Textbook - Quadrilaterals Questions in Gujarati

(N/A) ચાલો યાદ કરીએ કે લંબચોરસ શું છે.
લંબચોરસ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેમાં $\angle A = 90^{\circ}$ છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$.
અહીં $AD \parallel BC$ છે અને $AB$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરક હોય છે).
પરંતુ,$\angle A = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
હવે,$\angle C = \angle A$ અને $\angle D = \angle B$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
તેથી,$\angle C = 90^{\circ}$ અને $\angle D = 90^{\circ}$.
આમ,લંબચોરસનો દરેક ખૂણો કાટખૂણો છે.

(N/A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ધ્યાનમાં લો (આકૃતિ જુઓ).
તમે જાણો છો કે $AB = BC = CD = DA$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની વ્યાખ્યા મુજબ).
હવે,$\Delta AOD$ અને $\Delta COD$ માં,
$OA = OC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે).
$OD = OD$ (સામાન્ય બાજુ).
$AD = CD$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન હોય છે).
તેથી,$\Delta AOD \cong \Delta COD$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત).
આનાથી મળે છે,$\angle AOD = \angle COD$ ($CPCT$ - એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો).
પરંતુ,$\angle AOD + \angle COD = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
તેથી,$2 \angle AOD = 180^{\circ}$.
અથવા,$\angle AOD = 90^{\circ}$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને લંબ હોય છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,આપણને $AB = AC$ આપેલ છે.
તેથી,$\angle ABC = \angle ACB$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા).
વળી,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$ (ત્રિકોણના બહિષ્કોણનો ગુણધર્મ).
કારણ કે $\angle ABC = \angle ACB$,આપણે લખી શકીએ:
$\angle PAC = \angle ACB + \angle ACB = 2 \angle ACB$ ........... $(1)$
હવે,$AD$ એ $\angle PAC$ નો દ્વિભાજક છે,જેનો અર્થ છે:
$\angle PAC = 2 \angle DAC$ ........... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$2 \angle DAC = 2 \angle ACB$
તેથી,$\angle DAC = \angle ACB$ અથવા $\angle DAC = \angle BCA$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં $AB = AC$. તેથી,$\angle ABC = \angle ACB$.
$AD$ એ બહિષ્કોણ $PAC$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle PAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle PAC$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનો બહિષ્કોણ તેના બે અંતઃસંમુખ કોણના સરવાળા જેટલો હોય છે. તેથી,$\angle PAC = \angle ABC + \angle ACB$.
$\angle ABC = \angle ACB$ હોવાથી,$\angle PAC = 2 \angle ACB$ થાય.
આ કિંમત દ્વિભાજકના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle CAD = \frac{1}{2} (2 \angle ACB) = \angle ACB$.
આ રેખાઓ $BC$ અને $AD$ માટે છેદિકા $AC$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ છે. યુગ્મકોણ સમાન હોવાથી,$BC \parallel AD$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $CD \parallel AB$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બંને બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી ($BC \parallel AD$ અને $AB \parallel CD$),$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $l \parallel m$ અને છેદિકા $p$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$\angle PAC$ અને $\angle ACQ$ ના દ્વિભાજકો $B$ માં છેદે છે,અને $\angle SAC$ તથા $\angle ACR$ ના દ્વિભાજકો $D$ માં છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
$l \parallel m$ હોવાથી અને $p$ છેદિકા હોવાથી,$\angle PAC = \angle ACR$ (યુગ્મકોણો).
તેથી,$\frac{1}{2} \angle PAC = \frac{1}{2} \angle ACR$,જેનો અર્થ છે કે $\angle BAC = \angle ACD$.
આ રેખાઓ $AB$ અને $DC$ માટે $AC$ છેદિકા હોવાથી યુગ્મકોણોની જોડ બનાવે છે અને તે સમાન પણ છે.
તેથી,$AB \parallel DC$.
તે જ રીતે,$\angle ACB$ અને $\angle CAD$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $BC \parallel AD$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\angle PAC + \angle CAS = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} \angle PAC + \frac{1}{2} \angle CAS = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle BAC + \angle CAD = 90^{\circ}$,એટલે કે $\angle BAD = 90^{\circ}$.
$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી તે એક લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે $P, Q, R$ અને $S$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ખૂણા $\angle A$ અને $\angle B$,$\angle B$ અને $\angle C$,$\angle C$ અને $\angle D$,તથા $\angle D$ અને $\angle A$ ના દ્વિભાજકોના છેદબિંદુઓ છે (આકૃતિ જુઓ).
$\Delta ASD$ માં,કારણ કે $DS$ એ $\angle D$ નો દ્વિભાજક છે અને $AS$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી:
$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = \frac{1}{2} (\angle A + \angle D)$
કારણ કે $\angle A$ અને $\angle D$ એ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે,તેથી $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\Delta ASD$ માં ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\angle DAS + \angle ADS + \angle DSA = 180^{\circ}$
$90^{\circ} + \angle DSA = 180^{\circ} \implies \angle DSA = 90^{\circ}$.
$\angle PSR$ અને $\angle DSA$ અભિકોણો હોવાથી,$\angle PSR = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય છે કે $\angle SPQ = 90^{\circ}$,$\angle PQR = 90^{\circ}$,અને $\angle SRQ = 90^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) ચતુષ્કોણ $APCQ$ માં,
$AP \parallel QC$ (કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $P, Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે) ............ $(1)$
$AP = \frac{1}{2} AB$ અને $CQ = \frac{1}{2} CD$ ($P$ અને $Q$ મધ્યબિંદુઓ છે તે આપેલ છે)
વળી,$AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $AP = QC$ ............ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $AB \,|| \,DC$ અને $AB = DC$ થાય.
$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$PB = \frac{1}{2} AB$ અને $DQ = \frac{1}{2} DC$ થાય.
$AB = DC$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} DC$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PB = DQ$.
વળી,$AB \,|| \,DC$ હોવાથી,$PB \,|| \,DQ$ થાય.
ચતુષ્કોણ $DPBQ$ માં,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($PB$ અને $DQ$) સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$DPBQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AB \,||\, CD$ અને $AB = CD$ હોવાથી,આપણને $AP \,||\, QC$ અને $AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = QC$ મળે છે.
$AP \,||\, QC$ અને $AP = QC$ હોવાથી,$APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AQ \,||\, PC$,જેનો અર્થ છે કે $SQ \,||\, PR$.
તે જ રીતે,$PB \,||\, DQ$ અને $PB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD = DQ$.
$PB \,||\, DQ$ અને $PB = DQ$ હોવાથી,$PBQD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$DP \,||\, BQ$,જેનો અર્થ છે કે $SP \,||\, QR$.
સામસામેની બાજુઓની બંને જોડી સમાંતર હોવાથી ($SQ \,||\, PR$ અને $SP \,||\, QR$),$PSQR$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $3x, 5x, 9x$ અને $13x$ છે.
ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$3x + 5x + 9x + 13x = 360^{\circ}$
પદોનો સરવાળો કરતા:
$30x = 360^{\circ}$
$x$ ની કિંમત શોધતા:
$x = \frac{360^{\circ}}{30} = 12^{\circ}$
હવે,દરેક ખૂણાની ગણતરી કરીએ:
$3x = 3 \times 12^{\circ} = 36^{\circ}$
$5x = 5 \times 12^{\circ} = 60^{\circ}$
$9x = 9 \times 12^{\circ} = 108^{\circ}$
$13x = 13 \times 12^{\circ} = 156^{\circ}$
આમ,ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ $36^{\circ}, 60^{\circ}, 108^{\circ}$ અને $156^{\circ}$ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો સમાન છે,એટલે કે $AC = BD$.
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AC = BD$ [આપેલ છે]
$BC = AD$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$AB = AB$ [સામાન્ય બાજુ]
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
$CPCT$ દ્વારા,આપણને મળે છે $\angle ABC = \angle BAD$ ............. $(1)$
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ અને $AB$ તેની છેદિકા છે. તેથી,ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$ [ક્રમિક અંતઃકોણો પૂરક હોય છે] ............. $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle ABC + \angle ABC = 180^{\circ}$
$2 \angle ABC = 180^{\circ}$
$\angle ABC = 90^{\circ}$
આમ,$ABCD$ એ એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી તે લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta AOD$ માં:
$AO = AO$ (સામાન્ય બાજુ)
$OB = OD$ (આપેલ છે કે $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta AOD$.
તેથી,$AB = AD$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે) ... $(1)$
તે જ રીતે,અન્ય ત્રિકોણની જોડીઓ ધ્યાનમાં લેતા:
$\Delta AOB$ અને $\Delta COB$ માં,આપણને $AB = CB$ મળે છે ... $(2)$
$\Delta COB$ અને $\Delta COD$ માં,આપણને $CB = CD$ મળે છે ... $(3)$
$\Delta COD$ અને $\Delta AOD$ માં,આપણને $CD = AD$ મળે છે ... $(4)$
$(1), (2), (3)$ અને $(4)$ પરથી,આપણને $AB = BC = CD = DA$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) ધારો કે એક ચોરસ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
$(i)$ વિકર્ણો સમાન છે તે સાબિત કરવા માટે,એટલે કે $AC = BD$:
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AB = BA$ [સામાન્ય બાજુ]
$BC = AD$ [ચોરસ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ [ચોરસના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય છે]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta BAD$ [$SAS$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow AC = BD$ ............. $(1)$
$(ii)$ $O$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા હોવાથી,$\angle 1 = \angle 3$ [યુગ્મકોણ].
તે જ રીતે,$\angle 2 = \angle 4$ [યુગ્મકોણ].
$\Delta OAD$ અને $\Delta OCB$ માં:
$AD = CB$ [ચોરસ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\angle 1 = \angle 3$ [સાબિત કર્યું]
$\angle 2 = \angle 4$ [સાબિત કર્યું]
$\therefore \Delta OAD \cong \Delta OCB$ [$ASA$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow OA = OC$ અને $OD = OB$
$\Rightarrow O$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ પર દુભાગે છે. .......... $(2)$
$(iii)$ $AC \perp BD$ સાબિત કરવા માટે:
$\Delta OBA$ અને $\Delta ODA$ માં:
$OB = OD$ [સાબિત કર્યું]
$BA = DA$ [ચોરસની સામસામેની બાજુઓ]
$OA = OA$ [સામાન્ય બાજુ]
$\therefore \Delta OBA \cong \Delta ODA$ [$SSS$ પૂર્વધારણા]
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD$
$\angle AOB$ અને $\angle AOD$ રૈખિક જોડના ખૂણા હોવાથી,$\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$.
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$
$\Rightarrow AC \perp BD$ ............. $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે ચોરસના વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ સમાન છે $(AC = BD)$ અને તેઓ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે દુભાગે છે ($AO = OC$,$BO = OD$,અને $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^{\circ}$).
$1$. $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$\Delta AOD$ અને $\Delta AOB$ માં:
$AO = AO$ (સામાન્ય)
$OD = OB$ (આપેલ છે)
$\angle AOD = \angle AOB = 90^{\circ}$ (આપેલ છે)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOD \cong \Delta AOB$.
તેથી,$AD = AB$ $(CPCT)$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $AB = BC$,$BC = CD$,અને $CD = DA$.
આમ,$AB = BC = CD = DA$. બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. $ABCD$ ચોરસ છે તે સાબિત કરવા માટે:
$\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
$AC = BD$ (આપેલ છે)
$BC = AD$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$AB = BA$ (સામાન્ય)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
તેથી,$\angle ABC = \angle BAD$ $(CPCT)$.
ચૂંક $AD \parallel BC$ અને $AB$ છેદિકા છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય:
$\angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = \angle BAD$ હોવાથી,$2 \angle ABC = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ABC = 90^{\circ}$.
જે સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે ચોરસ હોય છે. તેથી,$ABCD$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે. તેથી,$\angle DAC = \angle BAC$.
સાબિત કરવાનું છે: $AC$ એ $\angle C$ ને દુભાગે છે,એટલે કે $\angle DCA = \angle BCA$.
સાબિતી:
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DC$ અને $AC$ તેમની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle DCA$ (યુગ્મકોણ) ....... $(1)$
$2$. વળી,$BC \parallel AD$ અને $AC$ તેમની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ) ....... $(2)$
$3$. $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગતું હોવાથી,$\angle DAC = \angle BAC$ ....... $(3)$
$4$. સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle DCA = \angle BCA$
આમ,$AC$ એ $\angle C$ ને દુભાગે છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે. તેથી,$\angle DAC = \angle BAC$.
સાબિત કરવાનું છે: $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી:
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ અને $AC$ તેની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ).
$2$. આપણને આપેલ છે કે $\angle DAC = \angle BAC$.
$3$. પગલાં $1$ અને $2$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle BAC = \angle BCA$.
$4$. $\Delta ABC$ માં,$\angle BAC = \angle BCA$ હોવાથી,આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,$BC = AB$ (સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$5$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = CD$ અને $AD = BC$.
$6$. $AB = BC$ અને $AB = CD, BC = AD$ હોવાથી,આપણને $AB = BC = CD = DA$ મળે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$AB = BC = CD = AD$
વળી,$AB \parallel CD$ અને $AD \parallel BC$.
હવે,$\triangle ADC$ માં,$AD = CD$ (સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ).
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે) ....... $(1)$
વળી,$CD \parallel AB$ (સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ) અને $AC$ એ છેદિકા છે.
તેથી,$\angle 2 = \angle 3$ (યુગ્મકોણ) ....... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle 1 = \angle 3$.
તે જ રીતે,$AD \parallel BC$ અને $AC$ છેદિકા હોવાથી,$\angle 1 = \angle 4$ (યુગ્મકોણ).
આમ,$AC$ એ $\angle A$ અને $\angle C$ ને દુભાગે છે.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે $BD$ એ $\angle B$ અને $\angle D$ ને દુભાગે છે.

(N/A) આપણને એક લંબચોરસ $ABCD$ આપેલ છે જેમાં $AC$ એ $\angle A$ અને $\angle C$ બંનેને દુભાગે છે.
એટલે કે,$\angle 1 = \angle 4$ અને $\angle 2 = \angle 3$ ....... $(1)$
લંબચોરસ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Rightarrow AB \parallel CD$ અને $AC$ એ છેદિકા છે.
$\therefore \angle 2 = \angle 4$ $[\text{યુગ્મકોણ}]$ .......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle 3 = \angle 4$.
$\Rightarrow AB = BC$ $[\because \Delta ABC \text{ માં સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે}]$.
$ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,$AB = CD$ અને $BC = AD$ થાય.
$\therefore AB = BC = CD = AD$.
આમ,$ABCD$ એ એવો લંબચોરસ છે કે જેની બધી બાજુઓ સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે $ABCD$ એક ચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેમાં વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ અને $\angle C$ ને દુભાગે છે.
$1$. $ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,$AB \parallel DC$ અને $AD \parallel BC$ થાય.
$2$. $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગતું હોવાથી,$\angle DAC = \angle BAC$ થાય. વળી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ).
$3$. તેથી,$\angle BAC = \angle BCA$ થાય. $\triangle ABC$ માં,સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = BC$ થાય.
$4$. જે લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ સમાન હોય તેને ચોરસ કહેવાય. આમ,$ABCD$ એક ચોરસ છે.
$5$. ચોરસમાં,વિકર્ણો સામસામેના ખૂણાઓને દુભાગે છે.
$6$. તેથી,વિકર્ણ $BD$ એ $\angle B$ અને $\angle D$ બંનેને દુભાગે છે.

(N/A) અહીં આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. $BD$ એ વિકર્ણ છે અને $P$ તથા $Q$ એ $BD$ પરના બિંદુઓ છે જેથી:
$DP = BQ$ [આપેલ છે]
સાબિત કરવાનું છે કે $\Delta APD \cong \Delta CQB$:
કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $BD$ એ છેદિકા છે,$[\because ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે $]$
$\therefore \angle ADB = \angle CBD$ [યુગ્મકોણ]
$\Rightarrow \angle ADP = \angle CBQ$
હવે,$\Delta APD$ અને $\Delta CQB$ માં,આપણી પાસે છે:
$AD = CB$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$DP = BQ$ [આપેલ છે]
$\angle ADP = \angle CBQ$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$\therefore SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણને મળે છે:
$\Delta APD \cong \Delta CQB$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P$ અને $Q$ એ વિકર્ણ $BD$ પરના બિંદુઓ છે જેથી $DP = BQ$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AP = CQ$.
સાબિતી:
$\Delta APD$ અને $\Delta CQB$ માં:
$1$. $AD = CB$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$2$. $\angle ADP = \angle CBQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AD \parallel BC$ અને $BD$ છેદિકા છે)
$3$. $DP = BQ$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta APD \cong \Delta CQB$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AP = CQ$.

(N/A) અહીં આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. $BD$ એક વિકર્ણ છે અને $P$ તથા $Q$ એવા બિંદુઓ છે કે જેથી:
$PD = QB$ [આપેલ છે]
સાબિત કરવાનું છે કે $\Delta AQB \cong \Delta CPD$.
કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ એ છેદિકા છે,$[\because ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે$]$
$\therefore \angle ABD = \angle CDB$
$\Rightarrow \angle ABQ = \angle CDP$
હવે,$\Delta AQB$ અને $\Delta CPD$ માં,આપણી પાસે છે:
$QB = PD$ [આપેલ છે]
$\angle ABQ = \angle CDP$ [ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ]
$AB = CD$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ]
$\therefore \Delta AQB \cong \Delta CPD$ [$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P$ અને $Q$ એ વિકર્ણ $BD$ પરના બિંદુઓ છે જેથી $DP = BQ$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AQ = CP$.
સાબિતી:
$\Delta AQB$ અને $\Delta CPD$ માં:
$1$. $AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$2$. $\angle ABQ = \angle CDP$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ છેદિકા છે)
$3$. $BQ = DP$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AQB \cong \Delta CPD$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AQ = CP$.

(N/A) આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. $BD$ એક વિકર્ણ છે અને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એવા છે કે જેથી $DP = BQ$ [આપેલ છે].
સાબિત કરવાનું છે કે $APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે આપણે $AC$ ને જોડીએ જે $BD$ ને $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી $AO = CO$ અને $BO = DO$ ... $(1)$.
આપણને $DP = BQ$ આપેલ છે ... $(2)$.
$BO = DO$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$BO - BQ = DO - DP$
$QO = PO$ ... $(3)$.
હવે,ચતુષ્કોણ $APCQ$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $PQ$ પરસ્પર $O$ બિંદુએ દુભાગે છે (સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ પરથી).
જે ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગતા હોય,તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે. તેથી $APCQ$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $\Delta APB$ અને $\Delta CQD$ માં,આપણી પાસે છે:
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^{\circ}$ (આપેલ છે,કારણ કે $AP \perp BD$ અને $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ એ છેદિકા છે)
તેથી,$AAS$ (ખૂ-ખૂ-બા) એકરૂપતાની શરત મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\Delta APB \cong \Delta CQD$

(N/A) $\Delta APB$ અને $\Delta CQD$ માં:
$1$. $\angle APB = \angle CQD = 90^\circ$ (આપેલ છે કે $AP \perp BD$ અને $CQ \perp BD$)
$2$. $AB = CD$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે)
$3$. $\angle ABP = \angle CDQ$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $BD$ છેદિકા છે)
તેથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta APB \cong \Delta CQD$.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AP = CQ$.

(N/A) ચતુષ્કોણ $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમ સાબિત કરવા માટે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર અને સમાન લંબાઈની હોય,તો તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
આપેલ છે:
$AB = DE$
$AB \parallel DE$
ચતુષ્કોણ $ABED$ માં,આપણી પાસે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($AB$ અને $DE$) છે જે સમાંતર અને સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમ સાબિત કરવા માટે.
આપેલ છે કે $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$.
જો કોઈ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય,તો તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
અહીં $BEFC$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં સામસામેની બાજુઓની જોડ ($BC$ અને $EF$) સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) $AD \parallel CF$ અને $AD = CF$ સાબિત કરવા માટે:
$1$. ચતુષ્કોણ $ABED$ માં,આપણને આપેલ છે કે $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$. કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે,તેથી $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD \parallel BE$ અને $AD = BE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે) ... $(1)$
$2$. ચતુષ્કોણ $BEFC$ માં,આપણને આપેલ છે કે $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$. કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે,તેથી $BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$BE \parallel CF$ અને $BE = CF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે) ... $(2)$
$3$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણી પાસે $AD \parallel BE$ અને $BE \parallel CF$ છે,જેનો અર્થ છે કે $AD \parallel CF$.
વળી,$AD = BE$ અને $BE = CF$,જેનો અર્થ છે કે $AD = CF$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ અને $\Delta DEF$ માં,$AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ અને $BC \parallel EF$ છે.
પગલું $1$: ચતુષ્કોણ $ABED$ ને ધ્યાનમાં લો.
અહીં $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આથી $AD = BE$ અને $AD \parallel BE$ થાય (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે).
પગલું $2$: ચતુષ્કોણ $BCFE$ ને ધ્યાનમાં લો.
અહીં $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
તેથી,$BCFE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આથી $BE = CF$ અને $BE \parallel CF$ થાય.
પગલું $3$: ચતુષ્કોણ $ACFD$ ને ધ્યાનમાં લો.
પગલું $1$ પરથી,$AD \parallel BE$ અને પગલું $2$ પરથી,$BE \parallel CF$. તેથી,$AD \parallel CF$ થાય.
પગલું $1$ પરથી,$AD = BE$ અને પગલું $2$ પરથી,$BE = CF$. તેથી,$AD = CF$ થાય.
ચતુષ્કોણ $ACFD$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,તે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ અને $BC \parallel EF$.
પગલું $1$: ચતુષ્કોણ $ABED$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે. તેથી,$ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પગલું $2$: $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD = BE$ અને $AD \parallel BE$ થાય.
પગલું $3$: ચતુષ્કોણ $BCFE$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$,સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે. તેથી,$BCFE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પગલું $4$: $BCFE$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$BE = CF$ અને $BE \parallel CF$ થાય.
પગલું $5$: પગલું $2$ અને $4$ પરથી,આપણી પાસે $AD = BE$ અને $BE = CF$ છે,જેનો અર્થ છે કે $AD = CF$. તેમજ,$AD \parallel BE$ અને $BE \parallel CF$ હોવાથી,$AD \parallel CF$ થાય.
પગલું $6$: ચતુષ્કોણ $ACFD$ માં,$AD = CF$ અને $AD \parallel CF$ હોવાથી,તે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પગલું $7$: $ACFD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે. તેથી,$AC = DF$.

(N/A) આપેલ છે: $AB = DE$,$AB \parallel DE$,$BC = EF$ અને $BC \parallel EF$.
પગલું $1$: $AB = DE$ અને $AB \parallel DE$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$AD = BE$ અને $AD \parallel BE$.
પગલું $2$: $BC = EF$ અને $BC \parallel EF$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $BEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$BE = CF$ અને $BE \parallel CF$.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ પરથી,આપણી પાસે $AD = BE$ અને $BE = CF$ છે,જેનો અર્થ છે કે $AD = CF$. ઉપરાંત,$AD \parallel CF$ કારણ કે બંને $BE$ ને સમાંતર છે.
પગલું $4$: $AD = CF$ અને $AD \parallel CF$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ACFD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$AC = DF$.
પગલું $5$: $\Delta ABC$ અને $\Delta DEF$ માં:
$AB = DE$ (આપેલ છે)
$BC = EF$ (આપેલ છે)
$AC = DF$ (પગલું $4$ માં સાબિત કર્યું)
તેથી,$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta DEF$.

(N/A) આપેલ છે કે $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$.
સાબિત કરવાનું છે કે $\angle A = \angle B$.
$AB$ ને $E$ સુધી લંબાવો અને $CE \parallel AD$ દોરો.
$\therefore AB \parallel DC \Rightarrow AE \parallel DC$ [આપેલ છે].
વળી,$AD \parallel CE$ [રચના].
$\therefore AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Rightarrow AD = CE$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AECD$ ની સામસામેની બાજુઓ].
પરંતુ $AD = BC$ [આપેલ છે].
$\therefore BC = CE$.
હવે,$\Delta BCE$ માં,આપણી પાસે $BC = CE$ છે.
$\Rightarrow \angle CBE = \angle CEB$ ......... $(1)$ [$\because$ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે].
વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ [રેખિક જોડના ખૂણા] ......... $(2)$.
અને $\angle A + \angle CEB = 180^{\circ}$ [$\because$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે] ......... $(3)$.
$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે $\angle ABC + \angle CBE = \angle A + \angle CEB$.
પરંતુ $\angle CBE = \angle CEB$ [$(1)$ નો ઉપયોગ કરતા].
$\therefore \angle ABC = \angle A$,અથવા $\angle B = \angle A$.

(N/A) સાબિત કરવું છે કે $\angle C = \angle D$.
રચના: $AB$ ને $E$ સુધી લંબાવો અને $C$ માંથી $AD$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $AB$ ને $E$ માં છેદે.
$AD \parallel CE$ અને $AE \parallel DC$ હોવાથી,$AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$AD = CE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ).
આપેલ છે કે $AD = BC$,તેથી $BC = CE$ થાય.
$\triangle BCE$ માં,$BC = CE$ હોવાથી,તેમની સામેના ખૂણા સમાન હોય,તેથી $\angle CBE = \angle CEB$.
વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
$AECD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle A = \angle ADC$ અને $\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણો).
વળી,$\angle CEB = \angle A$ (અનુકોણ,કારણ કે $AD \parallel CE$).
$\angle D + \angle A = 180^{\circ}$ અને $\angle C + \angle B = 180^{\circ}$ હોવાથી,અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ તથા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle C = \angle D$.

(N/A) $\Delta ABC \cong \Delta BAD$ સાબિત કરવા માટે:
રચના: $AB$ ને લંબાવો અને $C$ માંથી $DA$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે લંબાવેલ $AB$ ને $E$ માં છેદે.
$1$. $AD \parallel CE$ અને $AE \parallel DC$ હોવાથી,$AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. તેથી,$AD = CE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ).
$3$. આપેલ છે કે $AD = BC$,તેથી $BC = CE$. આમ,$\Delta BCE$ માં $\angle CEB = \angle CBE$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા).
$4$. વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા) અને $\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}$ (ક્રમિક અંતઃકોણ).
$5$. $AD \parallel CE$ હોવાથી,$\angle ADC + \angle DCE = 180^{\circ}$.
$6$. આની સરખામણી કરતા,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle ABC = \angle BAD$.
$7$. $\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
- $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)
- $BC = AD$ (આપેલ છે)
- $\angle ABC = \angle BAD$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$8$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.

(A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ અને $AD = BC$ છે.
રચના: $AB$ ને લંબાવો અને $C$ માંથી $DA$ ને સમાંતર એક રેખા દોરો જે લંબાવેલ $AB$ ને $E$ માં છેદે.
સાબિતી:
$1$. $AD \parallel CE$ (રચના મુજબ) અને $AE \parallel DC$ (આપેલ $AB \parallel DC$) હોવાથી,$AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. તેથી,$AD = CE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ). $AD = BC$ (આપેલ) હોવાથી,આપણને $BC = CE$ મળે છે.
$3$. $\Delta BCE$ માં,$BC = CE$ હોવાથી,$\angle CBE = \angle CEB$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા).
$4$. વળી,$\angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$ (રૈખિક જોડના ખૂણા). $\angle CEB = \angle CBE$ હોવાથી,$\angle ABC + \angle CEB = 180^\circ$ થાય.
$5$. $\Delta ABC$ અને $\Delta BAD$ માં:
- $AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ)
- $AD = BC$ (આપેલ)
- $\angle DAB = \angle CBA$ (સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ).
$6$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \cong \Delta BAD$.
$7$. તેથી,$AC = BD$ ($CPCT$ મુજબ).

(N/A) કારણ કે $D$ અને $E$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC = AF$ થાય.
તે જ રીતે,$DF \parallel BC$ અને $EF \parallel AB$ થાય.
તેથી,$AFDE$,$BDFE$ અને $DFCE$ એ બધા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$DE$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDFE$ નો વિકર્ણ છે,જે તેને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\Delta BDE \cong \Delta FED$ થાય.
તે જ રીતે,$DF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ નો વિકર્ણ છે,તેથી $\Delta DAF \cong \Delta FED$ થાય.
વળી,$EF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $DFCE$ નો વિકર્ણ છે,તેથી $\Delta EFC \cong \Delta FED$ થાય.
આમ,ત્રણેય ત્રિકોણો $\Delta FED$ ને એકરૂપ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે ચારેય ત્રિકોણો ($\Delta BDE, \Delta DAF, \Delta EFC$ અને $\Delta FED$) એકબીજાને એકરૂપ છે.

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $AB = BC$ અને આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $DE = EF$.
ધારો કે આપણે $A$ ને $F$ સાથે જોડીએ છીએ જે $m$ ને $G$ માં છેદે છે.
ચતુષ્કોણ $ADFC$ બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે,જે $\Delta ACF$ અને $\Delta AFD$ છે.
$\Delta ACF$ માં,આપેલ છે કે $B$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે $(AB = BC)$ અને $BG \parallel CF$ (કારણ કે $m \parallel n$). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $AF$ નું મધ્યબિંદુ છે.
હવે,$\Delta AFD$ માં,આપણી પાસે $G$ એ $AF$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $GE \parallel AD$ (કારણ કે $m \parallel l$). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$E$ એ $DF$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$DE = EF$.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,$l, m$ અને $n$ રેખા $q$ પર પણ સમાન અંતઃખંડો કાપે છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે,$P$,$Q$,$R$,$S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$,$DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AC$ એક વિકર્ણ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
સાબિતી: $\Delta ACD$ માં,આપણી પાસે છે:
$S$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$R$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$\Delta ACD$ માં,રેખાખંડ $SR$ એ બાજુઓ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
આમ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $P, Q, R, S$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AC$ એક વિકર્ણ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQ = SR$.
સાબિતી:
$\triangle ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ ........ $(1)$
$\triangle ADC$ માં,$S$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ ........ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,કારણ કે $PQ$ અને $SR$ બંને $\frac{1}{2} AC$ ને સમાન છે,તેથી $PQ = SR$ મળે છે.

(N/A) $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તેમ સાબિત કરવા માટે.
$\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\therefore PQ = \frac{1}{2} AC$ અને $PQ \parallel AC$ .......... $(1)$
$\Delta ACD$ માં,$S$ અને $R$ એ $DA$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\therefore SR = \frac{1}{2} AC$ અને $SR \parallel AC$ .......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$PQ = \frac{1}{2} AC = SR$ અને $PQ \parallel AC \parallel SR$
$\Rightarrow PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$
એટલે કે,ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
$\therefore PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ ... $(1)$.
$2$. $\Delta ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ ... $(2)$.
$3$. $(1)$ અને $(2)$ પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$. સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$4$. સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને $90^{\circ}$ ના ખૂણે દુભાગે છે. ધારો કે $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. તેથી,$AC \perp BD$.
$5$. $PQ \parallel AC$ અને $QR \parallel BD$ હોવાથી,$PQ$ અને $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ થશે કારણ કે $AC$ અને $BD$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$6$. $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(N/A) લંબચોરસ $ABCD$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,$R$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $S$ એ $DA$ નું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $AC$ દોરો.
$\Delta ABC$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$PQ = \frac{1}{2} AC$ અને $PQ \parallel AC$ ......... $(1)$
$\Delta ACD$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$SR = \frac{1}{2} AC$ અને $SR \parallel AC$ ......... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $PQ = SR$ અને $PQ \parallel SR$ મળે છે.
તે જ રીતે,$BD$ ને જોડતા,આપણને $PS = QR$ અને $PS \parallel QR$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\Delta PAS$ અને $\Delta PBQ$ માં:
$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (લંબચોરસના ખૂણા)
$AP = BP$ ($P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$AS = BQ$ (લંબચોરસની સમાન સામસામેની બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના અડધા ભાગ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PAS \cong \Delta PBQ$.
તેથી,$PS = PQ$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ અંગો).
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી અને તેની પાસપાસેની બાજુઓ $PS = PQ$ સમાન હોવાથી,તેની બધી બાજુઓ સમાન થાય $(PQ = QR = RS = SP)$.
આમ,$PQRS$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB \parallel DC$ છે. $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $EF$ ને $AB$ ને સમાંતર દોરવામાં આવી છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BD$ ને જોડો.
$\Delta DAB$ માં:
કારણ કે $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે [આપેલ છે] અને $EG \parallel AB$ [કારણ કે $EF \parallel AB$],મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$G$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\Delta BDC$ માં:
કારણ કે $G$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે [સાબિત કર્યું] અને $GF \parallel DC$ [કારણ કે $AB \parallel DC$ અને $EF \parallel AB$,તેથી $GF \parallel DC$],મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AF$ અને $EC$ વિકર્ણ $BD$ નું ત્રિભાગ કરે છે,એટલે કે $DP = PQ = QB$.
સાબિતી:
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DC$ અને $AB = DC$ થાય.
$E$ અને $F$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$AE = \frac{1}{2}AB$ અને $FC = \frac{1}{2}DC$ થાય.
$AB = DC$ હોવાથી,$AE = FC$ મળે.
વળી,$AB \parallel DC$ હોવાથી $AE \parallel FC$ થાય.
આમ,$AECF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે (જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય).
તેથી,$AF \parallel EC$.
$\Delta DQC$ માં,$F$ એ $DC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $FP \parallel CQ$ ($AF \parallel EC$ હોવાથી). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$P$ એ $DQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $DP = PQ$ ... $(1)$.
$\Delta ABP$ માં,$E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $EQ \parallel AP$ ($AF \parallel EC$ હોવાથી). મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$Q$ એ $BP$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $PQ = QB$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$DP = PQ = QB$.
આમ,$AF$ અને $EC$ વિકર્ણ $BD$ નું ત્રિભાગ કરે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P$,$Q$,$R$ અને $S$ છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે સામસામેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો,એટલે કે $PR$ અને $SQ$,એકબીજાને $O$ બિંદુએ દુભાગે છે.
$PQ$,$QR$,$RS$ અને $SP$ ને જોડો. તેમજ $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
$\Delta ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$ થાય.
$\Delta ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$ થાય.
ઉપરના પરિણામો પરથી,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો $PR$ અને $SQ$ એકબીજાને $O$ બિંદુએ દુભાગે છે.
આમ,ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો એકબીજાને દુભાગે છે.

(N/A) આપણને ત્રિકોણ $ABC$ આપેલ છે જેમાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે. $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $MD \parallel BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે કે $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\Delta ACB$ માં,આપણી પાસે છે:
$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. [આપેલ છે]
$MD \parallel BC$. [આપેલ છે]
તેથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરતા,$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) આપણી પાસે ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે. $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $MD \parallel BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $MD \perp AC$.
અહીં $MD \parallel BC$ અને $AC$ એ છેદિકા છે,
$\therefore \angle MDA = \angle BCA$ [અનુકોણ].
પરંતુ $\angle BCA = 90^{\circ}$ [આપેલ છે].
$\therefore \angle MDA = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow MD \perp AC$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $MD \parallel BC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $CM = MA = \frac{1}{2} AB$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABC$ માં,$MD \parallel BC$ અને $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન મુજબ,$D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AD = CD$.
$2$. હવે,$\Delta ADM$ અને $\Delta CDM$ લો:
- $AD = CD$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
- $\angle ADM = \angle CDM = 90^{\circ}$ (કારણ કે $MD \parallel BC$ અને $\angle ACB = 90^{\circ}$,તેથી અનુકોણની જોડ સમાન થાય)
- $DM = DM$ (સામાન્ય બાજુ)
$3$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ADM \cong \Delta CDM$.
$4$. $c.p.c.t.$ મુજબ,$MA = MC$.
$5$. $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$MA = \frac{1}{2} AB$.
$6$. તેથી,$CM = MA = \frac{1}{2} AB$.