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HCF and LCM Questions in Hindi
Competitive Exam Quantitative Aptitude · HCF and LCM · HCF and LCM
136+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 136 questions in Hindi
1
EasyMCQ
दो संख्याओं का योग $468$ है और उनका $HCF$ $39$ है। ऐसी संख्याओं के कितने जोड़े बनाए जा सकते हैं?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) माना कि दो संख्याएँ $39x$ और $39y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य (coprime) हैं (अर्थात $gcd(x, y) = 1$)।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $468$ है,इसलिए $39x + 39y = 468$।
$39$ से भाग देने पर,हमें $x + y = \frac{468}{39} = 12$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसी सह-अभाज्य संख्याओं के जोड़े $(x, y)$ खोजने हैं जिनका योग $12$ हो और $x < y$ हो।
$12$ योग वाले संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$(1, 11)$ जहाँ $gcd(1, 11) = 1$ (मान्य)
$(2, 10)$ जहाँ $gcd(2, 10) = 2$ (अमान्य)
$(3, 9)$ जहाँ $gcd(3, 9) = 3$ (अमान्य)
$(4, 8)$ जहाँ $gcd(4, 8) = 4$ (अमान्य)
$(5, 7)$ जहाँ $gcd(5, 7) = 1$ (मान्य)
$(6, 6)$ जहाँ $gcd(6, 6) = 6$ (अमान्य)
अतः,ऐसे $2$ जोड़े संभव हैं: $(1, 11)$ और $(5, 7)$।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $468$ है,इसलिए $39x + 39y = 468$।
$39$ से भाग देने पर,हमें $x + y = \frac{468}{39} = 12$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसी सह-अभाज्य संख्याओं के जोड़े $(x, y)$ खोजने हैं जिनका योग $12$ हो और $x < y$ हो।
$12$ योग वाले संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$(1, 11)$ जहाँ $gcd(1, 11) = 1$ (मान्य)
$(2, 10)$ जहाँ $gcd(2, 10) = 2$ (अमान्य)
$(3, 9)$ जहाँ $gcd(3, 9) = 3$ (अमान्य)
$(4, 8)$ जहाँ $gcd(4, 8) = 4$ (अमान्य)
$(5, 7)$ जहाँ $gcd(5, 7) = 1$ (मान्य)
$(6, 6)$ जहाँ $gcd(6, 6) = 6$ (अमान्य)
अतः,ऐसे $2$ जोड़े संभव हैं: $(1, 11)$ और $(5, 7)$।
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EasyMCQ
$500$ और $700$ के बीच उन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जिन्हें $6, 8$ और $12$ से विभाजित करने पर कोई शेषफल नहीं बचता है।
A
$3200$
B
$4600$
C
$5300$
D
$5400$
Solution
(D) $6, 8$ और $12$ से विभाज्य सबसे छोटी संख्या $6, 8$ और $12$ का ल.स.प. $(LCM)$ है,जो $24$ है।
हमें $500$ और $700$ के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो $24$ के गुणज हों।
$500$ को $24$ से विभाजित करने पर: $500 = 24 \times 20 + 20$. अतः $500$ से बड़ी $24$ की पहली गुणज संख्या $24 \times 21 = 504$ है।
$700$ को $24$ से विभाजित करने पर: $700 = 24 \times 29 + 4$. अतः $700$ से छोटी $24$ की अंतिम गुणज संख्या $24 \times 29 = 696$ है।
ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $504, 528, 552, \dots, 696$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 504$,अंतिम पद $l = 696$ और सार्व अंतर $d = 24$ है।
पदों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हुए: $696 = 504 + (n - 1)24$.
$192 = (n - 1)24 \implies n - 1 = 8 \implies n = 9$.
योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{9}{2}(504 + 696) = \frac{9}{2}(1200) = 9 \times 600 = 5400$.
हमें $500$ और $700$ के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो $24$ के गुणज हों।
$500$ को $24$ से विभाजित करने पर: $500 = 24 \times 20 + 20$. अतः $500$ से बड़ी $24$ की पहली गुणज संख्या $24 \times 21 = 504$ है।
$700$ को $24$ से विभाजित करने पर: $700 = 24 \times 29 + 4$. अतः $700$ से छोटी $24$ की अंतिम गुणज संख्या $24 \times 29 = 696$ है।
ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $504, 528, 552, \dots, 696$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 504$,अंतिम पद $l = 696$ और सार्व अंतर $d = 24$ है।
पदों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हुए: $696 = 504 + (n - 1)24$.
$192 = (n - 1)24 \implies n - 1 = 8 \implies n = 9$.
योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{9}{2}(504 + 696) = \frac{9}{2}(1200) = 9 \times 600 = 5400$.
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View Solution3
EasyMCQ
क्या $1,000$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करना संभव है कि उनका $HCF$ $15$ हो?
A
हाँ,यह संभव है
B
नहीं,यह कभी-कभी संभव है
C
हाँ,यह संभव हो सकता है
D
कभी संभव नहीं
Solution
(D) मान लीजिए कि दो भाग $15x$ और $15y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
उनका योग $15x + 15y = 1000$ है।
$15$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y = 1000 / 15 = 200 / 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए उनका योग $x + y$ भी एक पूर्णांक होना चाहिए।
हालाँकि,$200 / 3$ एक पूर्णांक नहीं है $(66.66...)$।
इसलिए,$1000$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करना संभव नहीं है कि उनका $HCF$ $15$ हो।
अतः,सही उत्तर $(d)$ है।
उनका योग $15x + 15y = 1000$ है।
$15$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y = 1000 / 15 = 200 / 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए उनका योग $x + y$ भी एक पूर्णांक होना चाहिए।
हालाँकि,$200 / 3$ एक पूर्णांक नहीं है $(66.66...)$।
इसलिए,$1000$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करना संभव नहीं है कि उनका $HCF$ $15$ हो।
अतः,सही उत्तर $(d)$ है।
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View Solution4
MediumMCQ
एक स्कूल में,$442$ लड़कों और $374$ लड़कियों को सबसे बड़े संभव समान वर्गों में विभाजित किया गया है,ताकि लड़कों के प्रत्येक वर्ग में लड़कियों के प्रत्येक वर्ग के समान संख्या हो। वर्गों की कुल संख्या क्या है?
A
$16$
B
$18$
C
$20$
D
$24$
Solution
(D) लड़कों की संख्या $= 442$; लड़कियों की संख्या $= 374$.
प्रत्येक वर्ग में छात्रों की सबसे बड़ी संभव समान संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $442$ और $374$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करेंगे।
$442$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 13 \times 17$.
$374$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 11 \times 17$.
$HCF(442, 374) = 2 \times 17 = 34$.
अतः,प्रत्येक वर्ग में $34$ छात्र हैं।
लड़कों के वर्गों की संख्या $= 442 \div 34 = 13$.
लड़कियों के वर्गों की संख्या $= 374 \div 34 = 11$.
वर्गों की कुल संख्या $= 13 + 11 = 24$.
प्रत्येक वर्ग में छात्रों की सबसे बड़ी संभव समान संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $442$ और $374$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करेंगे।
$442$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 13 \times 17$.
$374$ का अभाज्य गुणनखंड $= 2 \times 11 \times 17$.
$HCF(442, 374) = 2 \times 17 = 34$.
अतः,प्रत्येक वर्ग में $34$ छात्र हैं।
लड़कों के वर्गों की संख्या $= 442 \div 34 = 13$.
लड़कियों के वर्गों की संख्या $= 374 \div 34 = 11$.
वर्गों की कुल संख्या $= 13 + 11 = 24$.
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View Solution5
MediumMCQ
$4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या और $5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिनका $HCF$ $196$ है।
A
$9998, 10184$
B
$9996, 10192$
C
$9994, 10194$
D
$9998, 10196$
Solution
(B) $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$9999$ को $196$ से विभाजित करने पर,हमें $9999 = 196 \times 51 + 3$ प्राप्त होता है। शेषफल $3$ है।
अतः,$196$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999 - 3 = 9996$ है।
$5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$10000$ को $196$ से विभाजित करने पर,हमें $10000 = 196 \times 51 + 4$ प्राप्त होता है। शेषफल $4$ है।
$196$ से विभाज्य $5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $10000$ में $(196 - 4)$ जोड़ते हैं।
अतः,अभीष्ट $5$ अंकों की संख्या $10000 + (196 - 4) = 10000 + 192 = 10192$ है।
$9999$ को $196$ से विभाजित करने पर,हमें $9999 = 196 \times 51 + 3$ प्राप्त होता है। शेषफल $3$ है।
अतः,$196$ से विभाज्य $4$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999 - 3 = 9996$ है।
$5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
$10000$ को $196$ से विभाजित करने पर,हमें $10000 = 196 \times 51 + 4$ प्राप्त होता है। शेषफल $4$ है।
$196$ से विभाज्य $5$ अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $10000$ में $(196 - 4)$ जोड़ते हैं।
अतः,अभीष्ट $5$ अंकों की संख्या $10000 + (196 - 4) = 10000 + 192 = 10192$ है।
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View Solution6
MediumMCQ
दो संख्याओं का गुणनफल $4212$ है और उनका $HCF$ (म.स.प.) $9$ है। संख्याओं का संभावित युग्म ज्ञात कीजिए।
A
$32, 121$
B
$36, 117$
C
$42, 114$
D
$45, 110$
Solution
(B) माना कि दो संख्याएँ $9a$ और $9b$ हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $4212$ है।
अतः,$(9a) \times (9b) = 4212$.
$81ab = 4212$.
$ab = \frac{4212}{81} = 52$.
अब,हम $52$ के सह-अभाज्य गुणनखंडों के युग्म ज्ञात करते हैं। $52$ के गुणनखंड $(1, 52)$ और $(4, 13)$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $a=1, b=52$ है,तो संख्याएँ $9 \times 1 = 9$ और $9 \times 52 = 468$ होंगी।
स्थिति $2$: यदि $a=4, b=13$ है,तो संख्याएँ $9 \times 4 = 36$ और $9 \times 13 = 117$ होंगी।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,युग्म $(36, 117)$ सही है।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $4212$ है।
अतः,$(9a) \times (9b) = 4212$.
$81ab = 4212$.
$ab = \frac{4212}{81} = 52$.
अब,हम $52$ के सह-अभाज्य गुणनखंडों के युग्म ज्ञात करते हैं। $52$ के गुणनखंड $(1, 52)$ और $(4, 13)$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $a=1, b=52$ है,तो संख्याएँ $9 \times 1 = 9$ और $9 \times 52 = 468$ होंगी।
स्थिति $2$: यदि $a=4, b=13$ है,तो संख्याएँ $9 \times 4 = 36$ और $9 \times 13 = 117$ होंगी।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,युग्म $(36, 117)$ सही है।
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View Solution7
MediumMCQ
दो संख्याओं का $HCF$ (म.स.) और $LCM$ (ल.स.) क्रमशः $36$ और $756$ है। संख्याओं का संभावित युग्म ज्ञात कीजिए।
A
$72, 378$
B
$108, 252$
C
$144, 658$
D
$180, 622$
Solution
(B) दिया गया है कि $HCF = 36$ और $LCM = 756$ है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
माना कि दो संख्याएँ $36a$ और $36b$ हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य (coprime) संख्याएँ हैं।
अतः,$HCF \times LCM = 36a \times 36b = 36 \times 756$ है।
दोनों पक्षों को $36^2$ से विभाजित करने पर,हमें $a \times b = \frac{756}{36} = 21$ प्राप्त होता है।
$21$ के सह-अभाज्य गुणनखंडों के संभावित युग्म $(1, 21)$ और $(3, 7)$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $(a, b) = (1, 21)$ है,तो संख्याएँ $(36 \times 1, 36 \times 21) = (36, 756)$ होंगी।
स्थिति $2$: यदि $(a, b) = (3, 7)$ है,तो संख्याएँ $(36 \times 3, 36 \times 7) = (108, 252)$ होंगी।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(108, 252)$ युग्म सही है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
माना कि दो संख्याएँ $36a$ और $36b$ हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य (coprime) संख्याएँ हैं।
अतः,$HCF \times LCM = 36a \times 36b = 36 \times 756$ है।
दोनों पक्षों को $36^2$ से विभाजित करने पर,हमें $a \times b = \frac{756}{36} = 21$ प्राप्त होता है।
$21$ के सह-अभाज्य गुणनखंडों के संभावित युग्म $(1, 21)$ और $(3, 7)$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $(a, b) = (1, 21)$ है,तो संख्याएँ $(36 \times 1, 36 \times 21) = (36, 756)$ होंगी।
स्थिति $2$: यदि $(a, b) = (3, 7)$ है,तो संख्याएँ $(36 \times 3, 36 \times 7) = (108, 252)$ होंगी।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(108, 252)$ युग्म सही है।
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View Solution8
EasyMCQ
$6 \, m$,$4 \, m \, 75 \, cm$,और $10 \, m \, 25 \, cm$ की लंबाइयों को सटीक रूप से मापने के लिए उपयोग की जा सकने वाली अधिकतम लंबाई ज्ञात कीजिए। ($, cm$ में)
A
$20$
B
$25$
C
$30$
D
$35$
Solution
(B) दी गई लंबाइयों को सटीक रूप से मापने के लिए अधिकतम लंबाई ज्ञात करने हेतु,हमें लंबाइयों का $HCF$ (महत्तम समापवर्तक - म.स.प.) निकालना होगा।
सबसे पहले,सभी लंबाइयों को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलें:
$6 \, m = 600 \, cm$
$4 \, m \, 75 \, cm = 475 \, cm$
$10 \, m \, 25 \, cm = 1025 \, cm$
अब,$600$,$475$,और $1025$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$600$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^3 \times 3 \times 5^2$
$475$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 5^2 \times 19$
$1025$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 5^2 \times 41$
न्यूनतम घात वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड $5^2 = 25$ है।
अतः,अधिकतम संभव लंबाई $25 \, cm$ है।
सबसे पहले,सभी लंबाइयों को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलें:
$6 \, m = 600 \, cm$
$4 \, m \, 75 \, cm = 475 \, cm$
$10 \, m \, 25 \, cm = 1025 \, cm$
अब,$600$,$475$,और $1025$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$600$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^3 \times 3 \times 5^2$
$475$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 5^2 \times 19$
$1025$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 5^2 \times 41$
न्यूनतम घात वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड $5^2 = 25$ है।
अतः,अधिकतम संभव लंबाई $25 \, cm$ है।
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View Solution9
MediumMCQ
दो संख्याओं का $LCM$ $1008$ है और उनका $HCF$ $36$ है। यदि दो संख्याओं में से एक संख्या $144$ है,तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$288$
B
$252$
C
$576$
D
$504$
Solution
(B) माना कि दूसरी संख्या $x$ है।
दो संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$x \times 144 = 36 \times 1008$
$x = \frac{36 \times 1008}{144}$
चूंकि $144 = 36 \times 4$,इसलिए:
$x = \frac{36 \times 1008}{36 \times 4} = \frac{1008}{4} = 252$
अतः,दूसरी संख्या $252$ है।
दो संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$x \times 144 = 36 \times 1008$
$x = \frac{36 \times 1008}{144}$
चूंकि $144 = 36 \times 4$,इसलिए:
$x = \frac{36 \times 1008}{36 \times 4} = \frac{1008}{4} = 252$
अतः,दूसरी संख्या $252$ है।
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View Solution10
EasyMCQ
तीन घंटियाँ एक साथ बजती हैं और वे क्रमशः $6$ सेकंड,$7$ सेकंड और $8$ सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। वे कितने अंतराल के बाद फिर से एक साथ बजेंगी? (सेकंड में)
A
$178$
B
$174$
C
$168$
D
$164$
Solution
(C) चूंकि घंटियाँ क्रमशः $6$ सेकंड,$7$ सेकंड और $8$ सेकंड के अंतराल पर बजती हैं,इसलिए वे अगली बार $6, 7$ और $8$ सेकंड के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के बराबर अंतराल के बाद एक साथ बजेंगी।
$6, 7$ और $8$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7 \times 1$
$8 = 2^3$
$LCM = 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 3 \times 7 = 24 \times 7 = 168$.
अतः,आवश्यक समय $168$ सेकंड है।
$6, 7$ और $8$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए:
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7 \times 1$
$8 = 2^3$
$LCM = 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 3 \times 7 = 24 \times 7 = 168$.
अतः,आवश्यक समय $168$ सेकंड है।
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View Solution11
MediumMCQ
$17 \, m \, 55 \, cm$ लंबे और $8 \, m \, 10 \, cm$ चौड़े हॉल की छत को पक्का करने के लिए आवश्यक वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$78$
B
$64$
C
$84$
D
$92$
Solution
(A) वर्गाकार टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे पहले एक ऐसी वर्गाकार टाइल का अधिकतम आकार निर्धारित करना होगा जो हॉल के आयामों में पूरी तरह फिट हो सके।
वर्गाकार टाइल की अधिकतम भुजा की लंबाई हॉल की लंबाई और चौड़ाई का $HCF$ (म.स.प.) है।
लंबाई $= 17 \, m \, 55 \, cm = 1755 \, cm$.
चौड़ाई $= 8 \, m \, 10 \, cm = 810 \, cm$.
अब,$1755$ और $810$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$1755 = 135 \times 13$
$810 = 135 \times 6$
अतः,$HCF = 135 \, cm$.
आवश्यक टाइलों की संख्या $= \frac{\text{हॉल का क्षेत्रफल}}{\text{एक टाइल का क्षेत्रफल}} = \frac{1755 \times 810}{135 \times 135}$.
$= \frac{1755}{135} \times \frac{810}{135} = 13 \times 6 = 78$.
वर्गाकार टाइल की अधिकतम भुजा की लंबाई हॉल की लंबाई और चौड़ाई का $HCF$ (म.स.प.) है।
लंबाई $= 17 \, m \, 55 \, cm = 1755 \, cm$.
चौड़ाई $= 8 \, m \, 10 \, cm = 810 \, cm$.
अब,$1755$ और $810$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$1755 = 135 \times 13$
$810 = 135 \times 6$
अतः,$HCF = 135 \, cm$.
आवश्यक टाइलों की संख्या $= \frac{\text{हॉल का क्षेत्रफल}}{\text{एक टाइल का क्षेत्रफल}} = \frac{1755 \times 810}{135 \times 135}$.
$= \frac{1755}{135} \times \frac{810}{135} = 13 \times 6 = 78$.
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View Solution12
EasyMCQ
$6, 8, 15, 18$ और $24$ से पूर्णतः विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$120$
B
$240$
C
$740$
D
$360$
Solution
(D) दी गई संख्याओं से पूर्णतः विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$6 = 2 \times 3$
$8 = 2^3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$24 = 2^3 \times 3$
चरण $2$: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात की पहचान करें:
इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3,$ और $5$ हैं।
$2$ की उच्चतम घात $= 2^3 = 8$
$3$ की उच्चतम घात $= 3^2 = 9$
$5$ की उच्चतम घात $= 5^1 = 5$
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात करने के लिए इन उच्चतम घातों का गुणा करें:
$LCM = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360$.
अतः,$6, 8, 15, 18$ और $24$ से विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण संख्या $360$ है।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$6 = 2 \times 3$
$8 = 2^3$
$15 = 3 \times 5$
$18 = 2 \times 3^2$
$24 = 2^3 \times 3$
चरण $2$: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात की पहचान करें:
इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंड $2, 3,$ और $5$ हैं।
$2$ की उच्चतम घात $= 2^3 = 8$
$3$ की उच्चतम घात $= 3^2 = 9$
$5$ की उच्चतम घात $= 5^1 = 5$
चरण $3$: $LCM$ ज्ञात करने के लिए इन उच्चतम घातों का गुणा करें:
$LCM = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360$.
अतः,$6, 8, 15, 18$ और $24$ से विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण संख्या $360$ है।
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View Solution13
MediumMCQ
$36$ और $84$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात कीजिए।
A
$4$
B
$6$
C
$12$
D
$18$
Solution
(C) $36$ और $84$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$
$HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है:
$HCF = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
अतः,$36$ और $84$ का महत्तम समापवर्तक $12$ है।
$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$
$HCF$ उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल होता है:
$HCF = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
अतः,$36$ और $84$ का महत्तम समापवर्तक $12$ है।
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MediumMCQ
$24, 36$ और $40$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात कीजिए।
A
$120$
B
$240$
C
$360$
D
$480$
Solution
(C) $24, 36$ और $40$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंड विधि या भाग विधि का उपयोग करते हैं।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$\begin{array}{c|ccc} 2 & 24, & 36, & 40 \\ \hline 2 & 12, & 18, & 20 \\ \hline 2 & 6, & 9, & 10 \\ \hline 3 & 3, & 9, & 5 \\ \hline & 1, & 3, & 5 \end{array}$
$\therefore LCM = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 360$
अतः,$24, 36$ और $40$ का $LCM$ $360$ है।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$\begin{array}{c|ccc} 2 & 24, & 36, & 40 \\ \hline 2 & 12, & 18, & 20 \\ \hline 2 & 6, & 9, & 10 \\ \hline 3 & 3, & 9, & 5 \\ \hline & 1, & 3, & 5 \end{array}$
$\therefore LCM = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 360$
अतः,$24, 36$ और $40$ का $LCM$ $360$ है।
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EasyMCQ
दो संख्याओं का अनुपात $3:4$ है और उनका $HCF$ $4$ है। उनका $LCM$ है
A
$12$
B
$16$
C
$24$
D
$48$
Solution
(D) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $4x$ हैं,जहाँ $x$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
यह दिया गया है कि संख्याओं का $HCF$ $4$ है,इसलिए $x = 4$ है।
अतः,संख्याएँ $3 \times 4 = 12$ और $4 \times 4 = 16$ हैं।
दो संख्याओं का $LCM$ अनुपात के पदों और $HCF$ का गुणनफल होता है: $LCM = 3 \times 4 \times 4 = 48$।
यह दिया गया है कि संख्याओं का $HCF$ $4$ है,इसलिए $x = 4$ है।
अतः,संख्याएँ $3 \times 4 = 12$ और $4 \times 4 = 16$ हैं।
दो संख्याओं का $LCM$ अनुपात के पदों और $HCF$ का गुणनफल होता है: $LCM = 3 \times 4 \times 4 = 48$।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का गुणनफल $4107$ है। यदि इन संख्याओं का $HCF$ (म.स.प.) $37$ है,तो बड़ी संख्या क्या है?
A
$101$
B
$107$
C
$111$
D
$185$
Solution
(C) माना कि दो संख्याएँ $37x$ और $37y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $4107$ है।
अतः,$(37x) \times (37y) = 4107$.
$1369 \times (xy) = 4107$.
$xy = \frac{4107}{1369} = 3$.
चूँकि $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $(x, y)$ के लिए संभावित युग्म $(1, 3)$ है।
अतः,संख्याएँ $37 \times 1 = 37$ और $37 \times 3 = 111$ हैं।
बड़ी संख्या $111$ है।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $4107$ है।
अतः,$(37x) \times (37y) = 4107$.
$1369 \times (xy) = 4107$.
$xy = \frac{4107}{1369} = 3$.
चूँकि $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $(x, y)$ के लिए संभावित युग्म $(1, 3)$ है।
अतः,संख्याएँ $37 \times 1 = 37$ और $37 \times 3 = 111$ हैं।
बड़ी संख्या $111$ है।
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EasyMCQ
दो संख्याओं का $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) और $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) क्रमशः $21$ और $84$ हैं। यदि उन दो संख्याओं का अनुपात $1:4$ है,तो उन दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या कौन सी है?
A
$12$
B
$48$
C
$84$
D
$108$
Solution
(C) दिया गया है: $HCF = 21$ और $LCM = 84$ है।
माना कि दो संख्याएँ $21x$ और $21y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं।
संख्याओं का अनुपात $1:4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{21x}{21y} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$।
हम जानते हैं कि: दो संख्याओं का गुणनफल $= HCF \times LCM$ होता है।
अतः,$(21x) \times (21y) = 21 \times 84$।
$441(xy) = 1764$।
$xy = \frac{1764}{441} = 4$।
चूंकि $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$,इसलिए $y = 4x$ है। इस मान को $xy = 4$ में रखने पर,$x(4x) = 4$,यानी $4x^2 = 4$,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,इसलिए $x = 1$।
अतः $y = 4(1) = 4$।
इस प्रकार,संख्याएँ $21(1) = 21$ और $21(4) = 84$ हैं।
अतः बड़ी संख्या $84$ है।
माना कि दो संख्याएँ $21x$ और $21y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं।
संख्याओं का अनुपात $1:4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{21x}{21y} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$।
हम जानते हैं कि: दो संख्याओं का गुणनफल $= HCF \times LCM$ होता है।
अतः,$(21x) \times (21y) = 21 \times 84$।
$441(xy) = 1764$।
$xy = \frac{1764}{441} = 4$।
चूंकि $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$,इसलिए $y = 4x$ है। इस मान को $xy = 4$ में रखने पर,$x(4x) = 4$,यानी $4x^2 = 4$,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,इसलिए $x = 1$।
अतः $y = 4(1) = 4$।
इस प्रकार,संख्याएँ $21(1) = 21$ और $21(4) = 84$ हैं।
अतः बड़ी संख्या $84$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का $HCF$ (म.स.प.) $8$ है। निम्नलिखित में से कौन सी संख्या उनका $LCM$ (ल.स.प.) कभी नहीं हो सकती है?
A
$24$
B
$48$
C
$56$
D
$60$
Solution
(D) दो संख्याओं का $HCF$ (म.स.प.) हमेशा उनके $LCM$ (ल.स.प.) को पूर्णतः विभाजित करता है।
दिया गया है कि $HCF = 8$ है,इसलिए $LCM$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$24 \div 8 = 3$ (विभाज्य है)
$48 \div 8 = 6$ (विभाज्य है)
$56 \div 8 = 7$ (विभाज्य है)
$60 \div 8 = 7.5$ (विभाज्य नहीं है)
अतः,$60$ उन दो संख्याओं का $LCM$ कभी नहीं हो सकता जिनका $HCF$ $8$ है।
दिया गया है कि $HCF = 8$ है,इसलिए $LCM$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$24 \div 8 = 3$ (विभाज्य है)
$48 \div 8 = 6$ (विभाज्य है)
$56 \div 8 = 7$ (विभाज्य है)
$60 \div 8 = 7.5$ (विभाज्य नहीं है)
अतः,$60$ उन दो संख्याओं का $LCM$ कभी नहीं हो सकता जिनका $HCF$ $8$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याएँ,जो दोनों $29$ से बड़ी हैं,का $HCF$ $29$ और $LCM$ $4147$ है। संख्याओं का योग है
A
$666$
B
$669$
C
$696$
D
$966$
Solution
(C) माना कि दो संख्याएँ $29x$ और $29y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं।
दिया गया है कि $LCM = 29 \times x \times y = 4147$.
इसलिए,$xy = \frac{4147}{29} = 143$.
$143$ के गुणनखंड $(1, 143)$ और $(11, 13)$ हैं।
यदि हम $(1, 143)$ चुनते हैं,तो संख्याएँ $29 \times 1 = 29$ और $29 \times 143 = 4147$ होंगी। लेकिन प्रश्न में कहा गया है कि दोनों संख्याएँ $29$ से बड़ी होनी चाहिए।
यदि हम $(11, 13)$ चुनते हैं,तो संख्याएँ $29 \times 11 = 319$ और $29 \times 13 = 377$ होंगी।
$319$ और $377$ दोनों $29$ से बड़ी हैं।
अतः,संख्याओं का योग $319 + 377 = 696$ है।
दिया गया है कि $LCM = 29 \times x \times y = 4147$.
इसलिए,$xy = \frac{4147}{29} = 143$.
$143$ के गुणनखंड $(1, 143)$ और $(11, 13)$ हैं।
यदि हम $(1, 143)$ चुनते हैं,तो संख्याएँ $29 \times 1 = 29$ और $29 \times 143 = 4147$ होंगी। लेकिन प्रश्न में कहा गया है कि दोनों संख्याएँ $29$ से बड़ी होनी चाहिए।
यदि हम $(11, 13)$ चुनते हैं,तो संख्याएँ $29 \times 11 = 319$ और $29 \times 13 = 377$ होंगी।
$319$ और $377$ दोनों $29$ से बड़ी हैं।
अतः,संख्याओं का योग $319 + 377 = 696$ है।
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MediumMCQ
वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसे $5, 6, 7$ और $8$ से विभाजित करने पर शेषफल $3$ बचता है,लेकिन $9$ से विभाजित करने पर कोई शेषफल नहीं बचता है?
A
$1677$
B
$1683$
C
$2523$
D
$3363$
Solution
(B) सबसे पहले,$5, 6, 7$ और $8$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करें।
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 5, & 6, & 7, & 8 \\ \hline & 5, & 3, & 7, & 4 \end{array}$
$LCM = 2 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4 = 840$.
संख्या $840k + 3$ के रूप में होनी चाहिए,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
हमें $k$ का वह सबसे छोटा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $(840k + 3)$,$9$ से विभाज्य हो।
$840k + 3 = (837k + 3k) + 3 = 9(93k) + 3k + 3$.
$(840k + 3)$ को $9$ से विभाज्य होने के लिए,$(3k + 3)$ को $9$ से विभाज्य होना चाहिए।
यदि $k = 1$ है,तो $3(1) + 3 = 6$ ($9$ से विभाज्य नहीं है)।
यदि $k = 2$ है,तो $3(2) + 3 = 9$ ($9$ से विभाज्य है)।
अतः,अभीष्ट संख्या $840(2) + 3 = 1680 + 3 = 1683$ है।
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 5, & 6, & 7, & 8 \\ \hline & 5, & 3, & 7, & 4 \end{array}$
$LCM = 2 \times 5 \times 3 \times 7 \times 4 = 840$.
संख्या $840k + 3$ के रूप में होनी चाहिए,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
हमें $k$ का वह सबसे छोटा मान ज्ञात करना है जिसके लिए $(840k + 3)$,$9$ से विभाज्य हो।
$840k + 3 = (837k + 3k) + 3 = 9(93k) + 3k + 3$.
$(840k + 3)$ को $9$ से विभाज्य होने के लिए,$(3k + 3)$ को $9$ से विभाज्य होना चाहिए।
यदि $k = 1$ है,तो $3(1) + 3 = 6$ ($9$ से विभाज्य नहीं है)।
यदि $k = 2$ है,तो $3(2) + 3 = 9$ ($9$ से विभाज्य है)।
अतः,अभीष्ट संख्या $840(2) + 3 = 1680 + 3 = 1683$ है।
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MediumMCQ
$7$ का वह न्यूनतम गुणज क्या है,जिसे $6, 9, 15$ और $18$ से विभाजित करने पर शेषफल $4$ प्राप्त होता है?
A
$74$
B
$94$
C
$184$
D
$364$
Solution
(D) सबसे पहले,$6, 9, 15$ और $18$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करें।
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 6, & 9, & 15, & 18 \\ \hline 3 & 3, & 9, & 15, & 9 \\ \hline 3 & 1, & 3, & 5, & 3 \\ \hline & 1, & 1, & 5, & 1 \end{array}$
$LCM = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$.
माना कि संख्या $90k + 4$ के रूप में है,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
हमें दिया गया है कि संख्या $7$ से विभाज्य है। इसलिए,$90k + 4 \equiv 0 \pmod{7}$.
$90 \pmod{7}$ का सरलीकरण करने पर: $90 = 7 \times 12 + 6$,इसलिए $90 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$.
अतः,$-k + 4 \equiv 0 \pmod{7}$,जिसका अर्थ है कि $k \equiv 4 \pmod{7}$.
$k$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $4$ है।
$k = 4$ को $90k + 4$ में रखने पर:
अभीष्ट संख्या $= 90(4) + 4 = 360 + 4 = 364$.
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 6, & 9, & 15, & 18 \\ \hline 3 & 3, & 9, & 15, & 9 \\ \hline 3 & 1, & 3, & 5, & 3 \\ \hline & 1, & 1, & 5, & 1 \end{array}$
$LCM = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90$.
माना कि संख्या $90k + 4$ के रूप में है,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
हमें दिया गया है कि संख्या $7$ से विभाज्य है। इसलिए,$90k + 4 \equiv 0 \pmod{7}$.
$90 \pmod{7}$ का सरलीकरण करने पर: $90 = 7 \times 12 + 6$,इसलिए $90 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$.
अतः,$-k + 4 \equiv 0 \pmod{7}$,जिसका अर्थ है कि $k \equiv 4 \pmod{7}$.
$k$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $4$ है।
$k = 4$ को $90k + 4$ में रखने पर:
अभीष्ट संख्या $= 90(4) + 4 = 360 + 4 = 364$.
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DifficultMCQ
वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसे $12, 15, 20$ और $54$ से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में $8$ शेषफल प्राप्त होता है?
A
$504$
B
$536$
C
$544$
D
$548$
Solution
(D) $12, 15, 20$ और $54$ से विभाजित करने पर $8$ शेषफल देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करेंगे।
$\begin{array}{r|rrrr} 2 & 12, & 15, & 20, & 54 \\ \hline 2 & 6, & 15, & 10, & 27 \\ \hline 3 & 3, & 15, & 5, & 27 \\ \hline 3 & 1, & 5, & 5, & 9 \\ \hline 5 & 1, & 1, & 1, & 3 \end{array}$
$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 3 = 540$.
अभीष्ट संख्या = $LCM + \text{शेषफल} = 540 + 8 = 548$.
$\begin{array}{r|rrrr} 2 & 12, & 15, & 20, & 54 \\ \hline 2 & 6, & 15, & 10, & 27 \\ \hline 3 & 3, & 15, & 5, & 27 \\ \hline 3 & 1, & 5, & 5, & 9 \\ \hline 5 & 1, & 1, & 1, & 3 \end{array}$
$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 3 = 540$.
अभीष्ट संख्या = $LCM + \text{शेषफल} = 540 + 8 = 548$.
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DifficultMCQ
वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसे $7$ से घटाने पर वह $12, 16, 18, 21$ और $28$ से विभाज्य हो?
A
$1008$
B
$1015$
C
$1022$
D
$1032$
Solution
(B) वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे $7$ से घटाने पर वह $12, 16, 18, 21$ और $28$ से विभाज्य हो,हमें सबसे पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$21 = 3 \times 7$
$28 = 2^2 \times 7$
चरण $2$: $LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है:
$LCM = 2^4 \times 3^2 \times 7 = 16 \times 9 \times 7 = 1008$
चरण $3$: वह संख्या जिसे $7$ से घटाने पर $1008$ प्राप्त होता है,वह $1008 + 7 = 1015$ है।
अतः,अभीष्ट संख्या $1015$ है।
चरण $1$: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$21 = 3 \times 7$
$28 = 2^2 \times 7$
चरण $2$: $LCM$ सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है:
$LCM = 2^4 \times 3^2 \times 7 = 16 \times 9 \times 7 = 1008$
चरण $3$: वह संख्या जिसे $7$ से घटाने पर $1008$ प्राप्त होता है,वह $1008 + 7 = 1015$ है।
अतः,अभीष्ट संख्या $1015$ है।
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DifficultMCQ
वह छोटी से छोटी संख्या क्या होगी जिसे दोगुना करने पर वह $12, 18, 21$ और $30$ से पूर्णतः विभाजित हो जाए?
A
$196$
B
$630$
C
$1260$
D
$2520$
Solution
(B) वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे दोगुना करने पर वह $12, 18, 21$ और $30$ से पूर्णतः विभाजित हो जाए,हमें सबसे पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
$12, 18, 21, 30$ का $LCM$:
$LCM = 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 7 \times 5 = 1260$.
माना कि अभीष्ट संख्या $x$ है। प्रश्न के अनुसार,$2x$ को $1260$ से विभाजित होना चाहिए।
अतः,$2x = 1260$.
$x = \frac{1260}{2} = 630$.
इस प्रकार,अभीष्ट संख्या $630$ है।
$12, 18, 21, 30$ का $LCM$:
| $2$ | $12, 18, 21, 30$ |
| $3$ | $6, 9, 21, 15$ |
| $2, 3, 7, 5$ |
$LCM = 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 7 \times 5 = 1260$.
माना कि अभीष्ट संख्या $x$ है। प्रश्न के अनुसार,$2x$ को $1260$ से विभाजित होना चाहिए।
अतः,$2x = 1260$.
$x = \frac{1260}{2} = 630$.
इस प्रकार,अभीष्ट संख्या $630$ है।
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MediumMCQ
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे $1657$ और $2037$ से विभाजित करने पर क्रमशः $6$ और $5$ शेषफल प्राप्त हो।
A
$123$
B
$127$
C
$235$
D
$305$
Solution
(B) वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए जो $1657$ और $2037$ को विभाजित करने पर क्रमशः $6$ और $5$ शेषफल देती है,हमें $(1657 - 6)$ और $(2037 - 5)$ का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: संख्याओं में से शेषफल को घटाएं।
$1657 - 6 = 1651$
$2037 - 5 = 2032$
चरण $2$: भाग विधि का उपयोग करके $1651$ और $2032$ का म.स.प. ज्ञात करें।
$2032 = 1651 \times 1 + 381$
$1651 = 381 \times 4 + 127$
$381 = 127 \times 3 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए म.स.प. $127$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $127$ है।
चरण $1$: संख्याओं में से शेषफल को घटाएं।
$1657 - 6 = 1651$
$2037 - 5 = 2032$
चरण $2$: भाग विधि का उपयोग करके $1651$ और $2032$ का म.स.प. ज्ञात करें।
$2032 = 1651 \times 1 + 381$
$1651 = 381 \times 4 + 127$
$381 = 127 \times 3 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए म.स.प. $127$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $127$ है।
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MediumMCQ
मान लीजिए $N$ वह सबसे बड़ी संख्या है जो $1305, 4665$ और $6905$ को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल छोड़ती है। तो $N$ के अंकों का योग क्या है?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$8$
Solution
(A) वह सबसे बड़ी संख्या $N$ ज्ञात करने के लिए जो $a, b,$ और $c$ को विभाजित करने पर समान शेषफल छोड़े,हम संख्याओं के अंतर का म.स.प. $(HCF)$ निकालते हैं: $(b-a), (c-b),$ और $(c-a)$.
यहाँ,$a = 1305, b = 4665, c = 6905$.
अंतर इस प्रकार हैं:
$4665 - 1305 = 3360$
$6905 - 4665 = 2240$
$6905 - 1305 = 5600$
अब,$3360, 2240$ और $5600$ का म.स.प. ज्ञात करें।
$3360 = 1120 \times 3$
$2240 = 1120 \times 2$
$5600 = 1120 \times 5$
अतः,$N = HCF(3360, 2240, 5600) = 1120$.
$N$ के अंकों का योग $= 1 + 1 + 2 + 0 = 4$.
यहाँ,$a = 1305, b = 4665, c = 6905$.
अंतर इस प्रकार हैं:
$4665 - 1305 = 3360$
$6905 - 4665 = 2240$
$6905 - 1305 = 5600$
अब,$3360, 2240$ और $5600$ का म.स.प. ज्ञात करें।
$3360 = 1120 \times 3$
$2240 = 1120 \times 2$
$5600 = 1120 \times 5$
अतः,$N = HCF(3360, 2240, 5600) = 1120$.
$N$ के अंकों का योग $= 1 + 1 + 2 + 0 = 4$.
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EasyMCQ
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो $43, 91$ और $183$ को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल छोड़े।
A
$4$
B
$7$
C
$9$
D
$13$
Solution
(A) $43, 91$ और $183$ को विभाजित करने पर समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं के बीच का अंतर निकालते हैं:
$91 - 43 = 48$
$183 - 91 = 92$
$183 - 43 = 140$
अब,हम इन अंतरों का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करते हैं: $48, 92$ और $140$।
$48$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^4 \times 3$
$92$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^2 \times 23$
$140$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^2 \times 5 \times 7$
न्यूनतम घात वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड $2^2 = 4$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $4$ है।
$91 - 43 = 48$
$183 - 91 = 92$
$183 - 43 = 140$
अब,हम इन अंतरों का म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करते हैं: $48, 92$ और $140$।
$48$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^4 \times 3$
$92$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^2 \times 23$
$140$ का अभाज्य गुणनखंडन $= 2^2 \times 5 \times 7$
न्यूनतम घात वाला उभयनिष्ठ गुणनखंड $2^2 = 4$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $4$ है।
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MediumMCQ
छात्रों की वह अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए जिनके बीच $1001$ पेन और $910$ पेंसिल को इस प्रकार वितरित किया जा सके कि प्रत्येक छात्र को समान संख्या में पेन और समान संख्या में पेंसिल मिले:
A
$91$
B
$910$
C
$1001$
D
$1911$
Solution
(A) छात्रों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $1001$ और $910$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ निकालना होगा।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$1001 = 910 \times 1 + 91$
$910 = 91 \times 10 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $1001$ और $910$ का $HCF$ $91$ है।
अतः,छात्रों की अधिकतम संख्या $91$ है।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$1001 = 910 \times 1 + 91$
$910 = 91 \times 10 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $1001$ और $910$ का $HCF$ $91$ है।
अतः,छात्रों की अधिकतम संख्या $91$ है।
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MediumMCQ
$7 \ m$,$3 \ m \ 85 \ cm$ और $12 \ m \ 95 \ cm$ की लंबाइयों को सटीक रूप से मापने के लिए उपयोग की जा सकने वाली सबसे बड़ी संभव लंबाई .......... $cm$ है।
A
$15$
B
$25$
C
$35$
D
$42$
Solution
(C) दी गई लंबाइयों को सटीक रूप से मापने के लिए सबसे बड़ी संभव लंबाई ज्ञात करने के लिए,हमें दिए गए मानों का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
सबसे पहले,सभी लंबाइयों को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलें:
$7 \ m = 700 \ cm$
$3 \ m \ 85 \ cm = 385 \ cm$
$12 \ m \ 95 \ cm = 1295 \ cm$
अब,$700$,$385$ और $1295$ का $HCF$ ज्ञात करें।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$700$ और $385$ का $HCF$:
$700 = 385 \times 1 + 315$
$385 = 315 \times 1 + 70$
$315 = 70 \times 4 + 35$
$70 = 35 \times 2 + 0$
अतः,$700$ और $385$ का $HCF$ $35$ है।
अब,$35$ और $1295$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$1295 = 35 \times 37 + 0$
इस प्रकार,$700$,$385$ और $1295$ का $HCF$ $35$ है।
अतः,सबसे बड़ी संभव लंबाई $35 \ cm$ है।
सबसे पहले,सभी लंबाइयों को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलें:
$7 \ m = 700 \ cm$
$3 \ m \ 85 \ cm = 385 \ cm$
$12 \ m \ 95 \ cm = 1295 \ cm$
अब,$700$,$385$ और $1295$ का $HCF$ ज्ञात करें।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$700$ और $385$ का $HCF$:
$700 = 385 \times 1 + 315$
$385 = 315 \times 1 + 70$
$315 = 70 \times 4 + 35$
$70 = 35 \times 2 + 0$
अतः,$700$ और $385$ का $HCF$ $35$ है।
अब,$35$ और $1295$ का $HCF$ ज्ञात करें:
$1295 = 35 \times 37 + 0$
इस प्रकार,$700$,$385$ और $1295$ का $HCF$ $35$ है।
अतः,सबसे बड़ी संभव लंबाई $35 \ cm$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) और $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) क्रमशः $11$ और $385$ है। यदि एक संख्या $75$ और $125$ के बीच स्थित है,तो वह संख्या है
A
$77$
B
$88$
C
$99$
D
$110$
Solution
(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है,इसलिए $a \times b = HCF \times LCM$।
यहाँ $HCF = 11$ और $LCM = 385$ दिया गया है।
अतः,$a \times b = 11 \times 385 = 11 \times (5 \times 7 \times 11) = (11 \times 5) \times (11 \times 7) = 55 \times 77$।
चूंकि दोनों संख्याएँ $HCF$ $(11)$ की गुणज होनी चाहिए,इसलिए संभावित गुणनखंड $11 \times 1, 11 \times 5, 11 \times 7, 11 \times 35$ हैं।
इस प्रकार,दो संख्याएँ $55$ और $77$ प्राप्त होती हैं।
प्रश्न में दिया गया है कि एक संख्या $75$ और $125$ के बीच है।
चूंकि $77$,$75$ और $125$ के बीच स्थित है,इसलिए अभीष्ट संख्या $77$ है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है,इसलिए $a \times b = HCF \times LCM$।
यहाँ $HCF = 11$ और $LCM = 385$ दिया गया है।
अतः,$a \times b = 11 \times 385 = 11 \times (5 \times 7 \times 11) = (11 \times 5) \times (11 \times 7) = 55 \times 77$।
चूंकि दोनों संख्याएँ $HCF$ $(11)$ की गुणज होनी चाहिए,इसलिए संभावित गुणनखंड $11 \times 1, 11 \times 5, 11 \times 7, 11 \times 35$ हैं।
इस प्रकार,दो संख्याएँ $55$ और $77$ प्राप्त होती हैं।
प्रश्न में दिया गया है कि एक संख्या $75$ और $125$ के बीच है।
चूंकि $77$,$75$ और $125$ के बीच स्थित है,इसलिए अभीष्ट संख्या $77$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का $HCF$ $23$ है और उनके $LCM$ के अन्य दो गुणनखंड $13$ और $14$ हैं। तो उन दो संख्याओं में से बड़ी संख्या क्या है?
A
$276$
B
$299$
C
$322$
D
$345$
Solution
(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि दो संख्याओं का $HCF$ $23$ है।
किन्हीं भी दो संख्याओं को $a = HCF \times x$ और $b = HCF \times y$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य गुणनखंड हैं।
इन दो संख्याओं का $LCM$ $LCM = HCF \times x \times y$ द्वारा प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $LCM$ के अन्य दो गुणनखंड $13$ और $14$ हैं,इसलिए $x = 13$ और $y = 14$ है।
अतः दो संख्याएँ इस प्रकार हैं:
$a = 23 \times 13 = 299$
$b = 23 \times 14 = 322$
दोनों संख्याओं की तुलना करने पर,बड़ी संख्या $322$ है।
दिया गया है कि दो संख्याओं का $HCF$ $23$ है।
किन्हीं भी दो संख्याओं को $a = HCF \times x$ और $b = HCF \times y$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य गुणनखंड हैं।
इन दो संख्याओं का $LCM$ $LCM = HCF \times x \times y$ द्वारा प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $LCM$ के अन्य दो गुणनखंड $13$ और $14$ हैं,इसलिए $x = 13$ और $y = 14$ है।
अतः दो संख्याएँ इस प्रकार हैं:
$a = 23 \times 13 = 299$
$b = 23 \times 14 = 322$
दोनों संख्याओं की तुलना करने पर,बड़ी संख्या $322$ है।
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EasyMCQ
दो सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का गुणनफल $117$ है। उनका $LCM$ क्या होगा?
A
$1$
B
$117$
C
उनके $HCF$ के बराबर
D
गणना नहीं की जा सकती
Solution
(B) दो संख्याओं को सह-अभाज्य (co-prime) कहा जाता है यदि उनका $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) $1$ हो।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं,उनके $HCF$ और उनके $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = HCF \times LCM$
यहाँ दिया गया है कि दो सह-अभाज्य संख्याओं का गुणनफल $117$ है और उनका $HCF$ $1$ है,इसलिए:
$117 = 1 \times LCM$
अतः,$LCM = 117$.
हम जानते हैं कि दो संख्याओं,उनके $HCF$ और उनके $LCM$ (लघुत्तम समापवर्त्य) के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = HCF \times LCM$
यहाँ दिया गया है कि दो सह-अभाज्य संख्याओं का गुणनफल $117$ है और उनका $HCF$ $1$ है,इसलिए:
$117 = 1 \times LCM$
अतः,$LCM = 117$.
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DifficultMCQ
यदि दो संख्याओं का योग $55$ है और इन संख्याओं का म.स.प. $(HCF)$ और ल.स.प. $(LCM)$ क्रमशः $5$ और $120$ है,तो संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग किसके बराबर है?
A
$\frac{55}{601}$
B
$\frac{601}{55}$
C
$\frac{11}{120}$
D
$\frac{120}{11}$
Solution
(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 55$ है $....(1)$
हमें $HCF = 5$ और $LCM = 120$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$x \times y = HCF \times LCM$
$x \times y = 5 \times 120 = 600$ $....(2)$
हमें संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ है।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x \times y}$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान रखने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{55}{600}$
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{55 \div 5}{600 \div 5} = \frac{11}{120}$
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 55$ है $....(1)$
हमें $HCF = 5$ और $LCM = 120$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $HCF$ और $LCM$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$x \times y = HCF \times LCM$
$x \times y = 5 \times 120 = 600$ $....(2)$
हमें संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ है।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x \times y}$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान रखने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{55}{600}$
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{55 \div 5}{600 \div 5} = \frac{11}{120}$
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DifficultMCQ
दो संख्याओं का $LCM$ $495$ है और उनका $HCF$ $5$ है। यदि संख्याओं का योग $100$ है,तो उनका अंतर क्या है?
A
$10$
B
$46$
C
$70$
D
$90$
Solution
(A) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 100$ है $....(1)$
हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $LCM$ और $HCF$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$x \times y = LCM \times HCF$
$x \times y = 495 \times 5 = 2475$ $....(2)$
हमें अंतर $|x - y|$ ज्ञात करना है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ का उपयोग करने पर:
$(x - y)^2 = (100)^2 - 4(2475)$
$(x - y)^2 = 10000 - 9900$
$(x - y)^2 = 100$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - y = \sqrt{100} = 10$
अतः,दोनों संख्याओं के बीच का अंतर $10$ है।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 100$ है $....(1)$
हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $LCM$ और $HCF$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$x \times y = LCM \times HCF$
$x \times y = 495 \times 5 = 2475$ $....(2)$
हमें अंतर $|x - y|$ ज्ञात करना है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ का उपयोग करने पर:
$(x - y)^2 = (100)^2 - 4(2475)$
$(x - y)^2 = 10000 - 9900$
$(x - y)^2 = 100$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - y = \sqrt{100} = 10$
अतः,दोनों संख्याओं के बीच का अंतर $10$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का $HCF$ $11$ है और उनका $LCM$ $7700$ है। यदि उनमें से एक संख्या $275$ है,तो दूसरी संख्या क्या है?
A
$279$
B
$283$
C
$308$
D
$318$
Solution
(C) दिया गया है: $HCF = 11$,$LCM = 7700$,और एक संख्या $x = 275$ है।
हम जानते हैं कि: $\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = HCF \times LCM$.
माना दूसरी संख्या $y$ है।
अतः,$275 \times y = 11 \times 7700$.
$y = \frac{11 \times 7700}{275}$.
$275$ को $11$ से भाग देने पर,हमें $25$ प्राप्त होता है।
$y = \frac{7700}{25}$.
$y = 308$.
अतः,दूसरी संख्या $308$ है।
हम जानते हैं कि: $\text{दो संख्याओं का गुणनफल} = HCF \times LCM$.
माना दूसरी संख्या $y$ है।
अतः,$275 \times y = 11 \times 7700$.
$y = \frac{11 \times 7700}{275}$.
$275$ को $11$ से भाग देने पर,हमें $25$ प्राप्त होता है।
$y = \frac{7700}{25}$.
$y = 308$.
अतः,दूसरी संख्या $308$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का गुणनफल $2028$ है और उनका $HCF$ (महत्तम समापवर्तक) $13$ है। ऐसी युग्मों (pairs) की संख्या कितनी है?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि गुणनफल $x \times y = 2028$ और $HCF = 13$ है।
चूँकि $HCF$ दोनों संख्याओं का एक गुणनखंड है,हम $x = 13a$ और $y = 13b$ लिख सकते हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य (coprime) संख्याएँ हैं (अर्थात $gcd(a, b) = 1$)।
इन मानों को गुणनफल समीकरण में रखने पर: $(13a) \times (13b) = 2028$.
$169 \times ab = 2028$.
$ab = \frac{2028}{169} = 12$.
अब,हम $(a, b)$ के ऐसे गुणनखंड युग्म ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल $12$ हो और वे सह-अभाज्य हों:
$1$. $(1, 12)$ जहाँ $gcd(1, 12) = 1$.
$2$. $(3, 4)$ जहाँ $gcd(3, 4) = 1$.
नोट: $(2, 6)$ को नहीं गिना जाएगा क्योंकि $gcd(2, 6) = 2 \neq 1$.
अतः,ऐसी संख्याओं के $2$ युग्म संभव हैं।
दिया गया है कि गुणनफल $x \times y = 2028$ और $HCF = 13$ है।
चूँकि $HCF$ दोनों संख्याओं का एक गुणनखंड है,हम $x = 13a$ और $y = 13b$ लिख सकते हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य (coprime) संख्याएँ हैं (अर्थात $gcd(a, b) = 1$)।
इन मानों को गुणनफल समीकरण में रखने पर: $(13a) \times (13b) = 2028$.
$169 \times ab = 2028$.
$ab = \frac{2028}{169} = 12$.
अब,हम $(a, b)$ के ऐसे गुणनखंड युग्म ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल $12$ हो और वे सह-अभाज्य हों:
$1$. $(1, 12)$ जहाँ $gcd(1, 12) = 1$.
$2$. $(3, 4)$ जहाँ $gcd(3, 4) = 1$.
नोट: $(2, 6)$ को नहीं गिना जाएगा क्योंकि $gcd(2, 6) = 2 \neq 1$.
अतः,ऐसी संख्याओं के $2$ युग्म संभव हैं।
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View Solution37
MediumMCQ
दो संख्याओं का योग $528$ है और उनका म.स.प. $(HCF)$ $33$ है। उपरोक्त शर्तों को पूरा करने वाले संख्याओं के जोड़ों की संख्या है
A
$4$
B
$6$
C
$8$
D
$12$
Solution
(A) माना कि दो संख्याएँ $33a$ और $33b$ हैं,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं (अर्थात $gcd(a, b) = 1$)।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $528$ है,इसलिए $33a + 33b = 528$ है।
$33$ से विभाजित करने पर,हमें $a + b = \frac{528}{33} = 16$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसे जोड़े $(a, b)$ खोजने हैं ताकि $a + b = 16$ और $gcd(a, b) = 1$ हो (क्योंकि म.स.प. $33$ है):
संभावित जोड़े $(a, b)$ जहाँ $a < b$ है,वे $(1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9)$ हैं।
नोट: $(2, 14), (4, 12), (6, 10), (8, 8)$ को बाहर रखा गया है क्योंकि उनका $1$ के अलावा एक सामान्य गुणनखंड है।
अतः,ऐसे कुल $4$ जोड़े हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $528$ है,इसलिए $33a + 33b = 528$ है।
$33$ से विभाजित करने पर,हमें $a + b = \frac{528}{33} = 16$ प्राप्त होता है।
हमें ऐसे जोड़े $(a, b)$ खोजने हैं ताकि $a + b = 16$ और $gcd(a, b) = 1$ हो (क्योंकि म.स.प. $33$ है):
संभावित जोड़े $(a, b)$ जहाँ $a < b$ है,वे $(1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9)$ हैं।
नोट: $(2, 14), (4, 12), (6, 10), (8, 8)$ को बाहर रखा गया है क्योंकि उनका $1$ के अलावा एक सामान्य गुणनखंड है।
अतः,ऐसे कुल $4$ जोड़े हैं।
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View Solution38
MediumMCQ
तीन संख्याएँ $1:2:3$ के अनुपात में हैं और उनका $HCF$ $12$ है। वे संख्याएँ हैं
A
$4, 8, 12$
B
$5, 10, 15$
C
$10, 20, 30$
D
$12, 24, 36$
Solution
(D) माना कि तीन संख्याएँ $x, 2x,$ और $3x$ हैं,जहाँ $x$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
चूँकि इन संख्याओं का $HCF$ $12$ है,इसलिए उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$ का मान $12$ होगा।
$x$ का मान व्यंजकों में रखने पर:
पहली संख्या $= 1 \times 12 = 12$
दूसरी संख्या $= 2 \times 12 = 24$
तीसरी संख्या $= 3 \times 12 = 36$
अतः,वे संख्याएँ $12, 24,$ और $36$ हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।
चूँकि इन संख्याओं का $HCF$ $12$ है,इसलिए उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$ का मान $12$ होगा।
$x$ का मान व्यंजकों में रखने पर:
पहली संख्या $= 1 \times 12 = 12$
दूसरी संख्या $= 2 \times 12 = 24$
तीसरी संख्या $= 3 \times 12 = 36$
अतः,वे संख्याएँ $12, 24,$ और $36$ हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।
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View Solution39
DifficultMCQ
$22, 54, 108, 135$ और $198$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात कीजिए।
A
$330$
B
$1980$
C
$5940$
D
$11880$
Solution
(C) $22, 54, 108, 135$ और $198$ का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
$22 = 2 \times 11$
$54 = 2 \times 3^3$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$135 = 3^3 \times 5$
$198 = 2 \times 3^2 \times 11$
ल.स.प. सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 11 = 4 \times 27 \times 5 \times 11 = 5940$
वैकल्पिक रूप से,भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 11 = 5940$.
$22 = 2 \times 11$
$54 = 2 \times 3^3$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$135 = 3^3 \times 5$
$198 = 2 \times 3^2 \times 11$
ल.स.प. सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$LCM = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 11 = 4 \times 27 \times 5 \times 11 = 5940$
वैकल्पिक रूप से,भाग विधि का उपयोग करते हुए:
| $2$ | $22, 54, 108, 135, 198$ |
| $2$ | $11, 27, 54, 135, 99$ |
| $3$ | $11, 27, 27, 135, 99$ |
| $3$ | $11, 9, 9, 45, 33$ |
| $3$ | $11, 3, 3, 15, 11$ |
| $5$ | $11, 1, 1, 5, 11$ |
| $11$ | $11, 1, 1, 1, 11$ |
| $1, 1, 1, 1, 1$ |
$LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 11 = 5940$.
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MediumMCQ
$4 \times 27 \times 3125$,$8 \times 9 \times 25 \times 7$ और $16 \times 81 \times 5 \times 11 \times 49$ का $HCF$ ज्ञात कीजिए।
A
$180$
B
$360$
C
$540$
D
$1260$
Solution
(A) सबसे पहले,प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त करें:
$4 \times 27 \times 3125 = 2^2 \times 3^3 \times 5^5$
$8 \times 9 \times 25 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$
$16 \times 81 \times 5 \times 11 \times 49 = 2^4 \times 3^4 \times 5^1 \times 11^1 \times 7^2$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,तीनों संख्याओं में मौजूद उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल लें:
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $2, 3$ और $5$ हैं।
$2$ की सबसे छोटी घात $2^2 = 4$ है।
$3$ की सबसे छोटी घात $3^2 = 9$ है।
$5$ की सबसे छोटी घात $5^1 = 5$ है।
अतः,$HCF = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$।
$4 \times 27 \times 3125 = 2^2 \times 3^3 \times 5^5$
$8 \times 9 \times 25 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$
$16 \times 81 \times 5 \times 11 \times 49 = 2^4 \times 3^4 \times 5^1 \times 11^1 \times 7^2$
$HCF$ ज्ञात करने के लिए,तीनों संख्याओं में मौजूद उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल लें:
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $2, 3$ और $5$ हैं।
$2$ की सबसे छोटी घात $2^2 = 4$ है।
$3$ की सबसे छोटी घात $3^2 = 9$ है।
$5$ की सबसे छोटी घात $5^1 = 5$ है।
अतः,$HCF = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$।
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MediumMCQ
भिन्न $\frac{1095}{1168}$ को जब इसके सरलतम रूप में व्यक्त किया जाता है,तो यह क्या होगा?
A
$\frac{13}{16}$
B
$\frac{15}{16}$
C
$\frac{17}{26}$
D
$\frac{25}{26}$
Solution
(B) भिन्न $\frac{1095}{1168}$ को सरल करने के लिए,हमें $1095$ और $1168$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए:
$1168 = 1 \times 1095 + 73$
$1095 = 15 \times 73 + 0$
अतः,$HCF$ $73$ है।
अब,अंश और हर दोनों को $73$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1095 \div 73}{1168 \div 73} = \frac{15}{16}$।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए:
$1168 = 1 \times 1095 + 73$
$1095 = 15 \times 73 + 0$
अतः,$HCF$ $73$ है।
अब,अंश और हर दोनों को $73$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1095 \div 73}{1168 \div 73} = \frac{15}{16}$।
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DifficultMCQ
तीन संख्याएँ जो एक-दूसरे के साथ सह-अभाज्य (co-prime) हैं,इस प्रकार हैं कि पहली दो का गुणनफल $551$ है और अंतिम दो का गुणनफल $1073$ है। तीनों संख्याओं का योग है:
A
$75$
B
$81$
C
$85$
D
$89$
Solution
(C) माना कि तीन सह-अभाज्य संख्याएँ $x, y,$ और $z$ हैं।
दिया गया है कि पहली दो का गुणनफल $xy = 551$ है और अंतिम दो का गुणनफल $yz = 1073$ है।
चूँकि $y$ दोनों गुणनफलों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,इसलिए हम $551$ और $1073$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करेंगे।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$1073 = 551 \times 1 + 522$
$551 = 522 \times 1 + 29$
$522 = 29 \times 18 + 0$
अतः,$HCF$ $29$ है,जिसका अर्थ है कि $y = 29$ है।
अब,$x$ और $z$ ज्ञात करें:
$x = 551 / 29 = 19$
$z = 1073 / 29 = 37$
तीनों संख्याएँ $19, 29,$ और $37$ हैं। ये एक-दूसरे के साथ सह-अभाज्य हैं।
तीनों संख्याओं का योग $19 + 29 + 37 = 85$ है।
दिया गया है कि पहली दो का गुणनफल $xy = 551$ है और अंतिम दो का गुणनफल $yz = 1073$ है।
चूँकि $y$ दोनों गुणनफलों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है,इसलिए हम $551$ और $1073$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करेंगे।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$1073 = 551 \times 1 + 522$
$551 = 522 \times 1 + 29$
$522 = 29 \times 18 + 0$
अतः,$HCF$ $29$ है,जिसका अर्थ है कि $y = 29$ है।
अब,$x$ और $z$ ज्ञात करें:
$x = 551 / 29 = 19$
$z = 1073 / 29 = 37$
तीनों संख्याएँ $19, 29,$ और $37$ हैं। ये एक-दूसरे के साथ सह-अभाज्य हैं।
तीनों संख्याओं का योग $19 + 29 + 37 = 85$ है।
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MediumMCQ
दो संख्याओं का $LCM$ $48$ है। संख्याएँ $2:3$ के अनुपात में हैं। संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
A
$28$
B
$32$
C
$40$
D
$64$
Solution
(C) दिया गया है कि दो संख्याओं का $LCM$ $48$ है और संख्याओं का अनुपात $2:3$ है।
मान लीजिए कि दो संख्याएँ $2x$ और $3x$ हैं,जहाँ $x$ एक उभयनिष्ठ गुणक है।
$2x$ और $3x$ का $LCM$ $2 \times 3 \times x = 6x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$6x = 48$ है।
$x$ का मान निकालने पर,हमें $x = 48 / 6 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्याएँ $2 \times 8 = 16$ और $3 \times 8 = 24$ हैं।
संख्याओं का योग $16 + 24 = 40$ है।
मान लीजिए कि दो संख्याएँ $2x$ और $3x$ हैं,जहाँ $x$ एक उभयनिष्ठ गुणक है।
$2x$ और $3x$ का $LCM$ $2 \times 3 \times x = 6x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$6x = 48$ है।
$x$ का मान निकालने पर,हमें $x = 48 / 6 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,संख्याएँ $2 \times 8 = 16$ और $3 \times 8 = 24$ हैं।
संख्याओं का योग $16 + 24 = 40$ है।
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MediumMCQ
तीन संख्याएँ $3: 4: 5$ के अनुपात में हैं और उनका $LCM$ $2400$ है। उनका $HCF$ है
A
$40$
B
$80$
C
$120$
D
$200$
Solution
(A) माना कि तीन संख्याएँ $3x, 4x,$ और $5x$ हैं, जहाँ $x$ संख्याओं का $HCF$ है।
इन संख्याओं का $LCM$ उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$ और शेष अनुपातों $(3, 4, 5)$ के $LCM$ का गुणनफल होता है।
$LCM = x \times LCM(3, 4, 5) = x \times 60 = 60x$.
दिया गया है कि $LCM$ $2400$ है, इसलिए:
$60x = 2400$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 2400 / 60 = 40$.
चूँकि $x$ $HCF$ को दर्शाता है, इसलिए संख्याओं का $HCF$ $40$ है।
इन संख्याओं का $LCM$ उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$ और शेष अनुपातों $(3, 4, 5)$ के $LCM$ का गुणनफल होता है।
$LCM = x \times LCM(3, 4, 5) = x \times 60 = 60x$.
दिया गया है कि $LCM$ $2400$ है, इसलिए:
$60x = 2400$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 2400 / 60 = 40$.
चूँकि $x$ $HCF$ को दर्शाता है, इसलिए संख्याओं का $HCF$ $40$ है।
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DifficultMCQ
दो अभाज्य संख्याओं $x$ और $y$ $(x > y)$ का ल.स.प. $(LCM)$ $161$ है। $3y - x$ का मान है
A
$-2$
B
$-1$
C
$1$
D
$2$
Solution
(A) दिया गया है कि दो अभाज्य संख्याओं $x$ और $y$ का $LCM$ $161$ है।
चूंकि $x$ और $y$ अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $HCF$ $1$ होगा।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं के लिए,$LCM \times HCF = \text{संख्याओं का गुणनफल}$.
अतः,$x \times y = 161$.
$161$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर,$161 = 7 \times 23$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x > y$ है,इसलिए $x = 23$ और $y = 7$ होगा।
अब,$3y - x$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(7) - 23 = 21 - 23 = -2$.
चूंकि $x$ और $y$ अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $HCF$ $1$ होगा।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं के लिए,$LCM \times HCF = \text{संख्याओं का गुणनफल}$.
अतः,$x \times y = 161$.
$161$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर,$161 = 7 \times 23$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x > y$ है,इसलिए $x = 23$ और $y = 7$ होगा।
अब,$3y - x$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(7) - 23 = 21 - 23 = -2$.
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DifficultMCQ
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे $48, 60, 72, 108$ और $140$ से विभाजित करने पर क्रमशः $38, 50, 62, 98$ और $130$ शेषफल प्राप्त होते हैं।
A
$11115$
B
$15110$
C
$15120$
D
$15210$
Solution
(B) सबसे पहले, प्रत्येक भाजक और उसके संगत शेषफल के बीच का अंतर देखें:
$48 - 38 = 10$
$60 - 50 = 10$
$72 - 62 = 10$
$108 - 98 = 10$
$140 - 130 = 10$
चूंकि अंतर समान $(10)$ है, इसलिए अभीष्ट संख्या $= (48, 60, 72, 108, 140 \text{ का } LCM) - 10$ होगी।
अभाज्य गुणनखंडन:
$48 = 2^4 \times 3$
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$140 = 2^2 \times 5 \times 7$
$LCM = 2^4 \times 3^3 \times 5 \times 7 = 16 \times 27 \times 35 = 15120$.
अतः, अभीष्ट संख्या $= 15120 - 10 = 15110$।
$48 - 38 = 10$
$60 - 50 = 10$
$72 - 62 = 10$
$108 - 98 = 10$
$140 - 130 = 10$
चूंकि अंतर समान $(10)$ है, इसलिए अभीष्ट संख्या $= (48, 60, 72, 108, 140 \text{ का } LCM) - 10$ होगी।
अभाज्य गुणनखंडन:
$48 = 2^4 \times 3$
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$140 = 2^2 \times 5 \times 7$
$LCM = 2^4 \times 3^3 \times 5 \times 7 = 16 \times 27 \times 35 = 15120$.
अतः, अभीष्ट संख्या $= 15120 - 10 = 15110$।
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MediumMCQ
मान लीजिए $N$ छह अंकों की वह सबसे छोटी संख्या है जिसे $4, 6, 10$ और $15$ से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में $2$ शेषफल प्राप्त होता है। $N$ के अंकों का योग क्या है?
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(C) सबसे पहले,$4, 6, 10$ और $15$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करें।
$4 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.
छह अंकों की सबसे छोटी संख्या $100000$ है।
$100000$ को $60$ से विभाजित करने पर:
$100000 = 60 \times 1666 + 40$.
$60$ से पूर्णतः विभाजित होने वाली छह अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $100000$ में $(60 - 40) = 20$ जोड़ेंगे।
अतः,वह संख्या $100000 + 20 = 100020$ है।
चूंकि संख्या को प्रत्येक स्थिति में $2$ शेषफल छोड़ना चाहिए,इसलिए हम इस परिणाम में $2$ जोड़ेंगे:
$N = 100020 + 2 = 100022$.
$N$ के अंकों का योग $1 + 0 + 0 + 0 + 2 + 2 = 5$ है।
$4 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.
छह अंकों की सबसे छोटी संख्या $100000$ है।
$100000$ को $60$ से विभाजित करने पर:
$100000 = 60 \times 1666 + 40$.
$60$ से पूर्णतः विभाजित होने वाली छह अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $100000$ में $(60 - 40) = 20$ जोड़ेंगे।
अतः,वह संख्या $100000 + 20 = 100020$ है।
चूंकि संख्या को प्रत्येक स्थिति में $2$ शेषफल छोड़ना चाहिए,इसलिए हम इस परिणाम में $2$ जोड़ेंगे:
$N = 100020 + 2 = 100022$.
$N$ के अंकों का योग $1 + 0 + 0 + 0 + 2 + 2 = 5$ है।
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DifficultMCQ
$12, 16, 18$ और $27$ से पूर्णतः विभाज्य पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$10432$
B
$10342$
C
$10368$
D
$10638$
Solution
(C) पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या $10000$ है।
सबसे पहले,$12, 16, 18$ और $27$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करें:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$27 = 3^3$
$LCM = 2^4 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$.
अब,शेषफल ज्ञात करने के लिए $10000$ को $432$ से विभाजित करें:
$10000 \div 432 = 23$ और शेषफल $64$ प्राप्त होता है।
$432$ से पूर्णतः विभाज्य पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजक में से शेषफल को घटाकर उसे पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या में जोड़ देंगे:
अभीष्ट संख्या $= 10000 - 64 + 432 = 10368$.
सबसे पहले,$12, 16, 18$ और $27$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करें:
$12 = 2^2 \times 3$
$16 = 2^4$
$18 = 2 \times 3^2$
$27 = 3^3$
$LCM = 2^4 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$.
अब,शेषफल ज्ञात करने के लिए $10000$ को $432$ से विभाजित करें:
$10000 \div 432 = 23$ और शेषफल $64$ प्राप्त होता है।
$432$ से पूर्णतः विभाज्य पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम भाजक में से शेषफल को घटाकर उसे पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या में जोड़ देंगे:
अभीष्ट संख्या $= 10000 - 64 + 432 = 10368$.
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DifficultMCQ
$14, 24, 27$ और $32$ से पूर्णतः विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
A
$9968$
B
$9048$
C
$6048$
D
$6408$
Solution
(C) चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या $9999$ है।
$14, 24, 27$ और $32$ से पूर्णतः विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करेंगे:
$14 = 2 \times 7$
$24 = 2^{3} \times 3$
$27 = 3^{3}$
$32 = 2^{5}$
$LCM = 2^{5} \times 3^{3} \times 7 = 32 \times 27 \times 7 = 6048$.
अब,चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या को $LCM$ से विभाजित करते हैं:
$9999 \div 6048 = 1$ और शेषफल $3951$ प्राप्त होता है।
$6048$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9999$ में से शेषफल को घटा देंगे:
$9999 - 3951 = 6048$.
अतः,$14, 24, 27$ और $32$ से पूर्णतः विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या $6048$ है।
$14, 24, 27$ और $32$ से पूर्णतः विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करेंगे:
$14 = 2 \times 7$
$24 = 2^{3} \times 3$
$27 = 3^{3}$
$32 = 2^{5}$
$LCM = 2^{5} \times 3^{3} \times 7 = 32 \times 27 \times 7 = 6048$.
अब,चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या को $LCM$ से विभाजित करते हैं:
$9999 \div 6048 = 1$ और शेषफल $3951$ प्राप्त होता है।
$6048$ से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $9999$ में से शेषफल को घटा देंगे:
$9999 - 3951 = 6048$.
अतः,$14, 24, 27$ और $32$ से पूर्णतः विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या $6048$ है।
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MediumMCQ
$2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 11$,$2^{4} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7$ और $2^{5} \times 3^{3} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11$ का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात कीजिए।
A
$2^{3} \times 3^{2} \times 5$
B
$2^{5} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11$
C
$2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 11$
D
$2^{5} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11$
Solution
(B) अभाज्य गुणनखंडन रूप में दी गई संख्याओं का ल.स.प. $(LCM)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेते हैं जो संख्याओं में मौजूद है।
दी गई संख्याएँ हैं:
$1) \ 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{1} \times 11^{1}$
$2) \ 2^{4} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{1}$
$3) \ 2^{5} \times 3^{3} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11^{1}$
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात की पहचान करने पर:
- $2$ के लिए: उच्चतम घात $2^{5}$ है।
- $3$ के लिए: उच्चतम घात $3^{4}$ है।
- $5$ के लिए: उच्चतम घात $5^{2}$ है।
- $7$ के लिए: उच्चतम घात $7^{2}$ है।
- $11$ के लिए: उच्चतम घात $11^{1}$ है।
अतः,ल.स.प. $(LCM)$ $= 2^{5} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11^{1}$ होगा।
दी गई संख्याएँ हैं:
$1) \ 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{1} \times 11^{1}$
$2) \ 2^{4} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{1}$
$3) \ 2^{5} \times 3^{3} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11^{1}$
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात की पहचान करने पर:
- $2$ के लिए: उच्चतम घात $2^{5}$ है।
- $3$ के लिए: उच्चतम घात $3^{4}$ है।
- $5$ के लिए: उच्चतम घात $5^{2}$ है।
- $7$ के लिए: उच्चतम घात $7^{2}$ है।
- $11$ के लिए: उच्चतम घात $11^{1}$ है।
अतः,ल.स.प. $(LCM)$ $= 2^{5} \times 3^{4} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11^{1}$ होगा।
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1Are these HCF and LCM questions useful for JEE and NEET?
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2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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