Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Hindi

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दिया है $\angle BOC = 90^{\circ}.$ चूंकि $AC$ एक सीधी रेखा है,$\angle BOC + \angle AOB = 180^{\circ},$ इसलिए $\angle AOB = 90^{\circ}.$
$\triangle BOC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $AB \parallel DC,$ एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle OAB = \angle OCD.$
साथ ही,$\angle BDC = 50^{\circ}$ दिया है। $AB \parallel DC$ होने के कारण,$\angle ABD = \angle BDC = 50^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)।
$\triangle AOB$ में,$\angle AOB = 90^{\circ}$ और $\angle ABO = 50^{\circ}.$
$\triangle AOB$ के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,
$\angle OAB + \angle AOB + \angle ABO = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}.$

(B) एक चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कि चौथा कोण $x$ है।
अतः,$75^{\circ} + 90^{\circ} + 75^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$240^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} - 240^{\circ}$.
$x = 120^{\circ}$.

(C) माना आयत $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दिया गया है कि विकर्ण $AC$,भुजा $AB$ के साथ $25^{\circ}$ का कोण बनाता है,अतः $\angle CAB = 25^{\circ}$।
आयत में,विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $OA = OB$।
$\triangle OAB$ में,चूंकि $OA = OB$,इसलिए इनके सम्मुख कोण बराबर होंगे,अतः $\angle OBA = \angle OAB = 25^{\circ}$।
$\triangle OAB$ में कोण योग गुण का उपयोग करने पर:
$\angle AOB = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$।
चूंकि $\angle AOB$ और $\angle AOD$ रैखिक युग्म बनाते हैं:
$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
अतः,विकर्णों के बीच का न्यून कोण $50^{\circ}$ है।

(D) दिया गया है कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है और $\angle ACB = 40^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,$\triangle BOC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle BOC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle BOC$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle OBC + \angle BOC + \angle BCO = 180^{\circ}$
$\angle OBC + 90^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OBC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$।
चूँकि $AD \parallel BC$ (समचतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं),इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle ADB = \angle DBC$।
चूँकि $\angle DBC = \angle OBC = 50^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ADB = 50^{\circ}$ होगा।

(A) मान लीजिए कि भुजाओं $PQ, QR, RS,$ और $SP$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $A, B, C,$ और $D$ हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle PQS$ में,$AD \parallel QS$ और $AD = \frac{1}{2} QS$ है।
इसी प्रकार,$\triangle RQS$ में,$BC \parallel QS$ और $BC = \frac{1}{2} QS$ है।
अतः,$AD \parallel BC$ और $AD = BC$ है,जिससे $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
$ABCD$ के आयत होने के लिए,इसकी आसन्न भुजाएँ परस्पर लंब होनी चाहिए (अर्थात $AB \perp AD$)।
चूँकि $AB \parallel PR$ और $AD \parallel QS$ है,इसलिए $AB \perp AD$ की शर्त का अर्थ है कि $PR \perp QS$ होना चाहिए।
अतः,मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज एक आयत होता है यदि मूल चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण परस्पर लंब हों।

(B) मान लीजिए कि भुजाओं $PQ, QR, RS,$ और $SP$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $A, B, C,$ और $D$ हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$AB \parallel PR$ और $AB = \frac{1}{2} PR$ है। इसी प्रकार,$DC \parallel PR$ और $DC = \frac{1}{2} PR$ है। अतः,$AB \parallel DC$ और $AB = DC$ है,जिससे $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है। $ABCD$ के समचतुर्भुज होने के लिए,इसकी आसन्न भुजाएँ बराबर होनी चाहिए (अर्थात $AB = AD$)। चूँकि $AD = \frac{1}{2} QS$ और $AB = \frac{1}{2} PR$ है,इसलिए $AB = AD$ की शर्त का अर्थ है $\frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} QS$,जिसका अर्थ है $PR = QS$। अतः,मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है यदि मूल चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण बराबर हों।

(C) माना चतुर्भुज $ABCD$ के कोण $A, B, C$ और $D$ क्रमशः $3x, 7x, 6x$ और $4x$ हैं।
चूंकि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$3x + 7x + 6x + 4x = 360^{\circ}$
$20x = 360^{\circ}$
$x = 18^{\circ}$
अतः,कोण इस प्रकार हैं:
$A = 3 \times 18^{\circ} = 54^{\circ}$
$B = 7 \times 18^{\circ} = 126^{\circ}$
$C = 6 \times 18^{\circ} = 108^{\circ}$
$D = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$
अब,क्रमागत कोणों $\angle C$ और $\angle D$ का योग ज्ञात करते हैं:
$\angle C + \angle D = 108^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$
चूंकि तिर्यक रेखा $CD$ के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए भुजाएं $AD$ और $BC$ समांतर होंगी $(AD \parallel BC)$।
जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है,उसे समलंब चतुर्भुज (trapezium) कहते हैं।

(D) चतुर्भुज $ABCD$ में,अंतःकोणों का योग $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$ होता है।
$\triangle APB$ में,$\angle P + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^{\circ} \implies \angle P = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$।
इसी प्रकार,$\triangle CRD$ में,$\angle R = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$।
इनका योग करने पर,$\angle P + \angle R = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$।
चूंकि सम्मुख कोणों का योग $\angle P + \angle R = 180^{\circ}$ है,अतः चतुर्भुज $PQRS$ एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

(A) मान लीजिए $PN$,$\angle APQ$ का समद्विभाजक है और $QN$,$\angle CQP$ का समद्विभाजक है।
चूँकि $APB \parallel CQD$,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $\angle APQ + \angle CQP = 180^\circ$ होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{2}\angle APQ + \frac{1}{2}\angle CQP = 90^\circ$ प्राप्त होता है।
$\triangle PNQ$ में,$\angle NPQ + \angle NQP = 90^\circ$,इसलिए $\angle PNQ = 90^\circ$ है।
इसी प्रकार,अन्य शीर्षों $M, P, Q$ के लिए,हम दिखा सकते हैं कि चतुर्भुज $PNQM$ के सभी कोण $90^\circ$ हैं।
अतः,कोण समद्विभाजकों द्वारा निर्मित चतुर्भुज $PNQM$ एक आयत है।

(B) माना समचतुर्भुज $ABCD$ है। माना $P, Q, R,$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$\triangle ABC$ में,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि एक समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को $90^\circ$ पर समद्विभाजित करते हैं,चतुर्भुज $PQRS$ की भुजाएँ विकर्णों $AC$ और $BD$ के समांतर होंगी।
चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब $(AC \perp BD)$ होते हैं,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब होंगी।
एक समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो,वह एक आयत होता है। इसलिए,$PQRS$ एक आयत है।

(C) $\Delta ABC$ में,$D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DE \parallel BC$ और $DE = \frac{1}{2} BC$ होता है।
$\Delta ABO$ में,$D$ और $P$ क्रमशः $AB$ और $OB$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DP \parallel AO$ और $DP = \frac{1}{2} AO$ होता है।
$\Delta ACO$ में,$E$ और $Q$ क्रमशः $AC$ और $OC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EQ \parallel AO$ और $EQ = \frac{1}{2} AO$ होता है।
उपरोक्त से,हमारे पास $DP = EQ$ (दोनों $\frac{1}{2} AO$ के बराबर हैं) और $DP \parallel EQ$ (दोनों $AO$ के समांतर हैं) है।
चूंकि चतुर्भुज $DEQP$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $DEQP$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(D) वेरिग्नन प्रमेय के अनुसार,किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने पर बनी आकृति एक समांतर चतुर्भुज होती है।
इस समांतर चतुर्भुज के वर्ग होने के लिए,इसकी भुजाएँ बराबर होनी चाहिए और आसन्न भुजाएँ लंबवत होनी चाहिए।
मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने चतुर्भुज की भुजाएँ मूल चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों के समानांतर होती हैं और उनकी लंबाई विकर्णों की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,परिणामी आकृति के वर्ग होने के लिए,मूल चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण लंबाई में बराबर (समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को बराबर करने के लिए) और एक-दूसरे के लंबवत (समांतर चतुर्भुज के कोणों को $90^{\circ}$ करने के लिए) होने चाहिए।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AD \parallel BC$ है और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए,$\angle DAC = \angle ACB$ (एकांतर अंतःकोण)।
दिया है $\angle DAC = 32^{\circ},$ इसलिए $\angle ACB = 32^{\circ}.$
अब,$\Delta BOC$ पर विचार करें। कोण $\angle AOB,$ $\Delta BOC$ के लिए शीर्ष $O$ पर एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$\angle AOB = \angle OCB + \angle OBC.$
ज्ञात मानों को रखने पर,$70^{\circ} = 32^{\circ} + \angle OBC.$
अतः,$\angle OBC = 70^{\circ} - 32^{\circ} = 38^{\circ}.$
चूंकि $\angle DBC$ और $\angle OBC$ एक ही कोण हैं,इसलिए $\angle DBC = 38^{\circ}.$

(B) एक समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं। सम्मुख कोण बराबर होते हैं। विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। हालाँकि,विकर्ण आवश्यक रूप से सम्मुख कोणों को समद्विभाजित नहीं करते हैं; यह गुण केवल समचतुर्भुज या वर्ग के लिए सत्य है। इसलिए,यह कथन कि 'सम्मुख कोण विकर्णों द्वारा समद्विभाजित होते हैं' एक सामान्य समांतर चतुर्भुज के लिए सत्य नहीं है।

(C) यह सिद्ध करने के लिए कि $CF$,$DA$ के बराबर और समांतर है,हम $\triangle ADE$ और $\triangle CFE$ पर विचार करते हैं।
इन त्रिभुजों में:
$1$. $AE = CE$ (चूंकि $E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है)
$2$. $\angle AED = \angle CEF$ (शीर्षाभिमुख कोण)
यदि हमें $DE = EF$ दिया गया है,तो $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ADE \cong \triangle CFE$ होगा।
$CPCT$ द्वारा,हमें $AD = CF$ और $\angle ADE = \angle CFE$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle ADE$ और $\angle CFE$ एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए यह दर्शाता है कि $AD \parallel CF$ है।
अतः,आवश्यक अतिरिक्त जानकारी $DE = EF$ है।

(C) समान विकर्णों वाला समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।
एक आयत में,सभी आंतरिक कोण समकोण होते हैं।
इसलिए,$\angle ABC = 90^{\circ}$।

(B) यह कथन असत्य है।
समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं,लेकिन उनकी लंबाई समान होना आवश्यक नहीं है।
केवल वर्ग के मामले में (जो समचतुर्भुज का एक विशेष प्रकार है) विकर्ण बराबर होते हैं।

(B) नहीं,यह आवश्यक रूप से एक समांतर चतुर्भुज नहीं है। एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज तभी होता है जब सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हों। उदाहरण के लिए,यदि $\angle A = \angle B = \angle C = 80^{\circ}$ है,तो चतुर्भुज के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle D = 360^{\circ} - (80^{\circ} + 80^{\circ} + 80^{\circ}) = 120^{\circ}$ होगा। चूंकि $\angle B \neq \angle D$ $(80^{\circ} \neq 120^{\circ})$,इसलिए समांतर चतुर्भुज की शर्त पूरी नहीं होती है।

(B) एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि और केवल यदि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है $OA = OC$ और $OB = OD$।
दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ के खंडों का अनुपात $OA : OC = 3 : 2$ है।
चूंकि $OA \neq OC$,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते हैं।
अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।

(A) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः,$AC = 2 \times OA$ और $BD = 2 \times OD$ होगा।
दिया गया है कि $OA = 3\, cm$ और $OD = 2\, cm$ है।
इसलिए,$AC = 2 \times 3\, cm = 6\, cm$ होगा।
और $BD = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$ होगा।
अतः,$AC$ और $BD$ की लंबाई क्रमशः $6\, cm$ और $4\, cm$ है।

(B) यह कथन असत्य है।
एक समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,लेकिन वे आवश्यक रूप से लंबवत नहीं होते हैं।
लंबवत विकर्ण एक समचतुर्भुज या वर्ग का गुण है,जो समांतर चतुर्भुज के विशेष प्रकार हैं,लेकिन यह सभी समांतर चतुर्भुजों का सामान्य गुण नहीं है।

(N/A) दिए गए कोणों का योग $110^{\circ} + 80^{\circ} + 70^{\circ} + 95^{\circ} = 355^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
चूंकि दिए गए कोणों का योग $(355^{\circ})$ $360^{\circ}$ के बराबर नहीं है,इसलिए ये एक चतुर्भुज के कोण नहीं हो सकते हैं।

(B) चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ है।
चूँकि $\angle A$ और $\angle D$ तिर्यक रेखा $AD$ के एक ही ओर के क्रमागत अंतःकोण हैं जो रेखाओं $AB$ और $CD$ को काटते हैं,इसलिए उनका योग $180^{\circ}$ होने का अर्थ है कि रेखाएँ $AB$ और $CD$ समांतर हैं।
परिभाषा के अनुसार,जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समांतर हो,उसे समलंब चतुर्भुज (Trapezium) कहा जाता है।
अतः,इस चतुर्भुज $ABCD$ को समलंब चतुर्भुज कहा जा सकता है।

(B) एक चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना चतुर्भुज का प्रत्येक कोण $x$ है।
चूंकि चारों कोण बराबर हैं,इसलिए $x + x + x + x = 360^{\circ}$ होगा।
$4x = 360^{\circ}$.
$x = 90^{\circ}$.
वह चतुर्भुज जिसके सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं,उसे आयत कहा जाता है।

(B) दिया गया कथन असत्य है। यद्यपि एक आयत के विकर्ण लंबाई में बराबर होते हैं,लेकिन वे एक-दूसरे के लंबवत हों यह आवश्यक नहीं है। एक आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,लेकिन वे केवल तभी $90^{\circ}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि वह आयत एक वर्ग हो।

(N/A) नहीं,एक चतुर्भुज के चारों कोण अधिक कोण नहीं हो सकते हैं।
अधिक कोण वह कोण है जो $90^{\circ}$ से बड़ा होता है।
यदि चारों कोण अधिक कोण होते,तो प्रत्येक कोण $> 90^{\circ}$ होता।
अतः,चारों कोणों का योग $> 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ होता।
हालाँकि,चतुर्भुज के चारों अंतःकोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
चूँकि योग $360^{\circ}$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए चारों कोणों का अधिक कोण होना असंभव है।

(C) $\triangle ABC$ में,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $E$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
इसलिए,$DE = \frac{1}{2} \times AC$।
दिया गया है कि $AC = 7\, cm$।
$DE = \frac{1}{2} \times 7\, cm = 3.5\, cm$।

(A) $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$BD = EF$ ... $(1)$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
$FDCE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$CD = EF$ ... $(2)$ [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$BD = CD$
हाँ,हम कह सकते हैं कि $BD = CD$ क्योंकि दोनों एक ही भुजा $EF$ के बराबर हैं।

(A) हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle A = \angle C$ है।
दिया गया है कि $\angle C = 55^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle A = 55^{\circ}$ होगा।
अब,समांतर चतुर्भुज $AEFG$ में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle F = \angle A$ होगा।
चूँकि $\angle A = 55^{\circ}$ है,इसलिए $\angle F = 55^{\circ}$ होगा।

(N/A) नहीं,एक चतुर्भुज के सभी कोण न्यूनकोण नहीं हो सकते हैं।
न्यूनकोण वह कोण होता है जो $90^{\circ}$ से कम होता है।
यदि एक चतुर्भुज के चारों कोण न्यूनकोण हों,तो प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ से कम होगा।
परिणामस्वरूप,इन चारों कोणों का योग $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ से कम होगा।
हालाँकि,चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,यह असंभव है कि चतुर्भुज के सभी चारों कोण न्यूनकोण हों।

(A) हाँ,एक चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हो सकते हैं।
चतुर्भुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,इसके सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
यदि प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ है,तो चारों कोणों का योग $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ होता है।
चूँकि यह कोण योग गुणधर्म को संतुष्ट करता है,इसलिए एक चतुर्भुज के सभी कोण समकोण हो सकते हैं (उदाहरण के लिए,एक आयत या एक वर्ग)।

(A) चूंकि एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज में,किन्हीं भी दो आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है क्योंकि वे संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = 35^{\circ}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$35^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$।
$\angle B$ के लिए हल करने पर:
$\angle B = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}$।

(B) वह चतुर्भुज जिसमें सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर होते हैं,समांतर चतुर्भुज कहलाता है।
चूंकि चतुर्भुज $ABCD$ के सम्मुख कोण बराबर हैं,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
इसलिए,$AB = CD$ होगा।
दिया गया है कि $AB = 4 \, cm$,अतः $CD = 4 \, cm$ होगा।

(A) माना चतुर्भुज के कोण $3x, 4x, 4x$ और $7x$ हैं।
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$3x + 4x + 4x + 7x = 360^{\circ}$।
$18x = 360^{\circ}$।
$x = \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ}$।
अब,प्रत्येक कोण का मान ज्ञात करते हैं:
पहला कोण $= 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$।
दूसरा कोण $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
तीसरा कोण $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$।
चौथा कोण $= 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$।
अतः,चतुर्भुज के कोण $60^{\circ}, 80^{\circ}, 80^{\circ}$ और $140^{\circ}$ हैं।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$X$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $Y$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$1$. चूँकि $AD \parallel BC$ और $AD = BC$ है,इसलिए $DX \parallel BY$ और $DX = BY$ होगा (क्योंकि $X$ और $Y$ मध्य-बिंदु हैं)।
$2$. अतः,$XBYD$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।
$3$. इसका अर्थ है कि $PX \parallel QD$ और $PY \parallel BQ$ है।
$4$. $\triangle AQD$ में,$X$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $XP \parallel QD$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$P$,$AQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AP = PQ$ है।
$5$. $\triangle CPB$ में,$Y$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $YQ \parallel PB$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$Q$,$PC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$PQ = QC$ है।
$6$. उपरोक्त दो परिणामों से,हमें $AP = PQ = QC$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ $AX$,$\angle A$ का समद्विभाजक है और $CY$,$\angle C$ का समद्विभाजक है।
$1$. चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$\angle A = \angle C$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
$2$. दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \angle C$ प्राप्त होता है।
$3$. चूँकि $AX$ और $CY$ समद्विभाजक हैं,इसका अर्थ है कि $\angle XAB = \angle YCD$ है।
$4$. साथ ही,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel DC$ है। इसलिए,$\angle XAB = \angle AXC$ (एकांतर अंतःकोण)।
$5$. चरण $3$ और $4$ से,$\angle AXC = \angle YCD$ प्राप्त होता है।
$6$. चूँकि ये रेखाओं $AX$ और $CY$ के लिए तिर्यक रेखा $DC$ के साथ संगत कोण हैं,इसलिए $AX \parallel CY$ है।

(B) चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
माना कि शेष तीन बराबर कोणों में से प्रत्येक का मान $x^{\circ}$ है।
दिया गया है कि एक कोण $108^{\circ}$ है,इसलिए हम समीकरण लिख सकते हैं:
$108^{\circ} + x + x + x = 360^{\circ}$
$108^{\circ} + 3x = 360^{\circ}$
$3x = 360^{\circ} - 108^{\circ}$
$3x = 252^{\circ}$
$x = 252^{\circ} / 3$
$x = 84^{\circ}$
अतः,प्रत्येक बराबर कोण का मान $84^{\circ}$ है।

(N/A) $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है।
चूँकि $AB \parallel DC$ है और $AD$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$\angle A = 45^{\circ}$ का मान रखने पर:
$45^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
$\angle D = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
इसी प्रकार,चूँकि $AB \parallel DC$ है और $BC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
$\angle B = 45^{\circ}$ का मान रखने पर:
$45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle C = 135^{\circ}$ और $\angle D = 135^{\circ}$ हैं।

(N/A) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। माना $DP \perp AB$ और $DQ \perp BC$ अधिक कोण $D$ से खींचे गए दो शीर्षलंब हैं।
चतुर्भुज $DPBQ$ में,आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$\angle PDQ + \angle DPB + \angle B + \angle DQB = 360^{\circ}$
दिया है $\angle PDQ = 60^{\circ}$,$\angle DPB = 90^{\circ}$,और $\angle DQB = 90^{\circ}$।
$60^{\circ} + 90^{\circ} + \angle B + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B + 240^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle D = \angle B = 120^{\circ}$।
चूंकि क्रमागत आंतरिक कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
$\angle A + 120^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A = 60^{\circ}$।
चूंकि सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A = 60^{\circ}$।
अतः,समांतर चतुर्भुज के कोण $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ हैं।

(A) माना $AB$ पर बिंदु $P$ इस प्रकार है कि $DP \perp AB$ है। दिया है कि $AP = PB$ है।
$\triangle APD$ और $\triangle BPD$ में:
$AP = PB$ (दिया है)
$\angle APD = \angle BPD = 90^{\circ}$ (लंब)
$PD = PD$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle APD \cong \triangle BPD$ है।
अतः,$AD = BD$ $(CPCT)$.
चूँकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसलिए $AD = AB$ है। अतः,$AD = BD = AB$ है।
इसका अर्थ है कि $\triangle ABD$ एक समबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle DAB = 60^{\circ}$ है।
समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle BCD = 60^{\circ}$ है।
आसन्न कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
इसी प्रकार,$\angle ADC = 120^{\circ}$ है।
समचतुर्भुज के कोण $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ हैं।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। $E$ और $F$ विकर्ण $AC$ पर स्थित बिंदु हैं ताकि $AE = CF$ हो।
सिद्ध करना है: $BFDE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
उपपत्ति: मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए:
$OA = OC$ ... $(1)$
$OD = OB$ ... $(2)$
दिया है कि $AE = CF$ ... $(3)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OA - AE = OC - CF$
$OE = OF$ ... $(4)$
अब,चतुर्भुज $BFDE$ में,विकर्ण $BD$ और $EF$ बिंदु $O$ पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (समीकरण $(2)$ और $(4)$ से)।
वह चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,एक समांतर चतुर्भुज होता है।
अतः,$BFDE$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ है और $E$,भुजा $AD$ का मध्य-बिंदु है। साथ ही,$EF \parallel AB$ है।
सिद्ध करना है: $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
रचना: $AC$ को मिलाइए जो $EF$ को $O$ पर प्रतिच्छेद करती है।
उपपत्ति: $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EF \parallel DC$ है।
$[\because EF \parallel AB \text{ और } DC \parallel AB \Rightarrow AB \parallel EF \parallel DC]$
$\therefore O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। [मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]
अब,$\triangle CAB$ में,$O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $OF \parallel AB$ है।
$\Rightarrow OF$,$BC$ को समद्विभाजित करता है [मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम]।
अर्थात $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ जिसमें $AB \parallel PQ$,$BC \parallel RQ$ और $CA \parallel PR$ है।
सिद्ध करना है: $BC = \frac{1}{2} QR$
उपपत्ति: चतुर्भुज $ARBC$ पर विचार करें।
चूँकि $AR \parallel BC$ (क्योंकि $RQ \parallel BC$) और $RB \parallel AC$ (क्योंकि $PR \parallel AC$),अतः $ARBC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$AR = BC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(1)$
अब,चतुर्भुज $ABCQ$ पर विचार करें।
चूँकि $AQ \parallel BC$ (क्योंकि $RQ \parallel BC$) और $QC \parallel AB$ (क्योंकि $QP \parallel AB$),अतः $ABCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए,$AQ = BC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AR + AQ = BC + BC$
$QR = 2BC$
$BC = \frac{1}{2} QR$
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है। $D, E$ और $F$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है।
उपपत्ति: मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$1$. $EF$,भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$EF = \frac{1}{2} BC$ $(1)$.
$2$. $DE$,भुजाओं $BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DE = \frac{1}{2} AB$ $(2)$.
$3$. $DF$,भुजाओं $BC$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को मिलाता है। इसलिए,$DF = \frac{1}{2} AC$ $(3)$.
चूंकि $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = BC = CA$ $(4)$.
$(4)$ का मान $(1), (2)$ और $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$EF = \frac{1}{2} BC$,$DE = \frac{1}{2} BC$,और $DF = \frac{1}{2} BC$.
अतः,$DE = EF = DF$.
इसलिए,$\triangle DEF$ एक समबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$P$,$AB$ पर स्थित है,$Q$,$CD$ पर स्थित है,और $AP = CQ$ है।
मान लीजिए $AC$ और $PQ$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Delta OAP$ और $\Delta OCQ$ में:
$1$. $AP = CQ$ (दिया है)
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel CD$)
$3$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta OAP \cong \Delta OCQ$ है।
$CPCT$ द्वारा,$OA = OC$ और $OP = OQ$ है।
चूंकि $OA = OC$ है,इसलिए $O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
चूंकि $OP = OQ$ है,इसलिए $O$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(N/A) दिया है: $\angle BAP = \angle DAP = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(1)$
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ} \quad \dots(2)$
[तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है]
$\triangle ABP$ में,$\angle BAP + \angle B + \angle APB = 180^{\circ}$
$(1)$ और $(2)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \angle A + (180^{\circ} - \angle A) + \angle APB = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle APB = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(3)$
$(1)$ और $(3)$ से,हमें $\angle BAP = \angle APB$ प्राप्त होता है।
अतः,$BP = AB$ [समान कोणों की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं]।
चूंकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं,इसलिए $AD = BC.$
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BC = BP$ [चूंकि $P, BC$ का मध्य-बिंदु है]।
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = AB$ [चूंकि $BP = AB$]।
चूंकि $AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं),इसलिए:
$\frac{1}{2} AD = CD \Rightarrow AD = 2 CD.$
इति सिद्धम्।

(N/A) हम दी गई शर्तों के अनुसार आकृति बनाते हैं।
यह दिया गया है कि $PQ = RS$ और $PQ \parallel RS$ है। इसलिए,$PQSR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$PR = QS$ और $PR \parallel QS$ ... $(1)$
अब,$PR \parallel QS$ है।
इसलिए,$\angle RPQ + \angle PQS = 180^{\circ}$ (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण)।
अर्थात,$\angle RPQ + \angle PQM + \angle MQS = 180^{\circ}$ ... $(2)$
साथ ही,$PN \parallel QM$ (रचना द्वारा)।
इसलिए,$\angle NPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$ ... $(3)$
अर्थात,$\angle NPR + \angle RPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$।
$(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें $\angle NPR = \angle MQS$ प्राप्त होता है ... $(4)$
इसी प्रकार,$\angle NRP = \angle MSQ$ ... $(5)$
इसलिए,$\Delta PNR \cong \Delta QMS$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$(1)$,$(4)$ और $(5)$ का उपयोग करके]।
अतः,$PN = QM$ और $NR = MS$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूंकि $PN = QM$ और $PN \parallel QM$ है,इसलिए $PQMN$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$MN = PQ$ और $NM \parallel PQ$।

(N/A) मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AC$ एक विकर्ण है। ध्यान दें कि विकर्ण $AC$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों,$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में विभाजित करता है। हमें यह सिद्ध करना है कि ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में,ध्यान दें कि $BC \parallel AD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BCA = \angle DAC$ (एकांतर अंतःकोणों का युग्म)।
साथ ही,$AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है।
अतः,$\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोणों का युग्म)।
और $AC = CA$ (उभयनिष्ठ भुजा)।
इसलिए,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$ ($ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा)।
इस प्रकार,विकर्ण $AC$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों $ABC$ और $CDA$ में विभाजित करता है।

(N/A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है और $P, Q, R$ तथा $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
त्रिभुज $ABD$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार:
$SP = \frac{1}{2} BD$ और $SP \parallel BD.$
इसी प्रकार,त्रिभुज $BCD$ में:
$RQ = \frac{1}{2} BD$ और $RQ \parallel BD.$
अतः,$SP = RQ$ और $SP \parallel RQ$ (समीकरण $1$).
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
साथ ही,समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं,अतः $AC \perp BD.$
त्रिभुज $BAC$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC.$
चूंकि $SP \parallel BD$ और $PQ \parallel AC,$ तथा $AC \perp BD,$ इसलिए $SP \perp PQ$ होगा।
अतः,$\angle SPQ = 90^{\circ}$ (समीकरण $2$).
चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।

(N/A) मान लीजिए कि हम एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ पर विचार करते हैं,जहाँ $AC$ एक विकर्ण है जो $\angle BAD$ को समद्विभाजित करता है।
दिया है: $\angle BAC = \angle DAC$.
सिद्ध करना है: $\angle BCA = \angle DCA$.
उपपत्ति:
चूंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle BAC = \angle DCA$ --- $(1)$
चूंकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
$\angle DAC = \angle BCA$ --- $(2)$
दी गई शर्त के अनुसार,हम जानते हैं कि:
$\angle BAC = \angle DAC$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BCA = \angle DCA$.
अतः,विकर्ण $AC$ सम्मुख कोण $\angle BCD$ को भी समद्विभाजित करता है।