Mix Example - MOTION Questions in Gujarati

(A) સ્થાનાંતર એટલે પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર,અડધું વર્તુળ પૂર્ણ કર્યા પછી,કણ વ્યાસના એક છેડાથી બીજા છેડા પર પહોંચે છે.
પ્રારંભિક સ્થાન અને અંતિમ સ્થાન એકબીજાથી વ્યાસાંતરે (diametrically opposite) હોય છે.
આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર = $2r$.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર પહોંચે છે જ્યાં તેનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ મુજબ: $v^2 = u^2 + 2as$.
અહીં,$v = 0$,$a = -g$ (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગે છે),અને $s = h$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0^2 = u^2 + 2(-g)h$.
$0 = u^2 - 2gh$.
$2gh = u^2$.
તેથી,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h = u^2 / (2g)$ છે.

(C) સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે,જ્યારે પથલંબાઈ (અંતર) એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથની લંબાઈ છે.
કારણ કે લઘુત્તમ અંતર હંમેશા કુલ પથલંબાઈ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું જ હોય છે,તેથી સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય હંમેશા પથલંબાઈ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
તેથી,સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈનો ગુણોત્તર હંમેશા $\leq 1$ હોય છે.

(D) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $s = kt^2$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના ફેરફારનો દર છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $2k$ એક અચળાંક હોવાથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ રહે છે.
તેથી,પદાર્થ અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.

(A) $v-t$ (વેગ-સમય) આલેખમાં,$y$-અક્ષ વેગ $(v)$ દર્શાવે છે અને $x$-અક્ષ સમય $(t)$ દર્શાવે છે.
આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી આડી રેખા છે અને તે $v$-અક્ષ પર શૂન્યની ઉપર છે,જે દર્શાવે છે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
અચળ વેગનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ નિયમિત ગતિમાં છે.

(B) મેરી-ગો-રાઉન્ડ પર રહેલો છોકરો વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહ્યો છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં,ભલે ઝડપ અચળ રહે,પરંતુ ગતિની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાતી રહે છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશામાં ફેરફાર થવાને કારણે વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,છોકરો પ્રવેગી ગતિમાં છે.

(C) $v-t$ (વેગ-સમય) આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ વેગ $(v)$ અને સમય $(t)$ નો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
વેગ = સ્થાનાંતર / સમય હોવાથી,વેગ અને સમયનો ગુણાકાર સ્થાનાંતર આપે છે.
ક્ષેત્રફળ = વેગ $\times$ સમય = $(\text{m/s}) \times \text{s} = \text{m}$.
તેથી,$v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે અને તેનો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.

(D) અંતર-સમયના આલેખમાં,રેખાનો ઢાળ પદાર્થની ઝડપ દર્શાવે છે.
જેટલો ઢાળ વધારે,તેટલી ઝડપ વધારે.
આલેખ જોતા,કાર $C$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $D$,$A$ અને $B$ આવે છે.
તેથી,કાર $C$ સૌથી ઝડપી છે અને કાર $B$ નો ઢાળ સૌથી ઓછો છે,જે તેને સૌથી ધીમી કાર બનાવે છે.

(A) સમાન ગતિ (uniform motion) એટલે એવી ગતિ જેમાં પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે.
અંતર-સમયના આલેખમાં,આને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(A)$ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે સમયની સાથે અંતર અચળ દરે વધે છે,આમ તે સમાન ગતિ દર્શાવે છે.

(B) વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ એ વેગમાં થતો ફેરફાર અને સમયમાં થતા ફેરફારનો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે, $\text{ઢાળ} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ, વેગમાં થતા ફેરફારના દરને પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે $(a = \frac{dv}{dt})$, તેથી વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો પ્રવેગ દર્શાવે છે.
આથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અંતર એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથ લંબાઈ છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ પોતાની દિશા બદલ્યા વગર સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
વર્તુળાકાર ગતિ,આગળ-પાછળની ગતિ અથવા ભ્રમણકક્ષાની ગતિના કિસ્સામાં,પદાર્થ પોતાની દિશા બદલે છે,જેના કારણે સ્થાનાંતર એ કાપેલા કુલ અંતર કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ના,પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર શૂન્ય હોવું જરૂરી નથી.
સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે જે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવે છે,જ્યારે અંતર એ અદિશ રાશિ છે જે પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ પથની લંબાઈ દર્શાવે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ મુસાફરી પૂર્ણ કર્યા પછી તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે (પ્રારંભિક સ્થાન = અંતિમ સ્થાન),ત્યારે સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે.
જોકે,પદાર્થે પાછા ફરવા માટે ચોક્કસ પથ કાપ્યો જ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે કાપેલું કુલ અંતર શૂન્ય કરતાં વધુ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો કોઈ દોડવીર વર્તુળાકાર માર્ગ પર એક સંપૂર્ણ ચક્કર લગાવે,તો તેનું સ્થાનાંતર $0$ થાય છે,પરંતુ કાપેલું અંતર તે માર્ગના પરિઘ $(2 \pi r)$ જેટલું હોય છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સમાન વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $(a)$ $0$ હોય છે અને અંતિમ વેગ $(v)$ એ પ્રારંભિક વેગ $(u)$ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $v = u$.
$1$. ગતિનું પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ માં $a = 0$ મૂકતા,$v = u + (0)t$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $v = u$ થાય છે.
$2$. ગતિનું બીજું સમીકરણ $s = ut + (1/2)at^2$ માં $a = 0$ મૂકતા,$s = ut + (1/2)(0)t^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $s = ut$ થાય છે.
$3$. ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ માં $a = 0$ મૂકતા,$v^2 - u^2 = 2(0)s$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $v^2 - u^2 = 0$ અથવા $v^2 = u^2$ થાય છે.

(N/A) $1$. સ્થાનાંતર-સમયના આલેખ પરથી,વેગ એ રેખાનો ઢાળ છે.
$2$. $0-50 \, s$ ના સમયગાળા માટે,સ્થાનાંતર $0 \, m$ થી $100 \, m$ થાય છે. તેથી,વેગ $v_1 = \frac{100 \, m - 0 \, m}{50 \, s - 0 \, s} = 2 \, m/s$.
$3$. $50-100 \, s$ ના સમયગાળા માટે,સ્થાનાંતર $100 \, m$ થી $0 \, m$ થાય છે. તેથી,વેગ $v_2 = \frac{0 \, m - 100 \, m}{100 \, s - 50 \, s} = \frac{-100 \, m}{50 \, s} = -2 \, m/s$.
$4$. વેગ-સમયનો આલેખ $0$ થી $50 \, s$ સુધી $2 \, m/s$ નો અચળ વેગ અને $50$ થી $100 \, s$ સુધી $-2 \, m/s$ નો અચળ વેગ દર્શાવશે.

(A) પ્રથમ $8 \, s$ માં કાપેલું અંતર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી હોવાથી,$u = 0$ છે.
$x_1 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times (8)^2 = 160 \, m$.
$t = 8 \, s$ સમયે,વેગ $v$ ની ગણતરી $v = u + at = 0 + (5 \times 8) = 40 \, m/s$ તરીકે થાય છે.
બાકીના સમય માટે,જે $12 \, s - 8 \, s = 4 \, s$ છે,કાર $40 \, m/s$ ના અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
છેલ્લા $4 \, s$ માં કાપેલું અંતર $x_2 = v \times t = 40 \times 4 = 160 \, m$ છે.
તેથી,$12 \, s$ માં કાપેલું કુલ અંતર $x = x_1 + x_2 = 160 \, m + 160 \, m = 320 \, m$ છે.

(D) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $x\, km$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_{1} = \frac{x}{30}\, h$ છે.
$B$ થી $A$ સુધી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_{2} = \frac{x}{20}\, h$ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $= x + x = 2x\, km$ થાય.
કુલ લાગતો સમય $= t_{1} + t_{2} = \frac{x}{30} + \frac{x}{20} = \frac{2x + 3x}{60} = \frac{5x}{60} = \frac{x}{12}\, h$ થાય.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2x}{x/12} = 2 \times 12 = 24\, km\, h^{-1}$ થાય.

(A) $(i)$ વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક આડી રેખા હોવાથી,વેગ અચળ છે. તેથી,પ્રવેગ $0\,m/s^2$ છે.
$(ii)$ આલેખનું અવલોકન કરતા,સાયકલ સવારનો અચળ વેગ $20\,m/s$ છે.
$(iii)$ $15\,s$ માં સાયકલ સવાર દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે $v = 20\,m/s$ ઊંચાઈ અને $t = 15\,s$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે.
અંતર $= v \times t = 20\,m/s \times 15\,s = 300\,m$.

(N/A) જ્યારે પથ્થરને ઊર્ધ્વ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ મહત્તમ હોય છે. જેમ જેમ પથ્થર ઉપર જાય છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા સતત અધોગામી પ્રવેગ $(g)$ ને લીધે તેનો વેગ ઘટતો જાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતા પથ્થરનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કર્યા પછી,પથ્થર નીચેની તરફ પડવાનું શરૂ કરે છે. આ તબક્કા દરમિયાન,જમીન પર અથડાય ત્યાં સુધી તેનો વેગ નીચેની દિશામાં વધતો જાય છે.
આ ગતિ માટે વેગ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે ઉપરની ગતિ દરમિયાન સતત પ્રતિપ્રવેગ અને નીચેની ગતિ દરમિયાન સતત પ્રવેગ દર્શાવે છે.

(50 M) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H_1 = 150 \, m$ અને $H_2 = 100 \, m$ છે.
બંને પદાર્થો સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેમનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે.
બંને પદાર્થો ગુરુત્વાકર્ષણના સમાન પ્રવેગ $g$ સાથે નીચે પડે છે.
સમય $t$ માં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$u = 0$ હોવાથી,$t = 2 \, s$ માં બંને પદાર્થો દ્વારા કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}g(2)^2 = 2g$ થશે.
$2 \, s$ પછી,જમીનથી પ્રથમ પદાર્થની ઊંચાઈ $h_1 = H_1 - s = 150 - 2g$ હશે.
જમીનથી બીજા પદાર્થની ઊંચાઈ $h_2 = H_2 - s = 100 - 2g$ હશે.
$2 \, s$ પછી તેમની ઊંચાઈમાં તફાવત $h_1 - h_2 = (150 - 2g) - (100 - 2g) = 150 - 100 = 50 \, m$ થશે.
કારણ કે બંને માટે પ્રવેગ $g$ સમાન છે,કોઈપણ સમયે $t$ પર બંને પદાર્થો દ્વારા કાપેલું અંતર સમાન $(s = \frac{1}{2}gt^2)$ રહેશે.
તેથી,કોઈપણ સમયે $t$ પર ઊંચાઈમાં તફાવત $(H_1 - s) - (H_2 - s) = H_1 - H_2 = 150 - 100 = 50 \, m$ રહેશે.
આમ,ઊંચાઈમાં તફાવત અચળ રહે છે અને તે સમય સાથે બદલાતો નથી.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$.
પ્રથમ $2 \, s$ માટે,અંતર $s_1 = 20 \, m$ અને સમય $t_1 = 2 \, s$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 = 0(2) + \frac{1}{2} a(2)^2 \Rightarrow 20 = 2a \Rightarrow a = 10 \, m/s^2$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,આપણે $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ સમયે $t$ વેગ શોધી શકીએ છીએ.
$t = 7 \, s$ માટે:
$v = 0 + (10 \times 7) = 70 \, m/s$.

(N/A) સરેરાશ વેગ એટલે સ્થાનાંતરમાં થતો કુલ ફેરફાર ભાગ્યા લીધેલ કુલ સમય.
$1$. પ્રથમ $4 \, s$ માટે ($t = 0$ થી $4 \, s$):
સરેરાશ વેગ $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{4 - 0} = \frac{4}{4} = 1 \, m/s$.
$2$. પછીના $4 \, s$ માટે ($t = 4$ થી $8 \, s$):
સરેરાશ વેગ $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 4}{8 - 4} = \frac{0}{4} = 0 \, m/s$.
$3$. છેલ્લા $6 \, s$ માટે ($t = 10$ થી $16 \, s$):
સરેરાશ વેગ $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 - 6}{16 - 10} = \frac{-6}{6} = -1 \, m/s$.

(B) આપેલ પ્રારંભિક વેગ,$u = 5 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
પ્રવેગ,$a = 10^{4} \, ms^{-2}$.
$(i)$ અંતિમ વેગ $v = 2u = 2 \times 5 \times 10^{4} = 10 \times 10^{4} \, ms^{-1}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{v - u}{a}$ મળે.
$t = \frac{10 \times 10^{4} - 5 \times 10^{4}}{10^{4}} = \frac{5 \times 10^{4}}{10^{4}} = 5 \, s$.
$(ii)$ ગતિના બીજા સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$s = (5 \times 10^{4}) \times 5 + \frac{1}{2} \times (10^{4}) \times (5)^{2}$.
$s = 25 \times 10^{4} + 12.5 \times 10^{4} = 37.5 \times 10^{4} \, m$.

(C) એક સમાન પ્રવેગ $a$ અને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે $t$ સમયમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલ અંતર ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$5 \, s$ માં કાપેલ કુલ અંતર શોધો:
$s_5 = u(5) + \frac{1}{2}a(5)^2 = 5u + \frac{25}{2}a$ ........... $(i)$
ત્યારબાદ,$4 \, s$ માં કાપેલ કુલ અંતર શોધો:
$s_4 = u(4) + \frac{1}{2}a(4)^2 = 4u + \frac{16}{2}a = 4u + 8a$ ........... $(ii)$
$4^{th}$ અને $5^{th}$ સેકન્ડની વચ્ચેના સમયગાળામાં કાપેલ અંતર એ $5 \, s$ અને $4 \, s$ પરના અંતરનો તફાવત છે:
અંતર $= s_5 - s_4 = (5u + \frac{25}{2}a) - (4u + 8a)$
અંતર $= (5u - 4u) + (12.5a - 8a) = u + 4.5a$
અંતર $= (u + \frac{9}{2}a) \, m$.

જ્યારે કોઈ પદાર્થ શિરોલંબ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2as$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
સમીકરણમાં $v = 0$,$a = -g$,અને $s = h$ મૂકતા: $0 = u^{2} - 2gh$.
ઊંચાઈ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $h = \frac{u^{2}}{2g}$ મળે છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે જેનો પ્રારંભિક વેગ $u_{1}$ છે,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{1} = \frac{u_{1}^{2}}{2g}$ છે.
બીજા પથ્થર માટે જેનો પ્રારંભિક વેગ $u_{2}$ છે,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{2} = \frac{u_{2}^{2}}{2g}$ છે.
બંને ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{u_{1}^{2} / 2g}{u_{2}^{2} / 2g} = \frac{u_{1}^{2}}{u_{2}^{2}}$.
આમ,પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $h_{1}: h_{2} = u_{1}^{2}: u_{2}^{2}$ છે.

(A) ન્યુટનના ગતિના $\text{બીજા}$ $\text{નિયમ}$ મુજબ, પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા અસંતુલિત બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે બળની દિશામાં હોય છે。
ગાણિતિક રીતે, $F = \frac{dp}{dt}$, જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $p$ એ વેગમાન છે。
તેથી, વેગમાનના ફેરફારના દરને અનુરૂપ ભૌતિક રાશિ $\text{બળ}$ $(Force)$ છે。

(C) જો સ્થાનાંતર$-$સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા હોય,તો તે દર્શાવે છે કે સમયની સાથે પદાર્થના સ્થાનાંતરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર શૂન્ય હોવાથી,પદાર્થનો વેગ શૂન્ય છે.
તેથી,પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે.

(B) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં,રેખાનો ઢાળ પદાર્થનો વેગ દર્શાવે છે.
જો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર હોય,તો પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમય સાથે બદલાતું નથી.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે.
પદાર્થ તેનું સ્થાન બદલતું ન હોવાથી,તેનો વેગ $0 \ m/s$ છે.

(B) સ્થાનાંતર એટલે પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર અડધું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે તે વ્યાસના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી ગતિ કરે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ વ્યાસના એક છેડા પર છે અને અંતિમ સ્થિતિ વ્યાસના બરાબર સામેના છેડા પર છે.
આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર એ વ્યાસ જેટલું હોય છે,જે $2 \times R = 2\,R$ થાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગતિમાં હોય,ત્યારે સમયની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાન બદલાય છે.
પરિણામે,પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર અને પ્રારંભિક બિંદુથી તેનું સ્થાનાંતર સતત બદલાતા રહે છે.
તેથી,અંતર અથવા સ્થાનાંતર એ એવી ભૌતિક રાશિઓ છે જે પદાર્થ ગતિ કરે ત્યારે અનિવાર્યપણે બદલાય છે.

(B) સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય એ પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
અંતર એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથ લંબાઈ છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ પોતાની દિશા બદલ્યા વગર સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે કાપેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેના સીધા અંતર જેટલું જ હોય છે.
તેથી,માત્ર ત્યારે જ જ્યારે પદાર્થ એક જ દિશામાં સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરે,ત્યારે સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય અને કાપેલું અંતર સમાન હોય છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પોતાની દિશા બદલ્યા વગર સુરેખ પથ પર ગતિ કરે છે, ત્યારે તેના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય તે પદાર્થે કાપેલા કુલ અંતર જેટલું જ હોય છે。
સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ અને સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ હોવાથી, અને આ કિસ્સામાં સ્થાનાંતર = અંતર હોવાથી, સરેરાશ વેગ અને સરેરાશ ઝડપનો ગુણોત્તર $1:1$ થાય છે。

(D) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $B$ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર છે.
સ્થાનાંતર દરેક માર્ગ માટે સમાન હોવાથી,સરેરાશ વેગ માત્ર $A$ થી $B$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતા કુલ સમય પર આધાર રાખે છે.
તેથી,આપણે $1, 2$ અથવા $3$ માંથી કોઈપણ માર્ગનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ વેગની ગણતરી કરી શકીએ છીએ,જો આપણને તે ચોક્કસ માર્ગ માટે લાગતો કુલ સમય ખબર હોય.
આમ,સાચો જવાબ ઉપરોક્ત તમામ છે.

(B) પ્રવેગ એટલે સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર.
$\text{પ્રવેગ} = \frac{\text{વેગમાં થતો ફેરફાર}}{\text{લીધેલ સમય}}$
વેગનો $SI$ એકમ $\text{મીટર પ્રતિ સેકન્ડ}$ ($m/s$ અથવા $m s^{-1}$) છે અને સમયનો $SI$ એકમ $\text{સેકન્ડ}$ $(s)$ છે.
આ એકમોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{પ્રવેગનો એકમ} = \frac{m s^{-1}}{s} = m s^{-2}$
તેથી,$(second)^{2}$ છેદમાં આવે છે કારણ કે વેગને સમય વડે ભાગવામાં આવે છે,જેના પરિણામે છેદમાં સમયના એકમનો વર્ગ થાય છે.

(A) $(i)$ હા. અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો કણ પ્રવેગિત થઈ શકે છે જો તેની ગતિની દિશા બદલાતી હોય,જેમ કે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં.
$(ii)$ ના. પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર. જો વેગ અચળ હોય,તો વેગમાં થતા ફેરફારનો દર શૂન્ય થાય,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(A) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થની ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ટ્રેક પર એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે કાપેલું અંતર એ વર્તુળના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2 \pi r$ છે.
આ ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t$ આપેલ છે,તેથી ઝડપ $v$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2 \pi r}{t}$.

(B) પથલંબાઈ (અંતર) એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ માર્ગની લંબાઈ છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય અને પથલંબાઈ સમાન થાય તે માટે,પદાર્થે દિશા બદલ્યા વગર એક જ દિશામાં સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરવી જોઈએ.
જો પદાર્થ પોતાની દિશા બદલે છે,તો કુલ પથલંબાઈ (અંતર) એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુ વચ્ચેના સુરેખ અંતર (સ્થાનાંતર) કરતા વધારે હશે.

(A) હા. જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની ગતિની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશામાં થતો ફેરફાર વેગમાં ફેરફાર લાવે છે. વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરે છે,જેને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.

(C) સ્થાનાંતર એટલે પદાર્થની પ્રારંભિક સ્થિતિ અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર.
આ કિસ્સામાં,છોકરો અને ફૂટબોલ બંને એક જ પ્રારંભિક બિંદુ (જ્યાંથી છોકરો બોલને કિક મારે છે) થી શરૂઆત કરે છે અને એક જ અંતિમ બિંદુ (જ્યાં છોકરો બોલને પકડે છે) પર પહોંચે છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ બંને માટે સમાન હોવાથી,તેમનું સ્થાનાંતર સમાન છે.
જોકે ફૂટબોલ દ્વારા કાપેલું અંતર એક વક્ર માર્ગ (પ્રક્ષિપ્ત ગતિ) છે અને છોકરા દ્વારા કાપેલું અંતર જમીન પરનો સીધો કે વક્ર માર્ગ છે,પરંતુ સ્થાનાંતર માત્ર શરૂઆતના અને અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે,કાપેલા માર્ગ પર નહીં.

(B) જ્યારે પદાર્થ એક જ દિશામાં સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર તેના સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
આ કિસ્સામાં,પથની લંબાઈ (અંતર) એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેના સીધા અંતર (સ્થાનાંતર) જેટલી જ હોય છે.
જો પદાર્થ તેની ગતિની દિશા બદલે,તો અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતાં વધી જાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર એ સમયના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(s = v \times t)$.
આ સંબંધ રેખીય હોવાથી,સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ એક સીધી રેખા મળે છે.
જો પદાર્થ $t = 0$ સમયે ઉગમબિંદુથી ગતિની શરૂઆત કરે,તો આ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(B) સ્થાનાંતર-સમયના આલેખમાં,ઢાળ એ પદાર્થના વેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
જ્યારે પદાર્થ સમાન ગતિમાં હોય,ત્યારે તે સમયના સમાન ગાળામાં સમાન સ્થાનાંતર કરે છે.
તેથી,વેગ અચળ રહે છે.
વેગ અચળ હોવાથી,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ પણ અચળ રહે છે.

(B) અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,સ્થાનાંતર $s$ અને સમય $t$ વચ્ચેનો સંબંધ ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં $s$ એ $t$ નું દ્વિઘાત વિધેય હોવાથી,સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ પરવલય (Parabola) મળે છે.

(B) ના,તે શક્ય નથી. અંતર એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથની લંબાઈ છે. જો કોઈ પદાર્થ ગતિ કરે છે,તો તેણે કંઈક અંતર કાપ્યું જ હશે. સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. જો સ્થાનાંતર શૂન્ય ન હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થે તેનું સ્થાન બદલ્યું છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ ગતિમાં હોવો જોઈએ,અને તેથી,કાપેલું અંતર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(B) જ્યારે પ્રવેગનું મૂલ્ય અચળ હોય પરંતુ તેની દિશા હંમેશા કણના વેગને લંબ હોય,ત્યારે કણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
આ કિસ્સામાં,પ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે વેગના મૂલ્યને અચળ રાખીને તેની દિશાને સતત બદલે છે.
તેથી,કણ દ્વારા અનુસરવામાં આવતો માર્ગ વર્તુળાકાર હોય છે.

(B) વેગ$-$સમયના આલેખમાં,પદાર્થે કાપેલું અંતર એ વેગ$-$સમયના વક્ર અને સમયની ધરી વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
નિયમિત ગતિ માટે,વેગ$-$સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા હોય છે.
આ રેખાની નીચે બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થે કાપેલું અંતર દર્શાવે છે.

(B) પદાર્થનું સ્થાનાંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,જેને $s \propto t^2$ અથવા $s = kt^2$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ મુજબ,જો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોય,તો $s = \frac{1}{2}at^2$ થાય.
$s = kt^2$ ની સરખામણી $s = \frac{1}{2}at^2$ સાથે કરતા,આપણને $k = \frac{1}{2}a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2k$.
અહીં $k$ અચળાંક હોવાથી,પ્રવેગ $a$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,પદાર્થ અચળ પ્રવેગી ગતિ ધરાવે છે.

(A) પદાર્થનું સ્થાનાંતર $s$ એ લાગતા સમય $t$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જેને $s \propto t$ અથવા $s = kt$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k$ એ વેગ દર્શાવતો અચળાંક છે.
અહીં વેગ $(v = ds/dt = k)$ સમય સાથે અચળ રહેતો હોવાથી,પદાર્થ નિયમિત ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
તેથી,સાચો જવાબ નિયમિત ગતિ છે.

(C) ગતિમાન પદાર્થને બિંદુવત પદાર્થ ત્યારે ગણવામાં આવે છે જો તેના દ્વારા કપાયેલું અંતર તે પદાર્થના પરિમાણ (કદ) ની સરખામણીમાં ખૂબ જ મોટું હોય. આવા કિસ્સાઓમાં,પદાર્થનું કદ તેણે કાપેલા પથની સાપેક્ષમાં અવગણ્ય બની જાય છે.

(B) ના,કોઈ પદાર્થની ઝડપ ઋણ હોઈ શકે નહીં.
ઝડપ એટલે પદાર્થે કાપેલું કુલ અંતર અને તે માટે લાગેલા સમયનો ગુણોત્તર.
અંતર એ અદિશ રાશિ છે અને તે કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી તે હંમેશા ધન અથવા શૂન્ય હોય છે.
આથી,અંતર અને સમયનો ગુણોત્તર (ઝડપ) પણ હંમેશા અઋણ જ હોય છે.

(C) કણનો વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે $(v = \frac{ds}{dt})$.
જો સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ સ્થાનાંતર અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે સ્થાનાંતર એક જ સમયે ત્વરિત બદલાય છે.
ગાણિતિક રીતે,ઊભી અક્ષને સમાંતર રેખાનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત અથવા અનંત હોય છે.
તેથી,કણનો વેગ અનંત છે.