Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(C) धातु के गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 12\, cm$ है।
$V_s = \frac{4}{3} \pi (12)^3 = \frac{4}{3} \pi (1728) = 2304 \pi\, cm^3$.
एक शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 3\, cm$ और $h = 4\, cm$ है।
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (4) = \frac{1}{3} \pi (9)(4) = 12 \pi\, cm^3$.
प्राप्त शंकुओं की संख्या गोले के आयतन और एक शंकु के आयतन का अनुपात है:
$N = \frac{V_s}{V_c} = \frac{2304 \pi}{12 \pi} = 192$.
अतः,$192$ शंकु प्राप्त होते हैं।

(A) $1$. गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$2$. पाँचों गोलों का कुल आयतन = $\frac{4}{3}\pi (1^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3) = \frac{4}{3}\pi (1 + 27 + 64 + 125 + 512) = \frac{4}{3}\pi (729)$.
$3$. मान लीजिए कि नए बड़े गोले की त्रिज्या $R$ है। तब $\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (729)$,जिसका अर्थ है $R^3 = 729$,अतः $R = 9\, cm$.
$4$. एक बेलन का आयतन = $\pi r^2 h = \pi (3^2)(4) = 36\pi\, cm^3$.
$5$. बेलनों की संख्या = $\frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक बेलन का आयतन}} = \frac{\frac{4}{3}\pi (729)}{36\pi} = \frac{972\pi}{36\pi} = 27$ बेलन।

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S = 1256 \, cm^{2}$ और $\pi = 3.14$ है।
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56} = 100$
अतः $r = 10 \, cm$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 1000$
$V = \frac{12560}{3} = 4186 \frac{2}{3} \, cm^{3}$.

(B) माना गोले की त्रिज्या $r_1$ है और अर्धगोले की त्रिज्या $r_2$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r_1^2$ है और अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r_2^2$ है।
दिया गया अनुपात: $\frac{4\pi r_1^2}{2\pi r_2^2} = \frac{9}{2}$.
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{2r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गोले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ है और अर्धगोले का आयतन $V_2 = \frac{2}{3}\pi r_2^3$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{2}{3}\pi r_2^3} = 2 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ है।
अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 2 \times \frac{27}{8} = \frac{27}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $27:4$ है।

(C) घनीय टंकी का कुल आयतन $V_{total} = 15.625 \, m^3$ है।
चूंकि टंकी एक घन है, इसलिए भुजा की लंबाई $s = \sqrt[3]{15.625} = 2.5 \, m$ है।
वर्तमान में पानी की गहराई $h = 1.3 \, m$ है।
टंकी में वर्तमान में मौजूद पानी का आयतन $V_{current} = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \times \text{गहराई} = 2.5 \times 2.5 \times 1.3 = 6.25 \times 1.3 = 8.125 \, m^3$ है।
उपयोग किए जा चुके पानी का आयतन $V_{used} = V_{total} - V_{current} = 15.625 - 8.125 = 7.5 \, m^3$ है।

(D) चूंकि गोले एक ही धातु से बने हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है। गोले का वजन $W = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,वजन का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के घनों के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{W_1}{W_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
यहाँ $W_1 = 5920\, g$ और $W_2 = 740\, g$ दिया गया है,इसलिए $\frac{5920}{740} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
अनुपात को सरल करने पर: $8 = \frac{r_1^3}{r_2^3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{8} = 2$.
छोटे गोले का व्यास $5\, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r_2 = \frac{5}{2} = 2.5\, cm$ है।
अतः,बड़े गोले की त्रिज्या $r_1 = 2 \times r_2 = 2 \times 2.5 = 5\, cm$ है।

(A) बेलनाकार गिलास का व्यास $d = 7\, cm$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 3.5\, cm$ है।
गिलास में दूध की ऊँचाई $h = 12\, cm$ है।
एक गिलास में दूध का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12 = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 12 = 462\, cm^3$।
चूँकि $1000\, cm^3 = 1\, \text{लीटर}$, इसलिए एक गिलास में दूध का आयतन $0.462\, \text{लीटर}$ है।
$1600$ छात्रों के लिए आवश्यक कुल दूध $1600 \times 0.462 = 739.2\, \text{लीटर}$ है।

(A) जब $6 \, cm, 8 \, cm$ और $10 \, cm$ भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज को $8 \, cm$ भुजा के परितः घुमाया जाता है,तो $8 \, cm$ भुजा शंकु की ऊँचाई $(h)$ बन जाती है और $6 \, cm$ भुजा आधार की त्रिज्या $(r)$ बन जाती है। कर्ण $10 \, cm$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ बन जाती है।
दिया है: $r = 6 \, cm, h = 8 \, cm, l = 10 \, cm$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (6)^2 \times 8 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times 8 = 3.14 \times 12 \times 8 = 301.44 \, cm^3$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $CSA = \pi r l = 3.14 \times 6 \times 10 = 188.4 \, cm^2$.

(C) $1$. अर्धगोलाकार टंकी का आंतरिक व्यास $14\, m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 7\, m$ होगी।
$2$. अर्धगोलाकार टंकी का आयतन $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$3$. $V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} = 718 \frac{2}{3}\, m^3$.
$4$. हम जानते हैं कि $1\, m^3 = 1\, kilolitre$ होता है। अतः,टंकी में $50\, m^3$ पानी पहले से मौजूद है।
$5$. पंप किए जाने वाले पानी का आयतन = (कुल क्षमता) - (पहले से मौजूद पानी)।
$6$. पंप किए जाने वाले पानी का आयतन = $718 \frac{2}{3} - 50 = 668 \frac{2}{3}\, m^3$।

(D) माना गोले और बेलन की त्रिज्या $r$ है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ है।
दिया गया है कि आयतन बराबर हैं:
गोले का आयतन = $\frac{4}{3} \pi r^3$
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h$
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$
$h = \frac{4}{3} r$
बेलन का व्यास $d = 2r$ है।
हमें वह प्रतिशत ज्ञात करना है जिससे व्यास ऊँचाई से अधिक है:
अंतर = $d - h = 2r - \frac{4}{3} r = \frac{2}{3} r$
प्रतिशत = $\frac{d - h}{h} \times 100 = \frac{(2/3)r}{(4/3)r} \times 100 = \frac{2}{4} \times 100 = 50\%$.

(B) यह कथन असत्य है।
एक लंब वृत्तीय शंकु में,त्रिज्या $(r)$,ऊँचाई $(h)$ और तिर्यक ऊँचाई $(l)$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं,जहाँ तिर्यक ऊँचाई कर्ण होती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ होता है।
दिया गया है: $r = 3 \, cm$,$h = 5 \, cm$ और $l = 4 \, cm$।
$r^2 + h^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ की गणना करने पर।
$l^2 = 4^2 = 16$ की गणना करने पर।
चूँकि $16 \neq 34$,इसलिए दिए गए आयाम एक लंब वृत्तीय शंकु नहीं बना सकते क्योंकि त्रिज्या और ऊँचाई द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में तिर्यक ऊँचाई सबसे लंबी भुजा होनी चाहिए।

(A) मान लीजिए कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{81}{49}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{9}{7}$ प्राप्त होता है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आयतनों का अनुपात $\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ होता है।
त्रिज्याओं के अनुपात का मान रखने पर,हमें $\left(\frac{9}{7}\right)^3 = \frac{9^3}{7^3} = \frac{729}{343}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $(LSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $LSA = 4a^2$ है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
यहाँ,भुजा $a = 5 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$LSA = 4 \times (5)^2$
$LSA = 4 \times 25$
$LSA = 100 \, cm^2$.
कथन में पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $150 \, cm^2$ दिया गया है,जो गलत है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(TRUE) बेलन के आयतन का सूत्र है: $V = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$.
दिया गया है:
आधार का क्षेत्रफल = $154 \, cm^{2}$
ऊँचाई = $20 \, cm$
आयतन की गणना करने पर:
$V = 154 \, cm^{2} \times 20 \, cm = 3080 \, cm^{3}$.
चूँकि गणना किया गया आयतन दिए गए मान से मेल खाता है, इसलिए यह कथन सत्य है।

(B) $l \times b \times h$ आयामों वाले एक आयताकार बक्से में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई विकर्ण के सूत्र द्वारा दी जाती है: $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$।
दिए गए आयाम $l = 12\, cm$,$b = 4\, cm$ और $h = 3\, cm$ हैं।
विकर्ण की गणना करने पर: $d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\, cm$।
बक्से के अंदर फिट हो सकने वाली छड़ की अधिकतम लंबाई $13\, cm$ है।
चूंकि छड़ $15\, cm$ लंबी है और $15\, cm > 13\, cm$,इसलिए छड़ बक्से में नहीं आ सकती है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(B) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 2\pi rh$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $r = 10\, cm$,$A = 440\, cm^{2}$ और $\pi = 22/7$ लेने पर।
मान रखने पर: $440 = 2 \times (22/7) \times 10 \times h$.
$440 = (440/7) \times h$.
$h = (440 \times 7) / 440$.
$h = 7\, cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $7\, cm$ है।

(C) '$a$' भुजा वाले घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$TSA = 6a^2$
यह दिया गया है कि $TSA = 864 \, cm^2$,इसलिए हम समीकरण बना सकते हैं:
$6a^2 = 864$
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर:
$a^2 = \frac{864}{6}$
$a^2 = 144$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$a = \sqrt{144}$
$a = 12 \, cm$
अतः,घन की भुजा $12 \, cm$ है।

(D) घनाभ का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई}$.
दिया गया है:
लंबाई $(l)$ = $30 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $20 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $15 \, cm$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = 30 \, cm \times 20 \, cm \times 15 \, cm$
$V = 600 \, cm^2 \times 15 \, cm$
$V = 9000 \, cm^3$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $CSA = 2\pi r^{2}$ है।
दिया गया है,$2\pi r^{2} = 306 \, cm^{2}$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $TSA = 3\pi r^{2}$ है।
हम $TSA$ को $CSA$ के संदर्भ में इस प्रकार लिख सकते हैं: $TSA = \frac{3}{2} \times (2\pi r^{2})$.
दी गई मान रखने पर: $TSA = \frac{3}{2} \times 306$.
$TSA = 3 \times 153 = 459 \, cm^{2}$.
अतः,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $459 \, cm^{2}$ है।

(B) माना कि शंकु की त्रिज्या $r = 4x$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 7x$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi rl$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$CSA = \pi(4x)(7x) = 28\pi x^2$।
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $\pi r(r + l)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$TSA = \pi(4x)(4x + 7x) = \pi(4x)(11x) = 44\pi x^2$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{TSA}{CSA} = \frac{44\pi x^2}{28\pi x^2} = \frac{44}{28} = \frac{11}{7}$ है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $11:7$ है।

(C) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दिया गया है $V = 4500 \pi \text{ cm}^3$,अतः:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 4500 \pi$
$r^3 = 4500 \times \frac{3}{4}$
$r^3 = 1125 \times 3 = 3375$
$r = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ cm}$।
व्यास $d = 2r = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$ है।

(D) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं तथा उनकी ऊँचाई $h_1$ और $h_2$ है। दिया गया है कि $h_1 = h_2 = h$ और $r_1:r_2 = 4:5$.
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h}{\pi r_2^2 h} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
अतः,उनके आयतन का अनुपात $16:25$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1 \, m = 100 \, cm$ होता है।
इसलिए,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$।
चूंकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$ होता है,इसलिए हम $1 \, cm^3 = \frac{1}{1000} \, \text{लीटर}$ लिख सकते हैं।
अतः,$1,000,000 \, cm^3 = \frac{1,000,000}{1000} \, \text{लीटर} = 1000 \, \text{लीटर}$।
इसलिए,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$।

(B) हम जानते हैं कि $1 \text{ litre}$ को $10 \text{ cm}$ भुजा वाले घन के आयतन के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि घन का आयतन $(\text{भुजा})^3$ होता है,इसलिए:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3$.
अतः,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ होता है।

(C) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि $r_1:r_2 = 3:2$ और $h_1:h_2 = 8:11$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
दोनों बेलनों के आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times \left(\frac{8}{11}\right) = \frac{9}{4} \times \frac{8}{11}$ प्राप्त होता है।
परिणाम की गणना करने पर: $\frac{9 \times 8}{4 \times 11} = \frac{72}{44} = \frac{18}{11}$।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $18:11$ है।

(D) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $TSA = \pi r(r + l)$,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
दिया गया है: $r = 5 \, cm$ और $l = 9 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$TSA = \pi \times 5 \times (5 + 9)$
$TSA = \pi \times 5 \times 14$
$TSA = 70 \pi \, cm^2$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$TSA = 70 \times \frac{22}{7} = 10 \times 22 = 220 \, cm^2$.
अतः,शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $220 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया है,ठोस अर्धगोले का व्यास $d = 21 \, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} \, cm = 10.5 \, cm$ है।
अर्धगोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर,$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^3$ प्राप्त होता है।
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5$.
$V = \frac{44}{21} \times 1157.625$.
$V = 2425.5 \, cm^3$।

(B) मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $x \ cm$ है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6x^2 \ cm^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
घन का आयतन $V = x^3 \ cm^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के संख्यात्मक मान समान हैं:
$6x^2 = x^3$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x \neq 0$):
$6 = x$
अतः,घन की भुजा की लंबाई $6 \ cm$ है।

(C) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $V = 616 \, cm^3$ और $h = 12 \, cm$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$616 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 12$
$616 = 4 \times \frac{22}{7} \times r^2$
$616 = \frac{88}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{616 \times 7}{88}$
$r^2 = 7 \times 7 = 49$
$r = 7 \, cm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$ होगा।

(D) मान लीजिए कि दो गोलों के व्यास $d_1$ और $d_2$ हैं। दिया गया है कि $d_1 : d_2 = 3 : 5$ है।
चूंकि त्रिज्या $r = d/2$ होती है,इसलिए उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2$ भी $3 : 5$ होगा।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दोनों गोलों के आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{27}{125}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $27 : 125$ है।

(A) एक घन में $6$ समान वर्गाकार फलक होते हैं।
यदि घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई $a$ है,तो एक फलक का क्षेत्रफल $a \times a = a^{2}$ होगा।
चूंकि ऐसे $6$ फलक होते हैं,इसलिए घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 \times a^{2} = 6 a^{2}$ होगा।

(B) एक घनाभ में $6$ आयताकार फलक होते हैं।
माना लंबाई $l$,चौड़ाई $b$ और ऊँचाई $h$ है।
विपरीत फलकों का क्षेत्रफल $(l \times b)$,$(b \times h)$ और $(h \times l)$ होता है।
चूँकि प्रत्येक फलक दो बार आता है,इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ होता है।

(C) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है।
$1$. वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है।
$2$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
$3$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\text{आधार का क्षेत्रफल} + \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi r^2 + \pi r l$.
$4$. $\pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $\pi r(r + l)$ या $\pi r(l + r)$ प्राप्त होता है।

(D) एक घन में कुल $6$ फलक होते हैं। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्थ है ऊपरी और निचले फलकों को छोड़कर शेष चार फलकों का क्षेत्रफल। यदि घन की भुजा की लंबाई $a$ है,तो एक फलक का क्षेत्रफल $a^{2}$ होता है। अतः,पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \times a^{2} = 4 a^{2}$ होगा।

(A) एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है।
दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi rh$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 + 2 \pi rh$.
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $2 \pi r(r + h)$ या $2 \pi r(h + r)$ प्राप्त होता है।

(B) अर्धगोला,एक गोले का आधा भाग होता है। गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^{2}$ होता है।
इसलिए,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा होता है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \pi r^{2} = 2 \pi r^{2}$.

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी चार ऊर्ध्वाधर फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है (ऊपरी और निचली सतह को छोड़कर)।
एक घनाभ जिसकी लंबाई $l$,चौड़ाई $b$ और ऊँचाई $h$ है,के लिए चार ऊर्ध्वाधर फलकों का क्षेत्रफल आधार के परिमाप और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= (2l + 2b) \times h = 2h(l + b)$.

(A) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\pi r l$ है,जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

(B) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आधार की परिधि $(2 \pi r)$ को उसकी ऊँचाई $(h)$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
अतः,बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r h$ है।

(C) अर्धगोला,गोले का आधा भाग होता है। अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^{2}$ होता है।
अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है जिसका क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ होता है।
अतः,अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का योग होता है:
$\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2 \pi r^{2} + \pi r^{2} = 3 \pi r^{2}$.

(D) हम जानते हैं कि $1 \, m = 100 \, cm$ होता है।
इसलिए,$1 \, m^{2} = 1 \, m \times 1 \, m$।
$1 \, m$ का मान सेंटीमीटर में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 \, m^{2} = (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 10000 \, cm^{2}$।
अतः,$1 \, m^{2} = 10000 \, cm^{2}$।

(A) परिभाषा के अनुसार,$1$ हेक्टेयर $100$ मीटर भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल होता है।
अतः,$1$ हेक्टेयर $= 100 \text{ } m \times 100 \text{ } m = 10000 \text{ } m^{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $1\, m = 100\, cm$ होता है।
इसलिए,$1\, m^{3} = (1\, m) \times (1\, m) \times (1\, m)$।
$1\, m$ का मान सेंटीमीटर में रखने पर: $1\, m^{3} = (100\, cm) \times (100\, cm) \times (100\, cm)$।
$1\, m^{3} = 100 \times 100 \times 100\, cm^{3}$।
$1\, m^{3} = 1000000\, cm^{3}$।

(C) किसी भी लंबवृत्तीय शंकु में,उसकी तिर्यक ऊँचाई $(l)$,आधार की त्रिज्या $(r)$ और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$l^{2} = r^{2} + h^{2}$.

(D) घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^2$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है,$a = 7\, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (7)^2$
$= 6 \times 49$
$= 294\, cm^2$.

(A) घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = a^3$ है,जहाँ $a$ घन की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है,घन की भुजा $a = 12 \, cm$ है।
अतः,आयतन $V = (12 \, cm)^3 = 12 \times 12 \times 12 \, cm^3$ होगा।
$V = 144 \times 12 \, cm^3 = 1728 \, cm^3$।
इस प्रकार,घन का आयतन $1728 \, cm^3$ है।

(B) घनाभाकार बक्से की विमाएँ लंबाई $(l)$ = $25 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $15 \, cm$ और ऊँचाई $(h)$ = $8 \, cm$ हैं।
घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2(lb + bh + lh)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(25 \times 15 + 15 \times 8 + 25 \times 8)$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(375 + 120 + 200)$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(695)$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $1390 \, cm^2$.

(C) दिया गया है: गोले का व्यास $(d)$ = $14 \, cm$.
गोले की त्रिज्या $(r)$ = $d / 2 = 14 / 2 = 7 \, cm$.
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $A = 4 \times (22 / 7) \times (7)^2$.
$A = 4 \times (22 / 7) \times 49$.
$A = 4 \times 22 \times 7$.
$A = 88 \times 7 = 616 \, cm^2$.

(D) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $7 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $30 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 30$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 30$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540 \, cm^3$.