Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(A) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है और प्रारंभिक ऊँचाई $h$ है। प्रारंभिक आयतन $V_1 = \pi r^2 h$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ और नई ऊँचाई $h' = 2h$ है।
नया आयतन $V_2$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$V_2 = \pi (r')^2 (h')$
$V_2 = \pi (\frac{r}{2})^2 (2h)$
$V_2 = \pi (\frac{r^2}{4}) (2h)$
$V_2 = \frac{2}{4} \pi r^2 h$
$V_2 = \frac{1}{2} \pi r^2 h$
चूँकि $V_1 = \pi r^2 h$,इसलिए $V_2 = \frac{1}{2} V_1$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन आधा हो जाएगा।

(B) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R = 2r$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (2r)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \pi (8r^{3})$
$V = \frac{32}{3} \pi r^{3}$

(C) घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $6 \times (\text{भुजा})^2$ है।
यहाँ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $96 \, cm^2$ दिया गया है, इसलिए $6 \times (\text{भुजा})^2 = 96$ है।
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर, $(\text{भुजा})^2 = 16$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, भुजा की लंबाई $\text{भुजा} = \sqrt{16} = 4 \, cm$ है।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $(\text{भुजा})^3$ है।
अतः, आयतन $= (4)^3 = 64 \, cm^3$ है।

(D) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 2.1 \, cm$ और ऊँचाई $h = 8.4 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (2.1)^2 \times 8.4$.
जब शंकु को पिघलाकर गोला बनाया जाता है,तो आयतन समान रहता है।
माना गोले की त्रिज्या $R$ है। गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
दोनों आयतनों को बराबर रखने पर: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{1}{3} \pi (2.1)^2 \times 8.4$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{3} \pi$ से विभाजित करने पर: $4 R^3 = (2.1)^2 \times 8.4$.
$R^3 = \frac{(2.1)^2 \times 8.4}{4} = (2.1)^2 \times 2.1 = (2.1)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = 2.1 \, cm$.
अतः,गोले की त्रिज्या $2.1 \, cm$ है।

(A) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
जब त्रिज्या को दोगुना $(r' = 2r)$ और ऊँचाई को आधा $(h' = h/2)$ किया जाता है,तो नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA')$ होगा:
$CSA' = 2 \pi (2r) \times (h/2)$
$CSA' = 2 \pi r h$
चूँकि नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है,इसलिए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल समान रहेगा।

(B) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \text{आधार का क्षेत्रफल} + \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$.
यहाँ,त्रिज्या $R = \frac{r}{2}$ और तिर्यक ऊँचाई $L = 2l$ दी गई है।
$\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi R^2 + \pi RL$
मान रखने पर:
$= \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{r}{2}\right) \times (2l)$
$= \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) + \pi rl$
$= \pi r \left(\frac{r}{4} + l\right)$
$= \pi r \left(l + \frac{r}{4}\right)$.

(C) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1 = 2r$ और $r_2 = 3r$ हैं तथा उनकी ऊँचाइयाँ $h_1 = 5h$ और $h_2 = 3h$ हैं।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \frac{\pi (2r)^2 (5h)}{\pi (3r)^2 (3h)}$
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{4r^2 \times 5h}{9r^2 \times 3h} = \frac{20r^2h}{27r^2h} = \frac{20}{27}$
इस प्रकार,उनके आयतनों का अनुपात $20:27$ है।

(D) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $4 \times (\text{भुजा})^2$ है।
दिया गया है कि पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $256 \, m^2$ है,इसलिए:
$4 \times (\text{भुजा})^2 = 256$
$(\text{भुजा})^2 = 256 \div 4 = 64$
$\text{भुजा} = \sqrt{64} = 8 \, m$।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र: $(\text{भुजा})^3$ है।
अतः,आयतन $= (8)^3 = 512 \, m^3$ होगा।

(A) सबसे पहले,सभी विमाओं को एक ही इकाई (मीटर) में बदलें।
तख्ते की विमाएँ: $4 \,m$,$50 \,cm = 0.5 \,m$ और $20 \,cm = 0.2 \,m$ हैं।
गड्ढे का आयतन $= 16 \,m \times 12 \,m \times 4 \,m = 768 \,m^3$ है।
एक तख्ते का आयतन $= 4 \,m \times 0.5 \,m \times 0.2 \,m = 0.4 \,m^3$ है।
तख्तों की संख्या $= \frac{\text{गड्ढे का आयतन}}{\text{एक तख्ते का आयतन}} = \frac{768}{0.4} = 1920$ है।

(B) एक कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लंबे खंभे की लंबाई घनाभ के विकर्ण (space diagonal) की लंबाई के बराबर होती है।
$l$,$b$,और $h$ विमाओं वाले घनाभ के विकर्ण का सूत्र $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ होता है।
दी गई विमाएँ $l = 10 \text{ m}$,$b = 10 \text{ m}$,और $h = 5 \text{ m}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{लंबाई} = \sqrt{10^2 + 10^2 + 5^2}$
$= \sqrt{100 + 100 + 25}$
$= \sqrt{225}$
$= 15 \text{ m}$.

(C) गुब्बारा अर्धगोलाकार आकार का है।
$r$ त्रिज्या वाले अर्धगोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 3\pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दोनों स्थितियों में त्रिज्याएँ $r_1 = 6\,cm$ और $r_2 = 12\,cm$ हैं।
पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3\pi r_1^2}{3\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ है।
मान रखने पर,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{6^2}{12^2} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों गुब्बारों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $1:4$ है।

(TRUE) सत्य।
यहाँ,गोले की त्रिज्या $=$ बेलन की त्रिज्या $= r$ है।
गोले का व्यास $=$ बेलन की ऊँचाई $= 2r$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi r^2$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h = 2 \pi r (2r) = 4 \pi r^2$ है।
चूँकि दोनों क्षेत्रफल $4 \pi r^2$ के बराबर हैं,इसलिए यह कथन सत्य है।

(B) असत्य।
$r$ किनारे वाले घन से काटे गए सबसे बड़े संभव लंब वृत्तीय शंकु के लिए,शंकु की ऊँचाई $(h)$ घन के किनारे के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $h = r \, cm$।
शंकु के आधार का व्यास घन के किनारे के बराबर होना चाहिए,इसलिए आधार की त्रिज्या $(R)$ = $\frac{r}{2} \, cm$ होगी।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \cdot r = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) \cdot r = \frac{1}{12} \pi r^3 \, cm^3$।
चूँकि $\frac{1}{12} \pi r^3 \neq \frac{1}{6} \pi r^3$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि बेलन की ऊँचाई और व्यास गोले के व्यास के बराबर हैं।
चूँकि गोले का व्यास $2r$ है,इसलिए बेलन की ऊँचाई $h = 2r$ और बेलन का व्यास $2r$ है।
अतः,बेलन की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$।
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2 \pi r^3$।
बेलन के आयतन का दो-तिहाई $= \frac{2}{3} \times (2 \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi r^3$।
चूँकि गोले का आयतन $\frac{4}{3} \pi r^3$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(FALSE) माना शंकु की मूल त्रिज्या $r$ है और मूल ऊँचाई $h$ है।
मूल शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
अब,नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ और नई ऊँचाई $h' = 2h$ है।
नया आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi (r')^{2} h' = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^{2} (2h)$ होगा।
इसे सरल करने पर,$V_2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) (2h) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\right) = \frac{1}{2} V_1$ प्राप्त होता है।
चूँकि नया आयतन मूल आयतन का आधा है,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) एक लंबवृत्तीय शंकु में,ऊँचाई $(h)$,त्रिज्या $(r)$ और तिर्यक ऊँचाई $(l)$ हमेशा एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं,जहाँ तिर्यक ऊँचाई कर्ण होती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,संबंध $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ होता है।
चूँकि यह संबंध सभी लंबवृत्तीय शंकुओं के लिए सत्य है,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) मान लीजिए कि बेलन की त्रिज्या $r$ है और ऊँचाई $h$ है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई त्रिज्या $r' = 2r$ और नई ऊँचाई $h' = h/2$ है।
नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA')$ ज्ञात करने पर:
$CSA' = 2 \pi r' h' = 2 \pi (2r) (h/2) = 2 \pi r h$।
चूँकि $CSA' = CSA$ है,इसलिए जब त्रिज्या को दोगुना और ऊँचाई को आधा किया जाता है,तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) घन की भुजा $2r$ है। इस घन के भीतर समा सकने वाले सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई $h = 2r$ होगी और आधार का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा,इसलिए शंकु की त्रिज्या $R = r$ होगी।
इस शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (r)^2 (2r) = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
$r$ त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^3$ होता है।
चूँकि शंकु का आयतन $\frac{2}{3} \pi r^3$ है और अर्धगोले का आयतन भी $\frac{2}{3} \pi r^3$ है,इसलिए दोनों आयतन बराबर हैं।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) माना कि बेलन और लंबवृत्तीय शंकु दोनों की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ है।
लंबवृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $V_{cylinder} = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h) = 3 \times V_{cone}$ है।
अतः,बेलन का आयतन वास्तव में शंकु के आयतन का तीन गुना है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) माना कि शंकु,अर्धगोले और बेलन के आधार की त्रिज्या $r$ है। चूँकि वे समान आधार पर स्थित हैं,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ समान हैं।
दिया गया है कि उनकी ऊँचाई समान है,और अर्धगोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या $(r)$ के बराबर होती है,इसलिए शंकु और बेलन की ऊँचाई भी $r$ होगी।
$1$. शंकु का आयतन $(V_1)$: $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (r) = \frac{1}{3} \pi r^3$.
$2$. अर्धगोले का आयतन $(V_2)$: $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
$3$. बेलन का आयतन $(V_3)$: $V_3 = \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3 = \frac{3}{3} \pi r^3$.
आयतनों की तुलना करने पर: $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{3} \pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \frac{3}{3} \pi r^3 = 1 : 2 : 3$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $1 : 2 : 3$ है। दिया गया कथन सत्य है।

(B) माना कि घन के किनारे की लंबाई $a$ है।
घन के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $\sqrt{3} a$ होता है।
दिया गया है कि घन के विकर्ण की लंबाई $6 \sqrt{3} \, \text{cm}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\sqrt{3} a = 6 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = 6 \, \text{cm}$ प्राप्त होता है।
अतः,घन के किनारे की लंबाई $6 \, \text{cm}$ है,न कि $3 \, \text{cm}$।
इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(A) माना कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूंकि गोला घन के अंदर अंतर्निहित है,इसलिए गोले का व्यास घन की भुजा की लंबाई $a$ के बराबर होगा। अतः,गोले की त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ होगी।
घन का आयतन $(V_1)$ = $(\text{भुजा})^3 = a^3$.
गोले का आयतन $(V_2)$ = $\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{a^3}{8}) = \frac{\pi a^3}{6}$.
घन के आयतन और गोले के आयतन का अनुपात = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{a^3}{\frac{\pi a^3}{6}} = \frac{6}{\pi}$.
अतः,अनुपात $6: \pi$ है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन का मूल आयतन $V_{1} = \pi r^{2} h$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $2r$ हो जाती है। जब ऊँचाई को आधा किया जाता है,तो नई ऊँचाई $\frac{h}{2}$ हो जाती है।
नया आयतन $V_{2}$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$V_{2} = \pi (2r)^{2} \times \left(\frac{h}{2}\right)$
$V_{2} = \pi (4r^{2}) \times \left(\frac{h}{2}\right)$
$V_{2} = 2 \pi r^{2} h$
$V_{2} = 2 V_{1}$
चूँकि नया आयतन मूल आयतन का दोगुना है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(N/A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4\pi r^2 = 4 \times \pi \times 5^2 = 100\pi \, cm^2$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl = \pi \times 4 \times l = 4\pi l \, cm^2$,जहाँ $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।
प्रश्न के अनुसार,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 5 \times$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$100\pi = 5 \times 4\pi l$
$100\pi = 20\pi l$
$l = \frac{100}{20} = 5 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए,सूत्र $l^2 = h^2 + r^2$ का उपयोग करते हुए:
$5^2 = h^2 + 4^2$
$25 = h^2 + 16$
$h^2 = 25 - 16 = 9$
$h = 3 \, cm$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^2 \times 3$
$= \frac{22}{7} \times 16 = \frac{352}{7} \approx 50.29 \, cm^3$.

(N/A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है। यदि त्रिज्या में $10 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई त्रिज्या $r' = r + 0.1r = 1.1r$ हो जाती है।
नया आयतन $V'$ इस प्रकार है: $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^{3} = \frac{4}{3} \pi (1.1r)^{3}$।
$(1.1)^{3} = 1.331$ की गणना करने पर,$V' = 1.331 \times (\frac{4}{3} \pi r^{3}) = 1.331V$ प्राप्त होता है।
आयतन में वृद्धि $\Delta V = V' - V = 1.331V - V = 0.331V$ है।
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{0.331V}{V} \times 100 = 33.1 \%$ है।
अतः,आयतन में $33.1 \%$ की वृद्धि होती है।

(B) आयताकार बॉक्स का आंतरिक आयतन इस प्रकार है: $V_{\text{box}} = 16 \, cm \times 8 \, cm \times 8 \, cm = 1024 \, cm^3$.
$r = 2 \, cm$ त्रिज्या वाले एक गोले का आयतन सूत्र $V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2)^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 8 = \frac{100.48}{3} \approx 33.4933 \, cm^3$.
ऐसे $16$ गोलों द्वारा घेरा गया कुल आयतन: $V_{\text{total spheres}} = 16 \times 33.4933 = 535.8933 \, cm^3$.
प्रिजर्वेटिव तरल का आयतन बॉक्स में बची हुई जगह है: $V_{\text{liquid}} = V_{\text{box}} - V_{\text{total spheres}} = 1024 - 535.8933 = 488.1067 \, cm^3$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $488 \, cm^3$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि घन की भुजा $x \, m$ है।
चूंकि घन का आयतन $x^3$ होता है,इसलिए $x^3 = 15.625 \, m^3$ है।
घनमूल लेने पर,$x = \sqrt[3]{15.625} = 2.5 \, m$ प्राप्त होता है।
टंकी की कुल क्षमता $15.625 \, m^3$ है और इसकी ऊंचाई $2.5 \, m$ है।
टंकी में वर्तमान में $1.3 \, m$ गहराई वाले पानी का आयतन: $\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} = 2.5 \times 2.5 \times 1.3 = 8.125 \, m^3$ है।
उपयोग किए जा चुके पानी का आयतन कुल क्षमता और वर्तमान पानी के आयतन का अंतर है: $15.625 \, m^3 - 8.125 \, m^3 = 7.5 \, m^3$।

(D) एक ठोस गोलाकार गेंद द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा उस ठोस गोलाकार गेंद के आयतन के बराबर होती है।
गेंद का व्यास $d = 4.2 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{4.2}{2} = 2.1 \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1 = 88 \times 0.1 \times 4.41 = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, cm^3$.
अतः,विस्थापित पानी की मात्रा $38.808 \, cm^3$ है।

(A) शंक्वाकार तंबू के लिए आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो $\pi r l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ सूत्र का उपयोग करके तिर्यक ऊँचाई $(l)$ की गणना करते हैं,जहाँ $r = 12 \, m$ और $h = 3.5 \, m$ है।
$l = \sqrt{(12)^{2} + (3.5)^{2}} = \sqrt{144 + 12.25} = \sqrt{156.25} = 12.5 \, m$.
अब,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें:
क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 12 \times 12.5$.
क्षेत्रफल $= \frac{22 \times 150}{7} \approx 471.428 \, m^{2}$.
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आवश्यक क्षेत्रफल $471.42 \, m^{2}$ है।

(D) चूंकि दोनों गोले एक ही धातु से बने हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है।
वजन $W = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$.
अतः,वजन का अनुपात आयतन के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{W_1}{W_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
दिया गया है कि $W_1 = 5920 \, g$,$W_2 = 740 \, g$ और छोटे गोले का व्यास $d_2 = 5 \, cm$,इसलिए $r_2 = 2.5 \, cm$.
$\frac{5920}{740} = \frac{r_1^3}{(2.5)^3}$.
$8 = \frac{r_1^3}{15.625}$.
$r_1^3 = 8 \times 15.625 = 125$.
$r_1 = \sqrt[3]{125} = 5 \, cm$.

$(C)$ बेलनाकार गिलास की त्रिज्या $r = \text{व्यास} \div 2 = 7 \div 2 = 3.5 \, cm$ है।
गिलास में दूध की ऊँचाई $h = 12 \, cm$ है।
एक गिलास में दूध का आयतन $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 12$ है।
$V = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12 = 22 \times 1.75 \times 12 = 462 \, cm^3$ है।
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए एक गिलास में दूध की मात्रा $462 \div 1000 = 0.462 \, \text{लीटर}$ है।
$1600$ छात्रों के लिए आवश्यक कुल दूध $= 1600 \times 0.462 \, \text{लीटर} = 739.2 \, \text{लीटर}$ है।

(A) बेलनाकार रोलर की लंबाई (ऊंचाई) $h = 2.5\, m$ है और त्रिज्या $r = 1.75\, m$ है।
एक चक्कर में रोलर द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 2.5$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times 2.5 = 2 \times 22 \times 0.25 \times 2.5 = 44 \times 0.625 = 27.5\, m^{2}$.
सड़क पर तय किया गया कुल क्षेत्रफल $5500\, m^{2}$ है।
चक्करों की संख्या $= \frac{\text{कुल तय किया गया क्षेत्रफल}}{\text{एक चक्कर में तय किया गया क्षेत्रफल}}$.
चक्करों की संख्या $= \frac{5500}{27.5} = 200$ चक्कर।

(B) ओवरहेड टंकी का आयतन $V = 40 \, m \times 25 \, m \times 15 \, m = 15,000 \, m^3$ है।
चूँकि $1 \, m^3 = 1,000$ लीटर होता है,इसलिए लीटर में टंकी की कुल क्षमता $15,000 \times 1,000 = 15,000,000$ लीटर है।
गाँव के लिए दैनिक पानी की आवश्यकता $5,000 \times 75 = 375,000$ लीटर है।
टंकी का पानी कितने दिनों तक चलेगा,यह ज्ञात करने के लिए कुल क्षमता को दैनिक आवश्यकता से विभाजित करने पर:
$\text{दिनों की संख्या} = \frac{15,000,000}{375,000} = \frac{15,000}{375} = 40$ दिन।

(C) गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
माना बड़े लड्डू की त्रिज्या $R = 5 \, cm$ है और छोटे लड्डू की त्रिज्या $r = 2.5 \, cm$ है।
चूंकि सामग्री की कुल मात्रा समान रहती है,इसलिए छोटे लड्डूओं का कुल आयतन बड़े लड्डू के आयतन के बराबर होगा।
माना छोटे लड्डूओं की संख्या $n$ है।
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$n = \frac{R^3}{r^3} = (\frac{R}{r})^3$
$n = (\frac{5}{2.5})^3 = (2)^3 = 8$.
अतः,$2.5 \, cm$ त्रिज्या के $8$ लड्डू बनाए जा सकते हैं।

(D) जब एक समकोण त्रिभुज को उसकी एक भुजा (जो समकोण बनाती है) के परितः घुमाया जाता है,तो एक शंकु बनता है।
यहाँ,जिस भुजा के परितः त्रिभुज को घुमाया जाता है,वह शंकु की ऊँचाई $(h)$ बन जाती है और दूसरी भुजा आधार की त्रिज्या $(r)$ बन जाती है।
दिया है:
ऊँचाई $(h) = 8 \, cm$
त्रिज्या $(r) = 6 \, cm$
तिर्यक ऊँचाई $(l) = 10 \, cm$
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{CSA} = \pi r l$
मान रखने पर:
$\text{CSA} = \frac{22}{7} \times 6 \times 10$
$\text{CSA} = \frac{1320}{7} \approx 188.57 \, cm^2$
अतः,बने हुए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $188.57 \, cm^2$ है।

(A) आयताकार सतह की लंबाई $= 6\, m = 600\, cm$.
आयताकार सतह की चौड़ाई $= 4\, m = 400\, cm$.
वर्षा की गहराई $= 1\, cm$.
एकत्रित वर्षा के जल का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} = 600 \times 400 \times 1 = 240,000\, cm^3$.
माना बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊंचाई $h\, cm$ है।
बेलनाकार बर्तन की आंतरिक त्रिज्या $r = 20\, cm$.
बेलनाकार बर्तन में पानी का आयतन $= \pi r^2 h = 3.14 \times (20)^2 \times h = 3.14 \times 400 \times h = 1256h\, cm^3$.
आयतन की तुलना करने पर: $1256h = 240,000$.
$h = \frac{240,000}{1256} \approx 191.08\, cm$.
निकटतम पूर्णांक में,ऊंचाई $191\, cm$ होगी।

(B) यह नली एक खोखला बेलन है।
बाहरी व्यास $= 16 \, cm$, इसलिए बाहरी त्रिज्या $(R) = 16 / 2 = 8 \, cm$.
लोहे की शीट की मोटाई $= 2 \, cm$.
आंतरिक त्रिज्या $(r) = R - \text{मोटाई} = 8 \, cm - 2 \, cm = 6 \, cm$.
बेलन की लंबाई (ऊंचाई) $(h) = 100 \, cm$.
उपयोग किए गए लोहे का आयतन बेलन के बाहरी आयतन और आंतरिक आयतन के बीच का अंतर है।
आयतन $= \pi (R^2 - r^2) h$
आयतन $= \frac{22}{7} \times (8^2 - 6^2) \times 100$
आयतन $= \frac{22}{7} \times (64 - 36) \times 100$
आयतन $= \frac{22}{7} \times 28 \times 100$
आयतन $= 22 \times 4 \times 100 = 8800 \, cm^3$.

(A) अर्धवृत्ताकार शीट का व्यास $28 \, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = 14 \, cm$ है। जब इस शीट को मोड़कर एक खुला शंक्वाकार कप बनाया जाता है,तो शीट की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ बन जाती है।
अतः,$l = 14 \, cm$।
अर्धवृत्ताकार चाप की परिधि शंकु के आधार की परिधि बन जाती है। अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई $\pi R = \pi \times 14$ है।
मान लीजिए शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है। तब,$2 \pi r = 14 \pi$,जिससे $r = 7 \, cm$ प्राप्त होता है।
अब,हम $l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके शंकु की ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} \approx 12.124 \, cm$।
शंक्वाकार कप की धारिता (आयतन) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 12.124 \approx 622.38 \, cm^3$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $622.16 \, cm^3$ है।

(A) $(i)$ तंबू द्वारा घेरी गई जमीन का क्षेत्रफल आधार का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times 5^{2} = \frac{550}{7} \, m^{2}$.
छात्रों की संख्या $= \frac{\text{कुल जमीन का क्षेत्रफल}}{\text{प्रति छात्र क्षेत्रफल}} = \frac{550/7}{5/7} = \frac{550}{5} = 110$.
$(ii)$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $165 \, m^{2}$ है।
$\pi r l = 165 \Rightarrow \frac{22}{7} \times 5 \times l = 165$.
$l = \frac{165 \times 7}{110} = 10.5 \, m$.
$l^{2} = r^{2} + h^{2}$ का उपयोग करके,हम ऊँचाई $h$ ज्ञात करते हैं:
$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{(10.5)^{2} - 5^{2}} = \sqrt{110.25 - 25} = \sqrt{85.25} \approx 9.233 \, m$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 9.233 \approx 242.1 \, m^{3}$.

(C) अर्धगोलाकार टंकी का आंतरिक व्यास $= 14\, m$ है।
अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या $(r) = 14\, m / 2 = 7\, m$ है।
अर्धगोलाकार टंकी का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^{3} = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} \approx 718.66\, m^{3}$ है।
टंकी में पहले से ही $50$ किलोलीटर पानी है। चूंकि $1\, m^{3} = 1000$ लीटर,इसलिए $50$ किलोलीटर $= 50,000$ लीटर $= 50\, m^{3}$ है।
टंकी में पंप किए जाने वाले पानी का आयतन $= \text{कुल क्षमता} - \text{मौजूदा आयतन} = 718.66\, m^{3} - 50\, m^{3} = 668.66\, m^{3}$ है।

(A) माना दो गोलों के आयतन $V_{1}$ और $V_{2}$ हैं।
$\therefore \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \frac{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{3}$
$\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{4}{3} \quad ...(1)$
अब,माना दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल $SA_{1}$ और $SA_{2}$ हैं।
$\therefore \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \frac{4 \pi r_{1}^{2}}{4 \pi r_{2}^{2}}$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2} \quad [(1) \text{ का उपयोग करने पर}]$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \frac{16}{9}$
$\therefore SA_{1} : SA_{2} = 16 : 9$
अतः,दोनों गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $16 : 9$ है।

(B) घन की भुजा $a = 4 \, cm$ है।
घन का आयतन $V_{cube} = a^3 = (4)^3 = 64 \, cm^3$ है।
चूँकि गोला घन की भुजाओं को स्पर्श करता है,इसलिए गोले का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा,$d = 4 \, cm$।
गोले की त्रिज्या $r = d / 2 = 4 / 2 = 2 \, cm$ है।
गोले का आयतन $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3$ है।
$V_{sphere} = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 = \frac{704}{21} \approx 33.52 \, cm^3$।
बीच के रिक्त स्थान का आयतन = $V_{cube} - V_{sphere} = 64 - 33.52 = 30.48 \, cm^3$।

(C) गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $V_c = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि आयतन बराबर हैं,इसलिए $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $h = \frac{4}{3} r$ प्राप्त होता है।
बेलन का व्यास $d = 2r$ है।
व्यास और ऊँचाई के बीच का अंतर $d - h = 2r - \frac{4}{3} r = \frac{2}{3} r$ है।
व्यास ऊँचाई से कितने प्रतिशत अधिक है,यह ज्ञात करने के लिए: $\frac{d - h}{h} \times 100 = \frac{\frac{2}{3} r}{\frac{4}{3} r} \times 100 = \frac{2}{4} \times 100 = 50 \%$.

(N/A) एक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या $(r)$ $= 14\,cm$.
एक वृत्ताकार प्लेट की मोटाई $= 3\,cm$.
चूंकि प्लेटों को एक के ऊपर एक रखा गया है,इसलिए $30$ प्लेटों द्वारा निर्मित बेलन की ऊँचाई $(h)$ $= 30 \times 3 = 90\,cm$.
$(i)$ बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r(r + h) = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times (14 + 90) = 44 \times 2 \times 104 = 88 \times 104 = 9152\,cm^2$.
$(ii)$ बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 90 = 22 \times 2 \times 14 \times 90 = 44 \times 1260 = 55440\,cm^3$.

(A) दिए गए घनाभाकार बक्से के लिए:
लंबाई $(l) = 25 \, cm$
चौड़ाई $(b) = 20 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 10 \, cm$
घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + bh + hl)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(25 \times 20 + 20 \times 10 + 10 \times 25) \, cm^2$
$= 2(500 + 200 + 250) \, cm^2$
$= 2(950) \, cm^2$
$= 1900 \, cm^2$
अतः,घनाभाकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1900 \, cm^2$ है।

(B) दिया गया है कि घन की भुजा की लंबाई $a = 16\, cm$ है।
घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^2$ होता है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (16)^2\, cm^2$
$= 6 \times 256\, cm^2$
$= 1536\, cm^2$.
अतः,घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1536\, cm^2$ है।

(C) घनाभाकार बक्से के लिए: लंबाई $(l) = 30 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 25 \, cm$ और ऊँचाई $(h) = 20 \, cm$ है।
घनाभाकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + bh + hl) = 2(30 \times 25 + 25 \times 20 + 20 \times 30) \, cm^2 = 2(750 + 500 + 600) \, cm^2 = 2(1850) \, cm^2 = 3700 \, cm^2$ है।
घनाकार बक्से के लिए: किनारा $(a) = 25 \, cm$ है।
घनाकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6a^2 = 6(25)^2 \, cm^2 = 6(625) \, cm^2 = 3750 \, cm^2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,घनाकार बक्से में अधिक धातु की शीट का उपयोग होता है।
क्षेत्रफल में अंतर $3750 \, cm^2 - 3700 \, cm^2 = 50 \, cm^2$ है।
अतः,घनाकार बक्से में $50 \, cm^2$ अधिक धातु की शीट का उपयोग होता है।

(D) दिया है: लंबाई $(l) = 2\, m = 200\, cm$,चौड़ाई $(b) = 1\, m = 100\, cm$ और ऊंचाई $(h) = 80\, cm$.
टंकी की पांच सतहों को कवर करना है: दो सतह $(l \times h)$ की,दो सतह $(b \times h)$ की और एक ऊपरी सतह $(l \times b)$ की।
एक वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल $= 20\, cm \times 20\, cm = 400\, cm^2$.
$1$. $(l \times h)$ की दो सतहों के लिए आवश्यक टाइलें $= 2 \times \frac{200 \times 80}{400} = 2 \times \frac{16000}{400} = 2 \times 40 = 80$.
$2$. $(b \times h)$ की दो सतहों के लिए आवश्यक टाइलें $= 2 \times \frac{100 \times 80}{400} = 2 \times \frac{8000}{400} = 2 \times 20 = 40$.
$3$. ऊपरी सतह $(l \times b)$ के लिए आवश्यक टाइलें $= \frac{200 \times 100}{400} = \frac{20000}{400} = 50$.
कुल आवश्यक टाइलों की संख्या $= 80 + 40 + 50 = 170$.

(A) घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2(lb + bh + lh)$ है,जहाँ $l$ लंबाई,$b$ चौड़ाई और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $l = 20\, cm$,$b = 15\, cm$,$h = 12\, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(20 \times 15 + 15 \times 12 + 20 \times 12)$
$= 2(300 + 180 + 240)$
$= 2(720)$
$= 1440\, cm^2$.

(B) घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^2$ होता है,जहाँ $a$ घन की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है,$a = 35\, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (35)^2$
$= 6 \times 1225$
$= 7350\, cm^2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।