Mix Examples - Quadrilaterals Questions in Gujarati

(N/A) $ABC$ એ $AB = BC$ વાળો એક સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. ત્રિકોણ $ABC$ માં એક ચોરસ $BFED$ એવી રીતે અંતર્ગત છે કે $\angle B$ સામાન્ય છે અને $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle ADE$ અને $\triangle EFC$ માં,આપણી પાસે છે:
$DE = EF$ (ચોરસની બાજુઓ સમાન હોય છે) ... $(1)$
$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$ (રેખિક જોડના ખૂણાઓનો પૂર્વધારણા)
કારણ કે $\angle 1 = 90^{\circ}$ (ચોરસનો ખૂણો),તેથી $\angle 2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle 4 = 90^{\circ}$.
તેથી,$\angle 2 = \angle 4 = 90^{\circ}$ ... $(2)$
કારણ કે $AB = BC$ (આપેલ છે),તેથી $\angle A = \angle C$ ... $(3)$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ADE \cong \triangle EFC$.
આમ,$CPCT$ દ્વારા $AE = EC$,જેનો અર્થ છે કે $E$ એ કર્ણ $AC$ ને દુભાગે છે.

(D) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,જેમાં $AB = 10 \, cm$ અને $AD = 6 \, cm$ છે. $\angle A$ નો દ્વિભાજક $DC$ ને $E$ માં મળે છે. $AE$ અને $BC$ ને લંબાવતા તે $F$ માં મળે છે.
કારણ કે $AE$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle BAE = \angle EAD \quad \dots(1)$.
કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $AF$ એ છેદિકા છે,તેથી $\angle EAD = \angle EFB$ (યુગ્મકોણ) $\dots(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\angle BAE = \angle EFB$.
$\triangle ABF$ માં,કારણ કે $\angle BAE = \angle EFB$,તેથી આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય,એટલે કે $BF = AB$.
આપેલ છે કે $AB = 10 \, cm$,તેથી $BF = 10 \, cm$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $BF = BC + CF$. કારણ કે $BC = AD = 6 \, cm$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે),
$10 \, cm = 6 \, cm + CF$.
$CF = 10 \, cm - 6 \, cm = 4 \, cm$.

(N/A) એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC = BD$ છે અને $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. એટલે કે,$PQ$ એ $AB$ અને $BC$ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
$\therefore PQ \parallel AC$ $... (1)$
અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ $... (2)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
$\Delta ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\therefore SR \parallel AC$ $... (3)$
અને $SR = \frac{1}{2} AC$ $... (4)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
$(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ \parallel SR$.
$(2)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ = RS$.
કારણ કે $PQ \parallel SR$ અને $PQ = RS$,તેથી $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Delta DAB$ માં,$SP$ એ $DA$ અને $AB$ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
$\therefore SP = \frac{1}{2} BD$ $... (5)$ [મધ્યબિંદુ પ્રમેય]
આપેલ છે $AC = BD$ $... (6)$
સમીકરણો $(2), (5)$ અને $(6)$ પરથી,આપણને મળે છે $SP = PQ$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી $(SP = PQ)$,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC \perp BD$ છે અને $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC \dots(1)$
$\Delta ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં છેદે છે. ધારો કે $PQ$ એ $BD$ ને $E$ માં અને $PS$ એ $AC$ ને $G$ માં છેદે છે.
$PQ \parallel AC$ હોવાથી,$PE \parallel OG$.
$PS \parallel BD$ હોવાથી,$PG \parallel OE$.
આમ,$PGOE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$AC \perp BD$ હોવાથી,$\angle EOG = 90^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle GPE = \angle EOG = 90^{\circ}$.
$PQRS$ એક એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AC = BD$ અને $AC \perp BD$ છે. $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક ચોરસ છે.
સાબિતી:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. તેથી,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. $PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$ હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. $\triangle ABD$ માં,$P$ અને $S$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. તેથી,$PS = \frac{1}{2} BD$.
$5$. $AC = BD$ (આપેલ છે) હોવાથી,આપણને મળે છે $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = PS$. આમ,$PQ = PS$.
$6$. $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન $(PQ = PS)$ હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$7$. $AC \perp BD$ અને $PQ \parallel AC$ તથા $PS \parallel BD$ હોવાથી,$PQ \perp PS$ થાય. તેથી,$\angle SPQ = 90^{\circ}$.
$8$. જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\angle 1 = \angle 2$ $\dots(1)$ [$\because AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે]
$\angle 2 = \angle 4$ $\dots(2)$ [યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel DC$]
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle 1 = \angle 4$
હવે,$\triangle ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 4$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$BC = AB$ [$\because$ સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
વળી,$AB = DC$ અને $AD = BC$ [$\because$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
તેથી,$AB = BC = CD = AD$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $P$ અને $Q$ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AQ$ એ $DP$ ને $S$ માં છેદે છે અને $BQ$ એ $CP$ ને $R$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PRQS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$DC \parallel AB$ અને $DC = AB$ થાય.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AP = \frac{1}{2} AB$ અને $QC = \frac{1}{2} CD$ થાય.
$AB = CD$ હોવાથી,$AP = QC$ થાય.
વળી,$AB \parallel DC$ હોવાથી $AP \parallel QC$ થાય.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($AP$ અને $QC$) સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AQ \parallel PC$,જેનો અર્થ છે કે $SQ \parallel PR$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $APQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે ($AP \parallel DQ$ અને $AP = DQ$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $AQ \parallel DP$. તેમજ,$PBCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે ($PB \parallel QC$ અને $PB = QC$ હોવાથી),જેનો અર્થ છે કે $BQ \parallel CP$.
ચતુષ્કોણ $PRQS$ માં,$SQ \parallel PR$ ($AQ \parallel PC$ પરથી) અને $SP \parallel QR$ ($DP \parallel BQ$ પરથી) છે.
બંને સામસામેની બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી,$PRQS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A = \angle B$ અને $\angle C = \angle D$.
રચના: $DP \perp AB$ અને $CQ \perp AB$ દોરો.
સાબિતી: $\triangle APD$ અને $\triangle BQC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ)
$AD = BC$ (આપેલ છે)
$DP = CQ$ (સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે)
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\triangle APD \cong \triangle BQC$ ($CPCT$ દ્વારા)
$\therefore \angle A = \angle B$
હવે,કારણ કે $DC \parallel AB$:
$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે)
$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે)
જેથી $\angle A = \angle B$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - \angle B$
$\Rightarrow \angle D = \angle C$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB \parallel DE$,$AB = DE$,$AC \parallel DF$ અને $AC = DF$.
સાબિત કરવાનું છે: $BC \parallel EF$ અને $BC = EF$.
સાબિતી:
$1$. ચતુષ્કોણ $ACFD$ માં,આપણને $AC \parallel DF$ અને $AC = DF$ આપેલ છે. જો ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય,તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$ACFD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD \parallel CF$ અને $AD = CF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
$2$. ચતુષ્કોણ $ABED$ માં,આપણને $AB \parallel DE$ અને $AB = DE$ આપેલ છે. તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD \parallel BE$ અને $AD = BE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
$3$. ઉપરના પરિણામો પરથી,આપણી પાસે $CF \parallel AD$ અને $BE \parallel AD$ છે. આ સૂચવે છે કે $CF \parallel BE$.
વળી,$CF = AD$ અને $BE = AD$. આ સૂચવે છે કે $CF = BE$.
$4$. ચતુષ્કોણ $BCFE$ માં,આપણી પાસે $CF \parallel BE$ અને $CF = BE$ છે. તેથી,$BCFE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$BC \parallel EF$ અને $BC = EF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક $\triangle ABC$ જેમાં $AD$ મધ્યગા છે,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $BE$ ને લંબાવતા તે $AC$ ને $F$ માં મળે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AF = \frac{1}{3} AC$.
રચના: $DG \parallel BF$ દોરો જે $AC$ ને $G$ માં છેદે છે.
સાબિતી: $\triangle ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EF \parallel DG$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$AF = FG$ .....$(1)$.
$\triangle FBC$ માં,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $DG \parallel BF$ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$FG = GC$ .....$(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$AF = FG = GC$ .....$(3)$.
કારણ કે $AC = AF + FG + GC$,સમીકરણ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AC = AF + AF + AF = 3AF$.
તેથી,$AF = \frac{1}{3} AC$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચોરસ $ABCD$ જેમાં $P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $PQ, QR, RS$ અને $SP$ ને જોડવામાં આવ્યા છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક ચોરસ છે.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી: $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ (મધ્યબિંદુ પ્રમેય) ... $(1)$
$\triangle ADC$ માં,$R$ અને $S$ એ અનુક્રમે $CD$ અને $AD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$RS \parallel AC$ અને $RS = \frac{1}{2} AC$ (મધ્યબિંદુ પ્રમેય) ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે $PQ \parallel RS$ અને $PQ = RS$.
આમ,ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે. તેથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ચોરસ $ABCD$ હોવાથી,$AB = BC = CD = DA$.
વળી,$PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = AP = \frac{1}{2} AB$.
$\triangle PBQ$ અને $\triangle QCR$ માં,$PB = QC$,$BQ = CR$,અને $\angle PBQ = \angle QCR = 90^{\circ}$.
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PBQ \cong \triangle QCR$.
તેથી,$PQ = QR$ $(CPCT)$.
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ચોરસ $ABCD$ ના વિકર્ણોને ધ્યાનમાં લો. $AC \perp BD$ અને $AC = BD$.
$PQ \parallel AC$ અને $QR \parallel BD$ હોવાથી,અને $AC \perp BD$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $PQ \perp QR$.
આમ,$PQRS$ એ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $E$ અને $F$ એ સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
રચના: $DF$ ને જોડો અને તેને લંબાવીને $AB$ ને $G$ બિંદુમાં છેદે તેમ કરો.
સાબિતી: $\Delta CFD$ અને $\Delta BFG$ માં:
$DC \parallel AG$ (કારણ કે $DC \parallel AB$)
$\angle DCF = \angle GBF$ [યુગ્મકોણ]
$CF = BF$ [આપેલ છે,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે]
$\angle CFD = \angle BFG$ [અભિકોણ]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta CFD \cong \Delta BFG$.
તેથી,$CD = BG$ અને $DF = FG$ [$CPCT$].
હવે,$\Delta ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $F$ એ $DG$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $DF = FG$).
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$EF \parallel AG$ અને $EF = \frac{1}{2}AG$.
કારણ કે $AG = AB + BG$ અને $BG = CD$,તેથી $AG = AB + CD$.
આમ,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં ખૂણા $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ ના દ્વિભાજકો બિંદુઓ $P, Q, R, S$ પર છેદે છે અને ચતુષ્કોણ $PQRS$ બનાવે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
સાબિતી: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DC$ થાય.
$AB \parallel DC$ અને છેદિકા $AD$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $D$ માં છેદે છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90^{\circ}$ મળે.
$AS$ અને $DS$ એ અનુક્રમે $\angle A$ અને $\angle D$ ના દ્વિભાજકો હોવાથી,$\angle DAS + \angle ADS = 90^{\circ} \quad \dots(1)$.
$\triangle DAS$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle DAS + \angle ADS + \angle ASD = 180^{\circ}$.
આમાં $(1)$ ની કિંમત મૂકતા,$90^{\circ} + \angle ASD = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ASD = 90^{\circ}$.
$\angle PSR$ અને $\angle ASD$ અભિકોણો હોવાથી,$\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle SRQ = 90^{\circ}$,$\angle RQP = 90^{\circ}$ અને $\angle SPQ = 90^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) $ABCD$ એ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં દુભાગે છે. $PQ$ તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના છેદબિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે.
$\triangle AOP$ અને $\triangle COQ$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 3 = \angle 4$ [યુગ્મકોણ,કારણ કે $AD \parallel BC$]
$OA = OC$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે]
$\angle 1 = \angle 2$ [અભિકોણ]
તેથી,$\triangle AOP \cong \triangle COQ$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$OP = OQ$ [$CPCT$]
આમ,$PQ$ નું $O$ આગળ દુભાગન થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક લંબચોરસ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણ $BD$ એ $\angle B$ ને દુભાગે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ABCD$ એક ચોરસ છે.
સાબિતી: $DC \parallel AB$ [કારણ કે લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે].
$\Rightarrow \angle 4 = \angle 1$ ... $(1)$ [યુગ્મકોણ].
તે જ રીતે,$\angle 3 = \angle 2$ ... $(2)$ [યુગ્મકોણ].
અને $\angle 1 = \angle 2$ ... $(3)$ [આપેલ છે,કારણ કે $BD$ એ $\angle B$ ને દુભાગે છે].
સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $\angle 3 = \angle 4$.
$\triangle ABD$ અને $\triangle CBD$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 2$ [આપેલ છે]
$BD = BD$ [સામાન્ય બાજુ]
$\angle 3 = \angle 4$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABD \cong \triangle CBD$.
તેથી,$AB = BC$ [એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો].
જેમ કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન છે,તેથી $ABCD$ એક ચોરસ છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક $\triangle ABC$ અને $\triangle DEF$ જે $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ $D, E$ અને $F$ ને જોડીને બનાવવામાં આવ્યો છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$
સાબિતી: $D$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DF \parallel BC$ અને $DF = \frac{1}{2} BC = BE = EC$.
તે જ રીતે,$DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC = AF = FC$.
વળી,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB = AD = DB$.
ચતુષ્કોણ $ADFE$ માં,$AD \parallel EF$ અને $AF \parallel DE$,તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$\triangle ADF \cong \triangle FED$ (વિકર્ણ $DF$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે).
તે જ રીતે,$BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\triangle DBE \cong \triangle FED$.
અને $CEFD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\triangle ECF \cong \triangle FED$.
તેથી,$\triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle ECF \cong \triangle DEF$.
આમ,ત્રિકોણ $ABC$ ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $AB \parallel DC$ છે,અને $E$ તથા $F$ એ અનુક્રમે અસમાંતર બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $EF \parallel AB$ અને $EF \parallel DC$.
રચના: $DF$ ને જોડો અને તેને લંબાવીને $AB$ ને લંબાવતા મળતા બિંદુ $G$ માં છેદાવો.
સાબિતી: $\Delta DCF$ અને $\Delta GBF$ માં:
$\angle 1 = \angle 2$ [યુગ્મકોણ,કારણ કે $DC \parallel BG$]
$\angle 3 = \angle 4$ [અભિકોણ]
$CF = BF$ [આપેલ છે,કારણ કે $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે]
$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta DCF \cong \Delta GBF$.
તેથી,$DF = GF$ અને $DC = GB$ [$CPCT$ દ્વારા].
$\Delta DAG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $F$ એ $DG$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $DF = GF$).
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$EF \parallel AG$.
કારણ કે $AG$ એ $AB$ રેખાનો જ ભાગ છે,તેથી $EF \parallel AB$.
વળી,$AB \parallel DC$ અને $EF \parallel AB$ હોવાથી,$EF \parallel DC$ સાબિત થાય છે.
આમ,$EF \parallel AB \parallel DC$.

(N/A) $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $PA$ ને સમાંતર રેખા $AB$ ને $Q$ માં અને $DA$ ને લંબાવતા $R$ માં છેદે છે.
$\Delta DCR$ માં,$P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $AP \parallel CR$ છે (કારણ કે $AP \parallel CQ$ અને $Q$ એ $CR$ પર આવેલું છે).
તેથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$A$ એ $DR$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $DA = AR$.
હવે,$\Delta ARQ$ અને $\Delta BCQ$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $AR = BC$ (કારણ કે ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ $AD = AR$ છે,અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ હોવાથી $AD = BC$ છે).
$2$. $\angle 1 = \angle 2$ (અભિકોણો).
$3$. $\angle 3 = \angle 4$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $RC$ એ છેદિકા છે).
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ARQ \cong \Delta BCQ$ થાય છે.
આમ,$CPCT$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો) મુજબ $CQ = QR$ થાય છે.
આમ,$DA = AR$ અને $CQ = QR$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$.
સાબિત કરવાનું છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો વિકર્ણ,ધારો કે $AC$,તેને બે એકરૂપ ત્રિકોણો $ABC$ અને $CDA$ માં વિભાજિત કરે છે. એટલે કે,$\Delta ABC \cong \Delta CDA$.
રચના: $AC$ ને જોડો.
સાબિતી:
કારણ કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,
તેથી $AB \parallel CD$ અને $AD \parallel BC$.
હવે,$AD \parallel BC$ અને છેદિકા $AC$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $C$ માં છેદે છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ)........$(1)$
ફરીથી,$AB \parallel DC$ અને છેદિકા $AC$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $C$ માં છેદે છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle DCA$ (યુગ્મકોણ)........$(2)$
હવે,$\Delta ABC$ અને $\Delta CDA$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle BCA = \angle DAC$ [$(1)$ પરથી]
$AC = CA$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle BAC = \angle DCA$ [$(2)$ પરથી]
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણને મળે છે:
$\Delta ABC \cong \Delta CDA$.

(N/A) આપેલ છે : એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં ક્રમિક ખૂણાઓ $A$ અને $B$ ના દ્વિભાજકો $P$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે : $\angle APB = 90^{\circ}$.
સાબિતી : $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ છે.
હવે,$AD \parallel BC$ અને છેદિકા $AB$ તેમને છેદે છે. તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે).
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = 90^{\circ}$.
$AP$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે અને $BP$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle PAB + \angle PBA = 90^{\circ}$ થાય.
$\Delta APB$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે:
$\angle PAB + \angle APB + \angle PBA = 180^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા,$90^{\circ} + \angle APB = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle APB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,તેના અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 4 : 5 : 4 : 5$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $4x, 5x, 4x$ અને $5x$ છે.
ખૂણાઓનો સરવાળો: $4x + 5x + 4x + 5x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$,જેથી $x = 20^{\circ}$ મળે.
તેથી,ખૂણાઓ નીચે મુજબ છે:
$\angle A = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle B = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
$\angle C = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$
$\angle D = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$
અહીં $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓની બંને જોડ સમાન છે.
તેથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,બધા અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^{\circ}$.
$\triangle PMQ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આમ,$\angle PMQ + \angle MPQ + \angle MQP = 180^{\circ}$.
$PM$ અને $QM$ દ્વિભાજકો હોવાથી,$\angle MPQ = \frac{1}{2} \angle P$ અને $\angle MQP = \frac{1}{2} \angle Q$ થાય.
આ કિંમતોને ત્રિકોણના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle PMQ + \frac{1}{2} \angle P + \frac{1}{2} \angle Q = 180^{\circ}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 \angle PMQ + \angle P + \angle Q = 360^{\circ}$ મળે છે.
ચતુષ્કોણના સરવાળા પરથી,$\angle P + \angle Q = 360^{\circ} - (\angle R + \angle S)$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \angle PMQ + 360^{\circ} - (\angle R + \angle S) = 360^{\circ}$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $2 \angle PMQ = \angle R + \angle S$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચોરસ છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $AC = BD$,$OA = OC$,$OB = OD$ અને $\angle AOB = 90^{\circ}$.
$1$. વિકર્ણો સમાન છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle ABC$ અને $\triangle BAD$ લો. આ ત્રિકોણોમાં,$AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ),$BC = AD$ (ચોરસની બાજુઓ),અને $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$. $SAS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle ABC \cong \triangle BAD$. તેથી,$AC = BD$ $(CPCT)$.
$2$. વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle OAB$ અને $\triangle OCD$ લો. અહીં,$\angle OAB = \angle OCD$ (યુગ્મકોણ),$\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણ),અને $AB = CD$ (ચોરસની બાજુઓ). $ASA$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle OAB \cong \triangle OCD$. તેથી,$OA = OC$ અને $OB = OD$ $(CPCT)$.
$3$. વિકર્ણો કાટખૂણે છેદે છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle OAB$ અને $\triangle OCB$ લો. અહીં,$OA = OC$ (ઉપર સાબિત કર્યું),$AB = CB$ (ચોરસની બાજુઓ),અને $OB = OB$ (સામાન્ય બાજુ). $SSS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle OAB \cong \triangle OCB$. તેથી,$\angle AOB = \angle COB$ $(CPCT)$. કારણ કે $\angle AOB + \angle COB = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા),$2 \angle AOB = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle AOB = 90^{\circ}$.

(N/A) $1$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,$\angle P = \angle R$ (સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે) અને $PQ \parallel RS$ છે.
$2$. ધારો કે $\angle P$ નો દ્વિભાજક $PM$ છે અને $\angle R$ નો દ્વિભાજક $RN$ છે.
$3$. $PM$ એ $\angle P$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle SPM = \angle RPM = \frac{1}{2} \angle P$ થાય.
$4$. $RN$ એ $\angle R$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle QRN = \angle PRN = \frac{1}{2} \angle R$ થાય.
$5$. $\angle P = \angle R$ હોવાથી,$\frac{1}{2} \angle P = \frac{1}{2} \angle R$ થાય,તેથી $\angle RPM = \angle PRN$ મળે.
$6$. આ રેખાઓ $PM$ અને $RN$ માટે છેદિકા $PR$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ છે. તેથી,$PM \parallel RN$ થાય.
$7$. વળી,$PQ \parallel RS$ હોવાથી $PN \parallel RM$ થાય (કારણ કે $N$ એ $PQ$ પર છે અને $M$ એ $RS$ પર છે).
$8$. સામસામેની બંને બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી ($PM \parallel RN$ અને $PN \parallel RM$),$PNRM$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણ $PR$ એ $\angle P$ ને દુભાગે છે,એટલે કે $\angle SPR = \angle QPR$.
પગલું $1$: $PQRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$PS \parallel QR$ અને $PQ \parallel SR$ થાય.
પગલું $2$: $PS \parallel QR$ અને $PR$ છેદિકા હોવાથી,$\angle SPR = \angle PRQ$ (યુગ્મકોણ).
પગલું $3$: $PQ \parallel SR$ અને $PR$ છેદિકા હોવાથી,$\angle QPR = \angle PRS$ (યુગ્મકોણ).
પગલું $4$: $\angle SPR = \angle QPR$ આપેલ હોવાથી,$\angle PRQ = \angle PRS$ થાય. આમ,$PR$ એ $\angle R$ ને દુભાગે છે.
પગલું $5$: $\triangle PQR$ અને $\triangle PSR$ માં,$\angle QPR = \angle SPR$ અને $\angle PRQ = \angle PRS$ છે. $PR = PR$ (સામાન્ય બાજુ) હોવાથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ બંને ત્રિકોણ એકરૂપ છે.
પગલું $6$: $CPCT$ મુજબ,$PQ = PS$ થાય. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ધારો કે બે સમાંતર રેખાઓ $l$ અને $m$ છે,અને $n$ એ છેદિકા છે જે તેમને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
ધારો કે બનતા અંતઃકોણો $\angle PAB$,$\angle QAB$,$\angle RBA$ અને $\angle SBA$ છે.
આ ચાર અંતઃકોણોના દ્વિભાજકો એક ચતુષ્કોણ $EFGH$ બનાવે છે.
કારણ કે $l \parallel m$,ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,એટલે કે $\angle PAB + \angle RBA = 180^{\circ}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2}\angle PAB + \frac{1}{2}\angle RBA = 90^{\circ}$ મળે છે.
$\triangle EAB$ માં,$\angle EAB + \angle EBA = 90^{\circ}$,જે સૂચવે છે કે $\angle AEB = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના અન્ય તમામ ખૂણાઓ પણ $90^{\circ}$ સાબિત કરી શકાય છે.
બધા અંતઃકોણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $EFGH$ એક લંબચોરસ છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $2x, 4x, 5x$ અને $7x$ અંશ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના અંદરના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$2x + 4x + 5x + 7x = 360^{\circ}$.
$18x = 360^{\circ}$.
$x = 20^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાની ગણતરી કરતા:
$\angle A = 2 \times 20^{\circ} = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle C = 5 \times 20^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle D = 7 \times 20^{\circ} = 140^{\circ}$.
અહીં $\angle B + \angle C = 80^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ હોવાથી,બાજુ $BC$ પરના અંતઃકોણો પૂરક છે,જે સૂચવે છે કે $AB \parallel CD$. જે ચતુષ્કોણમાં બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ અનુક્રમે $x, 4x, 2x$ અને $2x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$x + 4x + 2x + 2x = 360^{\circ}$.
$9x = 360^{\circ}$.
$x = 360^{\circ} / 9 = 40^{\circ}$.
હવે,દરેક ખૂણાની ગણતરી કરતા:
$\angle A = x = 40^{\circ}$.
$\angle B = 4x = 4 \times 40^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\angle C = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle D = 2x = 2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $40^{\circ}, 160^{\circ}, 80^{\circ}$ અને $80^{\circ}$ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,તેથી $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = \angle B + 50^{\circ}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle A$ ની કિંમત મૂકતા: $(\angle B + 50^{\circ}) + \angle B = 180^{\circ}$.
$2 \angle B + 50^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle B = 130^{\circ}$,જેથી $\angle B = 65^{\circ}$ મળે.
ત્યારબાદ,$\angle A = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,$\angle C = \angle A = 115^{\circ}$ અને $\angle D = \angle B = 65^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 115^{\circ}, \angle B = 65^{\circ}, \angle C = 115^{\circ}, \angle D = 65^{\circ}$ છે.

(A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં જ્યાં $AB || CD$ છે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(y + 60^{\circ}) + (3y - 80^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4y - 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4y = 200^{\circ} \implies y = 50^{\circ}$.
$(x + 60^{\circ}) + (3x - 40^{\circ}) = 180^{\circ} \implies 4x + 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4x = 160^{\circ} \implies x = 40^{\circ}$.
હવે,ખૂણાઓની ગણતરી કરતા:
$\angle A = 50^{\circ} + 60^{\circ} = 110^{\circ}$.
$\angle B = 40^{\circ} + 60^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\angle C = 3(40^{\circ}) - 40^{\circ} = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
$\angle D = 3(50^{\circ}) - 80^{\circ} = 150^{\circ} - 80^{\circ} = 70^{\circ}$.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ માં $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $PQ$ દોરો.
$\Delta ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel BC$ અને $PQ = \frac{1}{2} BC$ થાય.
હવે,$AP = \frac{1}{2} AB$ અને $AM = \frac{1}{4} AB$ છે.
તેથી,$AM = \frac{1}{2} AP$ થાય.
તે જ રીતે,$AQ = \frac{1}{2} AC$ અને $AN = \frac{1}{4} AC$ છે.
તેથી,$AN = \frac{1}{2} AQ$ થાય.
આમ,$\Delta APQ$ માં,$M$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $N$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$MN \parallel PQ$ અને $MN = \frac{1}{2} PQ$ થાય.
$MN$ ના સમીકરણમાં $PQ = \frac{1}{2} BC$ મૂકતા:
$MN = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} BC \right) = \frac{1}{4} BC$.
આમ,$MN = \frac{1}{4} BC$ સાબિત થાય છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,$P$,$Q$ અને $R$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતાં અડધી હોય છે.
તેથી,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 5.4 \text{ cm} = 2.7 \text{ cm}$.
તે જ રીતે,$QR = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$.
અને,$RP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 6.6 \text{ cm} = 3.3 \text{ cm}$.
$\triangle PQR$ ની પરિમિતિ $= PQ + QR + RP$.
પરિમિતિ $= 2.7 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 3.3 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.

(A) રચના: $BF$ ને સમાંતર રેખા $DG$ દોરો જેથી $G$ એ $AC$ પર આવેલું હોય.
$\Delta ADG$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EG \parallel DF$ (કારણ કે $EG \parallel BF$),તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $AF$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$AG = GF$ ... $(1)$.
$\Delta CBF$ માં,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $DG \parallel BF$,તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $FC$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$GF = FC$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$AG = GF = FC$ મળે છે.
$AC = AG + GF + FC$ હોવાથી,$AC = 3AG$ લખી શકાય.
તેથી,$AG = \frac{1}{3} AC$.
$AF = AG + GF = 2AG$ હોવાથી,$AF = \frac{2}{3} AC$ થાય.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$1$. $AQ$ ને જોડો અને તેને લંબાવીને $DC$ ને બિંદુ $E$ માં છેદવા દો.
$2$. $\triangle ABQ$ અને $\triangle EDQ$ માં:
- $\angle ABQ = \angle EDQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel DE$)
- $BQ = DQ$ ($Q$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
- $\angle AQB = \angle EQD$ (અભિકોણ)
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABQ \cong \triangle EDQ$.
$3$. તેથી,$AQ = EQ$ અને $AB = DE$ ($CPCT$ દ્વારા).
$4$. $\triangle ACE$ માં,$P$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $AE$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $AQ = EQ$).
$5$. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel CE$ અને $PQ = \frac{1}{2} CE$.
$6$. કારણ કે $CE = DC - DE = DC - AB$,તેથી $PQ = \frac{1}{2} (DC - AB)$.
$7$. આમ,$PQ$ એ સમાંતર બાજુઓ $AB$ અને $DC$ ને સમાંતર છે અને તેની લંબાઈ સમાંતર બાજુઓની લંબાઈના તફાવતથી અડધી છે.

(A) $1$. $AC$ ને જોડો. ધારો કે $AC$ એ $EF$ ને બિંદુ $G$ માં છેદે છે.
$2$. $\triangle ADC$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EG \parallel DC$ છે (કારણ કે $EF \parallel AB$ અને $AB \parallel CD$). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$EG = \frac{1}{2}CD$.
$3$. $\triangle ABC$ માં,$G$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $GF \parallel AB$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$GF = \frac{1}{2}AB$.
$4$. બંને રેખાખંડોનો સરવાળો કરતા: $EF = EG + GF = \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AB + CD)$.
$5$. આમ,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EF = \frac{1}{2}(AB + CD)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $P, Q$ અને $R$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેનાથી અડધો હોય છે.
$1$. $PBQR$ માટે: $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PR \parallel BC$ અને $PR = \frac{1}{2} BC = BQ$. તેમજ $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$. $PR \parallel BQ$ અને $PQ \parallel RB$ હોવાથી,$PBQR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. $PQCR$ માટે: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC = RC$. તેમજ $QR \parallel AB$ અને $QR = \frac{1}{2} AB = PC$. $PQ \parallel RC$ અને $QR \parallel PC$ હોવાથી,$PQCR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$3$. $PQRA$ માટે: $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $QR \parallel AB$ અને $QR = \frac{1}{2} AB = AP$. તેમજ $PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC = AR$. $QR \parallel AP$ અને $PQ \parallel AR$ હોવાથી,$PQRA$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $1$. $\triangle ABP$ અને $\triangle CDQ$ માં:
$AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$\angle BAP = \angle DCQ$ (યુગ્મકોણ, કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$AP = CQ$ (આપેલ છે).
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ, $\triangle ABP \cong \triangle CDQ$.
તેથી, $BP = DQ$ અને $\angle ABP = \angle CDQ$.
$2$. $\triangle ADP$ અને $\triangle CBQ$ માં:
$AD = CB$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$\angle DAP = \angle BCQ$ (યુગ્મકોણ, કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા છે).
$AP = CQ$ (આપેલ છે).
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ, $\triangle ADP \cong \triangle CBQ$.
તેથી, $DP = BQ$ અને $\angle ADP = \angle CBQ$.
$3$. $BP = DQ$ અને $DP = BQ$ હોવાથી, ચતુષ્કોણ $PBQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે (સામસામેની બાજુઓ સમાન છે).
તેથી, $BQ \parallel DP$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PBQD$ માં, વિકર્ણો $BD$ અને $PQ$ એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી, $BD$ એ $PQ$ ને દુભાગે છે.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ એ અનુક્રમે $XY, YZ$ અને $XZ$ ના મધ્યબિંદુઓ છે:
$AB = \frac{1}{2} XZ \implies XZ = 2 \times 5.2\, cm = 10.4\, cm$
$BC = \frac{1}{2} XY \implies XY = 2 \times 4.3\, cm = 8.6\, cm$
$AC = \frac{1}{2} YZ \implies YZ = 2 \times 6.5\, cm = 13.0\, cm$
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $= XY + YZ + XZ = 8.6\, cm + 13.0\, cm + 10.4\, cm = 32.0\, cm$.

(A) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$\Delta ABC$ માં,$P$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $PR = \frac{1}{2} BC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}$.
તે જ રીતે,$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{10.6}{2} = 5.3 \text{ cm}$.
અને $QR = \frac{1}{2} AB = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$.
$\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= PQ + QR + PR = 5.3 + 4 + 4.5 = 13.8 \text{ cm}$.

(B) આપેલ છે કે $P$, $Q$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AB$, $BC$ અને $CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની લંબાઈથી અડધો હોય છે.
$\Delta ABC$ માં, $R$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી, $RQ = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
તે જ રીતે, $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી, $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{7.5}{2} = 3.75 \text{ cm}$.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{8.2}{2} = 4.1 \text{ cm}$.
$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $BQ = \frac{1}{2} BC = \frac{6.4}{2} = 3.2 \text{ cm}$.
ચતુષ્કોણ $PBQR$ ની બાજુઓ $PB$, $BQ$, $QR$ અને $RP$ છે.
પરિમિતિ $= PB + BQ + QR + RP$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $RP = \frac{1}{2} BC = 3.2 \text{ cm}$.
પરિમિતિ $= 4.1 + 3.2 + 4.1 + 3.2 = 14.6 \text{ cm}$.

(A) $1$. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર અને તેની લંબાઈથી અડધો હોય છે.
$2$. આપેલ છે કે $X$ અને $Z$ એ $PQ$ અને $PR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $XZ = \frac{1}{2} QR$. આમ,$QR = 2 \times XZ = 2 \times 3.8 \, cm = 7.6 \, cm$.
$3$. $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ = $PQ + QR + PR = 7.2 \, cm + 7.6 \, cm + 8.4 \, cm = 23.2 \, cm$.
$4$. $X, Y, Z$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$\Delta XYZ$ ની બાજુઓ $\Delta PQR$ ની બાજુઓ કરતા અડધી હોય છે ($XY = \frac{1}{2} PR = 4.2 \, cm$,$YZ = \frac{1}{2} PQ = 3.6 \, cm$,$XZ = 3.8 \, cm$).
$5$. $\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ = $\frac{1}{2} \times (\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}) = \frac{1}{2} \times 23.2 \, cm = 11.6 \, cm$.

(D) મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$PQ = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2PQ$.
આપેલ છે કે $PQ + BC = 8.4 \, cm$.
$BC = 2PQ$ મૂકતા,આપણને $PQ + 2PQ = 8.4 \, cm$ મળે છે,તેથી $3PQ = 8.4 \, cm$,જેનો અર્થ છે કે $PQ = 2.8 \, cm$.
ત્યારબાદ,$BC = 2 \times 2.8 = 5.6 \, cm$.
આપણને $AB + AC = 20.5 \, cm$ આપેલ છે.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + AC + BC$.
પરિમિતિ $= 20.5 + 5.6 = 26.1 \, cm$.

(A) ચતુષ્કોણ $AMCN$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $AM \perp BC$ અને $AN \perp CD$,તેથી $\angle AMC = 90^{\circ}$ અને $\angle ANC = 90^{\circ}$ થાય.
ચતુષ્કોણ $AMCN$ માં,$\angle MCN + \angle AMC + \angle ANC + \angle MAN = 360^{\circ}$.
$\angle C + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle C + 240^{\circ} = 360^{\circ}$,તેથી $\angle C = 120^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C = 120^{\circ}$.
પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે,તેથી $\angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ અને $\angle D = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}$ છે.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
$2$. $\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
$3$. આમ,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$. સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. તેવી જ રીતે,$\triangle ABD$ માં,$PS \parallel BD$ અને $PS = \frac{1}{2} BD$. $\triangle BCD$ માં,$QR \parallel BD$ અને $QR = \frac{1}{2} BD$.
$5$. $AC = BD$ (આપેલ છે),તેથી $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$,જેનો અર્થ છે કે $PQ = SR = PS = QR$. આમ,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$6$. $AC \perp BD$ હોવાથી,અને $PQ \parallel AC$ તથા $PS \parallel BD$ હોવાથી,$PQ \perp PS$ થાય. તેથી,$\angle QPS = 90^{\circ}$.
$7$. જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$PQRS$ એક ચોરસ છે.

(B) $(1)$ સાચું: સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે. પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 12 \, \text{cm} = 48 \, \text{cm}$.
$(2)$ ખોટું: ચોરસ $PQRS$ માં, વિકર્ણ $PR = s\sqrt{2}$ થાય, જ્યાં $s$ એ બાજુની લંબાઈ છે. આપેલ છે કે $PR = 8 \, \text{cm}$, તેથી $s\sqrt{2} = 8 \implies s = 8 / \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \, \text{cm}$. પરિમિતિ $4s = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \, \text{cm}$ થાય, જે $32 \, \text{cm}$ નથી.

(A) $(1)$ ખોટું. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ પાસપાસેની બાજુઓ છે. વિકર્ણ $AC$ એ ત્રિકોણ $ABC$ બનાવે છે. ત્રિકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ. અહીં,$AB + BC = 12 + 5 = 17 \text{ cm}$,જે $AC = 13 \text{ cm}$ કરતા વધારે છે. જોકે,$ABCD$ લંબચોરસ જ હોય તેવી કોઈ શરત નથી. જો તે લંબચોરસ હોત,તો $AC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \text{ cm}$ થાત. પરંતુ તે માત્ર સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,ખૂણા $\angle B$ ના માપ મુજબ $AC$ નું મૂલ્ય બદલાઈ શકે છે. તેથી,આ વિધાન હંમેશા સાચું નથી.
$(2)$ ખોટું. સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં જ્યાં $AB \parallel CD$ હોય,ત્યાં સમાંતર બાજુઓ (પાયા) સમાન હોવા જરૂરી નથી. જો સમાંતર બાજુઓ સમાન હોય,તો તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બની જાય,માત્ર સમલંબ ચતુષ્કોણ જ રહે તે જરૂરી નથી.

(A) આ વિધાન ખરું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક મુખ્ય ગુણધર્મ એ છે કે તેના વિકર્ણો એકબીજાના લંબદ્વિભાજક હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણો $90^{\circ}$ ના ખૂણે એકબીજાને છેદે છે અને એકબીજાના બે સમાન ભાગ કરે છે.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બધી બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = AD$.
$AB = AD$ હોવાથી,$\triangle ABD$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,પાસપાસેના ખૂણાઓ પૂરક હોય છે,તેથી $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle B = 80^{\circ}$,તેથી $\angle A = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
$\triangle ABD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle ADB + \angle ABD = 180^{\circ}$.
$AB = AD$ હોવાથી,પાયાના ખૂણાઓ સમાન હોય છે: $\angle ADB = \angle ABD$.
તેથી,$100^{\circ} + 2(\angle ADB) = 180^{\circ}$.
$2(\angle ADB) = 80^{\circ}$.
$\angle ADB = 40^{\circ}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle A = \angle C$.
આપેલ છે કે $\angle A = 5x - 40^{\circ}$ અને $\angle C = 3x + 10^{\circ}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $5x - 40 = 3x + 10$.
બંને બાજુથી $3x$ બાદ કરતા: $2x - 40 = 10$.
બંને બાજુ $40$ ઉમેરતા: $2x = 50$.
$2$ વડે ભાગતા: $x = 25$.

(D) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી બધી બાજુઓ સમાન છે,એટલે કે $AB = BC = CD = DA = 13 \text{ cm}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{પરિમિતિ} = 4 \times \text{બાજુની લંબાઈ}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $\text{પરિમિતિ} = 4 \times 13 \text{ cm} = 52 \text{ cm}$.
તેથી,$ABCD$ ની પરિમિતિ $52 \text{ cm}$ છે.