Mix Example - MOTION Questions in Hindi

(A) विस्थापन को किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में,आधा वृत्त पूरा करने के बाद,कण व्यास के एक सिरे से दूसरे सिरे पर पहुँच जाता है।
प्रारंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति एक-दूसरे के व्यासाभिमुख (diametrically opposite) होती हैं।
इन दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी वृत्त का व्यास होती है।
अतः,विस्थापन = $2r$।

(B) जब किसी पिंड को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो वह अपनी अधिकतम ऊँचाई $h$ पर पहुँचता है जहाँ उसका अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
गति के तीसरे समीकरण के अनुसार: $v^2 = u^2 + 2as$।
यहाँ,$v = 0$,$a = -g$ (गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर कार्य करता है),और $s = h$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0^2 = u^2 + 2(-g)h$।
$0 = u^2 - 2gh$।
$2gh = u^2$।
अतः,प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h = u^2 / (2g)$ है।

(C) विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है,जबकि दूरी किसी वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई है।
चूंकि न्यूनतम दूरी हमेशा कुल पथ की लंबाई से कम या उसके बराबर होती है,इसलिए विस्थापन का परिमाण हमेशा दूरी से कम या उसके बराबर होता है।
अतः,विस्थापन और दूरी का अनुपात हमेशा $\leq 1$ होता है।

(D) दिया गया है कि विस्थापन $s$,समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं $s = kt^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$।
चूँकि $2k$ एक स्थिरांक है,इसलिए वस्तु का त्वरण स्थिर या एकसमान है।
अतः,वस्तु एकसमान त्वरण के साथ गति करती है।

(A) $v-t$ (वेग-समय) ग्राफ में,$y$-अक्ष वेग $(v)$ को दर्शाता है और $x$-अक्ष समय $(t)$ को दर्शाता है।
चूंकि ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी क्षैतिज रेखा है और $v$-अक्ष पर शून्य से ऊपर है,यह दर्शाता है कि वस्तु का वेग समय के साथ स्थिर रहता है।
स्थिर वेग का अर्थ है कि वस्तु एकसमान गति में है।

(B) मैरी-गो-राउंड पर बैठा लड़का वृत्तीय गति कर रहा है।
वृत्तीय गति में,भले ही गति (चाल) स्थिर रहे,लेकिन गति की दिशा हर बिंदु पर बदलती रहती है।
चूंकि वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए दिशा में परिवर्तन के कारण वेग में परिवर्तन होता है।
अतः,लड़का त्वरित गति में है।

(C) $v-t$ (वेग-समय) ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल वेग $(v)$ और समय $(t)$ का गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
चूंकि $\text{वेग} = \text{विस्थापन} / \text{समय}$ होता है,इसलिए वेग और समय का गुणनफल विस्थापन देता है।
क्षेत्रफल = वेग $\times$ समय = $(\text{m/s}) \times \text{s} = \text{m}$।
अतः,$v-t$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल विस्थापन को दर्शाता है और इसका $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।

(D) दूरी-समय ग्राफ में,रेखा का ढलान (slope) वस्तु की गति को दर्शाता है।
ढलान जितना अधिक होगा,गति उतनी ही अधिक होगी।
ग्राफ को देखने पर,कार $C$ के लिए रेखा का ढलान सबसे अधिक है,उसके बाद $D$,$A$ और $B$ का स्थान आता है।
इसलिए,कार $C$ सबसे तेज है और कार $B$ का ढलान सबसे कम है,जिससे यह सबसे धीमी कार बन जाती है।

(A) एकसमान गति (uniform motion) को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कोई वस्तु समान समय अंतराल में समान दूरी तय करती है।
दूरी-समय ग्राफ में,इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली एक स्थिर ढलान वाली सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
चित्र $(A)$ मूल बिंदु से शुरू होने वाली एक सीधी रेखा दिखाता है,जो यह दर्शाता है कि समय के साथ दूरी एक स्थिर दर से बढ़ती है,इस प्रकार यह एकसमान गति को प्रदर्शित करता है।

(B) वेग-समय ग्राफ की ढाल को वेग में परिवर्तन और समय में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\text{ढाल} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
चूंकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है $(a = \frac{dv}{dt})$, इसलिए वेग-समय ग्राफ की ढाल वस्तु का त्वरण दर्शाती है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) दूरी किसी वस्तु द्वारा तय की गई कुल पथ की लंबाई है,जबकि विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
जब कोई वस्तु अपनी दिशा बदले बिना सीधी रेखा में गति करती है,तो तय की गई कुल दूरी विस्थापन के परिमाण के बराबर होती है।
वृत्ताकार गति,आगे-पीछे की गति या कक्षीय गति के मामलों में,वस्तु अपनी दिशा बदलती है,जिससे विस्थापन तय की गई कुल दूरी से कम हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) नहीं,वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का शून्य होना आवश्यक नहीं है।
विस्थापन एक सदिश राशि है जिसे प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है,जबकि दूरी एक अदिश राशि है जो वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई को दर्शाती है।
विस्थापन तब शून्य हो जाता है जब कोई वस्तु अपनी यात्रा पूरी करने के बाद वापस अपने शुरुआती बिंदु (प्रारंभिक स्थिति = अंतिम स्थिति) पर आ जाती है।
हालाँकि,वस्तु ने वापस आने के लिए एक पथ तय किया होता है,जिसका अर्थ है कि तय की गई कुल दूरी शून्य से अधिक होती है।
उदाहरण के लिए,यदि कोई धावक एक वृत्ताकार पथ पर एक पूरा चक्कर लगाता है,तो उसका विस्थापन $0$ होता है,लेकिन तय की गई दूरी पथ की परिधि $(2 \pi r)$ के बराबर होती है।

(N/A) जब कोई वस्तु एकसमान वेग से गति करती है,तो उसका त्वरण $(a)$ $0$ होता है और अंतिम वेग $(v)$,प्रारंभिक वेग $(u)$ के बराबर होता है,अर्थात $v = u$।
$1$. गति का पहला समीकरण $v = u + at$,$v = u + (0)t$ हो जाता है,जो सरल होकर $v = u$ प्राप्त होता है।
$2$. गति का दूसरा समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$,$s = ut + (1/2)(0)t^2$ हो जाता है,जो सरल होकर $s = ut$ प्राप्त होता है।
$3$. गति का तीसरा समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$,$v^2 - u^2 = 2(0)s$ हो जाता है,जो सरल होकर $v^2 - u^2 = 0$ या $v^2 = u^2$ प्राप्त होता है।

(N/A) $1$. विस्थापन-समय ग्राफ से,वेग रेखा का ढाल (slope) होता है।
$2$. $0-50 \, s$ के अंतराल के लिए,विस्थापन $0 \, m$ से $100 \, m$ तक बदलता है। अतः,वेग $v_1 = \frac{100 \, m - 0 \, m}{50 \, s - 0 \, s} = 2 \, m/s$ है।
$3$. $50-100 \, s$ के अंतराल के लिए,विस्थापन $100 \, m$ से $0 \, m$ तक बदलता है। अतः,वेग $v_2 = \frac{0 \, m - 100 \, m}{100 \, s - 50 \, s} = \frac{-100 \, m}{50 \, s} = -2 \, m/s$ है।
$4$. वेग-समय ग्राफ $0$ से $50 \, s$ तक $2 \, m/s$ का स्थिर वेग और $50$ से $100 \, s$ तक $-2 \, m/s$ का स्थिर वेग प्रदर्शित करेगा।

(A) पहले $8 \, s$ में तय की गई दूरी की गणना $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ समीकरण का उपयोग करके की जाती है। चूंकि कार विरामावस्था से शुरू होती है,इसलिए $u = 0$ है।
$x_1 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times (8)^2 = 160 \, m$.
$t = 8 \, s$ पर,वेग $v$ की गणना $v = u + at = 0 + (5 \times 8) = 40 \, m/s$ के रूप में की जाती है।
शेष समय के लिए,जो $12 \, s - 8 \, s = 4 \, s$ है,कार $40 \, m/s$ के निरंतर वेग से चलती है।
अंतिम $4 \, s$ में तय की गई दूरी $x_2 = v \times t = 40 \times 4 = 160 \, m$ है।
अतः,$12 \, s$ में तय की गई कुल दूरी $x = x_1 + x_2 = 160 \, m + 160 \, m = 320 \, m$ है।

(D) मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच की दूरी $x\, km$ है।
$A$ से $B$ तक जाने में लगा समय $t_{1} = \frac{x}{30}\, h$ है।
$B$ से $A$ तक वापस आने में लगा समय $t_{2} = \frac{x}{20}\, h$ है।
कुल तय की गई दूरी $= x + x = 2x\, km$ है।
कुल लगा समय $= t_{1} + t_{2} = \frac{x}{30} + \frac{x}{20} = \frac{2x + 3x}{60} = \frac{5x}{60} = \frac{x}{12}\, h$ है।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2x}{x/12} = 2 \times 12 = 24\, km\, h^{-1}$ है।

(A) $(i)$ चूंकि वेग-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है,इसलिए वेग स्थिर है। अतः,त्वरण $0\,m/s^2$ है।
$(ii)$ ग्राफ का अवलोकन करने पर,साइकिल सवार का स्थिर वेग $20\,m/s$ है।
$(iii)$ $15\,s$ में साइकिल सवार द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दी जाती है,जो $v = 20\,m/s$ ऊंचाई और $t = 15\,s$ चौड़ाई वाला एक आयत है।
दूरी $= v \times t = 20\,m/s \times 15\,s = 300\,m$.

(N/A) जब किसी पत्थर को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग अधिकतम होता है। जैसे-जैसे पत्थर ऊपर जाता है,गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के कारण उसका वेग कम होता जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने पर पत्थर का वेग शून्य हो जाता है।
अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करने के बाद,पत्थर नीचे की ओर गिरना शुरू कर देता है। इस चरण के दौरान,जमीन से टकराने तक उसका वेग नीचे की दिशा में बढ़ता जाता है।
इस गति के लिए वेग-समय ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो ऊपर की ओर गति के दौरान निरंतर मंदन और नीचे की ओर गति के दौरान निरंतर त्वरण को दर्शाती है।

(50 M) मान लीजिए प्रारंभिक ऊँचाइयाँ $H_1 = 150 \, m$ और $H_2 = 100 \, m$ हैं।
दोनों वस्तुएँ विरामावस्था से गिराई जाती हैं,इसलिए उनका प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
दोनों वस्तुएँ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के साथ गिरती हैं।
समय $t$ में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $u = 0$ है,$t = 2 \, s$ में दोनों वस्तुओं द्वारा तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}g(2)^2 = 2g$ होगी।
$2 \, s$ के बाद,जमीन से पहली वस्तु की ऊँचाई $h_1 = H_1 - s = 150 - 2g$ होगी।
जमीन से दूसरी वस्तु की ऊँचाई $h_2 = H_2 - s = 100 - 2g$ होगी।
$2 \, s$ के बाद उनकी ऊँचाइयों में अंतर $h_1 - h_2 = (150 - 2g) - (100 - 2g) = 150 - 100 = 50 \, m$ होगा।
चूँकि दोनों के लिए त्वरण $g$ समान है,किसी भी समय $t$ पर दोनों वस्तुओं द्वारा तय की गई दूरी समान $(s = \frac{1}{2}gt^2)$ होगी।
इसलिए,किसी भी समय $t$ पर ऊँचाइयों में अंतर $(H_1 - s) - (H_2 - s) = H_1 - H_2 = 150 - 100 = 50 \, m$ होगा।
अतः,ऊँचाइयों में अंतर स्थिर रहता है और समय के साथ नहीं बदलता है।

(D) दिया गया है कि वस्तु विरामावस्था से चलना शुरू करती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$ है।
पहले $2 \, s$ के लिए,दूरी $s_1 = 20 \, m$ और समय $t_1 = 2 \, s$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$20 = 0(2) + \frac{1}{2} a(2)^2 \Rightarrow 20 = 2a \Rightarrow a = 10 \, m/s^2$।
चूंकि त्वरण स्थिर है,हम $v = u + at$ का उपयोग करके किसी भी समय $t$ पर वेग की गणना कर सकते हैं।
$t = 7 \, s$ के लिए:
$v = 0 + (10 \times 7) = 70 \, m/s$।

(N/A) औसत वेग को विस्थापन में कुल परिवर्तन और लिए गए कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$1$. पहले $4 \, s$ के लिए ($t = 0$ से $4 \, s$):
औसत वेग $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{4 - 0} = \frac{4}{4} = 1 \, m/s$.
$2$. अगले $4 \, s$ के लिए ($t = 4$ से $8 \, s$):
औसत वेग $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 4}{8 - 4} = \frac{0}{4} = 0 \, m/s$.
$3$. अंतिम $6 \, s$ के लिए ($t = 10$ से $16 \, s$):
औसत वेग $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 - 6}{16 - 10} = \frac{-6}{6} = -1 \, m/s$.

(B) दिया गया प्रारंभिक वेग,$u = 5 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
त्वरण,$a = 10^{4} \, ms^{-2}$.
$(i)$ अंतिम वेग $v = 2u = 2 \times 5 \times 10^{4} = 10 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{v - u}{a}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{10 \times 10^{4} - 5 \times 10^{4}}{10^{4}} = \frac{5 \times 10^{4}}{10^{4}} = 5 \, s$.
$(ii)$ गति के दूसरे समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^{2}$ का उपयोग करने पर।
$s = (5 \times 10^{4}) \times 5 + \frac{1}{2} \times (10^{4}) \times (5)^{2}$.
$s = 25 \times 10^{4} + 12.5 \times 10^{4} = 37.5 \times 10^{4} \, m$.

(C) एक समान त्वरण $a$ और प्रारंभिक वेग $u$ के साथ $t$ समय में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$5 \, s$ में तय की गई कुल दूरी ज्ञात करें:
$s_5 = u(5) + \frac{1}{2}a(5)^2 = 5u + \frac{25}{2}a$ ........... $(i)$
इसके बाद,$4 \, s$ में तय की गई कुल दूरी ज्ञात करें:
$s_4 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2 = 4u + \frac{16}{2}a = 4u + 8a$ ........... $(ii)$
$4^{th}$ और $5^{th}$ सेकंड के बीच के समयांतराल में तय की गई दूरी $5 \, s$ और $4 \, s$ पर तय की गई दूरियों का अंतर है:
दूरी $= s_5 - s_4 = (5u + \frac{25}{2}a) - (4u + 8a)$
दूरी $= (5u - 4u) + (12.5a - 8a) = u + 4.5a$
दूरी $= (u + \frac{9}{2}a) \, m$.

जब कोई वस्तु ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करती है,तो गति का तीसरा समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2as$ होता है।
अधिकतम ऊंचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ हो जाता है।
समीकरण में $v = 0$,$a = -g$,और $s = h$ रखने पर: $0 = u^{2} - 2gh$ प्राप्त होता है।
ऊंचाई के लिए सूत्र बनाने पर,हमें $h = \frac{u^{2}}{2g}$ प्राप्त होता है।
पहले पत्थर के लिए जिसका प्रारंभिक वेग $u_{1}$ है,प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $h_{1} = \frac{u_{1}^{2}}{2g}$ है।
दूसरे पत्थर के लिए जिसका प्रारंभिक वेग $u_{2}$ है,प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $h_{2} = \frac{u_{2}^{2}}{2g}$ है।
दोनों ऊंचाइयों का अनुपात लेने पर: $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{u_{1}^{2} / 2g}{u_{2}^{2} / 2g} = \frac{u_{1}^{2}}{u_{2}^{2}}$।
अतः,प्राप्त ऊंचाइयों का अनुपात $h_{1}: h_{2} = u_{1}^{2}: u_{2}^{2}$ है।

(A) न्यूटन के गति के $\text{दूसरे}$ $\text{नियम}$ के अनुसार, किसी वस्तु के संवेग परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए असंतुलित बल के सीधे आनुपातिक होती है और यह बल की दिशा में होती है。
गणितीय रूप से, $F = \frac{dp}{dt}$, जहाँ $F$ बल है और $p$ संवेग है。
अतः, संवेग परिवर्तन की दर के अनुरूप भौतिक राशि $\text{बल}$ $(Force)$ है。

(C) यदि विस्थापन$-$समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है,तो यह दर्शाता है कि समय के साथ वस्तु के विस्थापन में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
चूंकि समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर शून्य है,इसलिए वस्तु का वेग शून्य है।
अतः,वस्तु विराम अवस्था में है।

(B) विस्थापन-समय ग्राफ में,रेखा का ढलान वस्तु के वेग को दर्शाता है।
यदि ग्राफ समय अक्ष के समानांतर है,तो वस्तु का विस्थापन समय के साथ नहीं बदलता है।
इसका अर्थ है कि वस्तु स्थिर अवस्था में है।
चूंकि वस्तु अपनी स्थिति नहीं बदल रही है,इसलिए इसका वेग $0 \ m/s$ है।

(B) विस्थापन को किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब कोई पिंड $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर आधा चक्कर पूरा करता है,तो वह व्यास के एक सिरे से दूसरे सिरे तक गति करता है।
प्रारंभिक स्थिति व्यास के एक सिरे पर होती है और अंतिम स्थिति व्यास के ठीक विपरीत सिरे पर होती है।
इन दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी वृत्त का व्यास होती है।
इसलिए,विस्थापन व्यास के बराबर होता है,जो $2 \times R = 2\,R$ है।

(B) जब कोई पिंड गति में होता है,तो समय के साथ उसकी स्थिति बदलती रहती है।
परिणामस्वरूप,पिंड द्वारा तय की गई दूरी और प्रारंभिक बिंदु से उसका विस्थापन लगातार बदलते रहते हैं।
इसलिए,दूरी या विस्थापन वे भौतिक राशियाँ हैं जो किसी पिंड के गति करने पर अनिवार्य रूप से बदलती हैं।

(B) विस्थापन का परिमाण किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी होती है।
दूरी वस्तु द्वारा तय की गई कुल पथ की लंबाई है।
जब कोई वस्तु अपनी दिशा बदले बिना एक सीधी रेखा में गति करती है,तो तय की गई कुल पथ की लंबाई प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी के बराबर होती है।
इसलिए,विस्थापन का परिमाण और तय की गई दूरी केवल तभी समान होते हैं जब वस्तु एक ही दिशा में सीधी रेखा में गति करती है।

(A) जब कोई वस्तु अपनी दिशा बदले बिना एक सीधी रेखा में गति करती है, तो उसके विस्थापन का परिमाण तय की गई कुल दूरी के बराबर होता है。
चूंकि औसत वेग = $\frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}}$ और औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ होता है, और इस स्थिति में विस्थापन = दूरी है, इसलिए औसत वेग और औसत चाल का अनुपात $1:1$ होता है。

(D) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $B$ के बीच की सबसे कम दूरी है।
चूंकि विस्थापन लिए गए पथ की परवाह किए बिना समान रहता है,इसलिए औसत वेग केवल $A$ से $B$ तक जाने में लगे कुल समय पर निर्भर करता है।
इसलिए,हम औसत वेग की गणना करने के लिए $1, 2$ या $3$ में से किसी भी पथ का उपयोग कर सकते हैं,बशर्ते हमें उस विशिष्ट पथ के लिए लिया गया कुल समय पता हो।
अतः,सही उत्तर उपरोक्त सभी है।

(B) त्वरण को समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\text{त्वरण} = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{लिया गया समय}}$
वेग की $SI$ इकाई $\text{मीटर प्रति सेकंड}$ ($m/s$ या $m s^{-1}$) है और समय की $SI$ इकाई $\text{सेकंड}$ $(s)$ है।
इन इकाइयों को सूत्र में रखने पर:
$\text{त्वरण की इकाई} = \frac{m s^{-1}}{s} = m s^{-2}$
इसलिए,$(second)^{2}$ हर (denominator) में आता है क्योंकि वेग को समय से विभाजित किया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप हर में समय की इकाई का वर्ग हो जाता है।

(A) $(i)$ हाँ। नियत चाल से गति कर रहा कण त्वरित हो सकता है यदि उसकी गति की दिशा बदल रही हो,जैसे कि एकसमान वृत्तीय गति में।
$(ii)$ नहीं। त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि वेग नियत है,तो वेग में परिवर्तन की दर शून्य होती है,जिसका अर्थ है कि त्वरण शून्य है।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु की गति को प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार ट्रैक के एक पूर्ण चक्कर के लिए,तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है,जो $2 \pi r$ है।
यह दिया गया है कि इस चक्कर को पूरा करने में लिया गया समय $t$ है,इसलिए गति $v$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2 \pi r}{t}$.

(B) दूरी किसी वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई है,जबकि विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सबसे कम दूरी है।
विस्थापन का परिमाण और दूरी समान होने के लिए,वस्तु को बिना दिशा बदले एक सीधी रेखा में गति करनी चाहिए।
यदि वस्तु अपनी दिशा बदलती है,तो कुल पथ की लंबाई (दूरी) प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा की दूरी (विस्थापन) से अधिक होगी।

(A) हाँ। जब कोई पिंड एक वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल से गति करता है,तो उसकी गति की दिशा प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है। चूँकि वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए दिशा में परिवर्तन वेग में परिवर्तन लाता है। वेग में यह परिवर्तन त्वरण उत्पन्न करता है,जिसे अभिकेंद्र त्वरण कहा जाता है।

(C) विस्थापन को किसी वस्तु की प्रारंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस स्थिति में,लड़का और फुटबॉल दोनों एक ही प्रारंभिक बिंदु (जहाँ से लड़का गेंद को किक मारता है) से शुरू करते हैं और एक ही अंतिम बिंदु (जहाँ लड़का गेंद को पकड़ता है) पर समाप्त करते हैं।
चूंकि प्रारंभिक और अंतिम स्थितियाँ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए उनका विस्थापन बराबर है।
हालाँकि फुटबॉल द्वारा तय की गई दूरी एक वक्र पथ (प्रक्षेप्य गति) है और लड़के द्वारा तय की गई दूरी जमीन पर एक सीधा या वक्र पथ है,लेकिन विस्थापन केवल शुरुआती और अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है,न कि तय किए गए पथ पर।

(B) किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी उसके विस्थापन के परिमाण के बराबर तब होती है जब वस्तु एक सीधी रेखा में एक ही दिशा में गति करती है।
इस स्थिति में,पथ की लंबाई (दूरी) प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की सीधी दूरी (विस्थापन) के समान होती है।
यदि वस्तु अपनी दिशा बदलती है,तो दूरी विस्थापन के परिमाण से अधिक हो जाएगी।

(B) जब कोई वस्तु एकसमान वेग से गति करती है,तो विस्थापन समय के सीधे समानुपाती होता है $(s = v \times t)$।
चूंकि यह संबंध रैखिक है,इसलिए विस्थापन-समय ग्राफ एक सीधी रेखा प्राप्त होता है।
यदि वस्तु $t = 0$ समय पर मूल बिंदु से गति शुरू करती है,तो यह ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

(B) विस्थापन-समय ग्राफ में,ढाल वस्तु के वेग का मान दर्शाता है।
जब कोई वस्तु एकसमान गति में होती है,तो वह समय के समान अंतरालों में समान विस्थापन तय करती है।
इसलिए,वेग स्थिर रहता है।
चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए विस्थापन-समय ग्राफ का ढाल भी स्थिर रहता है।

(B) एकसमान त्वरण से गति कर रही वस्तु के लिए,विस्थापन $s$ और समय $t$ के बीच का संबंध गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $s$,$t$ का एक द्विघात फलन (quadratic function) है,इसलिए विस्थापन-समय ग्राफ एक परवलय (Parabola) होता है।

(B) नहीं,यह संभव नहीं है। दूरी किसी वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई होती है। यदि कोई वस्तु गति करती है,तो उसने कुछ दूरी अवश्य तय की होगी। विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है। यदि विस्थापन शून्य नहीं है,तो इसका अर्थ है कि वस्तु ने अपनी स्थिति बदल ली है,जिसका अर्थ है कि वस्तु गति में रही होगी,और इसलिए,तय की गई दूरी शून्य नहीं हो सकती है।

(B) जब त्वरण का परिमाण स्थिर होता है लेकिन इसकी दिशा हमेशा कण के वेग के लंबवत होती है,तो कण एकसमान वृत्तीय गति करता है।
इस स्थिति में,त्वरण अभिकेंद्री त्वरण के रूप में कार्य करता है,जो वेग के परिमाण को स्थिर रखते हुए उसकी दिशा को लगातार बदलता रहता है।
इसलिए,कण द्वारा अपनाया गया पथ एक वृत्ताकार पथ होता है।

(B) वेग$-$समय ग्राफ में,किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी वेग$-$समय वक्र और समय अक्ष के बीच घिरे क्षेत्रफल के बराबर होती है।
एकसमान गति के लिए,वेग$-$समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
इस रेखा के नीचे बनने वाले आयत का क्षेत्रफल उस समय अंतराल के दौरान वस्तु द्वारा तय की गई दूरी को दर्शाता है।

(B) वस्तु का विस्थापन $s$,समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,जिसे $s \propto t^2$ या $s = kt^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ के अनुसार,यदि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,तो $s = \frac{1}{2}at^2$ होता है।
$s = kt^2$ की तुलना $s = \frac{1}{2}at^2$ से करने पर,हमें $k = \frac{1}{2}a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a = 2k$ है।
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $a$ भी स्थिर रहता है।
अतः,वस्तु एकसमान त्वरण के साथ गति कर रही है।

(A) पिंड का विस्थापन $s$,व्यतीत हुए समय $t$ के समानुपाती है,जिसे $s \propto t$ या $s = kt$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ वेग को दर्शाने वाला एक स्थिरांक है।
चूँकि वेग $(v = ds/dt = k)$ समय के साथ स्थिर रहता है,इसलिए पिंड एकसमान गति में है।
अतः,सही उत्तर एकसमान गति है।

(C) गतिमान वस्तु को बिंदु वस्तु तब माना जाता है यदि उसके द्वारा तय की गई दूरी वस्तु के आयामों (आकार) की तुलना में बहुत अधिक हो। ऐसे मामलों में,वस्तु का आकार तय किए गए पथ की तुलना में नगण्य हो जाता है।

(B) नहीं,किसी वस्तु की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
चाल को तय की गई कुल दूरी और लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दूरी एक अदिश राशि है और यह तय किए गए कुल पथ की लंबाई को दर्शाती है,इसलिए यह हमेशा धनात्मक या शून्य होती है।
अतः,दूरी और समय का अनुपात (चाल) भी हमेशा गैर-ऋणात्मक ही होता है।

(C) कण का वेग समय के सापेक्ष विस्थापन में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल द्वारा दिया जाता है $(v = \frac{ds}{dt})$।
यदि विस्थापन-समय ग्राफ विस्थापन अक्ष के समानांतर है,तो इसका अर्थ है कि विस्थापन एक ही समय बिंदु पर तात्कालिक रूप से बदल रहा है।
गणितीय रूप से,ऊर्ध्वाधर अक्ष के समानांतर रेखा का ढाल अपरिभाषित या अनंत होता है।
इसलिए,कण का वेग अनंत है।