Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(D) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $S = 4 \pi r^2$ है।
मान लीजिए कि तीन गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 33 \, cm$,$r_2 = 44 \, cm$ और $r_3 = 48 \, cm$ हैं।
मान लीजिए कि चौथे गोले की त्रिज्या $R$ है।
प्रश्न के अनुसार,चौथे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल पहले तीन गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग के बराबर है:
$4 \pi R^2 = 4 \pi r_1^2 + 4 \pi r_2^2 + 4 \pi r_3^2$
दोनों पक्षों को $4 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R^2 = r_1^2 + r_2^2 + r_3^2$
$R^2 = (33)^2 + (44)^2 + (48)^2$
$R^2 = 1089 + 1936 + 2304$
$R^2 = 5329$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$R = \sqrt{5329} = 73 \, cm$.
अतः,चौथे गोले की त्रिज्या $73 \, cm$ है।

(A) प्रत्येक लोहे के खोखले बक्से के लिए: लंबाई $(l) = 30 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 15 \, cm$ और ऊंचाई $(h) = 10 \, cm$ है।
प्रत्येक घनाभ का आयतन $= l \times b \times h$.
$= 30 \times 15 \times 10 \, cm^3 = 4500 \, cm^3$.
अतः,$60$ ऐसे लोहे के बक्सों वाले कार्टन का आयतन $= 60 \times 4500 \, cm^3$.
$= 2,70,000 \, cm^3$.
चूंकि $1 \, m^3 = 1,000,000 \, cm^3$ होता है,इसलिए आयतन को घन मीटर में बदलने पर:
$= \frac{2,70,000}{1,000,000} \, m^3 = 0.27 \, m^3$.

(A) दिया गया है,घन की भुजा $a = 6 \, cm$ है।
$1$. घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल:
सूत्र: $TSA = 6a^2$
$TSA = 6 \times (6)^2 = 6 \times 36 = 216 \, cm^2$.
$2$. घन का आयतन:
सूत्र: $V = a^3$
$V = (6)^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \, cm^3$.

(C) दिए गए कमरे के लिए,विमाएँ हैं: लंबाई $(l) = 12 \, m$,चौड़ाई $(b) = 4 \, m$ और ऊँचाई $(h) = 3 \, m$.
कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई घनाभ के विकर्ण की लंबाई के बराबर होती है।
विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} \, m$
$d = \sqrt{144 + 16 + 9} \, m$
$d = \sqrt{169} \, m$
$d = 13 \, m$.
अतः,सबसे लंबी छड़ की लंबाई $13 \, m$ है।

(N/A) माना घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $l \, cm$,$b \, cm$ और $h \, cm$ हैं।
एक शीर्ष पर मिलने वाली तीन आसन्न सतहों के क्षेत्रफल $lb$,$bh$ और $hl$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है:
$lb = 700 \, cm^2$ --- $(i)$
$bh = 300 \, cm^2$ --- $(ii)$
$hl = 525 \, cm^2$ --- $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ का गुणा करने पर:
$(lb) \times (bh) \times (hl) = 700 \times 300 \times 525$
$l^2 b^2 h^2 = 110,250,000$
$(lbh)^2 = (10,500)^2$
$lbh = 10,500 \, cm^3$ (यह घनाभ का आयतन है)।
विमाएँ ज्ञात करने के लिए:
$(i)$ और $(iii)$ से,$lb = 700$ और $hl = 525$ है। $(i)$ को $(iii)$ से भाग देने पर $b/h = 700/525 = 4/3$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 4h/3$ है।
$b$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$(4h/3) \times h = 300$
$h^2 = 300 \times 3 / 4 = 225$
$h = 15 \, cm$.
अब,$b = 4(15)/3 = 20 \, cm$.
और $l = 700/20 = 35 \, cm$.
अतः,घनाभ की विमाएँ $35 \, cm$,$20 \, cm$ और $15 \, cm$ हैं और इसका आयतन $10,500 \, cm^3$ है।

(A) दिया गया है, टंकी की क्षमता = $60,000$ लीटर।
चूंकि $1$ मीटर$^3 = 1,000$ लीटर, इसलिए टंकी का आयतन मीटर$^3$ में $60,000 / 1,000 = 60$ मीटर$^3$ होगा।
घनाभ के आयतन का सूत्र $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $60 = 5 \times 4 \times h$।
$60 = 20 \times h$।
$h = 60 / 20 = 3$ मीटर।
अतः, टंकी की ऊंचाई $3$ मीटर है।

(B) $1$. टंकी का कुल आयतन ज्ञात कीजिए: $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 20\, \text{मीटर} \times 13\, \text{मीटर} \times 10\, \text{मीटर} = 2600\, \text{मीटर}^3$.
$2$. आयतन को लीटर में बदलें: चूँकि $1\, \text{मीटर}^3 = 1000\, \text{लीटर}$, इसलिए कुल क्षमता $2600 \times 1000 = 2,600,000\, \text{लीटर}$ है।
$3$. गाँव की दैनिक पानी की आवश्यकता ज्ञात कीजिए: $5000 \times 130\, \text{लीटर/दिन} = 650,000\, \text{लीटर/दिन}$.
$4$. पानी कितने दिनों तक चलेगा, यह ज्ञात कीजिए: $\frac{2,600,000}{650,000} = 4\, \text{दिन}$.

(N/A) माना घन की भुजा $a$ है। घन का आयतन $V = a^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $a^{3} = 3375\, cm^{3}$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$a = \sqrt[3]{3375} = 15\, cm$ प्राप्त होता है।
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $TSA = 6a^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$TSA = 6 \times (15)^{2} = 6 \times 225 = 1350\, cm^{2}$ है।
अतः,घन की भुजा $15\, cm$ है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1350\, cm^{2}$ है।

(N/A) माना लंबाई $l = 30\, cm$,चौड़ाई $b = 25\, cm$ और ऊँचाई $h\, cm$ है।
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $(LSA)$ $= 2h(l + b) = 2h(30 + 25) = 110h\, cm^2$.
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 2(lb + bh + lh) = 2(30 \times 25 + 25h + 30h) = 2(750 + 55h) = 1500 + 110h\, cm^2$.
प्रश्न के अनुसार,$TSA = 2 \times LSA$.
$1500 + 110h = 2(110h)$.
$1500 + 110h = 220h$.
$110h = 1500$.
$h = \frac{1500}{110} = \frac{150}{11}\, cm$.
आयतन $V = l \times b \times h = 30 \times 25 \times \frac{150}{11} = 750 \times \frac{150}{11} = \frac{112500}{11}\, cm^3$.

(N/A) विमाओं $a, b, c$ वाले घनाभ का आयतन $V = abc$ होता है।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2(ab + bc + ca)$ होता है।
अब,व्यंजक के दाहिने पक्ष $(RHS)$ पर विचार करें:
$RHS = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$
$S$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$RHS = \frac{2}{2(ab + bc + ca)} \left( \frac{bc + ac + ab}{abc} \right)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$RHS = \frac{1}{ab + bc + ca} \cdot \frac{ab + bc + ca}{abc}$
उभयनिष्ठ पद $(ab + bc + ca)$ को काटने पर:
$RHS = \frac{1}{abc}$
चूंकि $V = abc$,इसलिए:
$RHS = \frac{1}{V}$
अतः,$\frac{1}{V} = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ सिद्ध होता है।

(A) माना घनाभ की विमाएँ $l, b$ और $h$ हैं। तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल $lb = 4000$,$bh = 2000$ और $hl = 3200$ दिए गए हैं।
इन तीनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(lb)(bh)(hl) = 4000 \times 2000 \times 3200$.
$(lbh)^2 = 25,600,000,000$.
$lbh = \sqrt{25,600,000,000} = 160,000 \, cm^3$.
अब,विमाएँ ज्ञात करने के लिए:
$l = (lbh) / (bh) = 160,000 / 2000 = 80 \, cm$.
$b = (lbh) / (hl) = 160,000 / 3200 = 50 \, cm$.
$h = (lbh) / (lb) = 160,000 / 4000 = 40 \, cm$.
अतः,घनाभ की विमाएँ $80 \, cm, 50 \, cm, 40 \, cm$ हैं और इसका आयतन $160,000 \, cm^3$ है।

(C) माना घनाभ की विमाएँ $4x$,$3x$ और $1x$ हैं।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र: $TSA = 2(lb + bh + lh)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $3800 = 2((4x)(3x) + (3x)(x) + (4x)(x))$.
$3800 = 2(12x^{2} + 3x^{2} + 4x^{2})$.
$3800 = 2(19x^{2})$.
$3800 = 38x^{2}$.
$x^{2} = 100$,जिसका अर्थ है $x = 10 \, cm$.
अतः विमाएँ $4(10) = 40 \, cm$,$3(10) = 30 \, cm$ और $1(10) = 10 \, cm$ हैं।
घनाभ का आयतन $V = l \times b \times h = 40 \times 30 \times 10 = 12,000 \, cm^{3}$ है।

(A) $1$. घनाभ का आयतन = $\text{लंबाई }\times \text{चौड़ाई }\times \text{ऊँचाई }= 5 \,cm \times 4 \,cm \times 3 \,cm = 60 \,cm^3$।
$2$. एक घन का आयतन = $(\text{भुजा})^3 = (1 \,cm)^3 = 1 \,cm^3$।
$3$. घनों की संख्या = $\frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{एक घन का आयतन}} = \frac{60 \,cm^3}{1 \,cm^3} = 60$।
$4$. घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(lb + bh + lh) = 2(5 \times 4 + 4 \times 3 + 3 \times 5) = 2(20 + 12 + 15) = 2(47) = 94 \,cm^2$।
$5$. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6(\text{भुजा})^2 = 6(1)^2 = 6 \,cm^2$।
$6$. $60$ घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $60 \times 6 \,cm^2 = 360 \,cm^2$।
$7$. अनुपात = $\frac{94}{360} = \frac{47}{180}$ या $47:180$।

(A) दिया गया है:
लंबाई $(l)$ = $10\, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $6\, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $4\, cm$
घनत्व $( ho)$ = $7.8\, g/cm^3$
चरण $1$: घनाभ का आयतन $(V)$ ज्ञात कीजिए।
$V = l \times b \times h$
$V = 10\, cm \times 6\, cm \times 4\, cm = 240\, cm^3$
चरण $2$: घनाभ का द्रव्यमान $(m)$ ज्ञात कीजिए।
द्रव्यमान = घनत्व $\times$ आयतन
$m = 7.8\, g/cm^3 \times 240\, cm^3$
$m = 1872\, g$
अतः,घनाभ का द्रव्यमान $1872\, g$ है।

(B) माना कि चौथे घन की भुजा $x\, cm$ है।
घन का आयतन $V = a^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए घनों के आयतन $1^3 = 1\, cm^3$,$9^3 = 729\, cm^3$ और $10^3 = 1000\, cm^3$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$9\, cm$ और $10\, cm$ भुजा वाले घनों का कुल आयतन $1\, cm$ और $x\, cm$ भुजा वाले घनों के आयतन के योग के बराबर है।
अतः,$9^3 + 10^3 = 1^3 + x^3$.
$729 + 1000 = 1 + x^3$.
$1729 = 1 + x^3$.
$x^3 = 1728$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$x = \sqrt[3]{1728} = 12\, cm$.
इस प्रकार,चौथे घन की भुजा $12\, cm$ है।

(C) एक ठोस बेलन के लिए दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$
आयतन $(V) = 4620 \, cm^{3}$
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4620 = \frac{22}{7} \times (7)^{2} \times h$
$4620 = \frac{22}{7} \times 49 \times h$
$4620 = 22 \times 7 \times h$
$4620 = 154 \times h$
ऊँचाई $(h)$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{4620}{154}$
$h = 30 \, cm$
अतः,बेलन की ऊँचाई $30 \, cm$ है।

(D) बेलन के लिए दिया गया है: त्रिज्या $(r) = 14 \, cm$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 4400 \, cm^2$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4400 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times h$.
समीकरण को सरल करने पर: $4400 = 2 \times 22 \times 2 \times h = 88 \times h$.
अतः,$h = \frac{4400}{88} = 50 \, cm$.
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $V = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 50$.
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 50 = 44 \times 700 = 30800 \, cm^3$.

(N/A) बेलन के लिए दिया गया है:
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 3960 \, cm^{2}$
आयतन $(V)$ $= 41580 \, cm^{3}$
हम जानते हैं कि:
$CSA = 2 \pi r h = 3960 \, cm^{2}$ --- $(1)$
$V = \pi r^{2} h = 41580 \, cm^{3}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से भाग देने पर:
$\frac{V}{CSA} = \frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h} = \frac{41580}{3960}$
$\frac{r}{2} = 10.5$
$r = 21 \, cm$
अब,$r = 21 \, cm$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h = 3960$
$2 \times 22 \times 3 \times h = 3960$
$132 \times h = 3960$
$h = \frac{3960}{132} = 30 \, cm$
अतः,बेलन की त्रिज्या $21 \, cm$ और ऊँचाई $30 \, cm$ है।

(B) एक बेलनाकार सिक्के के लिए:
त्रिज्या $(r) = 1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ऊँचाई $(h) = 0.1 \, cm = \frac{1}{10} \, cm$
एक सिक्के का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{14}{10})^2 \times \frac{1}{10} \, cm^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{196}{100} \times \frac{1}{10} = \frac{22 \times 28}{1000} = \frac{616}{1000} \, cm^3 = 0.616 \, cm^3$
चूँकि ऐसे $60$ सिक्कों को एक के ऊपर एक रखकर एक बड़ा बेलन बनाया गया है,इसलिए कुल आयतन:
कुल आयतन $= 60 \times 0.616 \, cm^3 = 36.96 \, cm^3$.

(C) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 10 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 20 \, cm$
$\pi = 3.14$
सूत्र में मान रखने पर:
$V = 3.14 \times (10)^2 \times 20$
$V = 3.14 \times 100 \times 20$
$V = 314 \times 20$
$V = 6280 \, cm^3$
अतः,बेलन का आयतन $6280 \, cm^3$ है।

(A) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया है: $r = 3.5\,cm = \frac{7}{2}\,cm$ और $V = 2310\,cm^3$.
सूत्र में मान रखने पर:
$2310 = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times h$
$2310 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times h$
$2310 = \frac{11 \times 7}{2} \times h$
$2310 = 38.5 \times h$
$h = \frac{2310}{38.5} = 60\,cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $60\,cm$ है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 70 \,cm = 0.7 \,m$ और ऊँचाई $h = 1.5 \,m$ है।
बेलन का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{22}{7} \times (0.7)^2 \times 1.5$.
$V = \frac{22}{7} \times 0.49 \times 1.5 = 22 \times 0.07 \times 1.5 = 1.54 \times 1.5 = 2.31 \,m^3$.
चूँकि $1 \,m^3 = 1000 \,\text{लीटर}$,इसलिए टंकी की क्षमता $2.31 \times 1000 = 2310 \,\text{लीटर}$ होगी।

(C) दिया गया है:
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $8800 \, cm^2$
त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = $2 \pi r h$
$2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times h = 8800$
$2 \times 22 \times 4 \times h = 8800$
$176 \times h = 8800$
$h = \frac{8800}{176} = 50 \, cm$
अब,बेलन का आयतन = $\pi r^2 h$
आयतन = $\frac{22}{7} \times 28 \times 28 \times 50$
आयतन = $22 \times 4 \times 28 \times 50$
आयतन = $88 \times 1400 = 1,23,200 \, cm^3$.

(D) डुबोए गए घनाभ का आयतन $V = 22\, cm \times 16\, cm \times 7\, cm = 2464\, cm^3$ है।
जब घनाभ को डुबोया जाता है,तो विस्थापित पानी का आयतन घनाभ के आयतन के बराबर होता है।
मान लीजिए कि पानी के स्तर में हुई वृद्धि $h\, cm$ है।
बेलनाकार पात्र में विस्थापित पानी का आयतन $\pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 14\, cm$ है।
अतः,$\pi r^2 h = 2464$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h = 2464$.
$22 \times 2 \times 14 \times h = 2464$.
$616 \times h = 2464$.
$h = \frac{2464}{616} = 4\, cm$.
अतः,पानी के स्तर में हुई वृद्धि $4\, cm$ है।

(A) दिया गया है कि कागज की शीट एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $s = 44 \, cm$ है।
जब इसे इसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है,तो शीट की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है।
अतः,परिधि $C = 2 \pi r = 44 \, cm$ है।
$\pi = 22/7$ का उपयोग करने पर,$2 \times (22/7) \times r = 44$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(44/7) \times r = 44$,जिससे $r = 7 \, cm$ प्राप्त होता है।
बेलन की ऊँचाई $h$ वर्ग की भुजा के बराबर होगी,इसलिए $h = 44 \, cm$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$V = (22/7) \times (7)^2 \times 44$.
$V = (22/7) \times 49 \times 44 = 22 \times 7 \times 44$.
$V = 154 \times 44 = 6776 \, cm^3$.

(B) दिया गया है: आधार की परिधि $(C)$ = $440\, cm$,ऊँचाई $(h)$ = $80\, cm$.
चरण $1$: $C = 2\pi r$ का उपयोग करके त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करें।
$440 = 2 \times (22/7) \times r$
$r = (440 \times 7) / 44 = 70\, cm$.
चरण $2$: विमाओं को मीटर $(m)$ में बदलें: $r = 0.7\, m$,$h = 0.8\, m$.
चरण $3$: $V = \pi r^2 h$ का उपयोग करके आयतन $(V)$ की गणना करें।
$V = (22/7) \times (0.7)^2 \times 0.8$
$V = (22/7) \times 0.49 \times 0.8$
$V = 22 \times 0.07 \times 0.8 = 1.232\, m^3$.

(C) दिया गया है: नली की मोटाई = $5 \, mm = 0.5 \, cm$। आंतरिक त्रिज्या $(r)$ = $10 \, cm / 2 = 5 \, cm$। लंबाई $(h)$ = $70 \, cm$। बाहरी त्रिज्या $(R)$ = $r + \text{मोटाई} = 5 \, cm + 0.5 \, cm = 5.5 \, cm$। धातु का आयतन = $\pi(R^2 - r^2)h = \frac{22}{7} \times ((5.5)^2 - (5)^2) \times 70 = 22 \times (30.25 - 25) \times 10 = 22 \times 5.25 \times 10 = 1155 \, cm^3$। द्रव्यमान = $\text{आयतन} \times \text{घनत्व} = 1155 \, cm^3 \times 8 \, g/cm^3 = 9240 \, g$.

(D) $1$. कुएँ से निकाली गई मिट्टी का आयतन बेलन के आयतन के बराबर होता है: $V = \pi r^2 h$.
$2$. दिया गया व्यास $d = 14\, m$,इसलिए त्रिज्या $r = 7\, m$। गहराई $h = 50\, m$।
$3$. $V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 50 = 22 \times 7 \times 50 = 7700\, m^3$।
$4$. इस मिट्टी को $110\, m \times 100\, m = 11000\, m^2$ क्षेत्रफल वाले आयताकार खेत में फैलाया जाता है।
$5$. मान लीजिए ऊँचाई में वृद्धि $H$ है। तब,$V = A \times H$।
$6$. $7700 = 11000 \times H$।
$7$. $H = \frac{7700}{11000} = 0.7\, m$।
$8$. $cm$ में बदलने पर: $0.7 \times 100 = 70\, cm$।

(A) दिए गए शंकु के लिए:
त्रिज्या $(r) = 10 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $(l) = 26 \, cm$ है।
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h^2 = (26)^2 - (10)^2$
$h^2 = 676 - 100 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$।
शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (10)^2 \times 24$
$V = 3.14 \times 100 \times 8$
$V = 314 \times 8 = 2512 \, cm^3$।

(B) शंकु के लिए दिया गया है: त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 550 \, cm^2$.
शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $\pi r l$ है।
अतः,$550 = \frac{22}{7} \times 7 \times l$.
$550 = 22 \times l \implies l = \frac{550}{22} = 25 \, cm$.
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं:
$h^2 = l^2 - r^2 = (25)^2 - (7)^2 = 625 - 49 = 576$.
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24$.
$V = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$.

(C) दिए गए शंकु के लिए,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 423.9 \, cm^2$ है।
त्रिज्या : तिर्यक ऊँचाई $= 3:5$ है।
माना त्रिज्या $r = 3x \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 5x \, cm$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ होता है।
अतः,$423.9 = 3.14 \times 3x \times 5x$ है।
$423.9 = 3.14 \times 15x^2$ है।
$x^2 = \frac{423.9}{47.1} = 9$ है।
इसलिए,$x = 3$ है।
अतः,त्रिज्या $r = 3(3) = 9 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 5(3) = 15 \, cm$ है।
संबंध $l^2 = h^2 + r^2$ का उपयोग करके,ऊँचाई $h$ ज्ञात करते हैं:
$h^2 = l^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ है।
$h = \sqrt{144} = 12 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 9^2 \times 12$ है।
$V = 3.14 \times 81 \times 4 = 1017.36 \, cm^3$ है।

(D) दिया गया है: आधार की त्रिज्या $(r)$ = $14 \, cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $50 \, cm$.
सबसे पहले,हम संबंध $r^2 + h^2 = l^2$ का उपयोग करके शंकु की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं।
$14^2 + h^2 = 50^2$
$196 + h^2 = 2500$
$h^2 = 2500 - 196 = 2304$
$h = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 48$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 48$
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 16$
$V = 9856 \, cm^3$.
अतः,शंकु का आयतन $9856 \, cm^3$ है।

(A) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $\pi r^2$ आधार का क्षेत्रफल है।
दिया गया है,आधार का क्षेत्रफल $(A)$ = $1386 \, cm^2$ और ऊँचाई $(h)$ = $9 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times A \times h$
$V = \frac{1}{3} \times 1386 \times 9$
$V = 1386 \times 3$
$V = 4158 \, cm^3$ है।
अतः,शंकु का आयतन $4158 \, cm^3$ है।

(B) दिया है: त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$, तिर्यक ऊँचाई $(l) = 25 \, cm$।
सबसे पहले, $l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करें।
$h^2 = l^2 - r^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$।
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$।
शंकु का आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$।
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए धारिता $\frac{1232}{1000} = 1.232 \, \text{लीटर}$ है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $21 \,cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $29 \,cm$.
सबसे पहले,$l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके शंकु की ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करें।
$h^2 = l^2 - r^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \,cm$.
शंकु का आयतन $(V)$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 3 \times 7 \times 20 = 9240 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए धारिता $9240 / 1000 = 9.240 \,\text{लीटर}$ होगी।

(D) माना त्रिज्या $r = 5x$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 13x$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi rl = 1836.9 \, cm^2$ होता है।
मान रखने पर: $3.14 \times 5x \times 13x = 1836.9$.
$3.14 \times 65x^2 = 1836.9$.
$204.1x^2 = 1836.9$.
$x^2 = \frac{1836.9}{204.1} = 9$.
$x = 3$.
अतः,$r = 5 \times 3 = 15 \, cm$ और $l = 13 \times 3 = 39 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = \sqrt{1296} = 36 \, cm$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 36$.
$V = 3.14 \times 225 \times 12 = 3.14 \times 2700 = 8478 \, cm^3$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $35 \,cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $91 \,cm$.
सबसे पहले,$l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करें।
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{91^2 - 35^2} = \sqrt{(91 - 35)(91 + 35)} = \sqrt{56 \times 126} = \sqrt{7056} = 84 \,cm$.
शंकु का आयतन $(V)$ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 84 = 22 \times 35 \times 5 \times 84 / 3 = 22 \times 35 \times 5 \times 28 = 107800 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,litre$,धारिता $107800 / 1000 = 107.8 \,litres$ है।

(N/A) जब $\Delta ABC$ को भुजा $AB$ के परितः घुमाया जाता है,तो शंकु की ऊँचाई $h = AB = 6.3 \, cm$ और त्रिज्या $r = BC = 8.4 \, cm$ होती है। आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times 6.3 = 465.696 \, cm^3$। जब $\Delta ABC$ को भुजा $BC$ के परितः घुमाया जाता है,तो शंकु की ऊँचाई $h = BC = 8.4 \, cm$ और त्रिज्या $r = AB = 6.3 \, cm$ होती है। आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^2 \times 8.4 = 349.272 \, cm^3$।

(C) दिए गए गोले के लिए,त्रिज्या $(r) = 2.1 \, cm = \frac{21}{10} \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{10}\right)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \, cm^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{1} \times \frac{0.1}{1} \times 2.1 \times 2.1 \, cm^3$ (अंश में स्थित $21$ को हर के $3 \times 7 = 21$ से काटने पर)
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41 \, cm^3$
$V = 8.8 \times 4.41 \, cm^3 = 38.808 \, cm^3$.

(D) दिए गए अर्धगोले के लिए:
त्रिज्या $(r) = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
मान रखने पर:
आयतन $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times (6)^3 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times 216 \, cm^3$.
आयतन $= 2 \times 3.14 \times 72 \, cm^3$.
आयतन $= 452.16 \, cm^3$.

(A) दिए गए गोले के लिए,त्रिज्या $(r) = 6\, cm$ है।
दिए गए बेलनाकार तार के लिए,व्यास $1\, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $(R) = \frac{1}{2}\, cm$ होगी।
माना तार की लंबाई $H\, cm$ है।
चूंकि गोले को पिघलाकर तार बनाने पर आयतन समान रहता है:
बेलन का आयतन = गोले का आयतन
$\pi R^2 H = \frac{4}{3} \pi r^3$
मान रखने पर:
$R^2 H = \frac{4}{3} r^3$
$(\frac{1}{2})^2 \times H = \frac{4}{3} \times (6)^3$
$\frac{1}{4} \times H = \frac{4}{3} \times 216$
$\frac{1}{4} \times H = 4 \times 72$
$\frac{1}{4} \times H = 288$
$H = 288 \times 4 = 1152\, cm$.
लंबाई को मीटर में बदलने पर:
$H = \frac{1152}{100} = 11.52\, m$.
अतः,तार की लंबाई $11.52\, m$ है।

(D) $1$. लकड़ी के गोले की त्रिज्या $(R) = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
$2$. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4\pi R^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386\, cm^2$.
$3$. गोले पर बेलनाकार आधार द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \approx 7.07\, cm^2$.
$4$. एक गोले के लिए सिल्वर रंगने योग्य क्षेत्रफल $= 1386 - 7.07 = 1378.93\, cm^2$.
$5$. $8$ गोलों के लिए कुल क्षेत्रफल $= 8 \times 1378.93 = 11031.44\, cm^2$.
$6$. सिल्वर पेंट की लागत $= 11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$.
$7$. एक बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66\, cm^2$.
$8$. $8$ आधारों के लिए काला रंगने योग्य कुल क्षेत्रफल $= 8 \times 66 = 528\, cm^2$.
$9$. काले पेंट की लागत $= 528 \times 0.05 = ₹ 26.40$.
$10$. कुल लागत $= 2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$.

(B) दिया गया व्यास $d = 28 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 14 \, cm$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 88 \times 28 = 2464 \, cm^2$।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{4}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{34496}{3} = 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$।

(N/A) दिया गया है: व्यास $d = 42\, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
$1$. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2\pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772\, cm^2$.
$2$. अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 3\pi r^2$
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 3 \times 22 \times 3 \times 21 = 4158\, cm^2$.
$3$. अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3}\pi r^3$
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404\, cm^3$.

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ है।
दिया गया है $A = 5544 \, cm^2$,इसलिए $4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 5544$.
$r^2 = \frac{5544 \times 7}{4 \times 22} = \frac{5544 \times 7}{88} = 63 \times 7 = 441$.
अतः,$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (21)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21$.
$V = 4 \times 22 \times 21 \times 21 = 88 \times 441 = 38808 \, cm^3$.

(B) मान लीजिए गोले की त्रिज्या $r_1$ है और अर्धगोले की त्रिज्या $r_2$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r_1^2$ होता है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r_2^2$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर हैं:
$4\pi r_1^2 = 2\pi r_2^2$
दोनों पक्षों को $2\pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2r_1^2 = r_2^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{2}r_1 = r_2$
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात है:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
इस प्रकार,अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।

(C) $R = 20\, cm$ त्रिज्या वाले बड़े गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (20)^3 = \frac{4}{3} \pi (8000)\, cm^3$ है।
$r = 5\, cm$ त्रिज्या वाले एक छोटे अर्धगोले का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (5)^3 = \frac{2}{3} \pi (125)\, cm^3$ है।
अर्धगोलों की संख्या $n$ गोले के आयतन और एक अर्धगोले के आयतन के अनुपात से प्राप्त होती है:
$n = \frac{V_s}{V_h} = \frac{\frac{4}{3} \pi (8000)}{\frac{2}{3} \pi (125)} = \frac{4 \times 8000}{2 \times 125} = \frac{32000}{250} = 128$.
अतः,प्राप्त अर्धगोलों की कुल संख्या $128$ है।

(D) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
मान लीजिए कि तीन गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 3 \,cm, r_2 = 4 \,cm$ और $r_3 = 5 \,cm$ हैं।
तीनों गोलों का कुल आयतन $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ होगा।
$V_{total} = \frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi (27 + 64 + 125) = \frac{4}{3} \pi (216)$।
मान लीजिए कि नए गोले की त्रिज्या $R$ है। इसका आयतन $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ होगा।
चूँकि आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $V_{new} = V_{total}$।
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (216)$।
$R^3 = 216$।
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \,cm$।

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 18\, cm$ है।
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (18)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 5832 = 3888\pi\, cm^3$.
एक बेलनाकार बोतल का आयतन $V_c = \pi R^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R = 2\, cm$ और $h = 4\, cm$ है।
$V_c = \pi \times (2)^2 \times 4 = \pi \times 4 \times 4 = 16\pi\, cm^3$.
आवश्यक बोतलों की संख्या $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{3888\pi}{16\pi} = 243$ है।
अतः,$243$ बोतलों की आवश्यकता है।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
माना मूल गोले की त्रिज्या $R = 9 \,cm$ है।
माना तीन छोटे गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 1 \,cm$,$r_2 = 6 \,cm$ और $r_3$ (अज्ञात त्रिज्या) हैं।
चूँकि पिघलाने और पुन: ढालने के दौरान आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए मूल गोले का आयतन तीन छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$9^3 = 1^3 + 6^3 + r_3^3$
$729 = 1 + 216 + r_3^3$
$729 = 217 + r_3^3$
$r_3^3 = 729 - 217$
$r_3^3 = 512$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$r_3 = \sqrt[3]{512} = 8 \,cm$।
अतः,तीसरे गोले की त्रिज्या $8 \,cm$ है।