H.C.F. and L.C.M. of Polynomials Questions in Hindi

(B) माना $p(x) = 3 + 13x - 30x^2$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $p(x) = -30x^2 + 13x + 3$ है।
$p(x)$ का गुणनखंड करने पर: $p(x) = -30x^2 + 18x - 5x + 3 = -6x(5x - 3) - 1(5x - 3) = -(6x + 1)(5x - 3)$ है।
माना $q(x) = 25x^2 - 30x + 9$ है।
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है: $q(x) = (5x)^2 - 2(5x)(3) + 3^2 = (5x - 3)^2$ है।
$G.C.D.$ (महत्तम समापवर्तक) $p(x)$ और $q(x)$ के बीच का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
$p(x) = -(6x + 1)(5x - 3)$ और $q(x) = (5x - 3)(5x - 3)$ की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ गुणनखंड $(5x - 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$G.C.D.$ का मान $(5x - 3)$ है।

(C) माना कि दो बहुपद $p(x) = (x+3)^{2}(x-2)(x+1)^{2}$ और $q(x) = (x+1)^{3}(x+3)(x+4)$ हैं।
बहुपदों का $L.C.M.$ व्यंजकों में मौजूद सभी अलग-अलग गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है।
यहाँ अलग-अलग गुणनखंड $(x+3)$,$(x-2)$,$(x+1)$,और $(x+4)$ हैं।
$(x+3)$ की उच्चतम घात $(x+3)^{2}$ है।
$(x-2)$ की उच्चतम घात $(x-2)^{1}$ है।
$(x+1)$ की उच्चतम घात $(x+1)^{3}$ है।
$(x+4)$ की उच्चतम घात $(x+4)^{1}$ है।
अतः,$L.C.M.$ = $(x+3)^{2}(x+1)^{3}(x-2)(x+4)$ होगा।

(A) दिए गए बहुपद $p(x) = 2x^{2}-3x-2$ और $q(x) = x^{3}-4x^{2}+4x$ हैं।
सबसे पहले,$p(x)$ का गुणनखंड कीजिए:
$p(x) = 2x^{2}-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2) = (2x+1)(x-2)$.
इसके बाद,$q(x)$ का गुणनखंड कीजिए:
$q(x) = x(x^{2}-4x+4) = x(x-2)^{2}$.
ल.स.प. $(L.C.M.)$ व्यंजकों में मौजूद सभी गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है:
$L.C.M. = x(x-2)^{2}(2x+1)$.

(B) सबसे पहले,दिए गए व्यंजकों का गुणनखंड कीजिए:
$p(x) = 8(x^{3}-x^{2}+x) = 2^{3} \cdot x \cdot (x^{2}-x+1)$
$q(x) = 28(x^{3}+1) = 2^{2} \cdot 7 \cdot (x+1)(x^{2}-x+1)$
इसके बाद,उभयनिष्ठ गुणनखंडों की पहचान कीजिए:
$8$ और $28$ का संख्यात्मक $G.C.D.$ $2^{2} = 4$ है।
उभयनिष्ठ बहुपद गुणनखंड $(x^{2}-x+1)$ है।
अतः,अभीष्ट $G.C.D.$ $4(x^{2}-x+1)$ है।

(A) माना व्यंजक $E_1 = 4x^4 + y^4$,$E_2 = 2x^3 - xy^2 - y^3$ और $E_3 = 2x^2 + 2xy + y^2$ हैं।
$E_1 = 4x^4 + y^4$ के लिए,हम पूर्ण वर्ग बना सकते हैं: $4x^4 + y^4 = (2x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 = (2x^2 + y^2 - 2xy)(2x^2 + y^2 + 2xy)$।
$E_2 = 2x^3 - xy^2 - y^3$ के लिए,हम इसे $2x^3 - 2y^3 + y^3 - xy^2 - y^3$ के रूप में लिख सकते हैं = $2(x^3 - y^3) - y^2(x - y) = 2(x - y)(x^2 + xy + y^2) - y^2(x - y) = (x - y)(2x^2 + 2xy + 2y^2 - y^2) = (x - y)(2x^2 + 2xy + y^2)$।
$E_3 = 2x^2 + 2xy + y^2$ के लिए,यह पहले से ही अपने सरलतम रूप में है।
तीनों व्यंजकों में उभयनिष्ठ गुणनखंड $(2x^2 + 2xy + y^2)$ है।
अतः,$G.C.D.$ $2x^2 + 2xy + y^2$ है।

(C) माना कि दो बहुपद $p(x) = (x+4)^{2}(x-3)^{2}$ और $q(x) = (x-1)(x+4)(x-3)^{2}$ हैं।
$G.C.D.$ (महत्तम समापवर्तक) दिए गए बहुपदों में मौजूद सभी उभयनिष्ठ गुणनखंडों की न्यूनतम घातों का गुणनफल होता है।
$p(x)$ के गुणनखंड $(x+4)^{2}$ और $(x-3)^{2}$ हैं।
$q(x)$ के गुणनखंड $(x-1)$,$(x+4)$ और $(x-3)^{2}$ हैं।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x+4)$ और $(x-3)^{2}$ हैं।
$(x+4)$ की न्यूनतम घात $(x+4)^{1}$ है।
$(x-3)$ की न्यूनतम घात $(x-3)^{2}$ है।
अतः,$G.C.D.$ का मान $(x+4)(x-3)^{2}$ है।

(A) दिए गए बहुपद $p(x) = 16 - 4x^{2}$ और $q(x) = x^{2} + x - 6$ हैं।
चरण $1$: $p(x)$ का गुणनखंड कीजिए।
$p(x) = 16 - 4x^{2} = 4(4 - x^{2}) = 4(2 - x)(2 + x) = -4(x - 2)(x + 2)$.
चरण $2$: $q(x)$ का गुणनखंड कीजिए।
$q(x) = x^{2} + x - 6 = x^{2} + 3x - 2x - 6 = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3)(x - 2)$.
चरण $3$: ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात कीजिए।
ल.स.प. व्यंजकों में मौजूद सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है।
ल.स.प. $= -4(x - 2)(x + 2)(x + 3)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
ल.स.प. $= -4(x^{2} - 4)(x + 3)$.

(B) माना $p(x) = x^{2}-4$.
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$p(x) = (x-2)(x+2)$.
अब,माना $q(x) = x^{2}-5x+6$.
इस द्विघात बहुपद का गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $6$ और योग $-5$ हो। ये संख्याएँ $-2$ और $-3$ हैं।
$q(x) = x^{2}-2x-3x+6$
$q(x) = x(x-2)-3(x-2)$
$q(x) = (x-2)(x-3)$.
$G.C.D.$ (महत्तम समापवर्तक) दोनों बहुपदों में मौजूद सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
$p(x) = (x-2)(x+2)$ और $q(x) = (x-2)(x-3)$ की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-2)$ है।
अतः,$G.C.D.$ $x-2$ है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो बहुपदों $p(y)$ और $q(y)$ के लिए,संबंध है: $p(y) \times q(y) = H.C.F. \times L.C.M.$
दिया गया है:
$H.C.F. = (y-7)$
$L.C.M. = y^{3}-10y^{2}+11y+70$
$p(y) = y^{2}-5y-14 = (y-7)(y+2)$
सूत्र में मान रखने पर:
$(y-7)(y+2) \times q(y) = (y-7) \times (y^{3}-10y^{2}+11y+70)$
$q(y) = \frac{(y-7)(y^{3}-10y^{2}+11y+70)}{(y-7)(y+2)}$
$q(y) = \frac{y^{3}-10y^{2}+11y+70}{y+2}$
$(y^{3}-10y^{2}+11y+70)$ को $(y+2)$ से विभाजित करने पर:
$y^{3}+2y^{2} - 12y^{2}-24y + 35y+70 = y^{2}(y+2) - 12y(y+2) + 35(y+2)$
$= (y^{2}-12y+35)(y+2)$
अतः,$q(y) = y^{2}-12y+35$.

(C) $G.C.D.$ (म.स.प.) $(x-4)$ दिया गया है।
माना $p(x) = x^{2}-x-12$ है। इसके गुणनखंड करने पर,हमें $p(x) = (x-4)(x+3)$ प्राप्त होता है।
माना $q(x) = x^{2}-mx-8$ है।
चूंकि $(x-4)$ एक $G.C.D.$ है,इसलिए यह $q(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-4)$,$q(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $q(4) = 0$ होगा।
$q(x)$ में $x = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q(4) = (4)^{2} - m(4) - 8 = 0$
$16 - 4m - 8 = 0$
$8 - 4m = 0$
$4m = 8$
$m = 2$.

(C) माना कि दो बहुपद $p(x) = (x-2)^{2}(x+3)(x-4)$ और $q(x) = (x-2)(x+2)(x-5)$ हैं।
$G.C.D.$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों में मौजूद उभयनिष्ठ गुणनखंडों की पहचान करते हैं।
$p(x)$ के गुणनखंड $(x-2)$,$(x-2)$,$(x+3)$ और $(x-4)$ हैं।
$q(x)$ के गुणनखंड $(x-2)$,$(x+2)$ और $(x-5)$ हैं।
दोनों बहुपदों में मौजूद एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-2)$ है।
अतः,दिए गए बहुपदों का $G.C.D.$ $(x-2)$ है।

(B) माना $p(x) = x^{2}-2x-24$ और $q(x) = x^{2}-ax-6$ है।
चूंकि $(x-6)$ इन दोनों बहुपदों का म.स.प. है,इसलिए यह दोनों का एक गुणनखंड होना चाहिए।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-6)$ बहुपद $q(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $q(6) = 0$ होगा।
$q(x)$ में $x = 6$ रखने पर:
$q(6) = (6)^{2} - a(6) - 6 = 0$
$36 - 6a - 6 = 0$
$30 - 6a = 0$
$6a = 30$
$a = 5$
अतः,$a$ का मान $5$ है।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो बहुपदों $p(x)$ और $q(x)$ के लिए:
$p(x) \times q(x) = \text{ल.स.प.} \times \text{म.स.प.}$
दिया गया है:
$p(x) = 4 x^{2}(x^{2}-a^{2})$
$\text{ल.स.प.} = 36 x^{3}(x+a)(x^{3}-a^{3})$
$\text{म.स.प.} = x^{2}(x-a)$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$4 x^{2}(x^{2}-a^{2}) \times q(x) = 36 x^{3}(x+a)(x^{3}-a^{3}) \times x^{2}(x-a)$
चूँकि $(x^{2}-a^{2}) = (x-a)(x+a)$,हम लिख सकते हैं:
$4 x^{2}(x-a)(x+a) \times q(x) = 36 x^{5}(x+a)(x-a)(x^{3}-a^{3})$
$q(x) = \frac{36 x^{5}(x+a)(x-a)(x^{3}-a^{3})}{4 x^{2}(x+a)(x-a)}$
$q(x) = 9 x^{3}(x^{3}-a^{3})$

(A) माना $p(x) = x^{2}-x-6$ और $q(x) = x^{2}+3x-18$ है।
चूंकि $(x-a)$,$p(x)$ और $q(x)$ का म.स.प. है,इसलिए $(x-a)$ दोनों बहुपदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड होना चाहिए।
$p(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$p(x) = x^{2}-3x+2x-6 = x(x-3)+2(x-3) = (x-3)(x+2)$।
$q(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$q(x) = x^{2}+6x-3x-18 = x(x+6)-3(x+6) = (x-3)(x+6)$।
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-3)$ है।
$(x-3)$ की तुलना $(x-a)$ से करने पर,हमें $a = 3$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो बहुपदों $p(x)$ और $q(x)$ के लिए,बहुपदों का गुणनफल उनके $H.C.F.$ (म.स.प.) और $L.C.M.$ (ल.स.प.) के गुणनफल के बराबर होता है।
$p(x) \times q(x) = H.C.F. \times L.C.M.$
दिया गया है:
$H.C.F. = x(x+a)$
$L.C.M. = 12x^2(x+a)(x^2-a^2)$
$p(x) = 4x(x+a)^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$q(x) = \frac{H.C.F. \times L.C.M.}{p(x)}$
$q(x) = \frac{x(x+a) \times 12x^2(x+a)(x^2-a^2)}{4x(x+a)^2}$
$q(x) = \frac{12x^3(x+a)^2(x^2-a^2)}{4x(x+a)^2}$
$q(x) = 3x^2(x^2-a^2)$

(B) माना $p(x) = 8(x^{4}-16)$.
$p(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$p(x) = 8(x^{2}-4)(x^{2}+4) = 8(x-2)(x+2)(x^{2}+4) = 4 \times 2(x-2)(x+2)(x^{2}+4)$.
माना $q(x) = 12(x^{3}-8)$.
$a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ सूत्र का उपयोग करके $q(x)$ का गुणनखंड करने पर:
$q(x) = 12(x-2)(x^{2}+2x+4) = 4 \times 3(x-2)(x^{2}+2x+4)$.
$G.C.D.$ उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल है जिनकी घात सबसे कम हो।
यहाँ उभयनिष्ठ गुणनखंड $4(x-2)$ है।
अतः,$G.C.D.$ $= 4(x-2)$ है।

(A) माना $p(x) = (x+3)(-6x^2+5x+4)$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $-6x^2+5x+4 = -6x^2+8x-3x+4 = -2x(3x-4)-1(3x-4) = -(3x-4)(2x+1)$.
अतः,$p(x) = -(x+3)(3x-4)(2x+1)$.
माना $q(x) = (2x^2+7x+3)(x+3)$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $2x^2+7x+3 = 2x^2+6x+x+3 = 2x(x+3)+1(x+3) = (2x+1)(x+3)$.
अतः,$q(x) = (2x+1)(x+3)(x+3) = (x+3)^2(2x+1)$.
ल.स.प. व्यंजकों में मौजूद सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है।
ल.स.प. $= -(x+3)^2(3x-4)(2x+1)$.

(C) माना $p(x) = 36 x^{2}-49$.
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = (6 x)^{2}-(7)^{2} = (6 x+7)(6 x-7)$.
माना $q(x) = 6 x^{2}-25 x+21$.
इस द्विघात बहुपद का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं:
$q(x) = 6 x^{2}-18 x-7 x+21$
$q(x) = 6 x(x-3)-7(x-3)$
$q(x) = (6 x-7)(x-3)$.
$G.C.D.$ (म.स.प.) दोनों बहुपदों में मौजूद उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
अतः,$G.C.D. = (6 x-7)$.

(B) सबसे पहले,पहले बहुपद का गुणनखंड करें: $30 x^{2}+13 x-3 = 30 x^{2}+18 x-5 x-3 = 6 x(5 x+3)-1(5 x+3) = (5 x+3)(6 x-1)$.
इसके बाद,दूसरे बहुपद का गुणनखंड करें: $25 x^{2}-30 x+9 = 25 x^{2}-15 x-15 x+9 = 5 x(5 x-3)-3(5 x-3) = (5 x-3)^{2}$.
$L.C.M.$ व्यंजकों में मौजूद सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है।
अतः,$L.C.M. = (5 x-3)^{2}(5 x+3)(6 x-1)$.

(C) माना कि पहला बहुपद $p(x) = 6 x^{2} + 11 x + 3$ है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $6 x^{2} + 9 x + 2 x + 3 = 3 x(2 x + 3) + 1(2 x + 3) = (2 x + 3)(3 x + 1)$।
माना कि दूसरा बहुपद $q(x) = 2 x^{2} + x - 3$ है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $2 x^{2} + 3 x - 2 x - 3 = x(2 x + 3) - 1(2 x + 3) = (2 x + 3)(x - 1)$।
$G.C.D.$ दोनों बहुपदों के बीच का उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
अतः,$G.C.D. = (2 x + 3)$।

(C) दो व्यंजकों,उनके म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) और ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L.C.M. \times H.C.F. = \text{दो व्यंजकों का गुणनफल}$
यह दिया गया है कि $p$ और $q$ का म.स.प. $1$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$L.C.M. \times 1 = p \times q$
अतः,$L.C.M. = p \cdot q$ होगा।

(D) सबसे पहले,प्रत्येक व्यंजक का गुणनखंड कीजिए:
$2x^2 - 4x = 2x(x - 2)$
$3x^4 - 12x^2 = 3x^2(x^2 - 4) = 3x^2(x - 2)(x + 2)$
$2x^5 - 2x^4 - 4x^3 = 2x^3(x^2 - x - 2) = 2x^3(x - 2)(x + 1)$
तीनों व्यंजकों में उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$ और $(x - 2)$ हैं।
अतः,म.स.प. = $x(x - 2)$ है।

(D) हम जानते हैं कि दो व्यंजकों के गुणनफल और उनके $H.C.F.$ (म.स.प.) तथा $L.C.M.$ (ल.स.प.) के बीच का संबंध इस प्रकार है:
दो व्यंजकों का गुणनफल $= H.C.F. \times L.C.M.$
दिया गया है:
गुणनफल $= (x+y+z) p^{3}$
$H.C.F. = p^{2}$
अतः,$L.C.M. = \frac{\text{गुणनफल}}{H.C.F.}$
$L.C.M. = \frac{(x+y+z) p^{3}}{p^{2}}$
$L.C.M. = (x+y+z) p$

(A) चूंकि $(x-1)$ दी गई व्यंजकों का $H.C.F.$ है,इसलिए यह दोनों व्यंजकों का एक गुणनखंड होना चाहिए।
अतः,$x=1$ रखने पर प्रत्येक व्यंजक का मान शून्य होना चाहिए।
दूसरे व्यंजक $[p x^{2}-q(x+1)]$ में $x=1$ रखने पर:
$p(1)^{2} - q(1+1) = 0$
$p(1) - q(2) = 0$
$p - 2q = 0$
$p = 2q$.

(B) सबसे पहले,प्रत्येक व्यंजक का गुणनखंड कीजिए:
$1. x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y)$
$2. x^{3}-y^{3} = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$
$3. x^{3}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3} = x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y) = (x^{2}-y^{2})(x-y) = (x+y)(x-y)(x-y) = (x+y)(x-y)^{2}$
ल.स.प. ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक भिन्न गुणनखंड की उच्चतम घात लीजिए:
गुणनखंड $(x+y)$,$(x-y)$,और $(x^{2}+xy+y^{2})$ हैं।
$(x+y)$ की उच्चतम घात $(x+y)^{1}$ है।
$(x-y)$ की उच्चतम घात $(x-y)^{2}$ है।
$(x^{2}+xy+y^{2})$ की उच्चतम घात $(x^{2}+xy+y^{2})^{1}$ है।
अतः,ल.स.प. $= (x+y)(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})$।