एक समुच्चय में 2n + 1 अवयव हैं। इस समुच्चय के | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए समुच्चय $S$ में $N = 2n + 1$ अवयव हैं।हमें उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $n$ से अधिक अवयव हैं,अर्थात $(n + 1), (n + 2),

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$2^{2n}$

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(D) मान लीजिए समुच्चय $S$ में $N = 2n + 1$ अवयव हैं।हमें उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $n$ से अधिक अवयव हैं,अर्थात $(n + 1), (n + 2), \dots, (2n + 1)$ अवयव वाले उपसमुच्चय।ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या का योग है: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$।द्विपद गुणांकों के गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को फिर से लिख सकते हैं:$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,इत्यादि।अतः,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$।हम जानते हैं कि $m$ आकार के समुच्चय के लिए सभी द्विपद गुणांकों का योग $2^m$ होता है,अर्थात $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$।$m = 2n + 1$ के लिए,कुल योग $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ है।चूंकि $\binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k}$,गुणांकों के पहले आधे भाग का योग दूसरे आधे भाग के योग के बराबर होता है।इसलिए,$S = \frac{1}{2} 	imes 2^{2n+1} = 2^{2n}$।

एक समुच्चय में $2n + 1$ अवयव हैं। इस समुच्चय के $n$ से अधिक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या किसके बराबर है?

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