ के बीच उभयनिष्ठ गुणनखंड $31$ है।
अतः,सबसे बड़ा माप $31 \ kg$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $51x$ और $51y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं (अर्थात $gcd(x, y) = 1$)।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके $L.C.M.$ और $G.C.D.$ के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,$(51x) \times (51y) = 51 \times 1530$।
दोनों पक्षों को $51^2$ से विभाजित करने पर,हमें $x \times y = \frac{1530}{51} = 30$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसी सह-अभाज्य संख्याओं की जोड़ियाँ $(x, y)$ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल $30$ हो।
$30$ के गुणनखंड $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ हैं।
$x \times y = 30$ और $gcd(x, y) = 1$ वाली संभावित जोड़ियाँ इस प्रकार हैं:
$1) (1, 30)$
$2) (2, 15)$
$3) (3, 10)$
$4) (5, 6)$
चूंकि ये चारों जोड़ियाँ सह-अभाज्य हैं,इसलिए ऐसी कुल $4$ जोड़ियाँ संभव हैं।

(B) $63, 56$ और $42$ से विभाजित करने पर $1$ शेषफल देने वाली $5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इन संख्याओं का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात करेंगे।
अभाज्य गुणनखंडन:
$63 = 3^2 \times 7$
$56 = 2^3 \times 7$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
ल.स.प. $= 2^3 \times 3^2 \times 7 = 8 \times 9 \times 7 = 504$.
$5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$10000$ को $504$ से विभाजित करने पर:
$10000 \div 504 = 19$ और शेषफल $424$ प्राप्त होता है।
$504$ से पूर्णतः विभाजित होने वाली $5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000 + (504 - 424) = 10000 + 80 = 10080$ है।
चूंकि हमें प्रत्येक स्थिति में $1$ शेषफल चाहिए,इसलिए हम ल.स.प. के गुणज में $1$ जोड़ देंगे:
अभीष्ट संख्या $= 10080 + 1 = 10081$।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $H.C.F.$ और $L.C.M.$ के गुणनफल के बराबर होता है।
माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है: $H.C.F. = 44$,$L.C.M. = 264.$
प्रश्न के अनुसार,पहली संख्या $x$ को $2$ से विभाजित करने पर भागफल $44$ प्राप्त होता है।
अतः,$x / 2 = 44 \implies x = 44 \times 2 = 88.$
सूत्र का उपयोग करते हुए: $x \times y = H.C.F. \times L.C.M.$
$88 \times y = 44 \times 264.$
$y = (44 \times 264) / 88.$
$y = 264 / 2 = 132.$
अतः,दूसरी संख्या $132$ है।

(C) $n$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा $n!$ (n फैक्टोरियल) से विभाज्य होता है।
$n = 4$ के लिए,किन्हीं चार क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल $4!$ से विभाज्य होता है।
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
सत्यापन के लिए,पहली चार प्राकृतिक संख्याएँ लें: $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
अगला समूह लें: $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$,जो $24$ से भी विभाज्य है $(120 / 24 = 5)$।
अतः,वह सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जो किन्हीं चार क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को विभाजित करती है,$24$ है।

(C) सबसे पहले,$15, 21$ और $28$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात कीजिए।
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$28 = 2^2 \times 7$
ल.स.प. $= 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.
छह अंकों की सबसे छोटी संख्या $100000$ है।
$100000$ को $420$ से भाग देकर शेषफल ज्ञात कीजिए:
$100000 \div 420 = 238$ और शेषफल $40$ प्राप्त होता है।
$420$ से पूर्णतः विभाज्य छह अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजक और शेषफल के अंतर को छह अंकों की सबसे छोटी संख्या में जोड़ते हैं:
अभीष्ट संख्या $= 100000 + (420 - 40) = 100000 + 380 = 100380$.

(D) सबसे पहले, भाजक और उनके संबंधित शेषफल के बीच का अंतर देखें:
$12 - 5 = 7$
$15 - 8 = 7$
$21 - 14 = 7$
$25 - 18 = 7$
$28 - 21 = 7$
चूंकि अंतर समान $(7)$ है, इसलिए अभीष्ट संख्या $(12, 15, 21, 25, 28 \text{ का ल.स.प.}) \times k - 7$ होगी।
$12, 15, 21, 25, 28$ का ल.स.प. ज्ञात करें:
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$25 = 5^2$
$28 = 2^2 \times 7$
$L.C.M. = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7 = 2100$.
पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या $99999$ है।
$99999$ को $2100$ से विभाजित करें:
$99999 \div 2100 = 47$ और शेषफल $1299$ प्राप्त होता है।
$100000$ से छोटी $2100$ की सबसे बड़ी गुणज संख्या ज्ञात करने के लिए शेषफल को $99999$ में से घटाएं:
$99999 - 1299 = 98700$.
अंत में, स्थिर अंतर $(7)$ को घटाएं:
$98700 - 7 = 98693$.

(D) $16, 24, 30$ और $32$ से पूर्णतः विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करेंगे।
संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$16 = 2^4$
$24 = 2^3 \times 3^1$
$30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$
$32 = 2^5$
$LCM = 2^5 \times 3^1 \times 5^1 = 32 \times 3 \times 5 = 480$.
वह संख्या जिसे हम खोज रहे हैं,उसमें $3$ जोड़ने पर वह $480$ हो जाती है।
अतः,अभीष्ट संख्या $= 480 - 3 = 477$.

(C) सबसे पहले,कमरे की विमाओं को सेंटीमीटर में बदलें:
लंबाई $= 15\, m\, 17\, cm = 1517\, cm$
चौड़ाई $= 9\, m\, 2\, cm = 902\, cm$
वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक वर्गाकार टाइल की भुजा की लंबाई कमरे की लंबाई और चौड़ाई के $H.C.F.$ (म.स.प.) के बराबर होनी चाहिए।
$1517$ और $902$ का $H.C.F.$:
$1517 = 41 \times 37$
$902 = 41 \times 22$
अतः,$H.C.F. = 41\, cm$.
प्रत्येक वर्गाकार टाइल की भुजा $41\, cm$ है।
आवश्यक टाइलों की संख्या $= \frac{\text{छत का क्षेत्रफल}}{\text{एक टाइल का क्षेत्रफल}} = \frac{1517 \times 902}{41 \times 41} = 37 \times 22 = 814$.

(B) माना संख्या $x$ है। शर्तों के अनुसार $x \equiv 1 \pmod 2$,$x \equiv 2 \pmod 3$,$x \equiv 3 \pmod 4$,$x \equiv 4 \pmod 5$,और $x \equiv 5 \pmod 6$ है।
इसका अर्थ है कि $x+1$ संख्या $2, 3, 4, 5$ और $6$ से विभाज्य है।
$2, 3, 4, 5, 6$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) $60$ है।
अतः,$x+1 = 60k$,जिसका अर्थ है $x = 60k - 1$.
$k=1$ के लिए,$x = 59$. $k=2$ के लिए,$x = 119$. $k=3$ के लिए,$x = 179$.
हमें दिया गया है कि $x$,$7$ से विभाज्य है।
मानों की जाँच करने पर: $59/7$ (शेष $3$),$119/7 = 17$ (शेष $0$).
अतः,सबसे छोटी संख्या $119$ है।

(D) सबसे पहले,भाजकों $4, 6, 10$ और $15$ का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात करें।
अभाज्य गुणनखंड: $4 = 2^2, 6 = 2 \times 3, 10 = 2 \times 5, 15 = 3 \times 5$.
$L.C.M. = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या $99999$ है।
$99999$ को $60$ से विभाजित करने पर शेषफल $39$ प्राप्त होता है ($99999 \div 60 = 1666$ और शेषफल $39$)।
$60$ से पूर्णतः विभाजित होने वाली पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त करने के लिए $99999$ में से $39$ घटाएं: $99999 - 39 = 99960$.
प्रत्येक स्थिति में $3$ शेषफल प्राप्त करने के लिए,इस संख्या में $3$ जोड़ें: $99960 + 3 = 99963$.

(B) माना कि अभीष्ट संख्या $N$ है।
दिया गया है कि $N, 31$ का गुणज है,अतः $N = 31k$ है।
साथ ही,$N$ को $15, 24$ और $32$ से विभाजित करने पर क्रमशः $2, 11$ और $19$ शेषफल बचता है।
यहाँ $15 - 2 = 13$,$24 - 11 = 13$ और $32 - 19 = 13$ है।
अतः,$N + 13$ संख्या $15, 24$ और $32$ से पूर्णतः विभाज्य है।
$15, 24$ और $32$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) $480$ है।
इसलिए,$N + 13 = 480m$,जिसका अर्थ है $N = 480m - 13$।
चूंकि $N, 31$ का गुणज है,इसलिए $480m - 13 \equiv 0 \pmod{31}$।
$480 = 31 \times 15 + 15$,अतः $15m - 13 \equiv 0 \pmod{31}$।
यदि $m = 5$ हो,तो $15(5) - 13 = 75 - 13 = 62$,जो $31$ से विभाज्य है।
इसलिए,$N = 480(5) - 13 = 2400 - 13 = 2387$।

(B) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$9999$ से छोटी या उसके बराबर $531$ का सबसे बड़ा गुणज ज्ञात करने के लिए, हम $9999$ को $531$ से विभाजित करते हैं।
$9999 \div 531 \approx 18.83$।
अतः, $531$ का चार अंकों का सबसे बड़ा गुणज $531 \times 18 = 9558$ है।
$531$ का चार अंकों का दूसरा सबसे बड़ा गुणज $9558 - 531 = 9027$ है।
इस प्रकार, $531$ को अपने $H.C.F$ के रूप में रखने वाली चार अंकों की दो सबसे बड़ी संख्याएँ $9558$ और $9027$ हैं।

(B) सबसे पहले,$10, 12, 15$ और $18$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात कीजिए।
$10 = 2 \times 5$
$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$L.C.M. = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.
माना अभीष्ट संख्या $x$ है। प्रश्न के अनुसार,$(x + 3769)$ को $180$ से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए।
$5$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $99999$ है।
हमें सबसे बड़ी $x$ ज्ञात करनी है ताकि $x + 3769 = 180k$ हो,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
चूंकि $x$ एक $5$ अंकों की संख्या है,$x \leq 99999$,इसलिए $x + 3769 \leq 99999 + 3769 = 103768$.
$103768$ को $180$ से भाग देने पर,$103768 = 180 \times 576 + 88$ प्राप्त होता है।
$103768$ से छोटी या उसके बराबर $180$ की सबसे बड़ी गुणज ज्ञात करने के लिए,हम शेषफल को घटाते हैं: $103768 - 88 = 103680$.
अतः,$x + 3769 = 103680$.
$x = 103680 - 3769 = 99911$.

(C) दी गई शर्त को पूरा करने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें पहले $14, 15, 21, 32$ और $60$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
अभाज्य गुणनखंडन:
$14 = 2 \times 7$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
$32 = 2^5$
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$LCM = 2^5 \times 3 \times 5 \times 7 = 32 \times 15 \times 7 = 480 \times 7 = 3360$.
प्रश्न के अनुसार,जब संख्या में से $11$ घटाया जाता है,तो वह इन संख्याओं से विभाजित हो जाती है। इसका अर्थ है कि अभीष्ट संख्या $= LCM + 11$ है।
अभीष्ट संख्या $= 3360 + 11 = 3371$.

(C) सबसे पहले, भाजकों और उनके संबंधित शेषफलों के बीच का अंतर देखें:
$8 - 1 = 7$
$12 - 5 = 7$
$16 - 9 = 7$
$20 - 13 = 7$
सामान्य अंतर $7$ है।
अब, $8, 12, 16$ और $20$ का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात करें:
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$20 = 2^2 \times 5$
$L.C.M. = 2^4 \times 3 \times 5 = 16 \times 15 = 240$.
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$10000$ को $240$ से विभाजित करने पर:
$10000 \div 240 = 41$ और शेषफल $160$ प्राप्त होता है।
$240$ से पूर्णतः विभाज्य पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000 + (240 - 160) = 10080$ है।
अभीष्ट संख्या $= (L.C.M. - \text{सामान्य अंतर}) = 10080 - 7 = 10073$.

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $H.C.F.$ और $L.C.M.$ के गुणनफल के बराबर होता है।
माना दूसरी संख्या $x$ है।
दिया गया है: $H.C.F. = 11$,$L.C.M. = 693$,और एक संख्या $= 77$ है।
सूत्र के अनुसार: $77 \times x = 11 \times 693$.
$x = \frac{11 \times 693}{77}$.
$x = \frac{693}{7} = 99$.
अतः,दूसरी संख्या $99$ है।

(B) $24, 28, 30$ और $35$ से पूर्णतः विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले इन संख्याओं का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात करेंगे।
$\begin{array}{r|rrrr} 2 & 24, & 28, & 30, & 35 \\ \hline 2 & 12, & 14, & 15, & 35 \\ \hline 3 & 6, & 7, & 15, & 35 \\ \hline 5 & 2, & 7, & 5, & 35 \\ \hline 7 & 2, & 7, & 1, & 7 \\ \hline & 2, & 1, & 1, & 1 \end{array}$
$L.C.M. = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 840$.
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$9999$ को $840$ से विभाजित करने पर:
$9999 \div 840 = 11$ और शेषफल $759$ प्राप्त होता है।
$840$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,$9999$ में से शेषफल को घटाएं:
$9999 - 759 = 9240$.
अतः,अभीष्ट संख्या $9240$ है।

(D) सबसे पहले,$12, 15, 27, 32$ और $40$ का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात करें।
$12 = 2^2 \times 3, 15 = 3 \times 5, 27 = 3^3, 32 = 2^5, 40 = 2^3 \times 5$.
$L.C.M. = 2^5 \times 3^3 \times 5 = 4320$.
$12960$ संख्या $4320$ का एक गुणज है।
$12960 - 5231 = 7729$.

(A) माना पत्थरों की संख्या $N$ है।
प्रश्न के अनुसार,$N, 21$ का एक गुणज है,इसलिए $N = 21k$ (जहाँ $k$ एक पूर्णांक है)।
साथ ही,जब $N$ को $16, 20, 25$ और $45$ से विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक स्थिति में $3$ शेष बचता है।
इसका अर्थ है कि $N - 3$,$16, 20, 25$ और $45$ के ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) से पूर्णतः विभाज्य है।
सबसे पहले,$16, 20, 25$ और $45$ का ल.स.प. ज्ञात करते हैं:
$16 = 2^4$
$20 = 2^2 \times 5$
$25 = 5^2$
$45 = 3^2 \times 5$
ल.स.प. $= 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 16 \times 9 \times 25 = 3600$।
अतः,$N = 3600m + 3$ (जहाँ $m$ एक पूर्णांक है)।
अब हम $m$ के उन मानों की जाँच करते हैं जिनके लिए $3600m + 3$,$21$ से विभाज्य हो:
यदि $m = 1$ है,तो $N = 3600(1) + 3 = 3603$। $3603 / 21 = 171.57$ (विभाज्य नहीं है)।
यदि $m = 2$ है,तो $N = 3600(2) + 3 = 7203$। $7203 / 21 = 343$ (पूर्णतः विभाज्य है)।
इस प्रकार,पत्थरों की न्यूनतम संख्या $7203$ है।

(B) चरण $1$: $8, 9$ और $10$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात कीजिए।
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$10 = 2 \times 5$
ल.स.प. $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$.
चरण $2$: $5$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $99999$ है।
चरण $3$: $99999$ को $360$ से विभाजित करके शेषफल ज्ञात कीजिए।
$99999 \div 360 = 277$ और शेषफल $279$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $5$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या में से शेषफल को घटाएं ताकि $360$ से पूर्णतः विभाजित होने वाली सबसे बड़ी संख्या प्राप्त हो सके।
$99999 - 279 = 99720$.
चरण $5$: इस संख्या में आवश्यक शेषफल $(3)$ जोड़ें।
$99720 + 3 = 99723$.
अतः,अभीष्ट संख्या $99723$ है।

(D) सबसे पहले,दोनों लंबाइयों को मिलीमीटर में बदलें:
$10\, m\, 857\, mm = 10857\, mm$
$15\, m\, 87\, mm = 15087\, mm$
टुकड़ों की न्यूनतम संख्या प्राप्त करने के लिए,प्रत्येक टुकड़े की लंबाई दोनों लंबाइयों के महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) के बराबर होनी चाहिए।
$10857$ और $15087$ का म.स.प. ज्ञात करें:
$10857 = 141 \times 77$
$15087 = 141 \times 107$
म.स.प. $= 141\, mm$.
पहली लंबाई से टुकड़ों की संख्या $= 10857 \div 141 = 77$.
दूसरी लंबाई से टुकड़ों की संख्या $= 15087 \div 141 = 107$.
टुकड़ों की कुल संख्या $= 77 + 107 = 184$.

(B) भाजक $4, 5, 6, 7$ हैं और शेषफल $2, 3, 4, 5$ हैं। ध्यान दें कि प्रत्येक भाजक और उसके संबंधित शेषफल के बीच का अंतर समान है: $4-2=2, 5-3=2, 6-4=2, 7-5=2$.
माना संख्या $N$ है। तो $N = k \times LCM(4, 5, 6, 7) - 2$.
$LCM(4, 5, 6, 7) = 420$.
अतः,$N = 420k - 2$.
हमें $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $M$ चाहिए। $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$420k - 2 \leq 9999 \implies 420k \leq 10001 \implies k \leq 23.81$.
$k = 23$ लेने पर,$M = 420(23) - 2 = 9660 - 2 = 9658$.
अब,जब $M = 9658$ को $9$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करें।
$9658$ के अंकों का योग $9 + 6 + 5 + 8 = 28$ है।
$28 \div 9$ करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है (क्योंकि $28 = 9 \times 3 + 1$).