Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(C) घनाभ की विमाएँ लंबाई $(l)$ = $50 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $40 \, cm$ और ऊँचाई $(h)$ = $30 \, cm$ हैं।
घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2h(l + b)$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times 30 \times (50 + 40)$
= $60 \times 90$
= $5400 \, cm^2$.

(D) $8 \, cm$ किनारे $(a)$ वाले दो घनों को एक साथ जोड़ने पर एक घनाभ बनता है।
प्राप्त घनाभ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
लंबाई $(l)$ = $8 \, cm + 8 \, cm = 16 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $8 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $8 \, cm$
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $TSA = 2(lb + bh + lh)$ है।
मान रखने पर:
$TSA = 2(16 \times 8 + 8 \times 8 + 16 \times 8)$
$TSA = 2(128 + 64 + 128)$
$TSA = 2(320)$
$TSA = 640 \, cm^{2}$.

(A) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $4a^{2}$ है,जहाँ $a$ घन की भुजा की लंबाई है।
यहाँ,$a = 15 \, cm$ दिया गया है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times (15)^{2} \, cm^{2}$.
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times 225 \, cm^{2}$.
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 900 \, cm^{2}$.

(B) घनाभाकार टंकी की विमाएँ हैं: लंबाई $(l)$ = $10 \, m$,चौड़ाई $(b)$ = $8 \, m$ और ऊँचाई $(h)$ = $3 \, m$।
एक बंद घनाभाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र $2(lb + bh + lh)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $2(10 \times 8 + 8 \times 3 + 10 \times 3) = 2(80 + 24 + 30) = 2(134) = 268 \, m^2$।
लोहे की चादर की लागत की गणना कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को प्रति $m^2$ की दर से गुणा करके की जाती है।
लागत = $268 \, m^2 \times ₹ 50/m^2 = ₹ 13,400$।

(C) $1$. चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $Area = 2(l + b) \times h = 2(7 + 5) \times 4 = 2(12) \times 4 = 96\, m^2$.
$2$. छत का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $Area = l \times b = 7 \times 5 = 35\, m^2$.
$3$. सफेदी कराने के लिए कुल क्षेत्रफल (दरवाजों और खिड़कियों को छोड़कर): $Total\, Area = (\text{दीवारों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }+ \text{छत}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल}) - (2\, \text{दरवाजों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }+ 4\, \text{खिड़कियों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल})$.
$4$. $2\, \text{दरवाजों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }= 2 \times (3 \times 2) = 12\, m^2$.
$5$. $4\, \text{खिड़कियों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }= 4 \times (2 \times 1) = 8\, m^2$.
$6$. $Total\, Area = (96 + 35) - (12 + 8) = 131 - 20 = 111\, m^2$.
$7$. $Cost = Total\, Area \times Rate = 111 \times 200 = ₹22,200$.

(N/A) माना घनाभाकार बक्से की विमाएँ $6x$,$4x$ और $3x$ मीटर हैं।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $SA = 2(lb + bh + lh) = 2((6x)(4x) + (4x)(3x) + (6x)(3x)) = 2(24x^2 + 12x^2 + 18x^2) = 2(54x^2) = 108x^2 \, m^2$ है।
सफेद कागज से ढकने की लागत $₹ 2.00/m^2$ की दर से $2 \times 108x^2 = 216x^2$ है।
रंगीन कागज से ढकने की लागत $₹ 2.50/m^2$ की दर से $2.50 \times 108x^2 = 270x^2$ है।
लागत में अंतर $270x^2 - 216x^2 = 54x^2$ है।
दिया गया है कि अंतर $₹ 1350$ है,इसलिए $54x^2 = 1350$ है।
$x^2 = 1350 / 54 = 25$ है।
$x = 5$ है।
अतः,विमाएँ $6(5) = 30 \, m$,$4(5) = 20 \, m$ और $3(5) = 15 \, m$ हैं।

बेलन के लिए दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 28 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 90 \, cm$
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times 90 \, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 4 \times 90 \, cm^2$
$= 15,840 \, cm^2$
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times (90 + 28) \, cm^2$
$= 176 \times 118 \, cm^2$
$= 20,768 \, cm^2$

(B) दिए गए बेलन के लिए,ऊँचाई $(h) = 30 \, cm$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 1320 \, cm^2$ है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi d h$ है,जहाँ $d$ व्यास है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1320 = \frac{22}{7} \times d \times 30$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{1320 \times 7}{22 \times 30}$.
$d = \frac{1320 \times 7}{660} = 2 \times 7 = 14 \, cm$.
अतः,बेलन का व्यास $14 \, cm$ है।

$(440 \ cm^2)$ धातु के खोखले बेलन के लिए: ऊँचाई $(h) = 70\, cm$.
आंतरिक त्रिज्या $(r) = 10\, cm$.
बाहरी त्रिज्या $(R) = \text{आंतरिक त्रिज्या} + \text{धातु की मोटाई} = 10 + 1 = 11\, cm$.
बाहरी और आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अंतर इस प्रकार है:
$\text{अंतर} = 2\pi Rh - 2\pi rh = 2\pi h(R - r)$.
मान रखने पर:
$\text{अंतर} = 2 \times \frac{22}{7} \times 70 \times (11 - 10) = 2 \times 22 \times 10 \times 1 = 440\, cm^2$.

(D) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2 \pi rh$ होता है।
दिया गया है:
ऊँचाई $(h)$ = $35 \, cm$
त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 15 \times 35$
$CSA = 2 \times 22 \times 15 \times 5$
$CSA = 44 \times 75$
$CSA = 3300 \, cm^2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बेलन का व्यास $d = 28 \text{ cm}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = d/2 = 14 \text{ cm}$ है।
बेलन की ऊँचाई $h = 50 \text{ cm}$ है।
बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 2\pi r(r + h)$ है।
मान रखने पर: $A = 2 \times (22/7) \times 14 \times (14 + 50)$.
$A = 2 \times 22 \times 2 \times 64$.
$A = 88 \times 64 = 5632 \text{ cm}^2$.

(B) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2\pi rh$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $CSA = 3960\, cm^{2}$ और $r = 21\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$3960 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h$
$3960 = 2 \times 22 \times 3 \times h$
$3960 = 132 \times h$
$h = \frac{3960}{132}$
$h = 30\, cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $30\, cm$ है।

(C) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $CSA = 2 \pi r h$,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $CSA = 550 \, cm^2$ और $h = 50 \, cm$.
मान रखने पर: $550 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 50$.
$550 = \frac{2200}{7} \times r$.
$r = \frac{550 \times 7}{2200} = \frac{7}{4} = 1.75 \, cm$.
व्यास $(d)$ का मान $2 \times r = 2 \times 1.75 = 3.5 \, cm$ होगा।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $10\,cm$,ऊँचाई $(h)$ = $30\,cm$,दर = ₹ $3/cm^2$,$\pi = 3.14$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2\pi rh$ है।
$CSA$ = $2 \times 3.14 \times 10 \times 30 = 1884\,cm^2$.
कुल लागत = $CSA$ $\times$ दर = $1884 \times 3 = 5652$.
अतः,बाहरी वक्र सतह को पेंट करने की लागत ₹ $5652$ है।

(A) एक बंद बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र $TSA = 2\pi r(r + h)$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $TSA = 748\, cm^2$ और $r = 7\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$748 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + h)$
$748 = 44 \times (7 + h)$
दोनों पक्षों को $44$ से विभाजित करने पर:
$7 + h = \frac{748}{44}$
$7 + h = 17$
$h = 17 - 7$
$h = 10\, cm$.

(B) कुआँ एक बेलन के आकार का है।
दिया है: गहराई $(h)$ = $20 \, m$,त्रिज्या $(r)$ = $7 \, m$।
बेलन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h$।
क्षेत्रफल = $2 \times (22/7) \times 7 \times 20 = 2 \times 22 \times 20 = 880 \, m^2$।
सीमेंट कराने की दर ₹ $15$ प्रति $m^2$ है।
कुल व्यय = $880 \times 15 = ₹ 13,200$।

(C) मान लीजिए कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि $r_1 : r_2 = 3 : 7$ और $h_1 : h_2 = 28 : 15$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $CSA = 2pi rh$ है।
अतः,उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2pi r_1 h_1}{2pi r_2 h_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2}$
दिए गए अनुपातों का मान रखने पर:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{7} \times \frac{28}{15}$
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{15} \times \frac{28}{7} = \frac{1}{5} \times 4 = \frac{4}{5}$
इस प्रकार,उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $4 : 5$ है।

(D) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $2\pi rh$ होता है।
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$ होता है।
दिया गया अनुपात $CSA : TSA = 2 : 5$ है,अतः:
$\frac{2\pi rh}{2\pi r(h + r)} = \frac{2}{5}$
$\frac{h}{h + r} = \frac{2}{5}$
तिर्यक गुणा करने पर $5h = 2(h + r)$ प्राप्त होता है।
$5h = 2h + 2r$
$3h = 2r$
अतः,त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात $\frac{r}{h} = \frac{3}{2}$ है,जो $3: 2$ के बराबर है।

(A) $1$. त्रिज्या को $cm$ से $m$ में बदलें: $r = 14 \, cm = 0.14 \, m$.
$2$. बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi rh$ है।
$3$. $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.14 \times 5 = 4.4 \, m^2$.
$4$. $20$ स्तंभों के लिए कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $20 \times 4.4 = 88 \, m^2$.
$5$. कुल खर्च = $\text{कुल क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 88 \times 120 = ₹ 10,560$.

(N/A) शंकु के लिए:
त्रिज्या $(r) = 15 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $(l) = 25 \, cm$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:
$= \pi r l$
$= 3.14 \times 15 \times 25 \, cm^2$
$= 1177.5 \, cm^2$
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल:
$= \pi r(l + r)$
$= 3.14 \times 15 \times (25 + 15) \, cm^2$
$= 3.14 \times 15 \times 40 \, cm^2$
$= 1884 \, cm^2$

(N/A) दिया गया है: तिर्यक ऊँचाई $(l) = 25 \,cm$,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 550 \,cm^{2}$।
$1$. त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करना:
$CSA = \pi r l$
$550 = \frac{22}{7} \times r \times 25$
$r = \frac{550 \times 7}{22 \times 25} = 7 \,cm$।
$2$. ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करना:
संबंध $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ का उपयोग करते हुए:
$25^{2} = h^{2} + 7^{2}$
$625 = h^{2} + 49$
$h^{2} = 625 - 49 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \,cm$।
$3$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करना:
$TSA = \pi r(l + r)$
$TSA = \frac{22}{7} \times 7 \times (25 + 7)$
$TSA = 22 \times 32 = 704 \,cm^{2}$।

(A) दिए गए शंकु के लिए:
त्रिज्या $(r) = 7\, m$ और तिर्यक ऊँचाई $(l) = 12\, m$ है।
तंबू में उपयोग किए गए तिरपाल का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 12 = 264\, m^2$ है।
चूँकि तिरपाल का क्षेत्रफल $= l \times b$ होता है,जहाँ $b = 2\, m$ है:
$264 = l \times 2 \implies l = \frac{264}{2} = 132\, m$ है।
अतः,$132\, m$ तिरपाल की आवश्यकता होगी।
$1\, m$ तिरपाल की कीमत = ₹ $48$ है।
कुल लागत $= 132 \times 48 = ₹ 6336$ है।

(A) दिया गया है:
शंकु का व्यास,$d = 6\, cm$.
शंकु की त्रिज्या,$r = d / 2 = 6 / 2 = 3\, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई,$l = 11\, cm$.
शंकु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $TSA = \pi r(r + l)$ है।
मान रखने पर:
$TSA = \pi \times 3 \times (3 + 11)$
$TSA = \pi \times 3 \times 14$
$TSA = 42\pi\, cm^2$.
$\pi \approx 22/7$ का उपयोग करने पर:
$TSA = 42 \times (22 / 7) = 6 \times 22 = 132\, cm^2$.

(N/A) दिया गया है: त्रिज्या $(r) = 3.5 \, cm$,ऊँचाई $(h) = 12 \, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात करें,जिसका सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$l = \sqrt{(3.5)^2 + (12)^2} = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5 \, cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = \pi rl = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 22 \times 0.5 \times 12.5 = 137.5 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA) = \pi r(r + l) = \frac{22}{7} \times 3.5 \times (3.5 + 12.5) = 22 \times 0.5 \times 16 = 11 \times 16 = 176 \, cm^2$.

(N/A) $1$. जब $AB$ के परितः घुमाया जाता है: ऊँचाई $h = AB = 28 \, cm$ और त्रिज्या $r = BC = 21 \, cm$ है। तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \, cm$ है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $CSA = \pi r l = \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 22 \times 3 \times 35 = 2310 \, cm^2$ है।
$2$. जब $BC$ के परितः घुमाया जाता है: ऊँचाई $h = BC = 21 \, cm$ और त्रिज्या $r = AB = 28 \, cm$ है। तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{28^2 + 21^2} = 35 \, cm$ है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $CSA = \pi r l = \frac{22}{7} \times 28 \times 35 = 22 \times 4 \times 35 = 3080 \, cm^2$ है।

(B) दिया गया है: शंकु का व्यास $d = 42 \, m$,इसलिए त्रिज्या $r = 21 \, m$ है। ऊँचाई $h = 20 \, m$ है।
सबसे पहले,सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करके शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना करें।
$l = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, m$.
आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है,जो $CSA = \pi r l$ द्वारा दिया जाता है।
$CSA = \frac{22}{7} \times 21 \times 29 = 22 \times 3 \times 29 = 1914 \, m^2$.
कैनवास की लागत $1914 \, m^2 \times ₹ 75/m^2 = ₹ 143550$ है।

(N/A) माना त्रिज्या $r = 2x$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 7x$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $CSA = \pi rl$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $CSA = 704 \, cm^2$ और $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर:
$704 = \frac{22}{7} \times (2x) \times (7x)$
$704 = 22 \times 2 \times x^2$
$704 = 44x^2$
$x^2 = \frac{704}{44} = 16$
$x = 4$.
अतः,त्रिज्या $r = 2 \times 4 = 8 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 7 \times 4 = 28 \, cm$ है।
ऊँचाई $h$ का मान $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{28^2 - 8^2} = \sqrt{(28-8)(28+8)} = \sqrt{20 \times 36} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \, cm$ होगा।

(B) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $TSA = \pi r(r + l)$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तिर्यक ऊँचाई है।
दिया गया है: $r = 10\, cm$,$TSA = 880\, cm^2$,और $\pi = 22/7$।
सूत्र में मान रखने पर:
$880 = (22/7) \times 10 \times (10 + l)$
$880 \times 7 = 220 \times (10 + l)$
$6160 = 220 \times (10 + l)$
$10 + l = 6160 / 220$
$10 + l = 28$
$l = 28 - 10$
$l = 18\, cm$।
अतः,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $18\, cm$ है।

(C) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $TSA = \pi r(r + l) = \pi rl + \pi r^{2}$।
दिया है,$TSA = 3696 \, cm^{2}$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi rl = 2310 \, cm^{2}$ है।
$CSA$ का मान $TSA$ सूत्र में रखने पर:
$3696 = 2310 + \pi r^{2}$।
$\pi r^{2} = 3696 - 2310 = 1386$।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\frac{22}{7} r^{2} = 1386$।
$r^{2} = \frac{1386 \times 7}{22} = 63 \times 7 = 441$।
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$।
अब,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ ज्ञात करने के लिए $CSA$ सूत्र का उपयोग करें:
$2310 = \pi rl = \frac{22}{7} \times 21 \times l$।
$2310 = 22 \times 3 \times l = 66l$।
$l = \frac{2310}{66} = 35 \, cm$।
त्रिज्या $(r)$ और तिर्यक ऊँचाई $(l)$ का अनुपात $r:l = 21:35$ है।
दोनों को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $3:5$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,गोले की त्रिज्या $(r) = 14 \, cm$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ होता है।
$r = 14 \, cm$ और $\pi = \frac{22}{7}$ का मान रखने पर:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \, cm^2$
$A = 4 \times 22 \times 2 \times 14 \, cm^2$
$A = 88 \times 28 \, cm^2$
$A = 2464 \, cm^2$.
अतः,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2464 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया है,ठोस अर्धगोले का व्यास $7 \, cm$ है।
त्रिज्या $(r) = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 77 \, cm^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 115.5 \, cm^2$.

(B) दिया गया है,गोले की त्रिज्या $(r) = 3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4\pi r^{2}$ है।
मान रखने पर:
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^{2}$
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} = 22 \times 7 = 154\, cm^{2}$.
सोने का लेप चढ़ाने की दर ₹ $150$ प्रति $cm^{2}$ है।
कुल खर्च = $\text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} \times \text{दर}$
कुल खर्च = $154 \times 150 = 23,100$.
अतः,इसकी सतह पर सोने का लेप चढ़ाने का खर्च ₹ $23,100$ है।

(C) माना गोले की त्रिज्या $r_1$ है और अर्धगोले की त्रिज्या $r_2$ है।
दिया गया है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 3 : 2$ है,अतः $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r_1^2$ होता है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $3 \pi r_2^2$ होता है।
अब,गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात:
$\frac{4 \pi r_1^2}{3 \pi r_2^2} = \frac{4}{3} \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$
$= \frac{4}{3} \times \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$= \frac{4}{3} \times \frac{9}{4}$
$= \frac{3}{1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:1$ है।

(C) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 30 \, cm$ और $\pi = 3.14$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$A = 4 \times 3.14 \times (30)^2$
$A = 4 \times 3.14 \times 900$
$A = 12.56 \times 900$
$A = 11304 \, cm^2$।

(A) गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4\pi r^2$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 50\, cm$ और $\pi = 3.14$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$A = 4 \times 3.14 \times (50)^2$
$A = 4 \times 3.14 \times 2500$
$A = 12.56 \times 2500$
$A = 31400\, cm^2$।

(B) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 1.25 \, m$ और $\pi = 3.14$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$A = 4 \times 3.14 \times (1.25)^2$
$A = 4 \times 3.14 \times 1.5625$
$A = 12.56 \times 1.5625$
$A = 19.625 \, m^2$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है,गोले का व्यास $d = 21\, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4\pi r^2$ है।
मान रखने पर,$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2$ प्राप्त होता है।
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$।
$A = 4 \times 22 \times 1.5 \times 10.5$।
$A = 88 \times 15.75 = 1386\, cm^2$।

(D) गोले का व्यास $d = 49\, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = d / 2 = 49 / 2 = 24.5\, cm$ है।
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ है।
मान रखने पर,$A = 4 \times (22 / 7) \times (49 / 2) \times (49 / 2)$.
$A = 4 \times (22 / 7) \times (2401 / 4)$.
$A = (22 / 7) \times 2401$.
$A = 22 \times 343 = 7546\, cm^2$.

(A) दिया गया है,गोले का व्यास $d = 3.5\,m$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75\,m$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4\pi r^2$ है।
मान रखने पर,$A = 4 \times \frac{22}{7} \times (1.75)^2$ प्राप्त होता है।
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75$।
$A = 4 \times 22 \times 0.25 \times 1.75$।
$A = 88 \times 0.4375 = 38.5\,m^2$।

(A) दी गई त्रिज्या $r = 14\, cm$ है।
$1$. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $2\pi r^{2}$ है।
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 2 \times 22 \times 2 \times 14 = 1232\, cm^{2}$.
$2$. अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $3\pi r^{2}$ है।
$TSA = 3 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 3 \times 22 \times 2 \times 14 = 1848\, cm^{2}$.
अतः,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $1232\, cm^{2}$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1848\, cm^{2}$ है।

(N/A) दिया गया है,त्रिज्या $r = 17.5 \, cm = \frac{35}{2} \, cm$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} = 11 \times 5 \times 35 = 1925 \, cm^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $3\pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} = 3 \times 11 \times 5 \times \frac{35}{2} = 165 \times 17.5 = 2887.5 \, cm^2$.

(A) दी गई त्रिज्या $r = 2.1 \, m$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 2 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 27.72 \, m^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 3 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 41.58 \, m^2$.

(A) दिया गया है: व्यास $(d)$ = $14 \, cm$.
त्रिज्या $(r)$ = $d / 2 = 14 / 2 = 7 \, cm$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 2 \times 22 \times 7 = 308 \, cm^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ = $3 \pi r^2$.
$TSA$ = $3 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 3 \times 22 \times 7 = 462 \, cm^2$.
अतः,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $308 \, cm^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $462 \, cm^2$ है।

(N/A) दिया गया व्यास $d = 126 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{126}{2} = 63 \, cm$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 2 \times 22 \times 9 \times 63 = 24,948 \, cm^2$ है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3 \pi r^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 3 \times 22 \times 9 \times 63 = 37,422 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया व्यास $d = 2.8\,m$,इसलिए त्रिज्या $r = d/2 = 1.4\,m$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $2\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$CSA = 2 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 2 \times (22/7) \times 1.96 = 2 \times 22 \times 0.28 = 12.32\,m^2$।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $3\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$TSA = 3 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 3 \times (22/7) \times 1.96 = 3 \times 22 \times 0.28 = 18.48\,m^2$।
अतः,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $12.32\,m^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $18.48\,m^2$ है।

(D) गुंबद अर्धगोलाकार है।
त्रिज्या $(r)$ = $4.2 \, m$.
अर्धगोलाकार गुंबद का पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2$.
$CSA$ = $2 \times 22 \times 0.6 \times 4.2 = 110.88 \, m^2$.
पेंट करने की लागत = क्षेत्रफल $\times$ दर.
लागत = $110.88 \times 18 = ₹ 1995.84$.

(A) गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ होता है।
यहाँ $A = 7850 \, cm^2$ और $\pi = 3.14$ दिया गया है,अतः सूत्र में मान रखने पर:
$7850 = 4 \times 3.14 \times r^2$
$7850 = 12.56 \times r^2$
$r^2 = \frac{7850}{12.56}$
$r^2 = 625$
$r = \sqrt{625} = 25 \, cm$.
अतः,गोले की त्रिज्या $25 \, cm$ है।

(A) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $TSA = 3\pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है कि $TSA = 4158 \, cm^2$.
अतः,$3 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 4158$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{3 \times 22}$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{66} = 63 \times 7 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 21 = 42 \, cm$ होगा।

(B) दिया गया है: आंतरिक त्रिज्या $(r)$ = $4 \, cm$,मोटाई $(t)$ = $0.2 \, cm$।
बाहरी त्रिज्या $(R)$ = $r + t = 4 + 0.2 = 4.2 \, cm$।
अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi R^2$ है।
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times \frac{22}{7} \times (4.2)^2$।
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2$।
$= 2 \times 22 \times 0.6 \times 4.2$।
$= 44 \times 2.52 = 110.88 \, cm^2$।

(C) माना गोले की प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi r^2$ है।
त्रिज्या में $20 \%$ की कमी की गई है,इसलिए नई त्रिज्या $r_2 = r - 0.20r = 0.8r$ है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 4 \pi (0.8r)^2 = 4 \pi (0.64r^2) = 0.64(4 \pi r^2) = 0.64 A_1$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी $A_1 - A_2 = A_1 - 0.64 A_1 = 0.36 A_1$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{0.36 A_1}{A_1} \times 100 \% = 36 \%$ है।