Mix Example - MOTION Questions in Hindi

(A) $(i)$ ग्राफ $(a)$ इस स्थिति को दर्शाता है। गेंद प्रारंभिक वेग के साथ शुरू होती है,गुरुत्वाकर्षण के कारण निरंतर मंदन का अनुभव करती है और उच्चतम बिंदु पर इसका वेग शून्य हो जाता है। इसके बाद,गेंद नीचे गिरती है और इसका वेग विपरीत दिशा में तब तक बढ़ता है जब तक कि वह वापस हाथ में न आ जाए।
$(ii)$ ग्राफ $(d)$ उस पिंड की स्थिति को दर्शाता है जो मंदित होकर (चाल कम होकर) एक स्थिर चाल प्राप्त करता है और फिर त्वरित (चाल बढ़कर) होता है।

(N/A) यह आलेख विराम अवस्था से गति शुरू करने वाली वस्तु की एकसमान त्वरित गति को दर्शाता है। समय $t = 0$ पर,वस्तु का वेग $0 \ m/s$ है।
$(b)$ यह आलेख उस वस्तु की एकसमान त्वरित गति को दर्शाता है जो विराम अवस्था से गति शुरू नहीं करती है। समय $t = 0$ पर,वस्तु के पास पहले से ही एक प्रारंभिक वेग होता है,जिसे वेग अक्ष पर अंतःखंड द्वारा दर्शाया गया है।

(N/A) औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जबकि औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विस्थापन एक सदिश राशि है और यदि किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति समान हो (जैसे वृत्तीय गति में),तो विस्थापन शून्य हो सकता है। चूंकि औसत वेग विस्थापन पर निर्भर करता है,इसलिए यह शून्य हो सकता है।
दूरी एक अदिश राशि है जो तय किए गए कुल पथ की लंबाई को दर्शाती है और गतिमान वस्तु के लिए यह हमेशा धनात्मक होती है। चूंकि औसत चाल कुल दूरी पर निर्भर करती है,इसलिए गतिमान वस्तु के लिए यह कभी शून्य नहीं हो सकती।

(N/A) वेग विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा निर्धारित किया जाता है,जहाँ $V = \frac{\Delta \text{विस्थापन}}{\Delta \text{समय}}$ है।
$(i)$ खंड $A-B$ के लिए: विस्थापन $2 \ s$ से $5 \ s$ के समयांतराल में $0 \ m$ से बदलकर $3 \ m$ हो जाता है।
$V_{AB} = \frac{3 - 0}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1 \ m \ s^{-1}$.
$(ii)$ खंड $B-C$ के लिए: विस्थापन $5 \ s$ से $7 \ s$ तक $3 \ m$ पर स्थिर रहता है।
$V_{BC} = \frac{3 - 3}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0 \ m \ s^{-1}$.
$(iii)$ खंड $C-D$ के लिए: विस्थापन $7 \ s$ से $10 \ s$ के समयांतराल में $3 \ m$ से बदलकर $0 \ m$ हो जाता है।
$V_{CD} = \frac{0 - 3}{10 - 7} = \frac{-3}{3} = -1 \ m \ s^{-1}$.

(N/A) $(i)$ खंड $OP$ एकसमान गति को दर्शाता है।
गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{75 \ m - 0 \ m}{4 \ s - 0 \ s} = \frac{75}{4} = 18.75 \ m \ s^{-1}$।
(ii) खंड $PQ$ समय अक्ष के समानांतर है,जो दर्शाता है कि वस्तु स्थिर है। समय अवधि $t = 4 \ s$ से $t = 14 \ s$ तक है,इसलिए वस्तु $14 - 4 = 10 \ s$ के लिए स्थिर थी।
(iii) खंड $QR$ एक ऐसी स्थिति को दर्शाता है जहाँ समय बढ़ने के साथ दूरी कम हो जाती है,जो एक आयाम में गति करने वाली वस्तु के लिए भौतिक रूप से असंभव है। अतः,यह एक वास्तविक स्थिति का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

(N/A) चाल प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी है,जबकि वेग प्रति इकाई समय में हुआ विस्थापन है।
चाल एक अदिश राशि है,जबकि वेग एक सदिश राशि है।
गतिशील वस्तु के लिए चाल कभी शून्य नहीं हो सकती,जबकि यदि विस्थापन शून्य हो तो वेग शून्य हो सकता है।
$(b)$ चाल और वेग दोनों के $SI$ मात्रक समान हैं,जो कि $m \ s^{-1}$ है।

(N/A) एकसमान वृत्तीय गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल से चलती है।
$(b)$ हाँ,एकसमान वृत्तीय गति एक त्वरित गति है। यद्यपि वस्तु की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वृत्ताकार पथ पर प्रत्येक बिंदु पर उसके वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है। चूँकि त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,और वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए दिशा में निरंतर परिवर्तन के कारण वेग में निरंतर परिवर्तन होता है,जिससे त्वरण उत्पन्न होता है।

$(a)$ यह एक दूरी-समय तालिका है।
$(b)$ बस एकसमान गति में है। यह निष्कर्ष इसलिए निकाला गया है क्योंकि बस प्रत्येक $15$ मिनट के समान समयांतराल में $10\, km$ की समान दूरी तय करती है।

(A) जब कोई वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की ओर गिरती है,तो उसे मुक्त पतन कहा जाता है।
निर्वात में हवा का कोई प्रतिरोध नहीं होता है। मुक्त रूप से गिरती हुई किसी भी वस्तु द्वारा अनुभव किया गया त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ होता है,जो पृथ्वी की सतह के निकट लगभग $9.8\,m/s^2$ होता है।
चूँकि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ गिरती हुई वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है,इसलिए दोनों वस्तुएँ समान त्वरण का अनुभव करेंगी।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ (प्रारंभिक वेग) और $s = h$ (ऊँचाई) है,हमें $h = \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
चूँकि $h$ और $g$ दोनों वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए लिया गया समय $(t)$ भी दोनों के लिए समान होगा। अतः,दोनों वस्तुएँ एक ही समय पर जमीन से टकराएंगी।

(N/A) त्वरण को किसी वस्तु के वेग में समय के साथ परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,इसे $a = (v - u) / t$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
प्रारंभिक वेग $(u)$,अंतिम वेग $(v)$,त्वरण $(a)$ और समय $(t)$ को जोड़ने वाला संबंध गति के पहले समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = u + at$.
एक समान त्वरित गति का एक उदाहरण गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की गति है।

(N/A) संख्या रेखा से,स्थितियाँ हैं: $A = 7 \, m$,$B = -2 \, m$,$C = 3 \, m$.
$(a)$ $A$ से $B$ तक की गति के लिए:
कुल दूरी $= |(-2) - 7| = 9 \, m$.
कुल विस्थापन $= -2 - 7 = -9 \, m$.
लिया गया समय $= 10 \, s$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{9}{10} = 0.9 \, m/s$.
औसत वेग $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{-9}{10} = -0.9 \, m/s$.
$(b)$ $A$ से $C$ तक की गति के लिए ($B$ होते हुए):
कुल दूरी $= |(-2) - 7| + |3 - (-2)| = 9 + 5 = 14 \, m$.
कुल विस्थापन $= 3 - 7 = -4 \, m$.
कुल समय $= 10 + 5 = 15 \, s$.
औसत चाल $= \frac{14}{15} \approx 0.933 \, m/s$.
औसत वेग $= \frac{-4}{15} \approx -0.267 \, m/s$.

(N/A) वेग-समय ग्राफ समय के साथ स्थिर वेग को दर्शाता है,जो एकसमान गति (uniform motion) का प्रतिनिधित्व करता है।
$(b)$ वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल वस्तु के विस्थापन को दर्शाता है। अतः,आयत $OABC$ का क्षेत्रफल विस्थापन को दर्शाता है।
$(c)$ सीधी रेखा $AB$ समय अक्ष के समानांतर है,जो यह इंगित करती है कि वस्तु का वेग समय के साथ स्थिर रहता है,जो एकसमान गति को दर्शाता है।

(N/A) $(i)$ मुक्त रूप से गिरता हुआ पत्थर एकसमान त्वरित गति प्रदर्शित करता है क्योंकि यह पृथ्वी के निरंतर गुरुत्वीय त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ के प्रभाव में होता है।
$(ii)$ जब किसी पत्थर को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो पृथ्वी उस पर नीचे की दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है। यह बल गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है,जिससे मंदन (ऋणात्मक त्वरण) उत्पन्न होता है,जिसके कारण वेग लगातार कम होता जाता है।
$(iii)$ ऐसी गति का एक उदाहरण एक वृत्ताकार पथ पर गति करती हुई वस्तु है जो अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाती है। चूंकि विस्थापन शून्य है,इसलिए औसत वेग शून्य होता है,लेकिन तय की गई कुल दूरी वृत्त की परिधि होती है,इसलिए औसत चाल शून्य नहीं होती है।

(N/A) $(i)$ धनात्मक त्वरण: यह तब होता है जब किसी वस्तु का वेग समय के साथ बढ़ता है। उदाहरण: एक सीधी सड़क पर विराम अवस्था से गति बढ़ाने वाली कार।
$(ii)$ ऋणात्मक त्वरण (मंदन): यह तब होता है जब किसी वस्तु का वेग समय के साथ घटता है। उदाहरण: चलती हुई कार में ब्रेक लगाना,जिससे उसकी गति धीमी हो जाती है।
$(iii)$ शून्य त्वरण: यह तब होता है जब कोई वस्तु एक समान वेग (एकसमान गति) से चलती है,जिसका अर्थ है कि गति या दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है। उदाहरण: एक सीधी,समतल सड़क पर $60 \ km/h$ की स्थिर गति से चलती हुई कार।

(N/A) दूरी-समय ग्राफ खींचने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. $x$-अक्ष पर समय और $y$-अक्ष पर दूरी ($km$ में) लें।
$2$. दिए गए बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करें: $(06:45, 0)$, $(07:00, 8)$, $(01:30, 8)$, और $(01:45, 0)$।
$3$. इन बिंदुओं को मिलाकर ग्राफ प्राप्त करें। ग्राफ दर्शाता है कि रेणु स्कूल पहुँचने के लिए $8 \, km$ की यात्रा करती है, वहाँ कुछ समय रुकती है और फिर घर वापस आती है।
दूरी-समय ग्राफ दी गई आकृति में दिखाए अनुसार है।

(N/A) विस्थापन,वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
विस्थापन $= \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} + \text{आयत का क्षेत्रफल} + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}$
$= (\frac{1}{2} \times 5 \times 4) + ((12 - 5) \times 4) + (\frac{1}{2} \times (15 - 12) \times 4)$
$= 10 + 28 + 6 = 44 \text{ m}$
$(b)$ ट्रक तब मंदित हो रहा है जब समय के साथ वेग घट रहा है,जो $12 \text{ s}$ से $15 \text{ s}$ के बीच होता है।
$(c)$ औसत वेग $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}}$
$= \frac{44 \text{ m}}{15 \text{ s}} \approx 2.93 \text{ m s}^{-1}$

(A) जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ का आधा भाग पूरा करती है, तो तय की गई दूरी वृत्त की परिधि की आधी होती है।
दूरी $= \pi R = \frac{22}{7} \times 7 = 22 \, m$.
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है, जो वृत्त का व्यास है।
विस्थापन $= 2R = 2 \times 7 = 14 \, m$.
वस्तु एकसमान वृत्तीय गति प्रदर्शित करती है क्योंकि यह एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर गति से चलती है।

(N/A) $(i)$ यदि कोई वस्तु समान समयांतराल में समान दूरी तय करती है,तो उसे एकसमान गति में कहा जाता है।
$(ii)$ यदि कोई वस्तु समान समयांतराल में असमान दूरी तय करती है,तो उसे असमान गति में कहा जाता है।
$(b)$ एकसमान गति में किसी वस्तु के लिए,दूरी-समय ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होती है,जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
[ग्राफ: कार्तीय तल पर एक सीधी रेखा जो मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होती है,जहाँ y-अक्ष 'दूरी' और x-अक्ष 'समय' को दर्शाता है।]

(N/A) किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी चाल-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
कार $P$ के लिए,ग्राफ एक त्रिभुज बनाता है जिसका आधार $= 4\, s$ और ऊँचाई $= 6\, m/s$ है।
दूरी $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4\, s \times 6\, m/s = 12\, m$.
कार $Q$ के लिए,ग्राफ एक आयत बनाता है जिसकी लंबाई $= 4\, s$ और चौड़ाई $= 3\, m/s$ है।
दूरी $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 4\, s \times 3\, m/s = 12\, m$.
दोनों कारों द्वारा तय की गई दूरी में अंतर $12\, m - 12\, m = 0\, m$ है।
$(b)$ हाँ,वे उस बिंदु पर समान चाल से चलती हैं जहाँ दोनों ग्राफ एक-दूसरे को काटते हैं। यह $t = 2\, s$ पर होता है,जहाँ दोनों कारों की चाल $3\, m/s$ है।
$(c)$ कार $P$ एकसमान त्वरित गति कर रही है क्योंकि इसका चाल-समय ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो चाल में निरंतर परिवर्तन को दर्शाता है। कार $Q$ एकसमान गति (स्थिर चाल) कर रही है क्योंकि इसका चाल-समय ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है,जो दर्शाता है कि इसकी चाल समय के साथ नहीं बदलती है।

(A) दिया गया है: समय $t = 3 \ s$,अंतिम वेग $v = 0 \ m s^{-1}$ (अधिकतम ऊँचाई पर),त्वरण $a = g = -9.8 \ m s^{-2}$ (नीचे की ओर)।
प्रारंभिक वेग $u$ ज्ञात करने के लिए:
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + at$
$0 = u + (-9.8) \times 3$
$u = 29.4 \ m s^{-1}$।
अधिकतम ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए:
गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = ut + \frac{1}{2}at^2$
$h = (29.4 \times 3) + \frac{1}{2} \times (-9.8) \times (3)^2$
$h = 88.2 - 44.1$
$h = 44.1 \ m$।

(A) भाग $1$: त्वरण चरण
प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 36 \, km/h = 10 \, m/s$,समय $t_1 = 10 \, s$।
त्वरण $a_1 = (v - u) / t_1 = (10 - 0) / 10 = 1 \, m/s^2$।
दूरी $s_1 = ut_1 + 0.5 a_1 t_1^2 = 0 + 0.5 \times 1 \times 10^2 = 50 \, m$।
भाग $2$: मंदन चरण
प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t_2 = 20 \, s$।
त्वरण $a_2 = (v - u) / t_2 = (0 - 10) / 20 = -0.5 \, m/s^2$।
दूरी $s_2 = ut_2 + 0.5 a_2 t_2^2 = 10 \times 20 + 0.5 \times (-0.5) \times 20^2 = 200 - 100 = 100 \, m$।
कुल दूरी = $s_1 + s_2 = 50 + 100 = 150 \, m$।

(A) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कूदने से पहले का कुल संवेग और कूदने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभ में,नाव और लड़की एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ माना जाता है।
माना लड़की का द्रव्यमान $m_1 = 50\, kg$ है और उसका वेग $v_1 = 3\, m s^{-1}$ है।
माना नाव का द्रव्यमान $m_2 = 300\, kg$ है और नाव का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
मान रखने पर: $(50 \times 3) + (300 \times v_2) = 0$.
$150 + 300 v_2 = 0$.
$300 v_2 = -150$.
$v_2 = -\frac{150}{300} = -0.5\, m s^{-1}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि नाव विपरीत दिशा (पीछे की ओर) में $0.5\, m s^{-1}$ के वेग से गति करती है।

(N/A) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। चूंकि विस्थापन एक सदिश राशि है,यदि कोई वस्तु अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाती है,तो कुल विस्थापन $0$ हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप औसत वेग $0$ होता है।
औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। चूंकि दूरी एक अदिश राशि है और यह कुल पथ की लंबाई को दर्शाती है,इसलिए गतिमान वस्तु के लिए यह $0$ नहीं हो सकती है।
उदाहरण: मान लीजिए कि एक वस्तु $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर गति कर रही है। यदि वस्तु एक पूरा चक्कर लगाती है,तो कुल विस्थापन $0$ होता है,इसलिए औसत वेग $0$ है। हालाँकि,तय की गई कुल दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है,जो $2 \pi r$ है। अतः,औसत चाल $\frac{2 \pi r}{t}$ है,जहाँ $t$ लिया गया समय है।

(N/A) कुल दूरी और विस्थापन की गणना करने के लिए,हम गति को एक निर्देशांक प्रणाली पर दर्शाते हैं।
$1$. कुल दूरी:
दूरी पदयात्री द्वारा तय किए गए पथ की कुल लंबाई है।
कुल दूरी $= 700\, m + 300\, m + 400\, m + 600\, m + 1200\, m + 300\, m + 100\, m = 3600\, m$.
$2$. विस्थापन:
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक बिंदु $O$ $(0, 0)$ है।
- $700\, m$ उत्तर की ओर: स्थिति $(0, 700)$.
- $300\, m$ पूर्व की ओर: स्थिति $(300, 700)$.
- $400\, m$ उत्तर की ओर: स्थिति $(300, 1100)$.
- $600\, m$ पश्चिम की ओर: स्थिति $(300 - 600, 1100) = (-300, 1100)$.
- $1200\, m$ दक्षिण की ओर: स्थिति $(-300, 1100 - 1200) = (-300, -100)$.
- $300\, m$ पूर्व की ओर: स्थिति $(-300 + 300, -100) = (0, -100)$.
- $100\, m$ उत्तर की ओर: स्थिति $(0, -100 + 100) = (0, 0)$.
चूंकि अंतिम स्थिति $(0, 0)$ प्रारंभिक स्थिति के समान है,इसलिए विस्थापन $0\, m$ है।

(N/A) $(i)$ घर $A$ को मूल बिंदु $(0 \ m)$ मानते हुए,घरों की स्थितियाँ इस प्रकार हैं: $A = 0 \ m, B = 10 \ m, C = 20 \ m, D = 30 \ m, E = 40 \ m$.
$(ii)$ घर $C$ की स्थिति $= 20 \ m$ और घर $E$ की स्थिति $= 40 \ m$ है। घर $E$ के सापेक्ष $C$ की स्थिति $20 \ m - 40 \ m = -20 \ m$ है। इसका अर्थ है कि घर $C$,घर $E$ से बाईं ओर $20 \ m$ की दूरी पर है।
$(iii)$ घर $B$ को संदर्भ बिंदु $(0 \ m)$ मानते हुए,घर $A$ की स्थिति $-10 \ m$ है और घर $D$ की स्थिति $20 \ m$ है।

(N/A) $(i)$ व्यक्ति $B$ स्थिर चाल से गति कर रहा है क्योंकि वह समान समय अंतराल (प्रत्येक $5\, \text{मिनट}$) में समान दूरी $(5\, km)$ तय करता है。
$(ii)$ व्यक्ति $C$ ने अधिकतम दूरी तय की है, जो $8.00\, am$ से $8.05\, am$ के बीच $10\, km$ है。
$(iii)$ व्यक्ति $A$ की औसत चाल $= \frac{\text{व्यक्ति } A \text{ द्वारा तय की गई कुल दूरी}}{\text{लिया गया कुल समय}}$
$= \frac{25\, km}{20\, min} = \frac{25\, km}{(20/60)\, h} = \frac{25 \times 60}{20}\, km\, h^{-1} = 75\, km\, h^{-1}$.

(N/A) $(i)$ एक कार की गति जब वह विराम अवस्था से शुरू होती है और एक निश्चित समय अंतराल में अपना वेग निरंतर बढ़ाती है।
$(ii)$ एक ट्रेन की गति जब वह स्टेशन पर पहुँचते समय धीमी हो जाती है।
$(iii)$ मुक्त रूप से नीचे गिरती हुई गेंद की गति।

(N/A) $(i)$ दूरी$-$समय ग्राफ की ढाल वस्तु की चाल को दर्शाती है।
$(ii)$ वेग$-$समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल वस्तु द्वारा तय किया गया कुल विस्थापन या दूरी को दर्शाता है।
$(iii)$ वेग$-$समय ग्राफ की ढाल वस्तु के त्वरण को दर्शाती है।

(N/A) $(i)$ एक क्षैतिज रेखा यह दर्शाती है कि समय के साथ वस्तु की स्थिति नहीं बदलती है,जिसका अर्थ है कि वस्तु विराम अवस्था में है।
$(ii)$ एक सीधी तिरछी रेखा एक स्थिर ढलान को दर्शाती है,जिसका अर्थ है कि वस्तु एकसमान वेग (नियत चाल) से गति कर रही है।
$(iii)$ एक वक्र रेखा बदलती हुई ढलान को दर्शाती है,जिसका अर्थ है कि वस्तु असमान वेग (परिवर्तनीय चाल/त्वरण) से गति कर रही है।

(N/A) $(i)$ $t = 2 \, s$ पर,स्थिति $x = 0 \, m$ है। $t = 6 \, s$ पर,स्थिति $x = 5 \, m$ है। अतः,तय की गई दूरी $= 5 \, m - 0 \, m = 5 \, m$ है।
(ii) गति को स्थिति-समय ग्राफ के ढलान (slope) द्वारा दर्शाया जाता है। $4 \, s$ से $6 \, s$ के अंतराल की तुलना में $2 \, s$ से $4 \, s$ के बीच ग्राफ का ढलान अधिक है। अतः,$2 \, s$ से $4 \, s$ के अंतराल के दौरान गति अधिक थी।
(iii) औसत गति $= \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{कुल लिया गया समय}}$.
कुल दूरी $= 5 \, m$.
कुल समय $= 6 \, s - 2 \, s = 4 \, s$.
औसत गति $= \frac{5 \, m}{4 \, s} = 1.25 \, m/s$.

(N/A) चित्र में दिखाए गए वेग-समय ग्राफ पर विचार करें।
एकसमान त्वरण $a$ के साथ गति कर रही वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $S$,वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है,जो कि समलंब चतुर्भुज $OABD$ का क्षेत्रफल है।
समलंब चतुर्भुज $OABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{(OA + BD) \times OD}{2}$
ग्राफ से,हमारे पास है:
$OA = u$ (प्रारंभिक वेग)
$BD = v$ (अंतिम वेग)
$OD = t$ (लिया गया समय)
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{(u + v) t}{2}$ --- (समीकरण $1$)
हम जानते हैं कि एकसमान त्वरण के लिए,$v = u + at$,जिसे समय $t$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
$at = v - u$
$t = \frac{v - u}{a}$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से $t$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$S = \frac{(u + v)(v - u)}{2a}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{v^2 - u^2}{2a}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें अंतिम समीकरण प्राप्त होता है:
$v^2 - u^2 = 2aS$

(N/A) दूरी किसी वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई है,जबकि विस्थापन किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
दूरी एक अदिश राशि है,जबकि विस्थापन एक सदिश राशि है।
गतिमान वस्तु के लिए दूरी कभी भी शून्य या ऋणात्मक नहीं हो सकती,जबकि विस्थापन धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
$(b)$ जब कोई वस्तु एक सीधी रेखा में एक ही दिशा में गति करती है और अपनी गति की दिशा नहीं बदलती है,तो उसके औसत वेग का परिमाण उसकी औसत चाल के बराबर होता है।

(N/A) त्वरण को समय के साथ वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,$a = \frac{v - u}{t}$। इसका $SI$ मात्रक $m s^{-2}$ है।
$(b)$ वेग-समय ग्राफ निम्नलिखित हैं:
$(i)$ एकसमान त्वरित वेग के लिए,ग्राफ मूल बिंदु से ऊपर की ओर जाने वाली एक सीधी रेखा है,जो यह दर्शाता है कि समय के साथ वेग में समान दर से वृद्धि हो रही है।
$(ii)$ एकसमान मंदित वेग के लिए,ग्राफ नीचे की ओर जाने वाली एक सीधी रेखा है,जो यह दर्शाता है कि समय के साथ वेग में समान दर से कमी हो रही है जब तक कि वह शून्य न हो जाए।

(N/A) पहले $2 \ s$ में कार द्वारा तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत $t = 0$ से $t = 2 \ s$ तक के क्षेत्रफल के बराबर है,जो $\Delta ABE$ का क्षेत्रफल है।
दूरी $= \Delta ABE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$= \frac{1}{2} \times 2 \ s \times 15 \ m/s = 15 \ m$.
$(ii)$ ब्रेकिंग बल ज्ञात करने के लिए,हम पहले रेखा $CD$ के ढलान का उपयोग करके $t = 5 \ s$ से $t = 6 \ s$ तक त्वरण (मंदक) की गणना करेंगे।
$t = 5 \ s$ पर प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$ है।
$t = 6 \ s$ पर अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 6 \ s - 5 \ s = 1 \ s$.
त्वरण $a = \frac{v - u}{\Delta t} = \frac{0 - 15 \ m/s}{1 \ s} = -15 \ m/s^2$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = m \times a$.
$F = 1000 \ kg \times (-15 \ m/s^2) = -15000 \ N$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल गति की दिशा के विपरीत कार्य करने वाला ब्रेकिंग बल है। अतः,ब्रेकिंग बल का परिमाण $15000 \ N$ है।

(N/A) ऊपर की गति के लिए:
$v = u - gt$
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
अतः,$0 = u - gt_1$,जिससे $t_1 = \frac{u}{g}$ प्राप्त होता है $....(1)$
नीचे की गति के लिए:
वस्तु उच्चतम बिंदु से विरामावस्था से गिरती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u' = 0$ है।
सूत्र $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $s = h$ (अधिकतम ऊँचाई) और $a = g$:
$h = 0 + \frac{1}{2}gt_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
चूँकि $h = \frac{u^2}{2g}$,इस मान को रखने पर $t_2 = \sqrt{\frac{2(u^2/2g)}{g}} = \sqrt{\frac{u^2}{g^2}} = \frac{u}{g}$ प्राप्त होता है $....(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$t_1 = t_2$। अतः,ऊपर जाने का समय नीचे आने के समय के बराबर होता है।

(N/A) चूँकि वस्तु $h$ दूरी ऊपर की ओर और $h$ दूरी नीचे की ओर तय करती है,इसलिए तय की गई कुल दूरी $h + h = 2h$ है।
$(b)$ चूँकि वस्तु अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाती है,इसलिए विस्थापन $0$ है।
विस्थापन का परिमाण तय की गई दूरी के बराबर तब होता है जब वस्तु बिना अपनी दिशा बदले एक सीधी रेखा में गति करती है।

(N/A) जब कोई वस्तु स्थिर होती है,तो समय के साथ मूल बिंदु से उसकी दूरी नहीं बदलती है। ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है।
$(b)$ जब कोई वस्तु एकसमान चाल से गति करती है,तो वह समय के समान अंतरालों में समान दूरी तय करती है। ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होती है।
$(c)$ जब कोई वस्तु असमान चाल से गति करती है,तो वह समय के समान अंतरालों में असमान दूरी तय करती है। ग्राफ एक वक्र रेखा होती है।

$(6.67\, m s^{-1})$ किसी वस्तु की औसत चाल को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चरण $1$: कुल तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
पहले भाग के लिए दूरी $= 10\, m s^{-1} \times 5\, s = 50\, m$.
दूसरे भाग के लिए दूरी $= 5\, m s^{-1} \times 10\, s = 50\, m$.
कुल दूरी $= 50\, m + 50\, m = 100\, m$.
चरण $2$: कुल लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
कुल समय $= 5\, s + 10\, s = 15\, s$.
चरण $3$: औसत चाल की गणना कीजिए।
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{100\, m}{15\, s} \approx 6.67\, m s^{-1}$.

(B) ऑटोमोबाइल का ओडोमीटर वाहन द्वारा तय की गई दूरी को मापता है।
गति की तुलना करने के लिए,हम दोनों को $m \, s^{-1}$ में बदलते हैं:
$(i)$ स्कूटर की गति $= 300 \, m / 60 \, s = 5 \, m \, s^{-1}$।
$(ii)$ कार की गति $= 36 \, km/h = 36 \times (1000 \, m / 3600 \, s) = 36 \times (5/18) \, m \, s^{-1} = 10 \, m \, s^{-1}$।
चूंकि $10 \, m \, s^{-1} > 5 \, m \, s^{-1}$,इसलिए कार स्कूटर की तुलना में तेजी से चल रही है।

(N/A) यदि वेग-समय ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है,तो वस्तु एकसमान वेग से गति कर रही है और यह गति एकसमान गति है।
$(b)$ चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए वेग में परिवर्तन शून्य है। अतः,त्वरण,जो वेग परिवर्तन की दर है,शून्य है।
$(c)$ एकसमान गति के लिए,दूरी-समय ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(N/A) एकसमान त्वरण $a$ और प्रारंभिक वेग $u$ के साथ गति करने वाली वस्तु के लिए वेग-समय ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।
वस्तु द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी $S$,वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
ग्राफ के नीचे का कुल क्षेत्रफल आयत $OACD$ का क्षेत्रफल और उसके ऊपर स्थित त्रिभुज $ABC$ के क्षेत्रफल का योग है।
आयत $OACD$ का क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = t \times u = ut$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
चूंकि कुल दूरी $S$ इन क्षेत्रफलों का योग है,इसलिए:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$ $....(1)$
गति के पहले समीकरण से,हम जानते हैं कि $v = u + at$,जिसका अर्थ है कि $v - u = at$.
समीकरण $(1)$ में $(v - u) = at$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (at)$
$S = ut + \frac{1}{2}at^{2}$

(N/A) $(i)$ ग्राफ का भाग $AB$ त्वरण को दर्शाता है,क्योंकि वेग समय के साथ बढ़ता है।
$(ii)$ ग्राफ का भाग $CD$ मंदन को दर्शाता है,क्योंकि वेग समय के साथ घटता है।
$(iii)$ तय की गई दूरी $v-t$ ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
पहले $4 \ s$ के लिए,क्षेत्रफल त्रिभुज $ABE$ द्वारा दर्शाया गया है।
दूरी $S = \Delta ABE$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$S = \frac{1}{2} \times (AE) \times (BE)$
$S = \frac{1}{2} \times 4 \ s \times 4 \ m/s = 8 \ m$.

(N/A) दूरी: किसी वस्तु द्वारा तय किए गए कुल पथ की लंबाई को दूरी कहा जाता है।
विस्थापन: किसी वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी को विस्थापन कहा जाता है।
दिया गया है कि वृत्ताकार पार्क की परिधि $176 \, m$ है। वस्तु $4$ मिनट में एक चक्कर पूरा करती है।
$6$ मिनट के बाद पूरे किए गए चक्करों की संख्या $= \frac{6}{4} = 1.5$ चक्कर।
चूंकि $1$ चक्कर पूरा करने पर वस्तु वापस प्रारंभिक बिंदु पर आ जाती है,इसलिए $1.5$ चक्कर के बाद वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति के व्यासीय रूप से विपरीत (diametrically opposite) बिंदु पर होगी।
दिया गया है $2 \pi r = 176 \, m$,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
$r = \frac{176}{2 \pi} = \frac{176 \times 7}{2 \times 22} = 28 \, m$.
$1.5$ चक्कर के बाद विस्थापन वृत्ताकार पथ का व्यास होगा।
विस्थापन $= 2r = 2 \times 28 = 56 \, m$.

(N/A) विस्थापन वेग$-$समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ में $t = 0$ से $t = 5$ सेकंड तक एक त्रिभुज, $t = 5$ से $t = 12$ सेकंड तक एक आयत और $t = 12$ से $t = 15$ सेकंड तक एक त्रिभुज है।
क्षेत्रफल $= (1/2 \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}) + (\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}) + (1/2 \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई})$
क्षेत्रफल $= (1/2 \times 5 \times 4) + (7 \times 4) + (1/2 \times 3 \times 4) = 10 + 28 + 6 = 44 \text{ m}$.
$(b)$ मंदन तब होता है जब वेग समय के साथ घटता है। यह ग्राफ के उस भाग के अनुरूप है जहाँ ढाल ऋणात्मक है, जो $t = 12$ सेकंड से $t = 15$ सेकंड तक की अवधि है।
$(c)$ औसत वेग $= \text{कुल विस्थापन} / \text{कुल समय} = 44 \text{ m} / 15 \text{ s} = 2.93 \text{ m s}^{-1}$.

(N/A) $t=0$ पर,गति $0$ है और ग्राफ का ढलान $0$ है। इसलिए,प्रारंभिक त्वरण $0 \, m/s^2$ है।
$(b)$ $t=5 \, s$ और $t=60 \, s$ के बीच,गति-समय ग्राफ का ढलान बढ़ रहा है। चूंकि गति-समय ग्राफ का ढलान त्वरण को दर्शाता है,इसलिए इस अंतराल के दौरान रॉकेट का त्वरण बढ़ रहा है।
$(c)$ $t=80 \, s$ पर,ग्राफ एक सीधी रेखा है। इस रेखा का ढलान स्थिर है। $t=60 \, s$ $(v \approx 480 \, m/s)$ और $t=100 \, s$ $(v = 1400 \, m/s)$ के बीच ढलान की गणना करने पर: $a = \frac{1400 - 480}{100 - 60} = \frac{920}{40} = 23 \, m/s^2$। इस क्षेत्र में ग्राफ रैखिक होने के कारण त्वरण स्थिर है।
$(d)$ न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$। दिया गया है $m = 1.6 \times 10^{6} \, kg$ और $a = 23 \, m/s^2$,इसलिए परिणामी बल $F = 1.6 \times 10^{6} \times 23 = 3.68 \times 10^{7} \, N$। बल शून्य नहीं है क्योंकि रॉकेट त्वरित गति कर रहा है।

(N/A) एक वेग$-$समय ग्राफ़ पर विचार करें जहाँ एक वस्तु $t=0$ समय पर $u$ प्रारंभिक वेग से चलना शुरू करती है और $t$ समय पर $v$ अंतिम वेग प्राप्त करती है। वेग$-$समय ग्राफ़ का ढाल त्वरण $(a)$ को दर्शाता है।
ढाल $= \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{लिया गया समय}} = \frac{v - u}{t}$.
अतः,$a = \frac{v - u}{t}$,जिससे हमें $at = v - u$ या $v = u + at$ प्राप्त होता है।
$(b)$ वाहन द्वारा तय की गई दूरी को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण को ओडोमीटर कहा जाता है।
$(c)$ हाँ,किसी गतिशील वस्तु का विस्थापन शून्य हो सकता है। यह तब होता है जब वस्तु अपनी गति पूरी करने के बाद अपने प्रारंभिक स्थान पर वापस आ जाती है,क्योंकि विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी होती है।

$(a)$ त्वरण वेग-समय ग्राफ का ढलान है।
कार $B$ के लिए, $t = 2 \, s$ और $t = 4 \, s$ के बीच, वेग $20 \, m/s$ से बदलकर $40 \, m/s$ हो जाता है।
$a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{40 - 20}{4 - 2} = \frac{20}{2} = 10 \, m/s^2$.
$(b)$ दोनों कारों का वेग तब समान होता है जहाँ उनके ग्राफ एक-दूसरे को काटते हैं। ग्राफ को देखने पर, प्रतिच्छेदन बिंदु $t = 2 \, s$ (वेग $= 20 \, m/s$) और $t = 6 \, s$ (वेग $= 60 \, m/s$) पर हैं।
$(c)$ तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है।
कार $A$ के लिए: क्षेत्रफल $t = 1$ से $t = 4$ तक का समलंब (trapezoid) और $t = 4$ से $t = 8$ तक का आयत है।
क्षेत्रफल $= (\frac{1}{2} \times (4 - 1) \times 60) + (60 \times (8 - 4)) = (\frac{1}{2} \times 3 \times 60) + (60 \times 4) = 90 + 240 = 330 \, m$.
कार $B$ के लिए: क्षेत्रफल $t = 0$ से $t = 8$ तक का त्रिभुज है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 80 = 320 \, m$.
$(d)$ $8 \, s$ के बाद, कार $A$ ने $330 \, m$ की दूरी तय की है और कार $B$ ने $320 \, m$ की दूरी तय की है।
अतः, कार $A$, $330 - 320 = 10 \, m$ आगे है।

(N/A) $(i)$ ग्राफ को देखने पर,लड़की $14$ मिनट पर $50 \ m$ की दूरी (सहेली के घर) पर पहुँचती है।
$(ii)$ $0$ से $2$ मिनट में,दूरी $= 20 \ m$। $2$ से $4$ मिनट में,दूरी $= 0 \ m$। $4$ से $6$ मिनट में,दूरी $= 40 - 20 = 20 \ m$। $6$ से $8$ मिनट में,दूरी $= 0 \ m$। $8$ से $10$ मिनट में,दूरी $= 40 - 20 = 20 \ m$। $10$ से $12$ मिनट में,दूरी $= 0 \ m$। कुल दूरी $= 20 + 0 + 20 + 0 + 20 + 0 = 60 \ m$।
$(iii)$ वह अपने घर की ओर तब चलती है जब घर से दूरी कम होती है। यह $8$ से $10$ मिनट और $14$ से $16$ मिनट के अंतराल के दौरान होता है।
$(iv)$ वह तब विराम अवस्था में होती है जब दूरी स्थिर रहती है (क्षैतिज रेखा)। यह $2-4$ मिनट ($2$ मिनट),$6-8$ मिनट ($2$ मिनट),और $10-12$ मिनट ($2$ मिनट) के दौरान होता है। विराम में बिताया गया कुल समय $= 2 + 2 + 2 = 6$ मिनट।
$(v)$ वह $14$ से $16$ मिनट के दौरान घर वापस लौटती है। तय की गई दूरी $= 50 \ m$। लिया गया समय $= 2$ मिनट। गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{50 \ m}{2 \ min} = 25 \ m/min$।

(N/A) $(i)$ $t = 0 \ h$ पर,बस $B$,$20 \ km$ पर है और बस $A$,$0 \ km$ पर है। अतः,बस $B$,$20 \ km$ आगे थी।
$(ii)$ हाँ,वे उस बिंदु पर मिलती हैं जहाँ दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं,जो $t = 9 \ h$ पर है।
$(iii)$ प्रतिच्छेदन बिंदु पर $(t = 9 \ h)$,$y$-अक्ष पर दूरी $60 \ km$ है। अतः,बस $A$ ने $60 \ km$ की दूरी तय की है।
$(iv)$ $t = 12 \ h$ पर,बस $A$,$80 \ km$ पर है और बस $B$,$70 \ km$ पर है। अंतर $80 \ km - 70 \ km = 10 \ km$ है।
$(v)$ बस $A$ तेज चल रही है क्योंकि इसके दूरी-समय ग्राफ का ढलान बस $B$ की तुलना में अधिक है,जो उच्च गति को दर्शाता है।

(N/A) $(ii)$ वेग-समय ग्राफ के अनुसार:
$2\, s$ के बाद पिंड द्वारा तय की गई दूरी $t = 0$ से $t = 2\, s$ तक ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर है।
क्षेत्रफल $= 2\, m s^{-1} \times 2\, s = 4\, m$.
$12\, s$ के बाद पिंड द्वारा तय की गई दूरी $t = 0$ से $t = 12\, s$ तक ग्राफ के नीचे का कुल क्षेत्रफल है।
इस क्षेत्रफल में पहले $5\, s$ के लिए आयत,अगले $5\, s$ के लिए समलंब चतुर्भुज और अंतिम $2\, s$ ($t = 10\, s$ से $t = 12\, s$ तक) के लिए समलंब चतुर्भुज शामिल हैं।
कुल दूरी $= (2\, m s^{-1} \times 5\, s) + \frac{1}{2} \times (2\, m s^{-1} + 10\, m s^{-1}) \times 5\, s + \frac{1}{2} \times (10\, m s^{-1} + 6\, m s^{-1}) \times 2\, s$
$= 10\, m + 30\, m + 16\, m = 56\, m$.