HCF and LCM Questions in Hindi

(A) यह पता लगाने के लिए कि उपकरण अगली बार कब एक साथ बीप करेंगे,हमें उनके व्यक्तिगत बीप अंतराल का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा: $48$,$72$,और $108$।
अभाज्य गुणनखंडन:
$48 = 2^4 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$108 = 2^2 \times 3^3$
$LCM(48, 72, 108) = 2^4 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432\, \text{सेकंड}$।
अब,$432\, \text{सेकंड}$ को मिनट और सेकंड में बदलें:
$432 \div 60 = 7\, \text{मिनट}$ और $12\, \text{सेकंड}$।
चूंकि उन्होंने आखिरी बार सुबह $10:00$ बजे एक साथ बीप की थी,इसलिए वे अगली बार सुबह $10:00 + 7\, \text{मिनट}\, 12\, \text{सेकंड }= 10:07:12\, a.m.$ पर एक साथ बीप करेंगे।

(C) दोनों पाइपों से बिना किसी शेष लंबाई को छोड़े समान आकार के पाइप के टुकड़े काटने के लिए,हमें दोनों लंबाइयों का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
दी गई लंबाइयाँ $1.5\, m$ और $1.2\, m$ हैं।
सरलता के लिए,यदि हम इन्हें $10$ से गुणा करें तो हमें $15$ और $12$ प्राप्त होते हैं।
$15$ के गुणनखंड $1, 3, 5, 15$ हैं।
$12$ के गुणनखंड $1, 2, 3, 4, 6, 12$ हैं।
$15$ और $12$ का महत्तम समापवर्तक $3$ है।
अतः,$1.5$ और $1.2$ का $HCF$ $0.3\, m$ होगा।

(B) $7, 11$ और $14$ से विभाजित होने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: $\operatorname{LCM}(7, 11, 14)$ ज्ञात करें।
$7 = 7 \times 1$
$11 = 11 \times 1$
$14 = 2 \times 7$
$\operatorname{LCM} = 2 \times 7 \times 11 = 154$.
चरण $2$: शेषफल ज्ञात करने के लिए $1812$ को $154$ से विभाजित करें।
$1812 \div 154 = 11$ और शेषफल प्राप्त होता है।
$154 \times 11 = 1694$.
$1812 - 1694 = 118$.
अतः,शेषफल $118$ है।
चरण $3$: जोड़ी जाने वाली संख्या की गणना करें।
$1812$ को $154$ से पूर्णतः विभाजित करने के लिए,हमें भाजक $(154)$ और शेषफल $(118)$ के बीच का अंतर जोड़ना होगा।
जोड़ी जाने वाली संख्या $= 154 - 118 = 36$.

(C) $2, 3$ और $7$ से विभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
चूँकि $2, 3$ और $7$ अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $LCM = 2 \times 3 \times 7 = 42$ होगा।
हमें $[300, 700]$ की सीमा में $42$ के गुणजों की संख्या ज्ञात करनी है।
सबसे पहले,$700$ तक $42$ के गुणजों की संख्या ज्ञात करें: $\lfloor 700 / 42 \rfloor = 16$।
इसके बाद,$299$ तक $42$ के गुणजों की संख्या ज्ञात करें: $\lfloor 299 / 42 \rfloor = 7$।
$300$ और $700$ के बीच $42$ के गुणजों की संख्या $16 - 7 = 9$ है।

(A) चूंकि $x$ और $y$ अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका ल.स.प. $(LCM)$ उनका गुणनफल होगा,अर्थात $x \times y = 161$।
$161$ का अभाज्य गुणनखंड करने पर: $161 = 7 \times 23$।
चूंकि $x > y$ दिया गया है,इसलिए हम $x = 23$ और $y = 7$ लेंगे।
अब,इन मानों को $(3y - x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3 \times 7) - 23 = 21 - 23 = -2$।

(C) माना कि दो संख्याएँ $12x$ और $12y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य (coprime) हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का गुणनफल $2160$ है,इसलिए:
$12x \times 12y = 2160$
$144xy = 2160$
$xy = \frac{2160}{144} = 15$
चूँकि $x$ और $y$ सह-अभाज्य हैं और उनका गुणनफल $15$ है,इसलिए $(x, y)$ के लिए संभावित जोड़े $(1, 15)$ या $(3, 5)$ हैं।
यदि $(x, y) = (1, 15)$ है,तो संख्याएँ $12(1) = 12$ और $12(15) = 180$ होंगी। लेकिन $180$ एक $2$-अंकीय संख्या नहीं है।
यदि $(x, y) = (3, 5)$ है,तो संख्याएँ $12(3) = 36$ और $12(5) = 60$ होंगी। दोनों $2$-अंकीय संख्याएँ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $(36, 60)$ हैं।

(B) $390, 495,$ और $300$ को बिना कोई शेषफल छोड़े विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ ज्ञात करना होगा।
चरण $1$: संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन:
$390 = 2 \times 3 \times 5 \times 13$
$495 = 3^2 \times 5 \times 11$
$300 = 2^2 \times 3 \times 5^2$
चरण $2$: सबसे कम घात वाले उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करें:
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड $3$ और $5$ हैं।
$3$ की न्यूनतम घात $3^1 = 3$ है।
$5$ की न्यूनतम घात $5^1 = 5$ है।
चरण $3$: $HCF$ की गणना करें:
$HCF = 3 \times 5 = 15$.
अतः,वह सबसे बड़ी संख्या जो तीनों संख्याओं को विभाजित करती है,$15$ है।

(C) प्रत्येक वर्ग में छात्रों की अधिकतम संभव संख्या ज्ञात करने के लिए ताकि प्रत्येक वर्ग में लड़कों और लड़कियों की संख्या समान रहे,हमें $391$ और $323$ का म.स.प. $(H.C.F.)$ ज्ञात करना होगा।
सबसे पहले,$391$ और $323$ का अभाज्य गुणनखंडन करें:
$391 = 17 \times 23$
$323 = 17 \times 19$
$391$ और $323$ का म.स.प. $17$ है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक वर्ग में $17$ छात्र हैं।
अब,वर्गों की कुल संख्या की गणना करें:
लड़कों के वर्गों की संख्या = $391 / 17 = 23$
लड़कियों के वर्गों की संख्या = $323 / 17 = 19$
वर्गों की कुल संख्या = $23 + 19 = 42$.

(C) म.स.प. $(HCF)$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों का गुणनखंड करेंगे।
प्रथम व्यंजक: $x^{8}-1 = (x^{4}-1)(x^{4}+1) = (x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1) = (x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)$.
द्वितीय व्यंजक: $x^{4}+2x^{3}-2x-1 = (x^{4}-1) + 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}+1) + 2x(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(x^{2}+2x+1) = (x-1)(x+1)(x+1)^{2} = (x-1)(x+1)^{3}$.
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x-1)$ और $(x+1)$ हैं।
अतः,म.स.प. $= (x-1)(x+1) = x^{2}-1$.

(A) माना कि तीन संख्याएँ $1x, 2x$ और $3x$ हैं,जहाँ $x$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
चूँकि इन संख्याओं का $HCF$ $12$ है,इसलिए उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$ का मान $12$ होगा।
अतः,संख्याएँ इस प्रकार हैं:
$1 \times 12 = 12$
$2 \times 12 = 24$
$3 \times 12 = 36$
इस प्रकार,वे संख्याएँ $12, 24, 36$ हैं।

(D) अभीष्ट संख्या का सूत्र है: $\text{अभीष्ट संख्या} = (15, 20, 36, 48 \text{ का ल.स.प.}) + 3$.
सबसे पहले,भाग विधि का उपयोग करके $15, 20, 36$ और $48$ का ल.स.प. ज्ञात करते हैं:
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 15, & 20, & 36, & 48 \\ \hline 2 & 15, & 10, & 18, & 24 \\ \hline 3 & 15, & 5, & 9, & 12 \\ \hline 5 & 5, & 1, & 3, & 4 \end{array}$
$\therefore \text{ल.स.प.} = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 1 \times 1 \times 3 \times 4 = 720$.
अब,ल.स.प. में शेषफल $3$ जोड़ें:
$\text{अभीष्ट संख्या} = 720 + 3 = 723$.

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो व्यंजकों के लिए, व्यंजकों का गुणनफल उनके म.स.प. और ल.स.प. के गुणनफल के बराबर होता है।
प्रथम व्यंजक $\times$ द्वितीय व्यंजक $= \text{म.स.प.} \times \text{ल.स.प.}$
दिया गया है:
$\text{ल.स.प.} = (x^{2}+6x+8)(x+1) = (x+2)(x+4)(x+1)$
$\text{म.स.प.} = (x+1)$
प्रथम व्यंजक $= x^{2}+3x+2 = (x+2)(x+1)$
माना कि दूसरा व्यंजक $P(x)$ है।
$(x+2)(x+1) \times P(x) = (x+2)(x+4)(x+1) \times (x+1)$
$P(x) = \frac{(x+2)(x+4)(x+1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}$
$P(x) = (x+4)(x+1)$
$P(x) = x^{2}+x+4x+4 = x^{2}+5x+4$

(B) सबसे पहले,$625$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$\begin{array}{l|l} 5 & 625 \\ \hline 5 & 125 \\ \hline 5 & 25 \\ \hline & 5 \end{array}$
अतः,$625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \times 5$.
भागफल को पूर्ण घन बनाने के लिए,हमें $625$ को उस गुणनखंड से विभाजित करना होगा जो तीन के समूह (triplet) में नहीं है,जो कि $5$ है।
इसलिए,$625 \div 5 = 125$,और $125 = 5^3$ एक पूर्ण घन है।
अतः सबसे छोटी संख्या $5$ है।

(D) $200$ और $320$ को पूर्णतः विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $200$ और $320$ का महत्तम समापवर्तक $(H.C.F.)$ निकालना होगा।
भाग विधि का उपयोग करते हुए:
$320 = 200 \times 1 + 120$
$200 = 120 \times 1 + 80$
$120 = 80 \times 1 + 40$
$80 = 40 \times 2 + 0$
चूंकि शेषफल $0$ है,इसलिए $H.C.F.$ $40$ है।
अतः,सबसे बड़ी संख्या $40$ है।

(B) चरण $1$: $10, 15$ और $20$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात कीजिए।
$10 = 2 \times 5$
$15 = 3 \times 5$
$20 = 2^2 \times 5$
ल.स.प. $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.
चरण $2$: सबसे बड़ी $4$ अंकों की संख्या $9999$ है।
चरण $3$: $9999$ को $60$ से विभाजित करके शेषफल ज्ञात कीजिए।
$9999 \div 60 = 166$ और शेषफल $39$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: सबसे बड़ी $4$ अंकों की संख्या में से शेषफल को घटाने पर $60$ से विभाज्य सबसे बड़ी संख्या प्राप्त होगी।
$9999 - 39 = 9960$.
अतः,$10, 15$ और $20$ से पूर्णतः विभाज्य सबसे बड़ी $4$ अंकों की संख्या $9960$ है।

(D) छात्रों की वह संख्या ज्ञात करने के लिए जिन्हें $6, 8, 12$ या $16$ की पंक्तियों में बिना किसी छात्र के पीछे छूटे व्यवस्थित किया जा सके,हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य $(L.C.M.)$ ज्ञात करना होगा।
$6, 8, 12, 16$ का $L.C.M.$:

$2$	$6, 8, 12, 16$
$2$	$3, 4, 6, 8$
$2$	$3, 2, 3, 4$
$2$	$3, 1, 3, 2$
$3$	$3, 1, 3, 1$
	$1, 1, 1, 1$

$L.C.M. = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 48$.
छात्रों की संख्या $48$ का गुणज होनी चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,$96$ संख्या $48$ का गुणज है $(48 \times 2 = 96)$.

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं या व्यंजकों $x$ और $y$ के लिए,उनके $H.C.F.$ $(A)$ और $L.C.M.$ $(B)$ का गुणनफल उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,$A \times B = x \times y$.
हमें दिया गया है $A + B = x + y$.
सर्वसमिका $(A+B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A+B)$ पर विचार करें।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $(x+y)^3 = A^3 + B^3 + 3xy(x+y)$.
$A^3 + B^3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमारे पास है $A^3 + B^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
$(x+y)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें मिलता है $A^3 + B^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.
कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करने पर: $A^3 + B^3 = (x+y)(x^2 + 2xy + y^2 - 3xy)$.
$A^3 + B^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
बीजीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A^3 + B^3 = x^3 + y^3$.

(C) $411, 684$ और $821$ को विभाजित करने पर क्रमशः $3, 4$ और $5$ शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले दी गई संख्याओं में से शेषफल को घटाते हैं:
$411 - 3 = 408$
$684 - 4 = 680$
$821 - 5 = 816$
अब,हमें $408, 680$ और $816$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) ज्ञात करना होगा।
पहले,$408$ और $680$ का म.स.प. ज्ञात करते हैं:
$680 = 408 \times 1 + 272$
$408 = 272 \times 1 + 136$
$272 = 136 \times 2 + 0$
अतः,$408$ और $680$ का म.स.प. $136$ है।
अब,$136$ और $816$ का म.स.प. ज्ञात करते हैं:
$816 = 136 \times 6 + 0$
चूंकि $136$ संख्या $816$ को पूरी तरह विभाजित करता है,इसलिए $408, 680$ और $816$ का म.स.प. $136$ है।
अतः,अभीष्ट संख्या $136$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,संख्याओं का गुणनफल उनके $H.C.F.$ और $L.C.M.$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$x \times y = H.C.F. \times L.C.M.$
यहाँ $H.C.F. = 3$ और $L.C.M. = 315$ दिया गया है,इसलिए:
$x \times y = 3 \times 315 = 945$
हमें $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$
चूंकि $x + y = 36$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{36}{3 \times 315}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{12}{315} = \frac{4}{35}$

(B) करणी (surds) के घातांकों $(3, 2, 6, 12)$ का ल.स.प. $(L.C.M.)$ ज्ञात करने पर,जो $12$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक करणी को $12$ घातांक वाली समान करणी में बदलने पर:
$1. \sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{4/12} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$
$2. \sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{6/12} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$
$3. \sqrt[6]{25} = 25^{1/6} = 25^{2/12} = \sqrt[12]{25^2} = \sqrt[12]{625}$
$4. \sqrt[12]{289} = \sqrt[12]{289}$
अंदर की संख्याओं की तुलना करने पर: $729 > 625 > 289 > 256$.
अतः,सबसे बड़ी संख्या $\sqrt{3}$ है और सबसे छोटी संख्या $\sqrt[3]{4}$ है।

(B) माना चार क्रमागत अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में $a, b, c$ और $d$ हैं,जहाँ $a < b < c < d$ है।
दिया गया है कि पहली तीन का गुणनफल $a \times b \times c = 385$ है और अंतिम तीन का गुणनफल $b \times c \times d = 1001$ है।
उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम $385$ और $1001$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ निकालते हैं।
$385 = 5 \times 7 \times 11$
$1001 = 7 \times 11 \times 13$
उभयनिष्ठ गुणनखंड $7$ और $11$ हैं,इसलिए $b \times c = 7 \times 11 = 77$ है।
अब,अंतिम तीन संख्याओं के गुणनफल का उपयोग करते हुए: $b \times c \times d = 1001$ है।
$b \times c = 77$ रखने पर,हमें $77 \times d = 1001$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$d = \frac{1001}{77} = 13$ है।
अतः,चार क्रमागत अभाज्य संख्याएँ $5, 7, 11, 13$ हैं। सबसे बड़ी अभाज्य संख्या $13$ है।

(B) भिन्नों का $H.C.F.$ (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
$H.C.F. = \frac{\text{अंशों का } H.C.F.}{\text{हरों का } L.C.M.}$
दी गई भिन्नें: $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{6}{7}$
चरण $1$: अंशों $(2, 4, 6)$ का $H.C.F.$ ज्ञात करें।
$2$ के गुणनखंड $1, 2$ हैं।
$4$ के गुणनखंड $1, 2, 4$ हैं।
$6$ के गुणनखंड $1, 2, 3, 6$ हैं।
अतः,महत्तम समापवर्तक $2$ है।
चरण $2$: हरों $(3, 5, 7)$ का $L.C.M.$ (ल.स.प.) ज्ञात करें।
चूंकि $3, 5$ और $7$ तीनों अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए उनका $L.C.M.$ उनका गुणनफल होगा:
$3 \times 5 \times 7 = 105$.
चरण $3$: परिणामों को संयोजित करें।
$H.C.F. = \frac{2}{105}$.

(A) यह पता लगाने के लिए कि घंटियाँ कब एक साथ बजेंगी,हमें दिए गए अंतरालों का $L.C.M.$ (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करना होगा: $3, 6, 9, 12, 15$ सेकंड।
अभाज्य गुणनखंडन:
$3 = 3^1$
$6 = 2^1 \times 3^1$
$9 = 3^2$
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$L.C.M. = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 4 \times 9 \times 5 = 180$ सेकंड।
इसका अर्थ है कि घंटियाँ हर $180$ सेकंड में एक साथ बजती हैं,जो $3$ मिनट के बराबर है।
$36$ मिनट में,वे जितनी बार एक साथ बजेंगी वह $\frac{36}{3} = 12$ बार होगा।
चूंकि वे $0$ वें मिनट पर एक साथ बजना शुरू करती हैं,इसलिए हम परिणाम में $1$ जोड़ते हैं।
कुल बार = $12 + 1 = 13$ बार।

(C) यह पता लगाने के लिए कि वे शुरुआती बिंदु पर फिर से कब मिलेंगे, हमें प्रत्येक व्यक्ति द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
समय $18\, \text{सेकंड}$, $22\, \text{सेकंड}$ और $30\, \text{सेकंड}$ है।
अभाज्य गुणनखंडन:
$18 = 2 \times 3^2$
$22 = 2 \times 11$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$LCM(18, 22, 30) = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 11^1 = 2 \times 9 \times 5 \times 11 = 990\, \text{सेकंड}$.
अब, $990\, \text{सेकंड}$ को मिनटों में बदलें:
$990 / 60 = 16.5\, \text{मिनट}$.
$0.5\, \text{मिनट} = 0.5 \times 60 = 30\, \text{सेकंड}$.
अतः, वे $16\, \text{मिनट और } 30\, \text{सेकंड}$ बाद फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।

(C) माना कि दो संख्याएँ $12x$ और $12y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य (coprime) हैं (अर्थात उनका $H.C.F.$ $1$ है)।
इन दो संख्याओं का $L.C.M.$ $12xy$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$12xy = 924$ है।
दोनों पक्षों को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $xy = \frac{924}{12} = 77$ प्राप्त होता है।
अब,हमें सह-अभाज्य गुणनखंडों के ऐसे जोड़े $(x, y)$ खोजने हैं जिनका गुणनफल $77$ हो।
$77$ के गुणनखंड $1, 7, 11, 77$ हैं।
संभावित जोड़े $(x, y)$ $(1, 77)$ और $(7, 11)$ हैं।
चूंकि दोनों जोड़े सह-अभाज्य संख्याओं से बने हैं,इसलिए ऐसे $2$ जोड़े संभव हैं।

(C) सबसे पहले,$5, 6, 7, 8$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) ज्ञात करें।
$5 = 5$
$6 = 2 \times 3$
$7 = 7$
$8 = 2^3$
$L.C.M. = 5 \times 3 \times 7 \times 8 = 840$.
कोई भी संख्या जिसे $5, 6, 7, 8$ से विभाजित करने पर $3$ शेषफल बचता है,वह $(840x + 3)$ के रूप में होती है,जहाँ $x$ एक प्राकृतिक संख्या है।
हमें दिया गया है कि यह संख्या $9$ से विभाज्य है।
अतः,$(840x + 3) \div 9$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
$840x + 3 = (837x + 3x + 3) = 9(93x) + 3(x + 1)$.
इसे $9$ से विभाज्य होने के लिए,$(x + 1)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
सबसे छोटी संख्या के लिए,मान लीजिए $x + 1 = 3$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ को $(840x + 3)$ में रखने पर:
अभीष्ट संख्या $= 840(2) + 3 = 1680 + 3 = 1683$.

(D) माना कि दो संख्याएँ $10x$ और $10y$ हैं,जहाँ $x$ और $y$ सह-अभाज्य (coprime) हैं।
यह दिया गया है कि $H.C.F.$ $10$ है,इसलिए संख्याएँ $10$ की गुणज होनी चाहिए।
$10x$ और $10y$ का $L.C.M.$ $10xy$ होता है।
हमें $10xy = 120$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $xy = 12$ है।
$(x, y)$ के संभावित जोड़े जो सह-अभाज्य हैं,वे $(1, 12)$ और $(3, 4)$ हैं।
स्थिति $1$: यदि जोड़ा $(1, 12)$ है,तो संख्याएँ $10(1) = 10$ और $10(12) = 120$ हैं। उनका योग $10 + 120 = 130$ है।
स्थिति $2$: यदि जोड़ा $(3, 4)$ है,तो संख्याएँ $10(3) = 30$ और $10(4) = 40$ हैं। उनका योग $30 + 40 = 70$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$70$ विकल्प में मौजूद है।

(B) यह पता लगाने के लिए कि ट्रैफिक लाइटें फिर से कब एक साथ बदलेंगी,हमें समय अंतराल का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा: $24$,$36$ और $54$ सेकंड।
अभाज्य गुणनखंडन:
$24 = 2^3 \times 3^1$
$36 = 2^2 \times 3^2$
$54 = 2^1 \times 3^3$
$LCM = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$ सेकंड।
$216$ सेकंड को मिनटों में बदलने पर:
$216 \div 60 = 3$ मिनट और $36$ सेकंड।
इस अवधि को प्रारंभिक समय $10:15:00$ am में जोड़ने पर:
$10:15:00 + 0:03:36 = 10:18:36$ am.
अतः,ट्रैफिक लाइटें फिर से सुबह $10:18:36$ बजे एक साथ बदलेंगी।

(B) यह पता लगाने के लिए कि वे शुरुआती बिंदु पर फिर से कब मिलेंगे,हमें प्रत्येक व्यक्ति द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
लिया गया समय $18$,$24$ और $32$ सेकंड है।
अभाज्य गुणनखंड:
$18 = 2 \times 3^2$
$24 = 2^3 \times 3$
$32 = 2^5$
$LCM$ सभी शामिल अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल है:
$LCM(18, 24, 32) = 2^5 \times 3^2 = 32 \times 9 = 288$.
अतः,वे $288 \text{ सेकंड}$ बाद फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।

(D) यह पता लगाने के लिए कि वे शुरुआती बिंदु पर फिर से कब मिलेंगी,हमें प्रत्येक व्यक्ति द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
समय $54 \text{ सेकंड}$,$42 \text{ सेकंड}$ और $63 \text{ सेकंड}$ है।
अभाज्य गुणनखंडन:
$54 = 2 \times 3^3$
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$63 = 3^2 \times 7$
$LCM = 2 \times 3^3 \times 7 = 2 \times 27 \times 7 = 378 \text{ सेकंड}$।
सेकंड को मिनट में बदलने के लिए,$60$ से भाग दें:
$\frac{378}{60} = 6.3 \text{ मिनट}$।
निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,वे लगभग $6 \text{ मिनट}$ बाद फिर से मिलेंगी।

(B) $20, 28, 32$ और $35$ से पूर्णतः विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(L.C.M.)$ ज्ञात करना होगा।
अभाज्य गुणनखंड:
$20 = 2^2 \times 5$
$28 = 2^2 \times 7$
$32 = 2^5$
$35 = 5 \times 7$
$L.C.M. = 2^5 \times 5 \times 7 = 32 \times 35 = 1120$.
हमें वह संख्या $x$ ज्ञात करनी है जिसे $5834$ में से घटाने पर परिणाम $1120$ से पूर्णतः विभाज्य हो। $x$ का अधिकतम मान प्राप्त करने के लिए,$(5834 - x)$ को $1120$ का सबसे छोटा गुणज होना चाहिए,जो कि $1120$ है।
$5834 - x = 1120$
$x = 5834 - 1120 = 4714$.

(D) दो संख्याओं और उनके $H.C.F.$ तथा $L.C.M.$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
दो संख्याओं का गुणनफल $= H.C.F. \times L.C.M.$
मान लीजिए कि दूसरी संख्या $x$ है।
दिया गया है: $H.C.F. = 8$,$L.C.M. = 48$,और एक संख्या $= 24$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$24 \times x = 8 \times 48$
$x = \frac{8 \times 48}{24}$
$x = 8 \times 2 = 16$
अतः,दूसरी संख्या $16$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $3x$ और $4x$ हैं,जहाँ $x$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:
$3x = 3 \times x$
$4x = 2^2 \times x$
$3x$ और $4x$ का ल.स.प. $3 \times 2^2 \times x = 12x$ है।
दिया गया है कि ल.स.प. $84$ है,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं:
$12x = 84$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = 84 / 12 = 7$
अब,दोनों संख्याओं की गणना करें:
पहली संख्या $= 3x = 3 \times 7 = 21$
दूसरी संख्या $= 4x = 4 \times 7 = 28$
$21$ और $28$ की तुलना करने पर,बड़ी संख्या $28$ है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $5x$ और $6x$ हैं,जहाँ $x$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
$5x$ और $6x$ का म.स.प. $x$ होता है।
दिया गया है कि म.स.प. $4$ है,इसलिए $x = 4$ है।
अतः,वे संख्याएँ $5 \times 4 = 20$ और $6 \times 4 = 24$ हैं।
दो संख्याओं का ल.स.प. अनुपात के भागों और म.स.प. के गुणनफल के बराबर होता है:
ल.स.प. $= 5 \times 6 \times 4 = 120$.
वैकल्पिक रूप से,सूत्र का उपयोग करते हुए: ल.स.प. $= \frac{\text{संख्याओं का गुणनफल}}{\text{म.स.प.}} = \frac{20 \times 24}{4} = 20 \times 6 = 120$.

(C) प्रत्येक स्थिति में भाजक और शेषफल के बीच का अंतर देखें:
$4 - 2 = 2$  
$5 - 3 = 2$  
$6 - 4 = 2$
चूंकि अंतर समान $(2)$ है, इसलिए अभीष्ट संख्या
$(4, 5, 6 \text{ का ल.स.प.}) - 2$ के रूप में होगी।
सबसे पहले, $4, 5$ और $6$ का ल.स.प. ज्ञात करें:
$4 = 2^2$  
$5 = 5^1$  
$6 = 2 \times 3$
$L.C.M. = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
अतः, ऐसी सबसे छोटी संख्या $60 - 2 = 58$ है।

(C) माना सबसे बड़ी संख्या $x$ है और समान शेषफल $k$ है।
तब,हमारे पास है:
$43 = nx + k$ $...(1)$
$91 = mx + k$ $...(2)$
$183 = lx + k$ $...(3)$
समीकरणों को घटाने पर:
$(2) - (1) \Rightarrow 91 - 43 = (m - n)x \Rightarrow 48 = (m - n)x$
$(3) - (2) \Rightarrow 183 - 91 = (l - m)x \Rightarrow 92 = (l - m)x$
$(3) - (1) \Rightarrow 183 - 43 = (l - n)x \Rightarrow 140 = (l - n)x$
सबसे बड़ी संख्या $x$,$48, 92,$ और $140$ का म.स.प. ($H$.$C$.$F$.) है।
अभाज्य गुणनखंडन:
$48 = 2^4 \times 3$
$92 = 2^2 \times 23$
$140 = 2^2 \times 5 \times 7$
म.स.प. = $2^2 = 4$.
अतः,सबसे बड़ी संख्या $4$ है।