Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Hindi

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,आसन्न कोणों का योग $180^o$ होता है। इसलिए,$\angle A + \angle B = 180^o$.
दिया गया है कि $\angle A = 5 \angle B$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$5 \angle B + \angle B = 180^o$
$6 \angle B = 180^o$
$\angle B = 30^o$.
चूंकि $\angle A = 5 \angle B$,इसलिए $\angle A = 5 \times 30^o = 150^o$.
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A$.
अतः,$\angle C = 150^o$.

(B) समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
मान लीजिए कि विकर्ण $PR$ और $QS$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इसलिए,$PO = \frac{PR}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, cm$।
और $QO = \frac{QS}{2} = \frac{42}{2} = 21 \, cm$।
समकोण त्रिभुज $\triangle POQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$PQ^2 = PO^2 + QO^2$
$PQ^2 = 20^2 + 21^2$
$PQ^2 = 400 + 441$
$PQ^2 = 841$
$PQ = \sqrt{841} = 29 \, cm$।

(C) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
समचतुर्भुज के गुणों के अनुसार,विकर्ण $XZ$ और $YW$ एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
चूंकि विकर्ण बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनने वाला कोण $\angle XPY$,$90^o$ होगा।
अतः,$\angle XPY = 90^o$।

(D) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसका अर्थ है कि प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ दोनों विकर्णों $AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,$BD = 2 \times PB$ होगा।
दिया गया है कि $PB = 5.2 \, cm$,अतः:
$BD = 2 \times 5.2 \, cm = 10.4 \, cm$।
इस प्रकार,विकर्ण $BD$ की लंबाई $10.4 \, cm$ है।

(A) एक समचतुर्भुज $ABCD$ में,आसन्न कोण संपूरक होते हैं,जिसका अर्थ है $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
यह दिया गया है कि $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$(\angle B - 30^{\circ}) + \angle B = 180^{\circ}$
$2\angle B = 210^{\circ}$
$\angle B = 105^{\circ}$।
चूंकि $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,इसलिए $\angle A = 105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$।
समचतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A$।
अतः,$\angle C = 75^{\circ}$।

(B) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,हमें दिया गया है कि $AB \parallel CD$ है।
चूँकि $AB \parallel CD$,समांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत अंतःकोण संपूरक होते हैं।
इसलिए,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = 70^{\circ}$,अतः $70^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$।
इस प्रकार,$\angle D = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$।

(C) समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,सम्मुख भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
इसलिए,$PQ = RS = 8 \, \text{cm}$ और $QR = PS = 5 \, \text{cm}$ होगा।
समांतर चतुर्भुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है।
परिमाप $= PQ + QR + RS + PS$
परिमाप $= 8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} + 8 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} = 26 \, \text{cm}$।
वैकल्पिक रूप से,समांतर चतुर्भुज का परिमाप $= 2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग}) = 2 \times (PQ + QR) = 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26 \, \text{cm}$।

(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$PQ = \frac{1}{2} \times BC$।
दिया गया है कि $BC = 8.2 \text{ cm}$।
$PQ = \frac{1}{2} \times 8.2 = 4.1 \text{ cm}$।

(A) आयत $PQRS$ में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए,$PQ = RS$ और $QR = PS$ है।
दिए गए अनुपात $PQ : QR = 3 : 5$ के अनुसार,मान लीजिए $PQ = 3x$ और $QR = 5x$ है।
चूँकि $PQ = RS$,इसलिए $RS = 3x$ होगा।
आयत का परिमाप $2 \times (\text{लंबाई }+ \text{चौड़ाई}) = 40\, cm$ होता है।
मान रखने पर: $2 \times (3x + 5x) = 40$.
$2 \times (8x) = 40$.
$16x = 40$.
$x = 40 / 16 = 2.5$.
अब,$RS = 3x = 3 \times 2.5 = 7.5\, cm$ प्राप्त होता है।

(B) $\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PR \parallel BC$ और $PR = \frac{1}{2} BC = BQ = QC$ होता है।
इसी प्रकार,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = AP = PB$ होता है।
साथ ही,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = AR = RC$ होता है।
अतः,चतुर्भुज $APQR$ में,$AP \parallel QR$ और $AR \parallel PQ$ है,जिससे $APQR$ एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए,$\angle BAC = \angle PQR$।

(C) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
$\Delta PQR$ में,चूँकि $A$ और $C$ क्रमशः $PQ$ और $RP$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $AC = \frac{1}{2} QR$ होगा।
इसी प्रकार,$AB = \frac{1}{2} RP$ और $BC = \frac{1}{2} PQ$ होगा।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = \frac{1}{2} RP + \frac{1}{2} PQ + \frac{1}{2} QR = \frac{1}{2} (PQ + QR + RP)$ होगा।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का परिमाप $= 18.6 \, cm$ है।
अतः,$18.6 = \frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ का परिमाप})$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= 18.6 \times 2 = 37.2 \, cm$।

(D) एक समलंब चतुर्भुज में,असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड समांतर भुजाओं के समांतर होता है और इसकी लंबाई समांतर भुजाओं के योग की आधी होती है।
गणितीय रूप से,समलंब चतुर्भुज $ABCD$ के लिए जहाँ $AB || CD$ है और $P$ तथा $Q$ क्रमशः $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,सूत्र इस प्रकार है:
$PQ = \frac{1}{2} (AB + CD)$
यहाँ $AB = 18 \, cm$ और $PQ = 15 \, cm$ दिया गया है,मानों को सूत्र में रखने पर:
$15 = \frac{1}{2} (18 + CD)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$30 = 18 + CD$
दोनों पक्षों से $18$ घटाने पर:
$CD = 30 - 18 = 12 \, cm$.
अतः,$CD$ की लंबाई $12 \, cm$ है।

(A) $(1)$ चतुर्भुज चार बिंदुओं को क्रम में जोड़ने से बनी एक बंद समतलीय आकृति है,जिसमें कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं होते हैं। अतः,रिक्त स्थान में आने वाला शब्द $\text{बंद}$ (closed) है।
$(2)$ एक चतुर्भुज में चार भुजाएँ होती हैं। वे भुजाएँ जो एक उभयनिष्ठ शीर्ष साझा नहीं करती हैं,उन्हें सम्मुख भुजाएँ कहा जाता है। सम्मुख भुजाओं के ऐसे दो युग्म होते हैं। अतः,रिक्त स्थान में आने वाला शब्द $\text{दो}$ (two) है।

(N/A) $(1)$ एक चतुर्भुज में $4$ क्रमागत कोणों के युग्म होते हैं। चतुर्भुज $ABCD$ में,ये युग्म $(A, B), (B, C), (C, D),$ और $(D, A)$ हैं।
$(2)$ एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है। यह बहुभुज के कोण योग गुणधर्म से प्राप्त होता है,जहाँ आंतरिक कोणों का योग $(n - 2) \times 180^{\circ}$ होता है। चतुर्भुज के लिए,$n = 4$ है,इसलिए $(4 - 2) \times 180^{\circ} = 2 \times 180^{\circ} = 360^{\circ}$ होता है।

(N/A) $(1)$ एक चतुर्भुज जिसमें सम्मुख भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर होता है,उसे समलंब चतुर्भुज (trapezium) कहते हैं।
$(2)$ एक आयत के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।

(N/A) $(1)$ समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे पर लंब होते हैं।
$(2)$ समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय और चतुर्भुजों के गुणों के अनुसार:
$(1)$ जब एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है,तो प्राप्त चतुर्भुज एक आयत होता है क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
$(2)$ जब एक आयत की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है,तो प्राप्त चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है क्योंकि आयत के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।

(B) एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $100^{\circ} + 80^{\circ} + 120^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$।
ज्ञात कोणों का योग करने पर: $300^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$।
अतः,$\angle D = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$।

(C) माना चतुर्भुज के कोण $3x$,$4x$,$6x$ और $5x$ हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के कोणों का योग $360^\circ$ होता है।
इसलिए,$3x + 4x + 6x + 5x = 360^\circ$.
$18x = 360^\circ$.
$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$.
अतः कोण इस प्रकार हैं:
$3 \times 20^\circ = 60^\circ$
$4 \times 20^\circ = 80^\circ$
$6 \times 20^\circ = 120^\circ$
$5 \times 20^\circ = 100^\circ$.
सबसे बड़ा कोण $120^\circ$ है।

(B) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में,$X$ और $Y$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$XY \parallel BC$ और $XY = \frac{1}{2} BC$ है।
चतुर्भुज $XBCY$ में,सम्मुख भुजाओं का एक युग्म $XY$ और $BC$ एक-दूसरे के समांतर है $(XY \parallel BC)$।
वह चतुर्भुज जिसमें सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समांतर हो,उसे समलंब चतुर्भुज कहा जाता है।
अतः,$XBCY$ एक समलंब चतुर्भुज है।

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,आसन्न कोण संपूरक होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B - 30^{\circ}$,हम $\angle B$ को $\angle B = \angle A + 30^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\angle A + (\angle A + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$।
$2\angle A + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2\angle A = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$।
$\angle A = 150^{\circ} / 2 = 75^{\circ}$।

(B) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
मान लीजिए $\Delta ABC$ की भुजाएँ $AB$,$BC$ और $AC$ हैं।
चूँकि $P$,$Q$ और $R$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $\Delta PQR$ की भुजाएँ $PQ = \frac{1}{2} AC$,$QR = \frac{1}{2} AB$ और $PR = \frac{1}{2} BC$ होंगी।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + PR = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$।
दिया गया है कि $\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + BC + AC = 23 \, cm$ है।
अतः,$\Delta PQR$ का परिमाप $= \frac{1}{2} \times 23 = 11.5 \, cm$।

(C) समांतर चतुर्भुज का परिमाप सूत्र $P = 2(a + b)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ आसन्न भुजाओं की लंबाई हैं।
दिया गया है,$AB = 12.5 \, cm$ और $BC = 7 \, cm$।
यहाँ,$a = 12.5 \, cm$ और $b = 7 \, cm$ है।
परिमाप $P = 2(12.5 + 7) \, cm$।
$P = 2(19.5) \, cm$।
$P = 39 \, cm$।
अतः,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप $39 \, cm$ है।

(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta XYZ$ में,$A$ और $B$ क्रमशः $XY$ और $XZ$ के मध्य-बिंदु हैं।
अतः,$AB = \frac{1}{2} \times YZ$.
दिया गया है कि $AB = 7.5 \, cm$.
मान रखने पर: $7.5 = \frac{1}{2} \times YZ$.
$YZ = 7.5 \times 2 = 15 \, cm$.

(A) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,भुजाएँ $AB$ और $CD$ समांतर हैं $(AB \parallel CD)$।
समांतर रेखाओं के गुणों के अनुसार,समांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत अंतःकोणों (co-interior angles) का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = 80^{\circ}$,अतः हम $\angle D$ को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$
$80^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$
$\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ}$
$\angle D = 100^{\circ}$।

(B) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $PQ = \frac{1}{2} BC$ होगा।
दिया गया है कि $BC + PQ = 21 \text{ cm}$ है।
समीकरण में $PQ = \frac{1}{2} BC$ रखने पर,हमें $BC + \frac{1}{2} BC = 21$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{3}{2} BC = 21$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $\frac{2}{3}$ से गुणा करने पर,$BC = 21 \times \frac{2}{3} = 14 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(C) आयत का परिमाप $P = 2(l + w)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है और $w$ चौड़ाई है।
यहाँ,$l = AB$ और $w = BC$ है।
दिया गया है कि $AB : BC = 5 : 3$,इसलिए मान लीजिए $AB = 5x$ और $BC = 3x$ है।
परिमाप $112 \, cm$ है।
अतः,$2(5x + 3x) = 112$.
$2(8x) = 112$.
$16x = 112$.
$x = 112 / 16 = 7$.
इसलिए,$AB = 5x = 5 \times 7 = 35 \, cm$।