Textbook - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(A) चूंकि मैरी बक्से की बाहरी सतह पर कागज चिपकाना चाहती है,इसलिए आवश्यक कागज की मात्रा बक्से के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होगी,जो घनाभ के आकार का है।
बक्से की विमाएं हैं: लंबाई $(l)$ = $80 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $40 \, cm$,ऊंचाई $(h)$ = $20 \, cm$.
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(lb + bh + hl)$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2[(80 \times 40) + (40 \times 20) + (20 \times 80)] \, cm^2$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2[3200 + 800 + 1600] \, cm^2$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times 5600 \, cm^2 = 11200 \, cm^2$.
कागज की प्रत्येक वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल = भुजा $\times$ भुजा = $40 \, cm \times 40 \, cm = 1600 \, cm^2$.
आवश्यक शीटों की संख्या = (बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) / (कागज की एक शीट का क्षेत्रफल)।
शीटों की संख्या = $11200 / 1600 = 7$.
अतः,उसे $7$ शीटों की आवश्यकता होगी।

(B) चूंकि हमीद टंकी की पांच बाहरी सतहों पर टाइलें लगवा रहा है,इसलिए उसे आवश्यक टाइलों की संख्या निर्धारित करने के लिए इन पांच सतहों के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करनी होगी।
घनाकार टंकी का किनारा $(a)$ $= 1.5\, m = 150\, cm$.
पांच सतहों का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 5 \times a^2 = 5 \times 150 \times 150\, cm^2 = 112500\, cm^2$.
प्रत्येक वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल $= 25\, cm \times 25\, cm = 625\, cm^2$.
आवश्यक टाइलों की संख्या $= \frac{\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{एक टाइल का क्षेत्रफल}} = \frac{112500}{625} = 180$.
$1$ दर्जन $(12)$ टाइलों की कीमत $= Rs. 360$.
$1$ टाइल की कीमत $= \frac{360}{12} = Rs. 30$.
$180$ टाइलों के लिए कुल खर्च $= 180 \times 30 = Rs. 5400$.

(109) दिया गया है:
लंबाई $(l) = 1.5\, m$
चौड़ाई $(b) = 1.25\, m$
गहराई $(h) = 65\, cm = 0.65\, m$
$(i)$ चूंकि पेटी ऊपर से खुली है,इसलिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल चार दीवारों और आधार के क्षेत्रफल का योग है:
क्षेत्रफल $= 2lh + 2bh + lb$
$= [2 \times 1.5 \times 0.65 + 2 \times 1.25 \times 0.65 + 1.5 \times 1.25]\, m^2$
$= (1.95 + 1.625 + 1.875)\, m^2 = 5.45\, m^2$
$(ii)$ $1\, m^2$ शीट की लागत $= Rs. 20$
$5.45\, m^2$ शीट की कुल लागत $= 5.45 \times 20 = Rs. 109$

(D) दिया गया है: लंबाई $(l) = 5\, m$,चौड़ाई $(b) = 4\, m$,ऊँचाई $(h) = 3\, m$.
हमें चारों दीवारों और छत पर सफेदी करानी है।
सफेदी कराने का क्षेत्रफल = चारों दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
$= 2(l + b)h + (l \times b)$
$= 2(5 + 4) \times 3 + (5 \times 4)$
$= 2(9) \times 3 + 20$
$= 54 + 20 = 74\, m^2$.
$1\, m^2$ सफेदी कराने का व्यय = $Rs. 7.50$.
कुल व्यय = $74 \times 7.50 = Rs. 555$.

(A) माना आयताकार हॉल की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $l\, m, b\, m$ और $h\, m$ है।
चार दीवारों का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र: $\text{क्षेत्रफल} = 2lh + 2bh = 2(l + b)h$.
हॉल के फर्श का परिमाप $2(l + b) = 250\, m$ है।
क्षेत्रफल के सूत्र में परिमाप का मान रखने पर: $\text{चार दीवारों का क्षेत्रफल} = 250 \times h = 250h\, m^2$.
पेंट करने की दर $10$ प्रति $m^2$ दी गई है।
कुल खर्च = $\text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 250h \times 10 = 2500h$.
कुल खर्च $Rs. 15000$ दिया गया है,इसलिए समीकरण: $2500h = 15000$.
$h$ का मान निकालने पर: $h = \frac{15000}{2500} = 6\, m$.
अतः,हॉल की ऊँचाई $6\, m$ है।

(B) एक ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + lh)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दी गई विमाओं को रखने पर: $l = 22.5 \,cm$,$b = 10 \,cm$,$h = 7.5 \,cm$.
एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(22.5 \times 10 + 10 \times 7.5 + 22.5 \times 7.5) \,cm^2$.
$= 2(225 + 75 + 168.75) \,cm^2 = 2(468.75) \,cm^2 = 937.5 \,cm^2$.
कुल पेंट करने योग्य क्षेत्रफल को $m^2$ से $cm^2$ में बदलने पर: $9.375 \,m^2 = 9.375 \times 10000 \,cm^2 = 93750 \,cm^2$.
मान लीजिए कि $n$ ईंटें पेंट की जा सकती हैं।
$n \times 937.5 = 93750$.
$n = \frac{93750}{937.5} = 100$.
अतः,$100$ ईंटें पेंट की जा सकती हैं।

(C) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times (\text{किनारा})^2$.
घन का किनारा $= 10\, cm$ दिया गया है।
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times (10\, cm)^2 = 4 \times 100\, cm^2 = 400\, cm^2$.
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times h \times (l + b)$.
लंबाई $(l) = 12.5\, cm$,चौड़ाई $(b) = 10\, cm$ और ऊँचाई $(h) = 8\, cm$ दी गई है।
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times 8\, cm \times (12.5\, cm + 10\, cm) = 16\, cm \times 22.5\, cm = 360\, cm^2$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,$400\, cm^2 > 360\, cm^2$.
अतः,घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।
अंतर $= 400\, cm^2 - 360\, cm^2 = 40\, cm^2$.

(D) घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (\text{किनारा})^2 = 6 \times (10\, cm)^2 = 600\, cm^2$.
घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lh + bh + lb) = 2(12.5 \times 8 + 10 \times 8 + 12.5 \times 10) = 2(100 + 80 + 125) = 2(305) = 610\, cm^2$.
दोनों की तुलना करने पर, घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(600\, cm^2)$ घनाभाकार डिब्बे $(610\, cm^2)$ से कम है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में अंतर $= 610\, cm^2 - 600\, cm^2 = 10\, cm^2$.
अतः, घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $10\, cm^2$ कम है।

(A) ग्रीनहाउस एक घनाभ के आकार का है।
लंबाई $(l) = 30 \, cm$
चौड़ाई $(b) = 25 \, cm$
ऊंचाई $(h) = 25 \, cm$
कांच का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + lh + bh)$
$= 2(30 \times 25 + 30 \times 25 + 25 \times 25) \, cm^2$
$= 2(750 + 750 + 625) \, cm^2$
$= 2(2125) \, cm^2$
$= 4250 \, cm^2$
अतः,कांच का कुल क्षेत्रफल $4250 \, cm^2$ है।

(B) एक घनाभ में $12$ किनारे होते हैं,जिसमें $4$ लंबाई $(l)$,$4$ चौड़ाई $(b)$ और $4$ ऊँचाई $(h)$ होती है।
दी गई विमाएँ लंबाई $(l)$ = $30 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $25 \, cm$ और ऊँचाई $(h)$ = $25 \, cm$ हैं।
सभी $12$ किनारों के लिए आवश्यक टेप की कुल लंबाई का सूत्र है:
कुल लंबाई $= 4(l + b + h)$
$= 4(30 + 25 + 25) \, cm$
$= 4(80) \, cm$
$= 320 \, cm$
अतः,$320 \, cm$ टेप की आवश्यकता है।

(C) बड़े डिब्बे की लंबाई $(l_1) = 25 \,cm$,चौड़ाई $(b_1) = 20 \,cm$,ऊँचाई $(h_1) = 5 \,cm$.
बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(l_1b_1 + l_1h_1 + b_1h_1) = 2(25 \times 20 + 25 \times 5 + 20 \times 5) \,cm^2 = 2(500 + 125 + 100) \,cm^2 = 1450 \,cm^2$.
ओवरलैप के लिए अतिरिक्त क्षेत्रफल $= 1450 \text{ का } 5\% = (1450 \times 0.05) \,cm^2 = 72.5 \,cm^2$.
$1$ बड़े डिब्बे के लिए कुल क्षेत्रफल $= 1450 + 72.5 = 1522.5 \,cm^2$.
$250$ बड़े डिब्बों के लिए कुल क्षेत्रफल $= 250 \times 1522.5 = 380625 \,cm^2$.
छोटे डिब्बे की लंबाई $(l_2) = 15 \,cm$,चौड़ाई $(b_2) = 12 \,cm$,ऊँचाई $(h_2) = 5 \,cm$.
छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(15 \times 12 + 15 \times 5 + 12 \times 5) \,cm^2 = 2(180 + 75 + 60) \,cm^2 = 630 \,cm^2$.
ओवरलैप के लिए अतिरिक्त क्षेत्रफल $= 630 \text{ का } 5\% = (630 \times 0.05) \,cm^2 = 31.5 \,cm^2$.
$1$ छोटे डिब्बे के लिए कुल क्षेत्रफल $= 630 + 31.5 = 661.5 \,cm^2$.
$250$ छोटे डिब्बों के लिए कुल क्षेत्रफल $= 250 \times 661.5 = 165375 \,cm^2$.
कुल आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल $= 380625 + 165375 = 546000 \,cm^2$.
कुल लागत $= (546000 / 1000) \times 4 = 546 \times 4 = Rs. 2184$.

(D) आश्रय एक घनाकार संरचना है जिसमें आधार नहीं है।
लंबाई $(l) = 4 \, m$,चौड़ाई $(b) = 3 \, m$,और ऊंचाई $(h) = 2.5 \, m$ है।
तिरपाल की आवश्यकता चारों दीवारों और छत के लिए है।
आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल $= \text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{छत का क्षेत्रफल}$
$= 2(lh + bh) + (l \times b)$
$= [2(4 \times 2.5 + 3 \times 2.5) + (4 \times 3)] \, m^2$
$= [2(10 + 7.5) + 12] \, m^2$
$= [2(17.5) + 12] \, m^2$
$= (35 + 12) \, m^2 = 47 \, m^2$.
अतः,$47 \, m^2$ तिरपाल की आवश्यकता होगी।

(A) बहुरूपदर्शक बेलनाकार आकार का है।
बेलन के आधार की त्रिज्या $(r) = 3.5\, cm$.
बेलन की ऊँचाई (लंबाई) $(h) = 25\, cm$.
आवश्यक चार्ट पेपर का क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 25\, cm^{2}$
$= 2 \times 22 \times 0.5 \times 25\, cm^{2}$
$= 44 \times 12.5\, cm^{2}$
$= 550\, cm^{2}$

(B) दिया है:
ऊँचाई $(h) = 14\, cm$
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 88\, cm^2$
माना आधार की त्रिज्या $r$ है और व्यास $d = 2r$ है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2\pi rh$ होता है।
चूँकि $d = 2r$,हम $CSA = \pi dh$ लिख सकते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$88 = \frac{22}{7} \times d \times 14$
$88 = 22 \times d \times 2$
$88 = 44 \times d$
$d = \frac{88}{44} = 2\, cm$।
अतः,बेलन के आधार का व्यास $2\, cm$ है।

(C) बेलनाकार टंकी की ऊँचाई $(h) = 1 \,m$ है।
आधार का व्यास $140 \,cm$ है,इसलिए आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{140}{2} \,cm = 70 \,cm = 0.7 \,m$ है।
आवश्यक चादर का क्षेत्रफल बंद बेलनाकार टंकी के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है,जिसका सूत्र $2\pi r(r + h)$ है।
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times (0.7 + 1) \,m^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \times 22 \times 0.1 \times 1.7 \,m^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = 4.4 \times 1.7 \,m^2 = 7.48 \,m^2$.
अतः,$7.48 \,m^2$ धातु की चादर की आवश्यकता होगी।

(D) दिया है:
बेलनाकार पाइप की लंबाई (ऊंचाई),$h = 77\, cm$.
आंतरिक व्यास,$d_{1} = 4\, cm$.
आंतरिक त्रिज्या,$r_{1} = \frac{d_{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2\, cm$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2\pi rh$ होता है।
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \pi \times r_{1} \times h$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times 77$
$= 2 \times 22 \times 2 \times 11$
$= 968\, cm^{2}$.
अतः,धातु के पाइप का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $968\, cm^{2}$ है।

(A) दिया गया है: पाइप की लंबाई $(h)$ $= 77 \,cm$.
बाहरी व्यास $(D)$ $= 4.4 \,cm$.
बाहरी त्रिज्या $(R)$ $= \frac{D}{2} = \frac{4.4}{2} = 2.2 \,cm$.
बेलन का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $2 \pi R h$ है।
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.2 \times 77 \,cm^{2}$.
$= 2 \times 22 \times 2.2 \times 11 \,cm^{2}$.
$= 44 \times 24.2 \,cm^{2}$.
$= 1064.8 \,cm^{2}$.

(B) दिया है:
पाइप की लंबाई $(h)$ = $77 \, cm$
आंतरिक व्यास $(d_1)$ = $4 \, cm$,अतः आंतरिक त्रिज्या $(r_1)$ = $2 \, cm$
बाहरी व्यास $(d_2)$ = $4.4 \, cm$,अतः बाहरी त्रिज्या $(r_2)$ = $2.2 \, cm$
पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (दोनों सिरों के वृत्ताकार छल्लों का क्षेत्रफल)
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r_1 h = 2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times 77 = 968 \, cm^2$
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r_2 h = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.2 \times 77 = 1064.8 \, cm^2$
दोनों सिरों के वृत्ताकार छल्लों का क्षेत्रफल = $2 \times \pi (r_2^2 - r_1^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times (2.2^2 - 2^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.84 = 5.28 \, cm^2$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $968 + 1064.8 + 5.28 = 2038.08 \, cm^2$.

(C) रोलर बेलनाकार आकार का है।
बेलनाकार रोलर की ऊँचाई $(h)$ = रोलर की लंबाई = $120\, cm$ है।
रोलर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r)$ = $\frac{84}{2}\, cm = 42\, cm$ है।
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $2\pi rh$ है।
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 \times 120\, cm^2$ है।
$CSA = 2 \times 22 \times 6 \times 120\, cm^2 = 31680\, cm^2$ है।
मैदान का क्षेत्रफल $500$ चक्करों में तय किए गए कुल क्षेत्रफल के बराबर है।
मैदान का क्षेत्रफल = $500 \times$ रोलर का $CSA$ है।
क्षेत्रफल = $500 \times 31680\, cm^2 = 15840000\, cm^2$ है।
चूंकि $1\, m^2 = 10000\, cm^2$ होता है,इसलिए हम क्षेत्रफल को $m^2$ में बदलते हैं:
क्षेत्रफल = $\frac{15840000}{10000}\, m^2 = 1584\, m^2$ है।

(D) दिया है: बेलनाकार स्तंभ का व्यास $= 50 \, cm = 0.5 \, m$.
त्रिज्या $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m$.
ऊँचाई $(h) = 3.5 \, m$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 2 \pi rh$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 3.5 \, m^2$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times \frac{35}{10} = 2 \times 22 \times 0.25 \times 0.5 = 5.5 \, m^2$.
$1 \, m^2$ रंगाई का व्यय $= Rs. \, 12.50$.
कुल रंगाई का व्यय $= 5.5 \times 12.50 = Rs. \, 68.75$.

(A) माना कि लंबवृत्तीय बेलन की ऊँचाई $h$ है।
बेलन के आधार की त्रिज्या $(r) = 0.7 \, m$ दी गई है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 4.4 \, m^2$ दिया गया है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times h = 4.4$
व्यंजक को सरल करने पर:
$2 \times 22 \times 0.1 \times h = 4.4$
$4.4 \times h = 4.4$
$h$ का मान ज्ञात करने पर:
$h = \frac{4.4}{4.4} = 1 \, m$।
अतः,बेलन की ऊँचाई $1 \, m$ है।

(B) वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास $d = 3.5 \, m$ है।
अतः,आंतरिक त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} \, m = 1.75 \, m$ है।
कुएँ की गहराई $(h) = 10 \, m$ है।
बेलन के आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r h$ होता है।
मान रखने पर:
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 10 \, m^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times 10 \, m^2$.
$= 44 \times 0.25 \times 10 \, m^2 = 110 \, m^2$.
अतः,वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $110 \, m^2$ है।

$(C)$ दिया है: कुएँ का व्यास $(d)$ $= 3.5\, m$, गहराई $(h)$ $= 10\, m$.
त्रिज्या $(r)$ $= d/2 = 3.5/2 = 1.75\, m$.
बेलनाकार कुएँ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2\pi rh$.
$CSA = 2 \times (22/7) \times 1.75 \times 10$.
$CSA = 2 \times (22/7) \times 17.5 = 44 \times 2.5 = 110\, m^2$.
प्लास्टर कराने का व्यय $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 110\, m^2 \times Rs. 40/m^2 = Rs. 4400$.

(D) बेलनाकार पाइप की ऊँचाई $(h)$ उसकी लंबाई के बराबर है,इसलिए $h = 28 \, m$.
पाइप के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r)$ व्यास की आधी होती है,इसलिए $r = \frac{5}{2} \, cm = 2.5 \, cm$.
इकाइयों को सुसंगत रखने के लिए,त्रिज्या को मीटर में बदलें: $r = \frac{2.5}{100} \, m = 0.025 \, m$.
पाइप की कुल विकिरण सतह उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ है,जो सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.025 \times 28$.
$CSA = 2 \times 22 \times 0.025 \times 4 = 44 \times 0.1 = 4.4 \, m^2$.
अतः,प्रणाली में कुल विकिरण सतह $4.4 \, m^2$ है।

(A) बेलनाकार टंकी की ऊँचाई $(h) = 4.5\, m$ है।
बेलनाकार टंकी के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r) = \frac{4.2}{2}\, m = 2.1\, m$ है।
बेलन का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 2\pi rh$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4.5\, m^2$ है।
$CSA = 2 \times 22 \times 0.3 \times 4.5\, m^2$ है।
$CSA = 44 \times 1.35\, m^2$ है।
$CSA = 59.4\, m^2$ है।
अतः,टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $59.4\, m^2$ है।

(B) सबसे पहले, बंद बेलनाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करें:
$TSA = 2\pi r(r + h)$
यहाँ $r = 2.1 \text{ m}$ और $h = 4.5 \text{ m}$ दिया गया है,
$TSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times (2.1 + 4.5) = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 6.6 = 87.12 \text{ m}^2$.
मान लीजिए कि वास्तव में उपयोग किया गया स्टील $A$ है। चूंकि स्टील का $1/12$ भाग बर्बाद हो गया था, इसलिए टंकी में उपयोग किया गया स्टील $A - \frac{1}{12}A = \frac{11}{12}A$ होगा।
इसे टंकी के पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर रखने पर:
$\frac{11}{12}A = 87.12$
$A = \frac{87.12 \times 12}{11} = 7.92 \times 12 = 95.04 \text{ m}^2$.
अतः, वास्तव में उपयोग किया गया स्टील $95.04 \text{ m}^2$ है।

(C) लैंपशेड का ढांचा बेलनाकार है।
दिया है:
आधार का व्यास $= 20 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{20}{2} = 10 \, cm$.
ढांचे की ऊंचाई $= 30 \, cm$.
ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए मार्जिन $= 2.5 \, cm$ प्रत्येक।
आवश्यक कपड़े की कुल ऊंचाई $(h) = 30 \, cm + 2.5 \, cm + 2.5 \, cm = 35 \, cm$.
लैंपशेड को ढकने के लिए आवश्यक कपड़ा बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi rh$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 35 \, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 10 \times 5 \, cm^2$
$= 2200 \, cm^2$.
अतः,लैंपशेड को ढकने के लिए $2200 \, cm^2$ कपड़े की आवश्यकता होगी।

(D) पेनहोल्डर एक आधार वाला बेलन है,इसलिए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के वृत्ताकार क्षेत्रफल का योग है।
त्रिज्या $(r) = 3 \,cm$
ऊँचाई $(h) = 10.5 \,cm$
$1$ पेनहोल्डर का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh + \pi r^2 = \pi r(2h + r)$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times (2 \times 10.5 + 3) \,cm^2$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times (21 + 3) \,cm^2$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times 24 \,cm^2 = \frac{1584}{7} \,cm^2$
$35$ प्रतियोगियों के लिए आवश्यक कुल कार्डबोर्ड $= 35 \times \left(\frac{1584}{7}\right) \,cm^2$
$= 5 \times 1584 \,cm^2 = 7920 \,cm^2$
अतः,$7920 \,cm^2$ कार्डबोर्ड की आवश्यकता होगी।

(A) लंबवृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = \pi r l$ है,जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
दिया गया है:
आधार की त्रिज्या $r = 7\, cm$
तिर्यक ऊँचाई $l = 10\, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$CSA = \frac{22}{7} \times 7 \times 10\, cm^{2}$
$CSA = 22 \times 10\, cm^{2}$
$CSA = 220\, cm^{2}$

(B) दिया है: ऊँचाई $h = 16 \, cm$ और त्रिज्या $r = 12 \, cm$ है।
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना सूत्र $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ का उपयोग करके करें।
$l = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \, cm$।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl = 3.14 \times 12 \times 20 = 753.6 \, cm^2$।
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl + \pi r^2 = \pi r(l + r) = 3.14 \times 12 \times (20 + 12) = 3.14 \times 12 \times 32 = 1205.76 \, cm^2$।

(C) चूंकि मक्के के दाने केवल भुट्टे के वक्र पृष्ठ पर पाए जाते हैं,इसलिए हमें शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करनी होगी।
दिया है:
त्रिज्या $(r)$ = $2.1\, cm$
ऊंचाई $(h)$ = $20\, cm$
सबसे पहले,हम तिर्यक ऊंचाई $(l)$ ज्ञात करते हैं:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2.1)^2 + (20)^2} = \sqrt{4.41 + 400} = \sqrt{404.41} \approx 20.11\, cm$
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 = 22 \times 0.3 \times 20.11 = 6.6 \times 20.11 = 132.726\, cm^2$
यह दिया गया है कि प्रति $1\, cm^2$ पर $4$ दाने हैं:
कुल दानों की संख्या = $132.726 \times 4 = 530.904$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $531$ दाने प्राप्त होते हैं।

(A) यहाँ,शंकु के आधार का व्यास $= 10.5\, cm$ है।
त्रिज्या $(r) = \frac{10.5}{2}\, cm = 5.25\, cm$.
तिर्यक ऊँचाई $(l) = 10\, cm$.
शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = \pi rl$ है।
मान रखने पर:
$CSA = \frac{22}{7} \times \frac{10.5}{2} \times 10\, cm^2$.
$CSA = \frac{22}{7} \times 5.25 \times 10\, cm^2$.
$CSA = \frac{22}{7} \times 52.5\, cm^2$.
$CSA = 22 \times 7.5\, cm^2 = 165\, cm^2$.
अतः,शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $165\, cm^2$ है।

(B) दिया है:
आधार का व्यास $(d) = 24 \, m$
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, m$
तिर्यक ऊँचाई $(l) = 21 \, m$
शंकु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r(r + l)$
मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 12 \times (12 + 21) \, m^2$
$= \frac{22}{7} \times 12 \times 33 \, m^2$
$= \frac{8712}{7} \, m^2$
$\approx 1244.57 \, m^2$

(N/A) दिया है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 308 \, cm^2$,तिर्यक ऊँचाई $(l) = 14 \, cm$।
$(i)$ माना आधार की त्रिज्या $r \, cm$ है।
हम जानते हैं कि शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ होता है।
$\therefore \pi r l = 308$
$\Rightarrow \frac{22}{7} \times r \times 14 = 308$
$\Rightarrow 44 \times r = 308$
$\Rightarrow r = \frac{308}{44} = 7 \, cm$।
अतः,आधार की त्रिज्या $7 \, cm$ है।
$(ii)$ शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{आधार का क्षेत्रफल}$।
आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154 \, cm^2$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 308 \, cm^2 + 154 \, cm^2 = 462 \, cm^2$।

(D) दिया है:
तंबू की ऊँचाई $(h) = 10 \, m$
आधार की त्रिज्या $(r) = 24 \, m$
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$l = \sqrt{h^2 + r^2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$l = \sqrt{10^2 + 24^2} \, m$
$l = \sqrt{100 + 576} \, m$
$l = \sqrt{676} \, m$
$l = 26 \, m$
अतः,तंबू की तिर्यक ऊँचाई $26 \, m$ है।

(A) दिया गया है: शंकु की ऊँचाई $(h) = 10 \, m$,आधार की त्रिज्या $(r) = 24 \, m$।
सबसे पहले,$l = \sqrt{r^2 + h^2}$ सूत्र का उपयोग करके शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ की गणना करें।
$l = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 \, m$।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ द्वारा दिया जाता है।
आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 24 \times 26 \, m^2 = \frac{13728}{7} \, m^2$।
$1 \, m^2$ कैनवास की लागत $Rs. 70$ है।
कैनवास की कुल लागत $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = \frac{13728}{7} \times 70 = 13728 \times 10 = Rs. 137280$।

(B) दिया है: आधार त्रिज्या $(r) = 6\, m$,ऊँचाई $(h) = 8\, m$.
तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, m$.
तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl = 3.14 \times 6 \times 10 = 188.4\, m^2$.
माना तिरपाल की लंबाई $L$ है। चूँकि चौड़ाई $3\, m$ है,क्षेत्रफल $L \times 3 = 188.4\, m^2$ होगा।
$L = \frac{188.4}{3} = 62.8\, m$.
सिलाई और बर्बादी के लिए अतिरिक्त लंबाई $= 20\, cm = 0.2\, m$.
कुल आवश्यक लंबाई $= 62.8\, m + 0.2\, m = 63.0\, m$.

(A) दिया है: तिर्यक ऊँचाई $(l) = 25 \, m$ और आधार का व्यास $(d) = 14 \, m$.
सबसे पहले,आधार की त्रिज्या $(r)$ ज्ञात कीजिए:
$r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, m$.
अब,शंक्वाकार मकबरे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात कीजिए:
$CSA = \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 22 \times 25 = 550 \, m^2$.
सफेदी कराने की दर $100 \, m^2$ के $Rs. 210$ है।
अतः,सफेदी कराने का कुल व्यय:
$\text{व्यय} = \left( \frac{210}{100} \right) \times 550 = 2.1 \times 550 = Rs. 1155$.

(B) दिया है: आधार की त्रिज्या $(r) = 7\, cm$ और ऊँचाई $(h) = 24\, cm$.
सबसे पहले,सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करके शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात कीजिए।
$l = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\, cm$.
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ द्वारा दिया जाता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, cm^2$.
ऐसी $10$ टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,एक टोपी के क्षेत्रफल को $10$ से गुणा करें।
कुल क्षेत्रफल $= 10 \times 550 = 5500\, cm^2$.

(C) दिया है:
आधार का व्यास $= 40 \, cm$
त्रिज्या $(r) = \frac{40}{2} \, cm = 20 \, cm = 0.2 \, m$
ऊँचाई $(h) = 1 \, m$
तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(0.2)^2 + (1)^2} \, m = \sqrt{0.04 + 1} \, m = \sqrt{1.04} \, m = 1.02 \, m$
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = 3.14 \times 0.2 \times 1.02 \, m^2$
$50$ शंकुओं का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 50 \times 3.14 \times 0.2 \times 1.02 \, m^2$
$= 50 \times 0.2 \times 3.14 \times 1.02 \, m^2 = 10 \times 3.14 \times 1.02 \, m^2 = 32.028 \, m^2$
पेंटिंग की लागत $= \text{कुल क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 32.028 \times 12 = Rs. 384.336$
दशमलव के दो अंकों तक पूर्णांकित करने पर,लागत $Rs. 384.34$ है।

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $4 \pi r^{2}$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 7 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{22}{7} \times (7 \, cm)^{2}$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 49 \, cm^{2}$
$= 4 \times 22 \times 7 \, cm^{2}$
$= 88 \times 7 \, cm^{2}$
$= 616 \, cm^{2}$.

(B) दी गई त्रिज्या $r = 21\, cm$ है।
$(i)$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $2\pi r^2$ है।
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 3 \times 21\, cm^2 = 2772\, cm^2$.
$(ii)$ अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $3\pi r^2$ है।
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\, cm^2$
$= 3 \times 22 \times 3 \times 21\, cm^2 = 4158\, cm^2$.

(C) खोखले गोले का व्यास $d = 7 \,m$ है।
गोले की त्रिज्या $r$ का मान $r = \frac{d}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \,m$ है।
मोटरसाइकिल सवार के लिए सवारी करने हेतु उपलब्ध क्षेत्रफल गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है,जिसे सूत्र $A = 4 \pi r^2$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$
$A = 4 \times 22 \times \frac{7}{4}$
$A = 22 \times 7 = 154 \,m^2$.
अतः,सवारी के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल $154 \,m^2$ है।

(D) चूंकि गुंबद की केवल वक्र सतह को पेंट किया जाना है,इसलिए हमें अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।
गुंबद के आधार की परिधि $= 17.6 \, m$ है।
माना त्रिज्या $r$ है। अतः,$2\pi r = 17.6$।
$r = \frac{17.6}{2 \times \pi} = \frac{17.6 \times 7}{2 \times 22} = 0.8 \times 3.5 = 2.8 \, m$।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 = 49.28 \, m^2$।
$100 \, cm^2$ पेंट करने की लागत $= Rs. 5$ है।
चूंकि $1 \, m^2 = 10000 \, cm^2$ होता है,इसलिए $1 \, m^2$ पेंट करने की लागत $= \frac{5}{100} \times 10000 = Rs. 500$ है।
पेंट करने की कुल लागत $= 49.28 \times 500 = Rs. 24640$।

(A) गोले की त्रिज्या $(r) = 10.5 \, cm$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $4 \pi r^{2}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{22}{7} \times (10.5)^{2} \, cm^{2}$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \, cm^{2}$
$= 4 \times 22 \times 1.5 \times 10.5 \, cm^{2}$
$= 88 \times 15.75 \, cm^{2}$
$= 1386 \, cm^{2}$
अतः,$10.5 \, cm$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $1386 \, cm^{2}$ है।

(B) गोले की त्रिज्या $(r) = 5.6 \, cm$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $4 \pi r^{2}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{22}{7} \times (5.6)^{2} \, cm^{2}$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 5.6 \times 5.6 \, cm^{2}$
$= 4 \times 22 \times 0.8 \times 5.6 \, cm^{2}$
$= 88 \times 4.48 \, cm^{2}$
$= 394.24 \, cm^{2}$।
अतः,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $394.24 \, cm^{2}$ है।

(C) गोले की त्रिज्या $(r) = 14 \, cm$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $4 \pi r^2$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \, cm^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \, cm^2$
$= 4 \times 22 \times 2 \times 14 \, cm^2$
$= 88 \times 28 \, cm^2$
$= 2464 \, cm^2$.
अतः,$14 \, cm$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2464 \, cm^2$ है।

(D) गोले की त्रिज्या $(r)$ इस प्रकार है:
$r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{14 \, cm}{2} = 7 \, cm$.
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $4 \pi r^2$ है।
मान रखने पर:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{22}{7} \times (7 \, cm)^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 49 \, cm^2$
$= 4 \times 22 \times 7 \, cm^2$
$= 88 \times 7 \, cm^2$
$= 616 \, cm^2$.
अतः,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $616 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया है,गोले का व्यास $d = 21 \, cm$ है।
त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} \, cm = 10.5 \, cm$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $4 \pi r^{2}$ है।
मान रखने पर: $\text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 4 \times \frac{22}{7} \times (10.5)^{2} \, cm^{2}$.
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \, cm^{2}$.
$= 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \, cm^{2}$.
$= 22 \times 3 \times 21 \, cm^{2} = 1386 \, cm^{2}$.
अतः,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $1386 \, cm^{2}$ है।

(B) दिया गया है: व्यास $(d) = 3.5 \, cm$.
त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, cm$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $A = 4 \pi r^2$.
मान रखने पर: $A = 4 \times \frac{22}{7} \times (1.75)^2$.
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75$.
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times 1.75$.
$A = 22 \times 1.75 = 38.5 \, cm^2$.
अतः,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $38.5 \, cm^2$ है।