Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Hindi

(N/A) $ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसमें $AB = BC$ है। त्रिभुज $ABC$ में एक वर्ग $BFED$ इस प्रकार अंकित है कि $\angle B$ उभयनिष्ठ है और $\angle B = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ADE$ और $\triangle EFC$ में,हमारे पास है:
$DE = EF$ (वर्ग की भुजाएँ समान होती हैं) ... $(1)$
$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
चूँकि $\angle 1 = 90^{\circ}$ (वर्ग का कोण),इसलिए $\angle 2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
इसी प्रकार,$\angle 4 = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\angle 2 = \angle 4 = 90^{\circ}$ ... $(2)$
चूँकि $AB = BC$ (दिया गया है),इसलिए $\angle A = \angle C$ ... $(3)$ (समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)।
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle ADE \cong \triangle EFC$ है।
अतः,$CPCT$ द्वारा $AE = EC$,जिसका अर्थ है कि $E$ कर्ण $AC$ को समद्विभाजित करता है।

(D) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,जिसमें $AB = 10 \, cm$ और $AD = 6 \, cm$ है। $\angle A$ का समद्विभाजक $DC$ से $E$ पर मिलता है। $AE$ और $BC$ को बढ़ाने पर वे $F$ पर मिलते हैं।
चूंकि $AE$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle BAE = \angle EAD \quad \dots(1)$.
चूंकि $AD \parallel BC$ और $AF$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle EAD = \angle EFB$ (एकांतर अंतःकोण) $\dots(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$\angle BAE = \angle EFB$.
$\triangle ABF$ में,चूंकि $\angle BAE = \angle EFB$,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,अतः $BF = AB$.
दिया गया है कि $AB = 10 \, cm$,इसलिए $BF = 10 \, cm$.
हम जानते हैं कि $BF = BC + CF$। चूंकि $BC = AD = 6 \, cm$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं),
$10 \, cm = 6 \, cm + CF$.
$CF = 10 \, cm - 6 \, cm = 4 \, cm$.

(N/A) एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC = BD$ है और $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। अर्थात,$PQ$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore PQ \parallel AC$ $... (1)$
और $PQ = \frac{1}{2} AC$ $... (2)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$\Delta ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\therefore SR \parallel AC$ $... (3)$
और $SR = \frac{1}{2} AC$ $... (4)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
$(1)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel SR$.
$(2)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ = RS$.
चूंकि $PQ \parallel SR$ और $PQ = RS$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta DAB$ में,$SP$ भुजाओं $DA$ और $AB$ के मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है।
$\therefore SP = \frac{1}{2} BD$ $... (5)$ [मध्य-बिंदु प्रमेय]
दिया है $AC = BD$ $... (6)$
समीकरणों $(2), (5)$ और $(6)$ से,हमें प्राप्त होता है $SP = PQ$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ बराबर हैं $(SP = PQ)$,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC \perp BD$ है और $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
उपपत्ति: $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC \dots(1)$
$\Delta ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
माना $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। माना $PQ, BD$ को $E$ पर और $PS, AC$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चूंकि $PQ \parallel AC$,इसलिए $PE \parallel OG$ है।
चूंकि $PS \parallel BD$,इसलिए $PG \parallel OE$ है।
अतः,$PGOE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूंकि $AC \perp BD$,इसलिए $\angle EOG = 90^{\circ}$ है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle GPE = \angle EOG = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $PQRS$ एक ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AC = BD$ और $AC \perp BD$ है। $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
उपपत्ति:
$1$. $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. चूंकि $PQ = SR$ और $PQ \parallel SR$,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. $\triangle ABD$ में,$P$ और $S$ क्रमशः $AB$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं। अतः,$PS = \frac{1}{2} BD$.
$5$. चूंकि $AC = BD$ (दिया है),इसलिए $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = PS$ प्राप्त होता है। अतः,$PQ = PS$.
$6$. चूंकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर $(PQ = PS)$ हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।
$7$. चूंकि $AC \perp BD$ और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle SPQ = 90^{\circ}$.
$8$. वह समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वर्ग कहलाता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और विकर्ण $AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है। हमें यह दर्शाना है कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है।
$\angle 1 = \angle 2$ $\dots(1)$ [$\because AC$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है]
$\angle 2 = \angle 4$ $\dots(2)$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$]
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle 1 = \angle 4$
अब,$\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 4$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
$BC = AB$ [$\because$ समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
साथ ही,$AB = DC$ और $AD = BC$ [$\because$ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
अतः,$AB = BC = CD = AD$.
चूँकि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सभी भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। $AQ$,$DP$ को $S$ पर प्रतिच्छेद करता है और $BQ$,$CP$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है: $PRQS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
उपपत्ति: चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $DC \parallel AB$ और $DC = AB$ है।
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP = \frac{1}{2} AB$ और $QC = \frac{1}{2} CD$ है।
चूँकि $AB = CD$ है,इसलिए $AP = QC$ है।
साथ ही,$AB \parallel DC$ होने के कारण $AP \parallel QC$ है।
चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($AP$ और $QC$) बराबर और समांतर है,इसलिए $APCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AQ \parallel PC$,जिसका अर्थ है कि $SQ \parallel PR$ है।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $APQD$ एक समांतर चतुर्भुज है ($AP \parallel DQ$ और $AP = DQ$ होने के कारण),जिसका अर्थ है कि $AQ \parallel DP$ है। साथ ही,$PBCQ$ एक समांतर चतुर्भुज है ($PB \parallel QC$ और $PB = QC$ होने के कारण),जिसका अर्थ है कि $BQ \parallel CP$ है।
चतुर्भुज $PRQS$ में,हमारे पास $SQ \parallel PR$ ($AQ \parallel PC$ से) और $SP \parallel QR$ ($DP \parallel BQ$ से) है।
चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं,इसलिए $PRQS$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel CD$ और $AD = BC$ है।
सिद्ध करना है: $\angle A = \angle B$ और $\angle C = \angle D$ है।
रचना: $DP \perp AB$ और $CQ \perp AB$ खींचिए।
उपपत्ति: $\triangle APD$ और $\triangle BQC$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ (रचना से)
$AD = BC$ (दिया है)
$DP = CQ$ (समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होती है)
$RHS$ सर्वांगसमता नियम से,हमारे पास है:
$\triangle APD \cong \triangle BQC$ ($CPCT$ द्वारा)
$\therefore \angle A = \angle B$
अब,चूँकि $DC \parallel AB$:
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)
$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)
चूँकि $\angle A = \angle B$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - \angle B$
$\Rightarrow \angle D = \angle C$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $AB \parallel DE$,$AB = DE$,$AC \parallel DF$ और $AC = DF$ है।
सिद्ध करना है: $BC \parallel EF$ और $BC = EF$ है।
उपपत्ति:
$1$. चतुर्भुज $ACFD$ में,हमें $AC \parallel DF$ और $AC = DF$ दिया गया है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $ACFD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AD \parallel CF$ और $AD = CF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
$2$. चतुर्भुज $ABED$ में,हमें $AB \parallel DE$ और $AB = DE$ दिया गया है। इसलिए,$ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AD \parallel BE$ और $AD = BE$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
$3$. उपरोक्त परिणामों से,हमारे पास $CF \parallel AD$ और $BE \parallel AD$ है। इसका अर्थ है कि $CF \parallel BE$ है।
साथ ही,$CF = AD$ और $BE = AD$ है। इसका अर्थ है कि $CF = BE$ है।
$4$. चतुर्भुज $BCFE$ में,हमारे पास $CF \parallel BE$ और $CF = BE$ है। इसलिए,$BCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$BC \parallel EF$ और $BC = EF$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं)।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक $\triangle ABC$ जिसमें $AD$ एक माध्यिका है,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $BE$ को आगे बढ़ाने पर वह $AC$ से $F$ पर मिलती है।
सिद्ध करना है: $AF = \frac{1}{3} AC$.
रचना: $DG \parallel BF$ खींचिए जो $AC$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
उपपत्ति: $\triangle ADG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EF \parallel DG$ है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$AF = FG$ .....$(1)$.
$\triangle FBC$ में,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $DG \parallel BF$ है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$FG = GC$ .....$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$AF = FG = GC$ .....$(3)$.
चूंकि $AC = AF + FG + GC$,समीकरण $(3)$ का उपयोग करने पर:
$AC = AF + AF + AF = 3AF$.
अतः,$AF = \frac{1}{3} AC$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक वर्ग $ABCD$ जिसमें $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $PQ, QR, RS$ और $SP$ को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक वर्ग है।
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(1)$
$\triangle ADC$ में,$R$ और $S$ क्रमशः $CD$ और $AD$ के मध्य-बिंदु हैं।
इसलिए,$RS \parallel AC$ और $RS = \frac{1}{2} AC$ (मध्य-बिंदु प्रमेय) ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $PQ \parallel RS$ और $PQ = RS$.
अतः,चतुर्भुज $PQRS$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है। इसलिए,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है,$AB = BC = CD = DA$.
साथ ही,$PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = AP = \frac{1}{2} AB$.
$\triangle PBQ$ और $\triangle QCR$ में,$PB = QC$,$BQ = CR$,और $\angle PBQ = \angle QCR = 90^{\circ}$.
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle PBQ \cong \triangle QCR$.
इसलिए,$PQ = QR$ $(CPCT)$.
चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
अब,वर्ग $ABCD$ के विकर्णों पर विचार करें। $AC \perp BD$ और $AC = BD$.
चूँकि $PQ \parallel AC$ और $QR \parallel BD$,और $AC \perp BD$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $PQ \perp QR$.
अतः,$PQRS$ एक ऐसा समचतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है।
इसलिए,$PQRS$ एक वर्ग है।

(N/A) दिया है: एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $E$ और $F$ क्रमशः असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$।
रचना: $DF$ को मिलाइए और इसे आगे बढ़ाकर $AB$ को $G$ पर प्रतिच्छेद करने दीजिए।
उपपत्ति: $\Delta CFD$ और $\Delta BFG$ में:
$DC \parallel AG$ (क्योंकि $DC \parallel AB$)
$\angle DCF = \angle GBF$ [एकांतर अंतःकोण]
$CF = BF$ [दिया है,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
$\angle CFD = \angle BFG$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\Delta CFD \cong \Delta BFG$।
इसलिए,$CD = BG$ और $DF = FG$ [$CPCT$]।
अब,$\Delta ADG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$DG$ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि $DF = FG$)।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$EF \parallel AG$ और $EF = \frac{1}{2}AG$।
चूंकि $AG = AB + BG$ और $BG = CD$,इसलिए $AG = AB + CD$।
अतः,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें कोण $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ के समद्विभाजक बिंदुओं $P, Q, R, S$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक चतुर्भुज $PQRS$ बनाते हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
उपपत्ति: चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DC$ है।
चूंकि $AB \parallel DC$ और तिर्यक रेखा $AD$ उन्हें क्रमशः $A$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AS$ और $DS$ क्रमशः $\angle A$ और $\angle D$ के समद्विभाजक हैं,इसलिए $\angle DAS + \angle ADS = 90^{\circ} \quad \dots(1)$।
$\triangle DAS$ में,त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार,$\angle DAS + \angle ADS + \angle ASD = 180^{\circ}$।
इसमें $(1)$ का मान रखने पर,$90^{\circ} + \angle ASD = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle ASD = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle PSR$ और $\angle ASD$ शीर्षाभिमुख कोण हैं,इसलिए $\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\angle SRQ = 90^{\circ}$,$\angle RQP = 90^{\circ}$ और $\angle SPQ = 90^{\circ}$।
चूंकि चतुर्भुज $PQRS$ के सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसके विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं। $PQ$ इसके विकर्णों $AC$ और $BD$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ से होकर गुजरता है।
$\triangle AOP$ और $\triangle COQ$ में,हमारे पास है:
$\angle 3 = \angle 4$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AD \parallel BC$]
$OA = OC$ [समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं]
$\angle 1 = \angle 2$ [शीर्षाभिमुख कोण]
अतः,$\triangle AOP \cong \triangle COQ$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$OP = OQ$ [$CPCT$]
अतः,$PQ$,$O$ पर समद्विभाजित होता है।

(N/A) दिया है: एक आयत $ABCD$ जिसमें विकर्ण $BD$,$\angle B$ को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: $ABCD$ एक वर्ग है।
उपपत्ति: $DC \parallel AB$ [क्योंकि आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं]।
$\Rightarrow \angle 4 = \angle 1$ ... $(1)$ [एकांतर अंतःकोण]।
इसी प्रकार,$\angle 3 = \angle 2$ ... $(2)$ [एकांतर अंतःकोण]।
और $\angle 1 = \angle 2$ ... $(3)$ [दिया है,क्योंकि $BD$,$\angle B$ को समद्विभाजित करता है]।
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है $\angle 3 = \angle 4$।
$\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2$ [दिया है]
$BD = BD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$\angle 3 = \angle 4$ [ऊपर सिद्ध किया गया]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$।
इसलिए,$AB = BC$ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]।
चूँकि $ABCD$ एक आयत है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,अतः $ABCD$ एक वर्ग है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: एक $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ जो $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदुओं $D, E$ और $F$ को जोड़ने से बना है।
सिद्ध करना है: $\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$
उपपत्ति: $D$ और $F$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DF \parallel BC$ और $DF = \frac{1}{2} BC = BE = EC$ है।
इसी प्रकार,$DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC = AF = FC$ है।
साथ ही,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2} AB = AD = DB$ है।
चतुर्भुज $ADFE$ में,$AD \parallel EF$ और $AF \parallel DE$ है,अतः यह एक समांतर चतुर्भुज है। इस प्रकार,$\triangle ADF \cong \triangle FED$ (विकर्ण $DF$ समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसी प्रकार,$BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\triangle DBE \cong \triangle FED$ है।
और $CEFD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\triangle ECF \cong \triangle FED$ है।
अतः,$\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$ है।
इस प्रकार,त्रिभुज $ABC$ चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।

(N/A) दिया है: एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें $AB \parallel DC$ है,और $E$ तथा $F$ क्रमशः असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $EF \parallel AB$ और $EF \parallel DC$.
रचना: $DF$ को मिलाइए और इसे आगे बढ़ाकर $AB$ को बढ़ाने पर बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करवाइए।
उपपत्ति: $\Delta DCF$ और $\Delta GBF$ में:
$\angle 1 = \angle 2$ [एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $DC \parallel BG$]
$\angle 3 = \angle 4$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$CF = BF$ [दिया है,क्योंकि $F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
$AAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta DCF \cong \Delta GBF$.
अतः,$DF = GF$ और $DC = GB$ [$CPCT$ द्वारा].
$\Delta DAG$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$DG$ का मध्य-बिंदु है (क्योंकि $DF = GF$).
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।
अतः,$EF \parallel AG$.
चूंकि $AG$,$AB$ रेखा का ही भाग है,इसलिए $EF \parallel AB$.
साथ ही,चूंकि $AB \parallel DC$ और $EF \parallel AB$,इसलिए $EF \parallel DC$ सिद्ध होता है।
अतः,$EF \parallel AB \parallel DC$.

(N/A) $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। $P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है। $C$ से होकर जाने वाली और $PA$ के समांतर रेखा $AB$ को $Q$ पर और $DA$ को बढ़ाने पर $R$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$\Delta DCR$ में,$P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है और $AP \parallel CR$ है (क्योंकि $AP \parallel CQ$ और $Q$,$CR$ पर स्थित है)।
अतः,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$A$,$DR$ का मध्य-बिंदु है,जिसका अर्थ है कि $DA = AR$ है।
अब,$\Delta ARQ$ और $\Delta BCQ$ पर विचार करें:
$1$. $AR = BC$ (क्योंकि ऊपर सिद्ध किया गया है कि $AD = AR$ है,और समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ होने के कारण $AD = BC$ है)।
$2$. $\angle 1 = \angle 2$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$3$. $\angle 3 = \angle 4$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $RC$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta ARQ \cong \Delta BCQ$ है।
इस प्रकार,$CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा $CQ = QR$ है।
अतः,$DA = AR$ और $CQ = QR$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है।
सिद्ध करना है: समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का एक विकर्ण,मान लीजिए $AC$,उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों $ABC$ और $CDA$ में विभाजित करता है। अर्थात्,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$।
रचना: $AC$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,
अतः $AB \parallel CD$ और $AD \parallel BC$ है।
अब,$AD \parallel BC$ और तिर्यक रेखा $AC$ उन्हें क्रमशः $A$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करती है।
इसलिए,$\angle DAC = \angle BCA$ (एकांतर अंतःकोण)........$(1)$
पुनः,$AB \parallel DC$ और तिर्यक रेखा $AC$ उन्हें क्रमशः $A$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करती है।
इसलिए,$\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोण)........$(2)$
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta CDA$ में,हमारे पास है:
$\angle BCA = \angle DAC$ [$(1)$ से]
$AC = CA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle BAC = \angle DCA$ [$(2)$ से]
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta ABC \cong \Delta CDA$।

(N/A) दिया है : एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें क्रमागत कोणों $A$ और $B$ के समद्विभाजक $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : $\angle APB = 90^{\circ}$.
उपपत्ति : चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AD \parallel BC$ है।
अब,$AD \parallel BC$ और तिर्यक रेखा $AB$ उन्हें काटती है। अतः,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)।
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = 90^{\circ}$.
चूंकि $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है और $BP$,$\angle B$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle PAB + \angle PBA = 90^{\circ}$ है।
$\Delta APB$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle PAB + \angle APB + \angle PBA = 180^{\circ}$.
मान रखने पर,$90^{\circ} + \angle APB = 180^{\circ}$.
अतः,$\angle APB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(A) चतुर्भुज $ABCD$ में,अंतःकोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
दिया गया अनुपात $\angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 4 : 5 : 4 : 5$ है।
माना कोण $4x, 5x, 4x$ और $5x$ हैं।
कोणों का योग: $4x + 5x + 4x + 5x = 360^{\circ}$।
$18x = 360^{\circ}$,जिससे $x = 20^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण इस प्रकार हैं:
$\angle A = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle B = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
$\angle C = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle D = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
चूँकि $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है,इसलिए सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हैं।
अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) चतुर्भुज $PQRS$ में,सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^{\circ}$।
$\triangle PMQ$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle PMQ + \angle MPQ + \angle MQP = 180^{\circ}$।
चूंकि $PM$ और $QM$ समद्विभाजक हैं,इसलिए $\angle MPQ = \frac{1}{2} \angle P$ और $\angle MQP = \frac{1}{2} \angle Q$ है।
इन मानों को त्रिभुज के समीकरण में रखने पर: $\angle PMQ + \frac{1}{2} \angle P + \frac{1}{2} \angle Q = 180^{\circ}$।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 \angle PMQ + \angle P + \angle Q = 360^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चतुर्भुज के योग से,$\angle P + \angle Q = 360^{\circ} - (\angle R + \angle S)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2 \angle PMQ + 360^{\circ} - (\angle R + \angle S) = 360^{\circ}$।
सरल करने पर,हमें $2 \angle PMQ = \angle R + \angle S$ प्राप्त होता है।

(N/A) माना $ABCD$ एक वर्ग है। हमें सिद्ध करना है कि $AC = BD$,$OA = OC$,$OB = OD$ और $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।
$1$. विकर्ण बराबर हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle ABC$ और $\triangle BAD$ लें। इन त्रिभुजों में,$AB = BA$ (उभयनिष्ठ भुजा),$BC = AD$ (वर्ग की भुजाएँ),और $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ है। $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle ABC \cong \triangle BAD$ है। अतः,$AC = BD$ $(CPCT)$ है।
$2$. विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ लें। यहाँ,$\angle OAB = \angle OCD$ (एकांतर अंतःकोण),$\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर अंतःकोण),और $AB = CD$ (वर्ग की भुजाएँ) हैं। $ASA$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle OAB \cong \triangle OCD$ है। अतः,$OA = OC$ और $OB = OD$ $(CPCT)$ है।
$3$. विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं यह सिद्ध करने के लिए: $\triangle OAB$ और $\triangle OCB$ लें। यहाँ,$OA = OC$ (ऊपर सिद्ध किया गया),$AB = CB$ (वर्ग की भुजाएँ),और $OB = OB$ (उभयनिष्ठ भुजा) हैं। $SSS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\triangle OAB \cong \triangle OCB$ है। अतः,$\angle AOB = \angle COB$ $(CPCT)$ है। चूँकि $\angle AOB + \angle COB = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म),$2 \angle AOB = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है।

(N/A) $1$. समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,$\angle P = \angle R$ (सम्मुख कोण बराबर होते हैं) और $PQ \parallel RS$ है।
$2$. मान लीजिए $\angle P$ का समद्विभाजक $PM$ है और $\angle R$ का समद्विभाजक $RN$ है।
$3$. चूँकि $PM$,$\angle P$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\angle SPM = \angle RPM = \frac{1}{2} \angle P$ होगा।
$4$. चूँकि $RN$,$\angle R$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\angle QRN = \angle PRN = \frac{1}{2} \angle R$ होगा।
$5$. चूँकि $\angle P = \angle R$,इसलिए $\frac{1}{2} \angle P = \frac{1}{2} \angle R$,अतः $\angle RPM = \angle PRN$ होगा।
$6$. ये रेखाओं $PM$ और $RN$ के लिए तिर्यक रेखा $PR$ द्वारा बने एकांतर अंतःकोण हैं। इसलिए,$PM \parallel RN$ है।
$7$. साथ ही,$PQ \parallel RS$ का अर्थ है $PN \parallel RM$ (क्योंकि $N$,$PQ$ पर स्थित है और $M$,$RS$ पर स्थित है)।
$8$. चूँकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं ($PM \parallel RN$ और $PN \parallel RM$),इसलिए $PNRM$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण $PR$,$\angle P$ को समद्विभाजित करता है,अर्थात $\angle SPR = \angle QPR$।
चरण $1$: चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PS \parallel QR$ और $PQ \parallel SR$ है।
चरण $2$: चूँकि $PS \parallel QR$ और $PR$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle SPR = \angle PRQ$ (एकांतर अंतःकोण)।
चरण $3$: चूँकि $PQ \parallel SR$ और $PR$ एक तिर्यक रेखा है,इसलिए $\angle QPR = \angle PRS$ (एकांतर अंतःकोण)।
चरण $4$: चूँकि $\angle SPR = \angle QPR$ (दिया है),इसलिए $\angle PRQ = \angle PRS$ होगा। अतः,$PR$,$\angle R$ को समद्विभाजित करता है।
चरण $5$: $\triangle PQR$ और $\triangle PSR$ में,$\angle QPR = \angle SPR$ और $\angle PRQ = \angle PRS$ है। $PR = PR$ (उभयनिष्ठ भुजा) होने के कारण,$ASA$ सर्वांगसमता नियम से दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
चरण $6$: $CPCT$ द्वारा,$PQ = PS$ प्राप्त होता है। चूँकि समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

(N/A) मान लीजिए कि दो समांतर रेखाएँ $l$ और $m$ हैं,और $n$ एक तिर्यक रेखा है जो उन्हें क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है।
मान लीजिए कि बनने वाले अंतःकोण $\angle PAB$,$\angle QAB$,$\angle RBA$ और $\angle SBA$ हैं।
इन चार अंतःकोणों के समद्विभाजक एक चतुर्भुज $EFGH$ बनाते हैं।
चूँकि $l \parallel m$,क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अर्थात $\angle PAB + \angle RBA = 180^{\circ}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{2}\angle PAB + \frac{1}{2}\angle RBA = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$\triangle EAB$ में,$\angle EAB + \angle EBA = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\angle AEB = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,चतुर्भुज $EFGH$ के अन्य सभी कोणों को भी $90^{\circ}$ सिद्ध किया जा सकता है।
चूँकि सभी अंतःकोण $90^{\circ}$ हैं,इसलिए चतुर्भुज $EFGH$ एक आयत है।

(A) माना चतुर्भुज के कोण $2x, 4x, 5x$ और $7x$ डिग्री हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$2x + 4x + 5x + 7x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
अब,प्रत्येक कोण की गणना करने पर:
$\angle A = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle C = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle D = 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$.
चूंकि $\angle B + \angle C = 80^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$,भुजा $BC$ पर स्थित अंतःकोण संपूरक हैं,जिसका अर्थ है कि $AB \parallel CD$ है। जिस चतुर्भुज में भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है,उसे समलंब चतुर्भुज (Trapezium) कहते हैं।

(A) माना चतुर्भुज के कोण क्रमशः $x, 4x, 2x$ और $2x$ हैं।
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
अतः,$x + 4x + 2x + 2x = 360^{\circ}$.
$9x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} / 9 = 40^{\circ}$.
अब,प्रत्येक कोण की गणना करने पर:
$\angle A = x = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4x = 4 \times 40^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\angle C = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle D = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
इस प्रकार,कोण $40^{\circ}, 160^{\circ}, 80^{\circ}$ और $80^{\circ}$ हैं।

(A) समांतर चतुर्भुज में,आसन्न कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle A = \angle B + 50^{\circ}$।
पहले समीकरण में $\angle A$ का मान रखने पर: $(\angle B + 50^{\circ}) + \angle B = 180^{\circ}$।
$2 \angle B + 50^{\circ} = 180^{\circ}$।
$2 \angle B = 130^{\circ}$,जिससे $\angle B = 65^{\circ}$ प्राप्त होता है।
तब,$\angle A = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle C = \angle A = 115^{\circ}$ और $\angle D = \angle B = 65^{\circ}$।
अतः,कोण $\angle A = 115^{\circ}, \angle B = 65^{\circ}, \angle C = 115^{\circ}, \angle D = 65^{\circ}$ हैं।

(A) समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में जहाँ $AB || CD$ है,समांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ और $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(y + 60^{\circ}) + (3y - 80^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4y - 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4y = 200^{\circ} \implies y = 50^{\circ}$।
$(x + 60^{\circ}) + (3x - 40^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4x + 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4x = 160^{\circ} \implies x = 40^{\circ}$।
अब,कोणों की गणना करने पर:
$\angle A = 50^{\circ} + 60^{\circ} = 110^{\circ}$।
$\angle B = 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\angle C = 3(40^{\circ}) - 40^{\circ} = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ}$।
$\angle D = 3(50^{\circ}) - 80^{\circ} = 150^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ}$।

(N/A) माना $\Delta ABC$ में $P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। $PQ$ को मिलाइए।
$\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel BC$ और $PQ = \frac{1}{2} BC$ है।
अब,$AP = \frac{1}{2} AB$ और $AM = \frac{1}{4} AB$ है।
अतः,$AM = \frac{1}{2} AP$ है।
इसी प्रकार,$AQ = \frac{1}{2} AC$ और $AN = \frac{1}{4} AC$ है।
अतः,$AN = \frac{1}{2} AQ$ है।
इस प्रकार,$\Delta APQ$ में,$M$,$AP$ का मध्य-बिंदु है और $N$,$AQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$MN \parallel PQ$ और $MN = \frac{1}{2} PQ$ है।
$MN$ के समीकरण में $PQ = \frac{1}{2} BC$ प्रतिस्थापित करने पर:
$MN = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} BC \right) = \frac{1}{4} BC$ है।
अतः,$MN = \frac{1}{4} BC$ सिद्ध हुआ।

(B) $\triangle ABC$ में,$P$,$Q$ और $R$ क्रमशः भुजाओं $AB$,$BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 5.4 \text{ cm} = 2.7 \text{ cm}$।
इसी प्रकार,$QR = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$।
और,$RP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6.6 \text{ cm} = 3.3 \text{ cm}$।
$\triangle PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + RP$।
परिमाप $= 2.7 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 3.3 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$।

(A) रचना: $BF$ के समांतर एक रेखा $DG$ खींचिए ताकि $G$,$AC$ पर स्थित हो।
$\Delta ADG$ में,चूँकि $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DF$ (क्योंकि $EG \parallel BF$),मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G$,$AF$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$AG = GF$ ... $(1)$.
$\Delta CBF$ में,चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $DG \parallel BF$,मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम द्वारा,$G$,$FC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = FC$ ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,हमें $AG = GF = FC$ प्राप्त होता है।
चूँकि $AC = AG + GF + FC$,हम $AC = 3AG$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$AG = \frac{1}{3} AC$।
चूँकि $AF = AG + GF = 2AG$,इसलिए $AF = \frac{2}{3} AC$ होगा।

(N/A) माना $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। माना $P$ और $Q$ क्रमशः विकर्णों $AC$ और $BD$ के मध्य बिंदु हैं।
$1$. $AQ$ को मिलाएँ और इसे आगे बढ़ाकर $DC$ को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करने दें।
$2$. $\triangle ABQ$ और $\triangle EDQ$ में:
- $\angle ABQ = \angle EDQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DE$)
- $BQ = DQ$ ($Q$,$BD$ का मध्य बिंदु है)
- $\angle AQB = \angle EQD$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\triangle ABQ \cong \triangle EDQ$.
$3$. अतः,$AQ = EQ$ और $AB = DE$ ($CPCT$ द्वारा)।
$4$. $\triangle ACE$ में,$P$,$AC$ का मध्य बिंदु है और $Q$,$AE$ का मध्य बिंदु है (क्योंकि $AQ = EQ$)।
$5$. मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel CE$ और $PQ = \frac{1}{2} CE$ है।
$6$. चूँकि $CE = DC - DE = DC - AB$,इसलिए $PQ = \frac{1}{2} (DC - AB)$ है।
$7$. इस प्रकार,$PQ$ समांतर भुजाओं $AB$ और $DC$ के समांतर है और इसकी लंबाई समांतर भुजाओं की लंबाई के अंतर की आधी है।

(A) $1$. $AC$ को मिलाइए। मान लीजिए कि $AC$,$EF$ को बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है और $EG \parallel DC$ है (क्योंकि $EF \parallel AB$ और $AB \parallel CD$ है)। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$EG = \frac{1}{2}CD$.
$3$. $\triangle ABC$ में,$G$,$AC$ का मध्य-बिंदु है और $GF \parallel AB$ है। मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$GF = \frac{1}{2}AB$.
$4$. दोनों रेखाखंडों को जोड़ने पर: $EF = EG + GF = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
$5$. अतः,$F$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: $P, Q$ और $R$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB, BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है।
$1$. $PBQR$ के लिए: चूंकि $R, AC$ का मध्य-बिंदु है और $P, AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PR \parallel BC$ और $PR = \frac{1}{2} BC = BQ$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। चूंकि $PR \parallel BQ$ और $PQ \parallel RB$ है,इसलिए $PBQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. $PQCR$ के लिए: चूंकि $P, AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$ है। साथ ही,$QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = PC$ है। चूंकि $PQ \parallel RC$ और $QR \parallel PC$ है,इसलिए $PQCR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$3$. $PQRA$ के लिए: चूंकि $Q, BC$ का मध्य-बिंदु है और $R, AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QR \parallel AB$ और $QR = \frac{1}{2} AB = AP$ है। साथ ही,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC = AR$ है। चूंकि $QR \parallel AP$ और $PQ \parallel AR$ है,इसलिए $PQRA$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) $1$. $\triangle ABP$ और $\triangle CDQ$ में:
$AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$\angle BAP = \angle DCQ$ (एकांतर अंतःकोण, क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$AP = CQ$ (दिया है)।
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से, $\triangle ABP \cong \triangle CDQ$।
अतः, $BP = DQ$ और $\angle ABP = \angle CDQ$।
$2$. $\triangle ADP$ और $\triangle CBQ$ में:
$AD = CB$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$\angle DAP = \angle BCQ$ (एकांतर अंतःकोण, क्योंकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$AP = CQ$ (दिया है)।
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से, $\triangle ADP \cong \triangle CBQ$।
अतः, $DP = BQ$ और $\angle ADP = \angle CBQ$।
$3$. चूँकि $BP = DQ$ और $DP = BQ$ है, इसलिए चतुर्भुज $PBQD$ एक समांतर चतुर्भुज है (सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं)।
अतः, $BQ \parallel DP$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $PBQD$ में, विकर्ण $BD$ और $PQ$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः, $BD$, $PQ$ को समद्विभाजित करता है।

(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
दिया गया है कि $A, B$ और $C$ क्रमशः $XY, YZ$ और $XZ$ के मध्य-बिंदु हैं:
$AB = \frac{1}{2} XZ \implies XZ = 2 \times 5.2\, cm = 10.4\, cm$
$BC = \frac{1}{2} XY \implies XY = 2 \times 4.3\, cm = 8.6\, cm$
$AC = \frac{1}{2} YZ \implies YZ = 2 \times 6.5\, cm = 13.0\, cm$
$\Delta XYZ$ का परिमाप $= XY + YZ + XZ = 8.6\, cm + 13.0\, cm + 10.4\, cm = 32.0\, cm$.

(A) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
$\Delta ABC$ में,$P$ और $R$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $PR = \frac{1}{2} BC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}$।
इसी प्रकार,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{10.6}{2} = 5.3 \text{ cm}$।
और $QR = \frac{1}{2} AB = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$।
$\Delta PQR$ का परिमाप $= PQ + QR + PR = 5.3 + 4 + 4.5 = 13.8 \text{ cm}$।

(B) दिया गया है कि $P$, $Q$ और $R$ क्रमशः $AB$, $BC$ और $CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
$\Delta ABC$ में, $R$, $AC$ का मध्य-बिंदु है और $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः, $RQ = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
साथ ही, $P$, $AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है। अतः, $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{7.5}{2} = 3.75 \text{ cm}$.
चूंकि $P$, $AB$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
चूंकि $Q$, $BC$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $BQ = \frac{1}{2} BC = \frac{6.4}{2} = 3.2 \text{ cm}$.
चतुर्भुज $PBQR$ की भुजाएँ $PB$, $BQ$, $QR$ और $RP$ हैं।
परिमाप $= PB + BQ + QR + RP$.
हम जानते हैं कि $RP = \frac{1}{2} BC = 3.2 \text{ cm}$.
परिमाप $= 4.1 + 3.2 + 4.1 + 3.2 = 14.6 \text{ cm}$.

(A) $1$. मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसकी लंबाई का आधा होता है।
$2$. दिया गया है कि $X$ और $Z$ क्रमशः $PQ$ और $PR$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $XZ = \frac{1}{2} QR$। अतः,$QR = 2 \times XZ = 2 \times 3.8 \, cm = 7.6 \, cm$।
$3$. $\Delta PQR$ का परिमाप = $PQ + QR + PR = 7.2 \, cm + 7.6 \, cm + 8.4 \, cm = 23.2 \, cm$।
$4$. चूँकि $X, Y, Z$ मध्य-बिंदु हैं,$\Delta XYZ$ की भुजाएँ $\Delta PQR$ की भुजाओं की आधी होती हैं ($XY = \frac{1}{2} PR = 4.2 \, cm$,$YZ = \frac{1}{2} PQ = 3.6 \, cm$,$XZ = 3.8 \, cm$)।
$5$. $\Delta XYZ$ का परिमाप = $\frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ का परिमाप}) = \frac{1}{2} \times 23.2 \, cm = 11.6 \, cm$।

(D) मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$PQ = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है कि $BC = 2PQ$.
दिया गया है कि $PQ + BC = 8.4 \, cm$.
$BC = 2PQ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ + 2PQ = 8.4 \, cm$ प्राप्त होता है,इसलिए $3PQ = 8.4 \, cm$,जिसका अर्थ है कि $PQ = 2.8 \, cm$.
तब,$BC = 2 \times 2.8 = 5.6 \, cm$.
हमें $AB + AC = 20.5 \, cm$ दिया गया है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $= AB + AC + BC$.
परिमाप $= 20.5 + 5.6 = 26.1 \, cm$.

(A) चतुर्भुज $AMCN$ में,कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि $AM \perp BC$ और $AN \perp CD$,इसलिए $\angle AMC = 90^{\circ}$ और $\angle ANC = 90^{\circ}$ है।
चतुर्भुज $AMCN$ में,$\angle MCN + \angle AMC + \angle ANC + \angle MAN = 360^{\circ}$।
$\angle C + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ}$।
$\angle C + 240^{\circ} = 360^{\circ}$,इसलिए $\angle C = 120^{\circ}$।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C = 120^{\circ}$।
आसन्न कोण संपूरक होते हैं,इसलिए $\angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ और $\angle D = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,कोण $120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}$ हैं।

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
$2$. $\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
$3$. अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. इसी प्रकार,$\triangle ABD$ में,$PS \parallel BD$ और $PS = \frac{1}{2} BD$ है। $\triangle BCD$ में,$QR \parallel BD$ और $QR = \frac{1}{2} BD$ है।
$5$. चूँकि $AC = BD$ (दिया गया है),इसलिए $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$,जिसका अर्थ है कि $PQ = SR = PS = QR$ है। अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।
$6$. चूँकि $AC \perp BD$ है,और $PQ \parallel AC$ तथा $PS \parallel BD$ है,इसलिए $PQ \perp PS$ होगा। अतः,$\angle QPS = 90^{\circ}$ है।
$7$. एक समचतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वह एक वर्ग होता है। अतः,$PQRS$ एक वर्ग है।

(B) $(1)$ सत्य: एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 4 \times 12 \, \text{cm} = 48 \, \text{cm}$।
$(2)$ असत्य: वर्ग $PQRS$ में, विकर्ण $PR = s\sqrt{2}$ होता है, जहाँ $s$ भुजा की लंबाई है। दिया गया है $PR = 8 \, \text{cm}$, अतः $s\sqrt{2} = 8 \implies s = 8 / \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \, \text{cm}$। परिमाप $4s = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \, \text{cm}$ है, जो कि $32 \, \text{cm}$ नहीं है।

(A) $(1)$ असत्य। समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,भुजाएँ $AB$ और $BC$ आसन्न भुजाएँ हैं। विकर्ण $AC$ एक त्रिभुज $ABC$ बनाता है। त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। यहाँ,$AB + BC = 12 + 5 = 17 \text{ cm}$,जो $AC = 13 \text{ cm}$ से अधिक है। हालाँकि,ऐसी कोई शर्त नहीं है कि $ABCD$ एक आयत ही हो। यदि यह एक आयत होता,तो $AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \text{ cm}$ होता। चूँकि यह केवल एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए कोण $\angle B$ के आधार पर $AC$ का मान अलग-अलग हो सकता है। अतः,यह कथन सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।
$(2)$ असत्य। एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में जहाँ $AB \parallel CD$ है,समांतर भुजाओं (आधारों) का बराबर होना आवश्यक नहीं है। यदि समांतर भुजाएँ बराबर होतीं,तो वह एक समांतर चतुर्भुज बन जाता,न कि केवल एक समलंब चतुर्भुज।

(A) यह कथन सत्य है।
परिभाषा के अनुसार,समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
समचतुर्भुज का एक मुख्य गुण यह है कि इसके विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
इसका अर्थ है कि विकर्ण $90^{\circ}$ के कोण पर एक-दूसरे को काटते हैं और एक-दूसरे को दो समान भागों में विभाजित करते हैं।

(D) समचतुर्भुज $ABCD$ में,सभी भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = AD$ है।
चूँकि $AB = AD$ है,इसलिए $\triangle ABD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समचतुर्भुज में,आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि $\angle B = 80^{\circ}$ है,इसलिए $\angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$।
$\triangle ABD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle A + \angle ADB + \angle ABD = 180^{\circ}$।
चूँकि $AB = AD$ है,इसलिए आधार के कोण बराबर होते हैं: $\angle ADB = \angle ABD$।
अतः,$100^{\circ} + 2(\angle ADB) = 180^{\circ}$।
$2(\angle ADB) = 80^{\circ}$।
$\angle ADB = 40^{\circ}$।

(C) समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle A = \angle C$.
दिया गया है कि $\angle A = 5x - 40^{\circ}$ और $\angle C = 3x + 10^{\circ}$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर: $5x - 40 = 3x + 10$.
दोनों पक्षों से $3x$ घटाने पर: $2x - 40 = 10$.
दोनों पक्षों में $40$ जोड़ने पर: $2x = 50$.
$2$ से भाग देने पर: $x = 25$.

(D) समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
दिया गया है कि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,इसलिए सभी भुजाएँ समान हैं,अर्थात $AB = BC = CD = DA = 13 \text{ cm}$।
समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{परिमाप} = 4 \times \text{भुजा की लंबाई}$।
दी गई मान को रखने पर: $\text{परिमाप} = 4 \times 13 \text{ cm} = 52 \text{ cm}$।
अतः,$ABCD$ का परिमाप $52 \text{ cm}$ है।