Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Gujarati

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
આપેલ છે કે $\angle BOC = 90^{\circ}.$ $AC$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle BOC + \angle AOB = 180^{\circ},$ તેથી $\angle AOB = 90^{\circ}.$
$\triangle BOC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$AB \parallel DC$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે,તેથી $\angle OAB = \angle OCD.$
વળી,$\angle BDC = 50^{\circ}$ આપેલ છે. $AB \parallel DC$ હોવાથી,$\angle ABD = \angle BDC = 50^{\circ}$ (યુગ્મકોણ).
$\triangle AOB$ માં,$\angle AOB = 90^{\circ}$ અને $\angle ABO = 50^{\circ}.$
$\triangle AOB$ ના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,
$\angle OAB + \angle AOB + \angle ABO = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OAB = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}.$

(B) ચતુષ્કોણના બધા જ અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ચોથો ખૂણો $x$ છે.
તેથી,$75^{\circ} + 90^{\circ} + 75^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$240^{\circ} + x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} - 240^{\circ}$.
$x = 120^{\circ}$.

(C) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણ $AC$ એ બાજુ $AB$ સાથે $25^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\angle CAB = 25^{\circ}$.
લંબચોરસમાં,વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $OA = OB$.
$\triangle OAB$ માં,$OA = OB$ હોવાથી,તેમની સામેના ખૂણા સમાન હોય,તેથી $\angle OBA = \angle OAB = 25^{\circ}$.
$\triangle OAB$ માં ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle AOB = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$.
$\angle AOB$ અને $\angle AOD$ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી:
$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
આમ,વિકર્ણો વચ્ચેનો લઘુકોણ $50^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $\angle ACB = 40^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે $(90^{\circ})$.
ધારો કે વિકર્ણો બિંદુ $O$ પર છેદે છે. તેથી,$\triangle BOC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle BOC = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle BOC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle OBC + \angle BOC + \angle BCO = 180^{\circ}$
$\angle OBC + 90^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle OBC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
ચોક્કસપણે $AD \parallel BC$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે),તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે:
$\angle ADB = \angle DBC$.
$\angle DBC = \angle OBC = 50^{\circ}$ હોવાથી,$\angle ADB = 50^{\circ}$ થાય.

(A) ધારો કે બાજુઓ $PQ, QR, RS,$ અને $SP$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $A, B, C,$ અને $D$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\triangle PQS$ માં,$AD \parallel QS$ અને $AD = \frac{1}{2} QS$ થાય.
તે જ રીતે,$\triangle RQS$ માં,$BC \parallel QS$ અને $BC = \frac{1}{2} QS$ થાય.
આમ,$AD \parallel BC$ અને $AD = BC$ હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.
$ABCD$ લંબચોરસ બને તે માટે તેની પાસપાસેની બાજુઓ પરસ્પર લંબ હોવી જોઈએ (એટલે કે $AB \perp AD$).
અહીં $AB \parallel PR$ અને $AD \parallel QS$ હોવાથી,$AB \perp AD$ ની શરતનો અર્થ એ છે કે $PR \perp QS$ થાય.
તેથી,જો મૂળ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોય,તો મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ચતુષ્કોણ લંબચોરસ બને છે.

(B) ધારો કે બાજુઓ $PQ, QR, RS,$ અને $SP$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $A, B, C,$ અને $D$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$AB \parallel PR$ અને $AB = \frac{1}{2} PR$ થાય. તેવી જ રીતે,$DC \parallel PR$ અને $DC = \frac{1}{2} PR$ થાય. આમ,$AB \parallel DC$ અને $AB = DC$ હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે. $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ બને તે માટે તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ (એટલે કે $AB = AD$). કારણ કે $AD = \frac{1}{2} QS$ અને $AB = \frac{1}{2} PR$ છે,તેથી $AB = AD$ ની શરત મુજબ $\frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} QS$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PR = QS$. તેથી,જો મૂળ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો સમાન હોય,તો મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

(C) ધારો કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ખૂણાઓ $A, B, C$ અને $D$ અનુક્રમે $3x, 7x, 6x$ અને $4x$ છે.
ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$3x + 7x + 6x + 4x = 360^{\circ}$
$20x = 360^{\circ}$
$x = 18^{\circ}$
તેથી,ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$A = 3 \times 18^{\circ} = 54^{\circ}$
$B = 7 \times 18^{\circ} = 126^{\circ}$
$C = 6 \times 18^{\circ} = 108^{\circ}$
$D = 4 \times 18^{\circ} = 72^{\circ}$
હવે,ક્રમિક ખૂણાઓ $\angle C$ અને $\angle D$ નો સરવાળો તપાસતા:
$\angle C + \angle D = 108^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$
છેદિકા $CD$ ની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,બાજુઓ $AD$ અને $BC$ સમાંતર થાય $(AD \parallel BC)$.
જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય,તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,અંતઃકોણોનો સરવાળો $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$ થાય છે.
$\triangle APB$ માં,$\angle P + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^{\circ} \implies \angle P = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.
તે જ રીતે,$\triangle CRD$ માં,$\angle R = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\angle P + \angle R = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$.
જેથી સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $\angle P + \angle R = 180^{\circ}$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PQRS$ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેના સામસામેના ખૂણા પૂરક છે.

(A) ધારો કે $PN$ એ $\angle APQ$ નો દ્વિભાજક છે અને $QN$ એ $\angle CQP$ નો દ્વિભાજક છે.
કારણ કે $APB \parallel CQD$,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $\angle APQ + \angle CQP = 180^\circ$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2}\angle APQ + \frac{1}{2}\angle CQP = 90^\circ$ મળે છે.
$\triangle PNQ$ માં,$\angle NPQ + \angle NQP = 90^\circ$,તેથી $\angle PNQ = 90^\circ$ થાય.
તે જ રીતે,અન્ય શિરોબિંદુઓ $M, P, Q$ માટે,આપણે દર્શાવી શકીએ છીએ કે ચતુષ્કોણ $PNQM$ ના તમામ ખૂણાઓ $90^\circ$ છે.
આમ,ખૂણાના દ્વિભાજકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ $PNQM$ એક લંબચોરસ છે.

(B) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. ધારો કે $P, Q, R,$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\triangle ABC$ માં,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ થાય.
તે જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ થાય.
આમ,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$ હોવાથી,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને $90^\circ$ પર દુભાગે છે,તેથી ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની બાજુઓ વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ને સમાંતર હશે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ $(AC \perp BD)$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ એકબીજાને લંબ થશે.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો કાટખૂણો હોય તેને લંબચોરસ કહેવાય. તેથી,$PQRS$ એ લંબચોરસ છે.

(C) $\Delta ABC$ માં,$D$ અને $E$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DE \parallel BC$ અને $DE = \frac{1}{2} BC$ થાય.
$\Delta ABO$ માં,$D$ અને $P$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $OB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DP \parallel AO$ અને $DP = \frac{1}{2} AO$ થાય.
$\Delta ACO$ માં,$E$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AC$ અને $OC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EQ \parallel AO$ અને $EQ = \frac{1}{2} AO$ થાય.
ઉપર મુજબ,આપણી પાસે $DP = EQ$ (બંને $\frac{1}{2} AO$ જેટલા છે) અને $DP \parallel EQ$ (બંને $AO$ ને સમાંતર છે) છે.
ચતુષ્કોણ $DEQP$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$DEQP$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) વેરિગન પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતી આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ચોરસ બને તે માટે,તેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ અને પાસપાસેની બાજુઓ પરસ્પર લંબ હોવી જોઈએ.
મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ચતુષ્કોણની બાજુઓ મૂળ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણોને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ વિકર્ણોની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,પરિણામી આકૃતિ ચોરસ બને તે માટે,મૂળ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો લંબાઈમાં સમાન (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન કરવા માટે) અને પરસ્પર લંબ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણા $90^{\circ}$ કરવા માટે) હોવા જોઈએ.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AD \parallel BC$ અને $AC$ તેમની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle ACB$ (યુગ્મકોણ).
આપેલ છે કે $\angle DAC = 32^{\circ},$ તેથી $\angle ACB = 32^{\circ}.$
હવે,$\Delta BOC$ નો વિચાર કરો. ખૂણો $\angle AOB$ એ $\Delta BOC$ માટે શિરોબિંદુ $O$ પાસેનો બહિષ્કોણ છે.
બહિષ્કોણના પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તેથી,$\angle AOB = \angle OCB + \angle OBC.$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$70^{\circ} = 32^{\circ} + \angle OBC.$
આમ,$\angle OBC = 70^{\circ} - 32^{\circ} = 38^{\circ}.$
કારણ કે $\angle DBC$ એ $\angle OBC$ સમાન જ છે,તેથી $\angle DBC = 38^{\circ}.$

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે. સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે. વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. જોકે,વિકર્ણો હંમેશા સામસામેના ખૂણાઓને દુભાગતા નથી; આ ગુણધર્મ ફક્ત સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસ માટે જ સાચો છે. તેથી,'સામેના ખૂણાઓ વિકર્ણો દ્વારા દુભાગે છે' તે વિધાન સામાન્ય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ માટે સાચું નથી.

(C) $CF$ એ $DA$ ને સમાન અને સમાંતર છે તેમ સાબિત કરવા માટે,આપણે $\triangle ADE$ અને $\triangle CFE$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આ ત્રિકોણોમાં:
$1$. $AE = CE$ (કારણ કે $E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$2$. $\angle AED = \angle CEF$ (અભિકોણો)
જો આપણને $DE = EF$ આપેલું હોય,તો $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ADE \cong \triangle CFE$ થાય.
$CPCT$ દ્વારા,આપણને $AD = CF$ અને $\angle ADE = \angle CFE$ મળે છે.
જેમ કે $\angle ADE$ અને $\angle CFE$ એ યુગ્મકોણો છે,તેથી તે સૂચવે છે કે $AD \parallel CF$.
આમ,જરૂરી વધારાની માહિતી $DE = EF$ છે.

(C) સમાન વિકર્ણો ધરાવતો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એ લંબચોરસ હોય છે.
લંબચોરસમાં,બધા જ અંતઃકોણ કાટખૂણા હોય છે.
તેથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાના લંબદ્વિભાજક હોય છે,પરંતુ તેમની લંબાઈ સમાન હોવી જરૂરી નથી.
માત્ર ચોરસના કિસ્સામાં (જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે) વિકર્ણો સમાન હોય છે.

(B) ના,તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય તે જરૂરી નથી. ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો સામસામેના ખૂણાઓની બંને જોડ સમાન હોય. ઉદાહરણ તરીકે,જો $\angle A = \angle B = \angle C = 80^{\circ}$ હોય,તો ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી,$\angle D = 360^{\circ} - (80^{\circ} + 80^{\circ} + 80^{\circ}) = 120^{\circ}$ થાય. અહીં $\angle B \neq \angle D$ $(80^{\circ} \neq 120^{\circ})$ હોવાથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની શરતનું પાલન થતું નથી.

(B) કોઈપણ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,એટલે કે $OA = OC$ અને $OB = OD$ હોય.
આપેલ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ ના ભાગોનો ગુણોત્તર $OA : OC = 3 : 2$ છે.
અહીં $OA \neq OC$ હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા નથી.
તેથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,$AC = 2 \times OA$ અને $BD = 2 \times OD$.
અહીં $OA = 3\, cm$ અને $OD = 2\, cm$ આપેલ છે.
તેથી,$AC = 2 \times 3\, cm = 6\, cm$.
અને $BD = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$.
આમ,$AC$ અને $BD$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $6\, cm$ અને $4\, cm$ છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,પરંતુ તે હંમેશા એકબીજાને લંબ હોતા નથી.
પરસ્પર લંબ વિકર્ણો એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસનો ગુણધર્મ છે,જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિશિષ્ટ પ્રકારો છે,પરંતુ તે તમામ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો સામાન્ય ગુણધર્મ નથી.

(N/A) આપેલા ખૂણાઓનો સરવાળો $110^{\circ} + 80^{\circ} + 70^{\circ} + 95^{\circ} = 355^{\circ}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
અહીં આપેલા ખૂણાઓનો સરવાળો $(355^{\circ})$ એ $360^{\circ}$ જેટલો નથી,તેથી આ ખૂણાઓ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ હોઈ શકે નહીં.

(B) ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ છે.
અહીં $\angle A$ અને $\angle D$ એ છેદિકા $AD$ ની એક જ તરફના અંતઃકોણો છે,જે રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ને છેદે છે. તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
તેથી,આ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહી શકાય.

(B) ચતુષ્કોણના તમામ અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ચતુષ્કોણનો દરેક ખૂણો $x$ છે.
ચારેય ખૂણા સમાન હોવાથી,$x + x + x + x = 360^{\circ}$ મળે.
$4x = 360^{\circ}$.
$x = 90^{\circ}$.
જે ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય તેને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે. લંબચોરસના વિકર્ણો સમાન લંબાઈના હોય છે,પરંતુ તે એકબીજાને લંબ હોવા જરૂરી નથી. લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,પરંતુ તે માત્ર ત્યારે જ $90^{\circ}$ ના ખૂણે છેદે છે જો તે લંબચોરસ એક ચોરસ હોય.

(N/A) ના,ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણા ગુરુકોણ હોઈ શકે નહીં.
ગુરુકોણ એટલે $90^{\circ}$ થી મોટો ખૂણો.
જો ચારેય ખૂણા ગુરુકોણ હોય,તો દરેક ખૂણાનું માપ $> 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $> 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ થાય.
પરંતુ,ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
સરવાળો $360^{\circ}$ થી વધી શકતો ન હોવાથી,ચારેય ખૂણા ગુરુકોણ હોવા અશક્ય છે.

(C) $\triangle ABC$ માં,$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$DE = \frac{1}{2} \times AC$.
આપેલ છે કે $AC = 7\, cm$.
$DE = \frac{1}{2} \times 7\, cm = 3.5\, cm$.

(A) $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$BD = EF$ ... $(1)$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$FDCE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$CD = EF$ ... $(2)$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$BD = CD$
હા,આપણે કહી શકીએ કે $BD = CD$ કારણ કે બંને એક જ બાજુ $EF$ ને સમાન છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle A = \angle C$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle C = 55^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 55^{\circ}$.
હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEFG$ માં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી $\angle F = \angle A$ થાય.
જેથી $\angle A = 55^{\circ}$ હોવાથી,$\angle F = 55^{\circ}$ મળે.

(N/A) ના,ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા લઘુકોણ હોઈ શકે નહીં.
લઘુકોણ એટલે $90^{\circ}$ થી નાનો ખૂણો.
જો ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણા લઘુકોણ હોય,તો દરેક ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ થી ઓછું હોય.
પરિણામે,આ ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ થી ઓછો થાય.
જોકે,ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $360^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા લઘુકોણ હોવા અશક્ય છે.

(A) હા,ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા કાટખૂણા હોઈ શકે છે.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,તેના બધા અંતઃકોણનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
જો દરેક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તો ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ થાય છે.
આમ,આ ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનું પાલન કરે છે,તેથી ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા કાટખૂણા હોઈ શકે છે (દા.ત.,લંબચોરસ અથવા ચોરસ).

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,કોઈપણ બે પાસપાસેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે કારણ કે તેઓ પૂરક ખૂણાઓ છે.
તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = 35^{\circ}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$35^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$.
$\angle B$ માટે ઉકેલતા:
$\angle B = 180^{\circ} - 35^{\circ} = 145^{\circ}$.

(B) જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓની બંને જોડ સમાન હોય તેને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
તેથી,$AB = CD$.
આપેલ છે કે $AB = 4 \, cm$,તેથી $CD = 4 \, cm$ થાય.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $3x, 4x, 4x$ અને $7x$ છે.
ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$3x + 4x + 4x + 7x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$.
$x = \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાનું માપ શોધીએ:
પ્રથમ ખૂણો $= 3 \times 20^{\circ} = 60^{\circ}$.
બીજો ખૂણો $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
ત્રીજો ખૂણો $= 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
ચોથો ખૂણો $= 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$.
આમ,ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $60^{\circ}, 80^{\circ}, 80^{\circ}$ અને $140^{\circ}$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$X$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $AD \parallel BC$ અને $AD = BC$ હોવાથી,આપણને $DX \parallel BY$ અને $DX = BY$ મળે છે ($X$ અને $Y$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી).
$2$. તેથી,$XBYD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે તેની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
$3$. આનો અર્થ એ છે કે $PX \parallel QD$ અને $PY \parallel BQ$.
$4$. $\triangle AQD$ માં,$X$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $XP \parallel QD$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$P$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AP = PQ$.
$5$. $\triangle CPB$ માં,$Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $YQ \parallel PB$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$Q$ એ $PC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$PQ = QC$.
$6$. ઉપરના બે પરિણામો પરથી,આપણને $AP = PQ = QC$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AX$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે અને $CY$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે.
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle A = \angle C$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$2$. બંને બાજુઓને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \angle C$ મળે છે.
$3$. $AX$ અને $CY$ દ્વિભાજકો હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $\angle XAB = \angle YCD$.
$4$. વળી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB \parallel DC$. તેથી,$\angle XAB = \angle AXC$ (યુગ્મકોણ).
$5$. પગલાં $3$ અને $4$ પરથી,$\angle AXC = \angle YCD$.
$6$. આ રેખાઓ $AX$ અને $CY$ માટે છેદિકા $DC$ સાથેના અનુકોણ હોવાથી,$AX \parallel CY$ થાય.

(B) ચતુષ્કોણના અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોય છે.
ધારો કે બાકીના ત્રણ સમાન ખૂણાઓનું માપ $x^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે એક ખૂણો $108^{\circ}$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ લખી શકીએ:
$108^{\circ} + x + x + x = 360^{\circ}$
$108^{\circ} + 3x = 360^{\circ}$
$3x = 360^{\circ} - 108^{\circ}$
$3x = 252^{\circ}$
$x = 252^{\circ} / 3$
$x = 84^{\circ}$
તેથી,દરેક સમાન ખૂણાનું માપ $84^{\circ}$ છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે.
કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $AD$ એક છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$\angle A = 45^{\circ}$ ની કિંમત મૂકતા:
$45^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
$\angle D = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
તે જ રીતે,કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $BC$ એક છેદિકા છે,તેથી છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle B = 45^{\circ}$ ની કિંમત મૂકતા:
$45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle C = 135^{\circ}$ અને $\angle D = 135^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. ધારો કે $DP \perp AB$ અને $DQ \perp BC$ એ ગુરુકોણ $D$ માંથી દોરેલા બે વેધ છે.
ચતુષ્કોણ $DPBQ$ માં,અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
$\angle PDQ + \angle DPB + \angle B + \angle DQB = 360^{\circ}$
આપેલ છે કે $\angle PDQ = 60^{\circ}$,$\angle DPB = 90^{\circ}$,અને $\angle DQB = 90^{\circ}$.
$60^{\circ} + 90^{\circ} + \angle B + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B + 240^{\circ} = 360^{\circ}$
$\angle B = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle D = \angle B = 120^{\circ}$.
પાસપાસેના અંતઃકોણો પૂરક હોવાથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
$\angle A + 120^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle A = 60^{\circ}$.
સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle C = \angle A = 60^{\circ}$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ પરનું બિંદુ $P$ એવું છે કે $DP \perp AB$. આપેલ છે કે $AP = PB$.
$\triangle APD$ અને $\triangle BPD$ માં:
$AP = PB$ (આપેલ છે)
$\angle APD = \angle BPD = 90^{\circ}$ (વેધ)
$PD = PD$ (સામાન્ય બાજુ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle APD \cong \triangle BPD$.
તેથી,$AD = BD$ $(CPCT)$.
$ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD = AB$. આમ,$AD = BD = AB$.
આનો અર્થ એ છે કે $\triangle ABD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle DAB = 60^{\circ}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle BCD = 60^{\circ}$.
પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોવાથી,$\angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle ADC = 120^{\circ}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$. $E$ અને $F$ એ વિકર્ણ $AC$ પરના એવા બિંદુઓ છે કે જેથી $AE = CF$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $BFDE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી:
$OA = OC$ ... $(1)$
$OD = OB$ ... $(2)$
આપેલ છે કે $AE = CF$ ... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$OA - AE = OC - CF$
$OE = OF$ ... $(4)$
હવે,ચતુષ્કોણ $BFDE$ માં,વિકર્ણો $BD$ અને $EF$ બિંદુ $O$ પર પરસ્પર દુભાગે છે (સમીકરણ $(2)$ અને $(4)$ પરથી).
જે ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
તેથી,$BFDE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AB \parallel DC$ છે અને $E$ એ બાજુ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. વળી,$EF \parallel AB$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
રચના: $AC$ ને જોડો જે $EF$ ને $O$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\triangle ADC$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EF \parallel DC$ છે.
$[\because EF \parallel AB \text{ અને } DC \parallel AB \Rightarrow AB \parallel EF \parallel DC]$
$\therefore O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. [મધ્યબિંદુ પ્રમેયનું પ્રતિપ]
હવે,$\triangle CAB$ માં,$O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $OF \parallel AB$ છે.
$\Rightarrow OF$ એ $BC$ ને દુભાગે છે [મધ્યબિંદુ પ્રમેયનું પ્રતિપ].
અથવા $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ જેમાં $AB \parallel PQ$,$BC \parallel RQ$ અને $CA \parallel PR$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $BC = \frac{1}{2} QR$
સાબિતી: ચતુષ્કોણ $ARBC$ નો વિચાર કરો.
અહીં $AR \parallel BC$ (કારણ કે $RQ \parallel BC$) અને $RB \parallel AC$ (કારણ કે $PR \parallel AC$) હોવાથી,$ARBC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AR = BC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(1)$
હવે,ચતુષ્કોણ $ABCQ$ નો વિચાર કરો.
અહીં $AQ \parallel BC$ (કારણ કે $RQ \parallel BC$) અને $QC \parallel AB$ (કારણ કે $QP \parallel AB$) હોવાથી,$ABCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AQ = BC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે:
$AR + AQ = BC + BC$
$QR = 2BC$
$BC = \frac{1}{2} QR$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. $D, E$ અને $F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle DEF$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સાબિતી: મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$1$. $EF$ એ બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$EF = \frac{1}{2} BC$ $(1)$.
$2$. $DE$ એ બાજુઓ $BC$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$DE = \frac{1}{2} AB$ $(2)$.
$3$. $DF$ એ બાજુઓ $BC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$DF = \frac{1}{2} AC$ $(3)$.
જેহেতু $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $AB = BC = CA$ $(4)$.
$(4)$ ની કિંમત $(1), (2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$EF = \frac{1}{2} BC$,$DE = \frac{1}{2} BC$,અને $DF = \frac{1}{2} BC$.
આમ,$DE = EF = DF$.
તેથી,$\triangle DEF$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$P$ એ $AB$ પર છે,$Q$ એ $CD$ પર છે,અને $AP = CQ$ છે.
ધારો કે $AC$ અને $PQ$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$\Delta OAP$ અને $\Delta OCQ$ માં:
$1$. $AP = CQ$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$)
$3$. $\angle AOP = \angle COQ$ (અભિકોણ)
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta OAP \cong \Delta OCQ$.
$CPCT$ દ્વારા,$OA = OC$ અને $OP = OQ$.
કારણ કે $OA = OC$,$O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કારણ કે $OP = OQ$,$O$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,$AC$ અને $PQ$ એકબીજાને દુભાગે છે.

(N/A) આપેલ છે: $\angle BAP = \angle DAP = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(1)$
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ} \quad \dots(2)$
[છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે]
$\triangle ABP$ માં,$\angle BAP + \angle B + \angle APB = 180^{\circ}$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle A + (180^{\circ} - \angle A) + \angle APB = 180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle APB = \frac{1}{2} \angle A \quad \dots(3)$
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,$\angle BAP = \angle APB$ મળે છે.
તેથી,$BP = AB$ [સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે].
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$AD = BC.$
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BC = BP$ [$P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી].
$\Rightarrow \frac{1}{2} AD = AB$ [$BP = AB$ હોવાથી].
$AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ) હોવાથી:
$\frac{1}{2} AD = CD \Rightarrow AD = 2 CD.$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ શરતો મુજબ આપણે આકૃતિ દોરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $PQ = RS$ અને $PQ \parallel RS$. તેથી,$PQSR$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$PR = QS$ અને $PR \parallel QS$ ... $(1)$
હવે,$PR \parallel QS$.
તેથી,$\angle RPQ + \angle PQS = 180^{\circ}$ (છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો).
એટલે કે,$\angle RPQ + \angle PQM + \angle MQS = 180^{\circ}$ ... $(2)$
વળી,$PN \parallel QM$ (રચના દ્વારા).
તેથી,$\angle NPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$ ... $(3)$
એટલે કે,$\angle NPR + \angle RPQ + \angle PQM = 180^{\circ}$.
$(2)$ અને $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\angle NPR = \angle MQS$ મળે છે ... $(4)$
તે જ રીતે,$\angle NRP = \angle MSQ$ ... $(5)$
તેથી,$\Delta PNR \cong \Delta QMS$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત દ્વારા,$(1)$,$(4)$ અને $(5)$ નો ઉપયોગ કરીને].
તેથી,$PN = QM$ અને $NR = MS$ ($CPCT$ દ્વારા).
જેમ કે $PN = QM$ અને $PN \parallel QM$,તેથી $PQMN$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$MN = PQ$ અને $NM \parallel PQ$.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $AC$ તેનો એક વિકર્ણ છે. અવલોકન કરો કે વિકર્ણ $AC$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,જે $\Delta ABC$ અને $\Delta CDA$ છે. આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે આ ત્રિકોણો એકરૂપ છે.
$\Delta ABC$ અને $\Delta CDA$ માં,નોંધો કે $BC \parallel AD$ અને $AC$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle BCA = \angle DAC$ (યુગ્મકોણની જોડ).
વળી,$AB \parallel DC$ અને $AC$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle DCA$ (યુગ્મકોણની જોડ).
અને $AC = CA$ (સામાન્ય બાજુ).
તેથી,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$ ($ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,વિકર્ણ $AC$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે એકરૂપ ત્રિકોણો $ABC$ અને $CDA$ માં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $P, Q, R$ તથા $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
ત્રિકોણ $ABD$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$SP = \frac{1}{2} BD$ અને $SP \parallel BD.$
તે જ રીતે,ત્રિકોણ $BCD$ માં:
$RQ = \frac{1}{2} BD$ અને $RQ \parallel BD.$
તેથી,$SP = RQ$ અને $SP \parallel RQ$ (સમીકરણ $1$).
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વળી,સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AC \perp BD.$
ત્રિકોણ $BAC$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC.$
કારણ કે $SP \parallel BD$ અને $PQ \parallel AC,$ તથા $AC \perp BD,$ તેથી $SP \perp PQ$ થાય.
આમ,$\angle SPQ = 90^{\circ}$ (સમીકરણ $2$).
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે આપણે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ વિચારીએ,જેમાં $AC$ એક વિકર્ણ છે જે $\angle BAD$ ને દુભાગે છે.
આપેલ છે: $\angle BAC = \angle DAC$.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle BCA = \angle DCA$.
સાબિતી:
ચૂંક $AB \parallel CD$ અને $AC$ એક છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે:
$\angle BAC = \angle DCA$ --- $(1)$
ચૂંક $AD \parallel BC$ અને $AC$ એક છેદિકા છે,તેથી યુગ્મકોણ સમાન હોય છે:
$\angle DAC = \angle BCA$ --- $(2)$
આપેલ શરત મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે:
$\angle BAC = \angle DAC$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle BCA = \angle DCA$.
આમ,વિકર્ણ $AC$ એ સામેના ખૂણા $\angle BCD$ ને પણ દુભાગે છે.