Textbook - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Hindi

(N/A) आकृतियाँ $(i), (iii)$ और $(v)$ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।

आकृति	उभयनिष्ठ आधार और दो समांतर रेखाएँ
आकृति $(i)$	उभयनिष्ठ आधार: $DC$,समांतर रेखाएँ: $DC$ और $AB$
आकृति $(iii)$	उभयनिष्ठ आधार: $QR$,समांतर रेखाएँ: $QR$ और $PS$
आकृति $(v)$	उभयनिष्ठ आधार: $AD$,समांतर रेखाएँ: $AD$ और $BQ$

(N/A) $(i)$ चूँकि एक आयत भी एक समांतर चतुर्भुज होता है,और $ABCD$ तथा $EFCD$ दोनों एक ही आधार $DC$ पर और दो समांतर रेखाओं $DC$ तथा $EF$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$ होगा।
$(ii)$ उपरोक्त परिणाम से,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$।
चूँकि $EFCD$ एक आयत है,इसका क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = DC \times FC$ होता है।
अतः,$\text{ar}(ABCD) = DC \times FC$ $(1)$।
चूँकि $AL \perp DC$ और $EF \parallel DC$ है,$AL$ समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है। आयत $AFCL$ में (या समांतर रेखाओं को ध्यान में रखते हुए),हमें $AL = FC$ प्राप्त होता है $(2)$।
$(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$ प्राप्त होता है।

(N/A) मान लीजिए कि $\Delta ABP$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
आपको सिद्ध करना है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ है।
$BQ \parallel AP$ खींचिए जिससे एक अन्य समांतर चतुर्भुज $ABQP$ प्राप्त हो। अब,समांतर चतुर्भुज $ABQP$ और $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $PC$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
परंतु $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (विकर्ण $PB$ समांतर चतुर्भुज $ABQP$ को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)।
इसलिए,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
अतः,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ से] $(3)$.
इससे प्राप्त होता है कि $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ और $(3)$ से] है।

(D) हमें दिया गया है कि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें $AE \perp DC$ और $CF \perp AD$ है।
दिया है $AB = 16 \, cm, AE = 8 \, cm$ और $CF = 10 \, cm$।
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,अतः $CD = AB = 16 \, cm$।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= CD \times AE = 16 \, cm \times 8 \, cm = 128 \, cm^2$।
साथ ही,उसी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार $AD$ और ऊँचाई $CF$ का उपयोग करके भी निकाला जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AD \times CF$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $128 = AD \times 10$।
अतः,$AD = \frac{128}{10} = 12.8 \, cm$।

(N/A) मान लीजिए हम $E$ और $G$ को मिलाते हैं।
यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
चूँकि $E$ और $G$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $EG$ रेखा $BC$ और $AD$ के समांतर है।
साथ ही,$\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) = \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD) \dots (1)$
अब,$\Delta EFG$ और समांतर चतुर्भुज $EBCG$ एक ही आधार $EG$ पर और समांतर रेखाओं $EG$ और $BC$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta EFG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) \dots (2)$
इसी प्रकार,$\text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD) \dots (3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar}(\Delta EFG) + \text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) + \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD)]$
$\Rightarrow \text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD)]$
अतः,$\text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel CD$ और $BC \parallel AD$ है।
अब,$\Delta APB$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta APB) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD) \quad \dots(1)$
साथ ही,$\Delta BQC$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $BC$ और $AD$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta BQC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD) \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar}(\Delta APB) = \text{ar}(\Delta BQC)$

(N/A) $(i)$ हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है,अर्थात $AB \parallel CD$ और $BC \parallel AD$ है।
मान लीजिए $P$ से होकर जाने वाली $AB$ के समांतर एक रेखा $EF$ खींचते हैं,जहाँ $E$,$AD$ पर और $F$,$BC$ पर स्थित है।
चूँकि $AB \parallel EF$,$\Delta APB$ और समांतर चतुर्भुज $AEFB$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $EF$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(AEFB)$ ...... $(1)$
साथ ही,$\Delta PCD$ और समांतर चतुर्भुज $CDEF$ एक ही आधार $CD$ पर और समांतर रेखाओं $CD$ और $EF$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(CDEF)$ ...... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(AEFB) + \operatorname{ar}(CDEF)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ मान लीजिए $P$ से होकर जाने वाली $AD$ के समांतर एक रेखा $GH$ खींचते हैं,जहाँ $G$,$CD$ पर और $H$,$AB$ पर स्थित है।
$\Delta APD$ और समांतर चतुर्भुज $ADGH$ एक ही आधार $AD$ पर और समांतर रेखाओं $AD$ और $GH$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADGH)$ ...... $(3)$
इसी प्रकार,$\Delta PBC$ और समांतर चतुर्भुज $BCGH$ एक ही आधार $BC$ पर और समांतर रेखाओं $BC$ और $GH$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCGH)$ ...... $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ADGH) + \operatorname{ar}(BCGH)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(5)$
$(i)$ से,हम जानते हैं कि $\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(6)$
$(5)$ और $(6)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD)$

(N/A) हमारे पास दो समांतर चतुर्भुज $PQRS$ और $ABRS$ हैं और $BR$ पर एक बिंदु $X$ है।
$(i)$ सिद्ध करना है कि $ar(PQRS) = ar(ABRS)$:
चूंकि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ और समांतर चतुर्भुज $ABRS$ एक ही आधार $RS$ पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं $RS$ और $PB$ के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं।
अतः,$ar(PQRS) = ar(ABRS)$।
$(ii)$ सिद्ध करना है कि $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$:
चूंकि $\Delta AXS$ और समांतर चतुर्भुज $ABRS$ एक ही आधार $AS$ पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं $AS$ और $BR$ के बीच स्थित हैं,इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
अतः,$ar(AXS) = 1/2 \, ar(ABRS)$।
चूंकि $ar(PQRS) = ar(ABRS)$ (भाग $i$ से),
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$।

(N/A) किसान के पास समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के आकार का खेत है और $RS$ पर एक बिंदु $A$ स्थित है।
आइए $AP$ और $AQ$ को मिलाते हैं।
स्पष्ट रूप से,खेत तीन भागों में विभाजित है,अर्थात $\Delta APS$,$\Delta PAQ$ और $\Delta QAR$। ये भाग त्रिभुजाकार हैं।
चूंकि $\Delta PAQ$ और समांतर चतुर्भुज $PQRS$ एक ही आधार $PQ$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $PQ$ और $RS$ के बीच स्थित हैं:
$\therefore \text{ar}(\Delta PAQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } PQRS) \dots(1)$
$\Rightarrow \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } PQRS) - \text{ar}(\Delta PAQ) = \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } PQRS) - \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } PQRS)$
$\Rightarrow [\text{ar}(\Delta APS) + \text{ar}(\Delta QAR)] = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } PQRS) \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास है:
$\text{ar}(\Delta PAQ) = \text{ar}(\Delta APS) + \text{ar}(\Delta QAR)$
इस प्रकार,किसान $\Delta PAQ$ में गेहूं और $\Delta APS$ तथा $\Delta QAR$ के संयुक्त क्षेत्रफल में दालें बो सकती है,या इसके विपरीत।

(N/A) मान लीजिए $\Delta ABC$ एक त्रिभुज है और $AD$ इसकी एक माध्यिका है,जहाँ $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(ABD) = \operatorname{ar}(ACD)$ है।
चूँकि त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र में शीर्षलंब (altitude) का उपयोग होता है,इसलिए हम $AN \perp BC$ खींचते हैं।
अब,$\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब} = \frac{1}{2} \times BD \times AN$ है।
चूँकि $AD$ एक माध्यिका है,इसलिए $BD = CD$ है।
$\operatorname{ar}(ABD)$ के व्यंजक में $BD = CD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \times CD \times AN$ है।
चूँकि $\frac{1}{2} \times CD \times AN$,$\Delta ACD$ के क्षेत्रफल का सूत्र है,इसलिए:
$\operatorname{ar}(ABD) = \operatorname{ar}(ACD)$ है।
अतः,एक त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

(N/A) आकृति का ध्यानपूर्वक अवलोकन करें।
$\Delta BAC$ और $\Delta EAC$ एक ही आधार $AC$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $AC$ और $BE$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$ar(\Delta BAC) = ar(\Delta EAC)$ (एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है)।
अब,समीकरण के दोनों पक्षों में $ar(\Delta ADC)$ जोड़ने पर:
$ar(\Delta BAC) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta EAC) + ar(\Delta ADC)$
आकृति से,$ar(\Delta BAC) + ar(\Delta ADC) = ar(ABCD)$ और $ar(\Delta EAC) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta ADE)$ है।
अतः,$ar(ABCD) = ar(\Delta ADE)$।

(N/A) हमारे पास एक $\Delta ABC$ है जिसमें $AD$ एक माध्यिका है।
चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए,
$\text{ar} (\Delta ABD) = \text{ar} (\Delta ADC) \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,$\Delta EBC$ में,$ED$ एक माध्यिका है।
अतः,$\text{ar} (\Delta EBD) = \text{ar} (\Delta ECD) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar} (\Delta ABD) - \text{ar} (\Delta EBD) = \text{ar} (\Delta ADC) - \text{ar} (\Delta ECD)$
$\Rightarrow \text{ar} (\Delta ABE) = \text{ar} (\Delta ACE)$.

(N/A) हमारे पास एक $\Delta ABC$ और उसकी माध्यिका $AD$ है।
चूँकि,एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) \quad \dots(1)$
अब,$\Delta ABD$ में,$BE$ एक माध्यिका है क्योंकि $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है।
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta BED) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABD) \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta BED) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) \right]$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta BED) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$

(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AO = OC$ और $BO = OD$ है।
$CE \perp BD$ खींचिए।
अब,$\text{ar}(\Delta BOC) = \frac{1}{2} \times BO \times CE$ और $\text{ar}(\Delta DOC) = \frac{1}{2} \times OD \times CE$.
चूंकि $BO = OD$ है,इसलिए $\text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta DOC) \quad ... (1)$.
इसी प्रकार,$A$ से $BD$ पर लंब खींचकर,हम दिखा सकते हैं कि $\text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta AOB) \quad ... (2)$.
साथ ही,एक ही आधार $BD$ पर और समांतर रेखाओं $AD \parallel BC$ के बीच स्थित $\Delta ABD$ और $\Delta CBD$ को देखते हुए,हम जानते हैं कि $\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta CBD)$.
चूंकि $\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD)$ और $\text{ar}(\Delta CBD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$,इसलिए $\text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$.
प्राप्त संबंधों का उपयोग करते हुए,चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान है: $\text{ar}(\Delta AOB) = \text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta COD) = \text{ar}(\Delta DOA)$.
अतः,एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

(N/A) हमारे पास $\Delta ABC$ और $\Delta ABD$ एक ही आधार $AB$ पर स्थित हैं।
चूंकि $CD$,$O$ पर समद्विभाजित होता है,इसलिए $CO = DO$ है।
$\Delta ACD$ में,$AO$ एक माध्यिका है क्योंकि यह भुजा $CD$ को दो बराबर भागों में विभाजित करती है $(CO = DO)$।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta AOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD)$ (क्योंकि त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है) $(1)$।
इसी प्रकार,$\Delta BCD$ में,$BO$ एक माध्यिका है।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta BOD)$ $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta AOC) + \operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta BOD)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABD)$।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $D, E$ और $F$ हैं।
सिद्ध करना है कि $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\triangle ABC$ में,$E$ और $F$ क्रमशः $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$EF || BC$ और $EF = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$EF || BD$ और $EF = BD$ प्राप्त होता है।
जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($EF$ और $BD$) समांतर और लंबाई में समान हो,वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। अतः $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: $D, E, F$ क्रमशः $\Delta ABC$ में भुजाओं $BC, CA, AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि $D$ और $F$ क्रमशः $BC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DF \parallel AC$ और $DF = \frac{1}{2} AC = AE$ है। अतः,$AFDE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. इसी प्रकार,$BDEF$ और $CDFE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
$3$. समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DF$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$5$. समांतर चतुर्भुज $CDFE$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\Delta CDE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$6$. इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta AFE) + \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta CDE) + \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$7$. समान क्षेत्रफलों को प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = 4 \operatorname{ar}(\Delta DEF)$।
$8$. अतः,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।

(N/A) दिया गया है कि $D, E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$FE \parallel BC$ और $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ है।
चूँकि $FE \parallel BD$ और $FE = BD$ है,इसलिए $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार,$AFDE$ और $FDCE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,विकर्ण $DE$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ है।
इसी प्रकार,समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ और समांतर चतुर्भुज $FDCE$ में,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ है।
अब,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।

(A) हमारे पास एक चतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें दिया गया है कि $OB = OD$ और $AB = CD$ है।
मान लीजिए हम $DE \perp AC$ और $BF \perp AC$ खींचते हैं।
$(i)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$:
$\Delta DEO$ और $\Delta BFO$ में:
$DO = BO$ (दिया है)
$\angle DOE = \angle BOF$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$\angle DEO = \angle BFO = 90^\circ$ (रचना से)
अतः,$\Delta DEO \cong \Delta BFO$ ($AAS$ सर्वांगसमता नियम)।
इससे $DE = BF$ और $ar(\Delta DEO) = ar(\Delta BFO)$ प्राप्त होता है $(1)$।
अब,$\Delta DEC$ और $\Delta BFA$ में:
$\angle DEC = \angle BFA = 90^\circ$
$DE = BF$ (ऊपर से)
$DC = BA$ (दिया है)
अतः,$\Delta DEC \cong \Delta BFA$ ($RHS$ सर्वांगसमता नियम)।
इससे $ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFA)$ प्राप्त होता है $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$ar(\Delta DEO) + ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFO) + ar(\Delta BFA)$
$ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$।
$(ii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $ar(DCB) = ar(ACB)$:
चूंकि $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$,
दोनों पक्षों में $ar(\Delta BOC)$ जोड़ने पर:
$ar(\Delta DOC) + ar(\Delta BOC) = ar(\Delta AOB) + ar(\Delta BOC)$
$ar(\Delta DCB) = ar(\Delta ACB)$।
$(iii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $DA \parallel CB$:
चूंकि $\Delta DCB$ और $\Delta ACB$ एक ही आधार $CB$ पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल समान हैं,इसलिए वे समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित होने चाहिए।
अतः,$DA \parallel CB$। चूंकि $DA \parallel CB$ और $AB = CD$ है,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$D$ और $E$ भुजाओं $AB$ और $AC$ पर स्थित बिंदु हैं,जहाँ $\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$ है।
सिद्ध करना है: $DE \parallel BC$ है।
उपपत्ति:
हमें दिया गया है कि $\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$ है।
दोनों त्रिभुज $\Delta DBC$ और $\Delta EBC$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित हैं।
हम जानते हैं कि यदि दो त्रिभुजों का आधार समान हो और उनके क्षेत्रफल बराबर हों,तो वे समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
अतः,रेखाखंड $DE$ आधार $BC$ के समान्तर होना चाहिए।
इस प्रकार,$DE \parallel BC$ है।

(N/A) हमारे पास एक $\Delta ABC$ है जिसमें $XY || BC$,$BE || AC$ और $CF || AB$ है।
चूँकि $XY || BC$ और $BE || AC$ है (जहाँ $BE || AC$ और $E$,$XY$ पर स्थित है),इसलिए $BCYE$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,समांतर चतुर्भुज $BCYE$ और $\Delta ABE$ एक ही आधार $BE$ पर और समांतर रेखाओं $BE$ और $AC$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCYE) \quad -(1)$
पुनः,चूँकि $CF || AB$ और $XY || BC$ है,इसलिए $BCFX$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,$\Delta ACF$ और समांतर चतुर्भुज $BCFX$ एक ही आधार $CF$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $CF$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ACF) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCFX) \quad -(2)$
साथ ही,समांतर चतुर्भुज $BCFX$ और समांतर चतुर्भुज $BCYE$ एक ही आधार $BC$ पर और समांतर रेखाओं $BC$ और $EF$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\operatorname{ar}(BCFX) = \operatorname{ar}(BCYE) \quad -(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta ABE) = \operatorname{ar}(\Delta ACF)$.

(A) हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। $AB$ को $P$ तक बढ़ाया गया है।
$CB$ को $Q$ तक बढ़ाया गया है और समांतर चतुर्भुज $PBQR$ पूरा किया गया है।
आइए $AC$ और $PQ$ को मिलाएँ।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AC$ इसका विकर्ण है,
$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) \quad \dots(1)$
चूँकि $PBQR$ एक समांतर चतुर्भुज है और $PQ$ इसका विकर्ण है,
$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR) \quad \dots(2)$
चूँकि $\Delta ACQ$ और $\Delta APQ$ एक ही आधार $AQ$ पर और समांतर रेखाओं $AQ$ और $CP$ के बीच स्थित हैं,
$\text{ar}(\Delta ACQ) = \text{ar}(\Delta APQ)$
दोनों पक्षों से $\text{ar}(\Delta ABQ)$ घटाने पर:
$\text{ar}(\Delta ACQ) - \text{ar}(\Delta ABQ) = \text{ar}(\Delta APQ) - \text{ar}(\Delta ABQ)$
$\text{ar}(\Delta ABC) = \text{ar}(\Delta PBQ) \quad \dots(3)$
$(1), (2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR)$
अतः,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(PBQR)$।

(N/A) हमें एक समलंब $ABCD$ दिया गया है जिसमें $AB || DC$ है। इसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि,एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है:
$\because \Delta ABD$ और $\Delta ABC$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं,
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(\Delta AOB)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta ABD) - \operatorname{ar}(\Delta AOB) = \operatorname{ar}(\Delta ABC) - \operatorname{ar}(\Delta AOB)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$।

(N/A) हमारे पास एक पंचभुज $ABCDE$ है जिसमें $BF \parallel AC$ है और $DC$ को $F$ तक बढ़ाया गया है।
$(i)$ सिद्ध करना है कि $ar(\Delta ACB) = ar(\Delta ACF)$:
चूँकि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
$\because \Delta ACB$ और $\Delta ACF$ एक ही आधार $AC$ पर स्थित हैं और $AC$ तथा $BF$ समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
$\therefore ar(\Delta ACB) = ar(\Delta ACF)$।
$(ii)$ चूँकि $ar(\Delta ACB) = ar(\Delta ACF)$:
दोनों पक्षों में $ar(AEDC)$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ar(\Delta ACB) + ar(AEDC) = ar(\Delta ACF) + ar(AEDC)$
$\Rightarrow ar(ABCDE) = ar(AEDF)$।

(N/A) मान लीजिए चतुर्भुज भूखंड $ABCD$ है। मान लीजिए $E$ वह बिंदु है जहाँ विकर्ण $AC$ लिए जाने वाले हिस्से की सीमा को काटता है। इस प्रस्ताव को लागू करने के लिए,हम $D$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं,जो बढ़ाई गई भुजा $BC$ को बिंदु $F$ पर मिलती है।
अब,$\Delta DAF$ और $\Delta DCF$ पर विचार करें। ये त्रिभुज एक ही आधार $DF$ पर और समानांतर रेखाओं $AC$ और $DF$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta DAF) = \text{ar}(\Delta DCF)$.
दोनों पक्षों से $\text{ar}(\Delta DEF)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar}(\Delta DAF) - \text{ar}(\Delta DEF) = \text{ar}(\Delta DCF) - \text{ar}(\Delta DEF)$
$\Rightarrow \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\Delta CEF)$.
इसका अर्थ है कि त्रिभुजाकार भाग $\Delta ADE$ (जो पंचायत लेती है) का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार भाग $\Delta CEF$ (जो इतवारी को दिया जाता है) के क्षेत्रफल के बराबर है। भूखंड के शेष भाग में $\Delta CEF$ जोड़कर,इतवारी को एक नया त्रिभुजाकार भूखंड $\Delta ABF$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल की जाँच करने के लिए: $\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta CEF)$.
चूँकि $\text{ar}(\Delta CEF) = \text{ar}(\Delta ADE)$,इसलिए:
$\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\text{चतुर्भुज } ABCD)$.
इस प्रकार,कुल क्षेत्रफल समान रहता है।

(N/A) हमारे पास एक समलंब चतुर्भुज $ABCD$ है जिसमें $AB || DC$ है।
$XY || AC$,$AB$ को $X$ पर और $BC$ को $Y$ पर मिलता है।
आइए $CX$ को मिलाते हैं।
$\because AB || DC$ [दिया है]
$\therefore \Delta ADX$ और $\Delta ACX$ एक ही आधार $AX$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ADX) = \operatorname{ar}(\Delta ACX) \quad \dots(1)$
$\because AC || XY$
$\therefore \Delta ACX$ और $\Delta ACY$ एक ही आधार $AC$ पर और समांतर रेखाओं $AC$ और $XY$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ACX) = \operatorname{ar}(\Delta ACY) \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(\Delta ADX) = \operatorname{ar}(\Delta ACY)$

(N/A) दिया है: $AP || BQ || CR$.
चरण $1$: चूँकि $BQ || CR$,$\Delta BCQ$ और $\Delta BQR$ एक ही आधार $BQ$ पर और समांतर रेखाओं $BQ$ और $CR$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta BCQ) = \operatorname{ar}(\Delta BQR)$ --- $(1)$
चरण $2$: चूँकि $AP || BQ$,$\Delta ABQ$ और $\Delta PBQ$ एक ही आधार $BQ$ पर और समांतर रेखाओं $AP$ और $BQ$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \operatorname{ar}(\Delta PBQ)$ --- $(2)$
चरण $3$: समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta BCQ) + \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \operatorname{ar}(\Delta BQR) + \operatorname{ar}(\Delta PBQ)$
आकृति से,$\operatorname{ar}(\Delta BCQ) + \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \operatorname{ar}(\Delta AQC)$ और $\operatorname{ar}(\Delta BQR) + \operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PBR)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta AQC) = \operatorname{ar}(\Delta PBR)$.
इति सिद्धम्।

(N/A) हमें एक चतुर्भुज $ABCD$ दिया गया है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जहाँ $\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ है।
अब,$\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ [दिया है]।
दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(\Delta AOB)$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta AOB) = \operatorname{ar}(\Delta BOC) + \operatorname{ar}(\Delta AOB)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta ABC)$।
चूँकि ये दोनों त्रिभुज $\Delta ABD$ और $\Delta ABC$ एक ही आधार $AB$ पर स्थित हैं और इनके क्षेत्रफल बराबर हैं,इसलिए ये समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित होने चाहिए।
अतः,$AB \parallel DC$ है।
चूँकि चतुर्भुज $ABCD$ में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है,इसलिए $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है।

(N/A) हमें दिया गया है कि $ar(\Delta DRC) = ar(\Delta DPC)$.
चूंकि वे एक ही आधार $DC$ पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं,इसलिए उन्हें एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होना चाहिए।
$\Rightarrow DC \parallel RP$.
चूंकि चतुर्भुज $DCPR$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है,इसलिए $DCPR$ एक समलंब चतुर्भुज है।
पुनः,हमारे पास है $ar(\Delta BDP) = ar(\Delta ARC)$ $(1)$.
साथ ही,$ar(\Delta DPC) = ar(\Delta DRC)$ $(2)$.
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[ar(\Delta BDP) - ar(\Delta DPC)] = [ar(\Delta ARC) - ar(\Delta DRC)]$
$\Rightarrow ar(\Delta BDC) = ar(\Delta ADC)$.
चूंकि वे एक ही आधार $DC$ पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं,इसलिए उन्हें एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होना चाहिए।
$\Rightarrow AB \parallel DC$.
चूंकि चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है,इसलिए $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है।

(N/A) दिया है: समांतर चतुर्भुज $ABCD$ और आयत $ABEF$ एक ही आधार $AB$ पर स्थित हैं और $ar(ABCD) = ar(ABEF)$ है।
$1$. चूंकि वे एक ही आधार $AB$ पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं,इसलिए उनकी ऊँचाइयाँ समान होनी चाहिए। मान लीजिए ऊँचाई $h = AF = BE$ है।
$2$. आयत में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = EF$ है। समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,इसलिए $AB = CD$ है। अतः,$CD = EF$ है।
$3$. आयत $ABEF$ का परिमाप $= 2(AB + AF)$ है।
$4$. समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप $= 2(AB + BC)$ है।
$5$. समकोण त्रिभुज $\triangle BEC$ में,$BC$ कर्ण है और $BE$ एक भुजा है। इसलिए,$BC > BE$ है।
$6$. असमिका $BC > BE$ के दोनों पक्षों में $AB$ जोड़ने पर,हमें $AB + BC > AB + BE$ प्राप्त होता है।
$7$. $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(AB + BC) > 2(AB + BE)$ प्राप्त होता है।
$8$. चूंकि $AB = EF$ है,इसलिए आयत का परिमाप $2(AB + BE) = AB + EF + BE + AF$ है।
$9$. अतः,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप आयत $ABEF$ के परिमाप से अधिक है।

(N/A) मान लीजिए कि हम $AF$ को $BC$ पर लंब खींचते हैं ताकि $AF$,$\Delta ABD$,$\Delta ADE$ और $\Delta AEC$ की ऊँचाई हो।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
इसलिए,$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AF$.
इसी प्रकार,$ar(ADE) = \frac{1}{2} \times DE \times AF$.
और $ar(AEC) = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
चूँकि यह दिया गया है कि $BD = DE = EC$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$\frac{1}{2} \times BD \times AF = \frac{1}{2} \times DE \times AF = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
इसका अर्थ है कि $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
हाँ,चूँकि सभी त्रिभुजों के शीर्षलंब (ऊँचाई) समान हैं और उनके आधार भी बराबर हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं। अतः,बुधिया इस परिणाम का उपयोग करके अपनी भूमि को तीन बराबर भागों में विभाजित कर सकती है।

(N/A) दिया है: $ABCD$,$DCFE$ और $ABFE$ समांतर चतुर्भुज हैं।
$1$. चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर और बराबर होती हैं। इसलिए,$AD = BC$ और $AD \parallel BC$। साथ ही,$AB \parallel DC$....$(1)$
$2$. चूँकि $DCFE$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर और बराबर होती हैं। इसलिए,$DC \parallel EF$....$(2)$
$3$. $(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास $AB \parallel DC$ और $DC \parallel EF$ है,जिसका अर्थ है कि $AB \parallel EF$।
$4$. अब,$\Delta ADE$ और $\Delta BCF$ पर विचार करें।
- $AD = BC$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ)।
- $DE = CF$ (समांतर चतुर्भुज $DCFE$ की सम्मुख भुजाएँ)।
- $AE = BF$ (समांतर चतुर्भुज $ABFE$ की सम्मुख भुजाएँ)।
- अतः,$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा $\Delta ADE \cong \Delta BCF$ है।
$5$. चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,उनके क्षेत्रफल बराबर होने चाहिए।
- इसलिए,$\operatorname{ar}(ADE) = \operatorname{ar}(BCF)$।

(N/A) हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है और $AD = CQ$ है।
आइए $AC$ को मिलाते हैं। हम जानते हैं कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
$\Delta ADQ$ और $\Delta ACQ$ के लिए,चूँकि $AD \parallel QC$,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta ADQ) = \operatorname{ar}(\Delta ACQ)$ होगा।
दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(\Delta APD)$ घटाने पर:
$\operatorname{ar}(\Delta ADQ) - \operatorname{ar}(\Delta APD) = \operatorname{ar}(\Delta ACQ) - \operatorname{ar}(\Delta APD)$
$\operatorname{ar}(\Delta DPQ) = \operatorname{ar}(\Delta APC)$
साथ ही,$\Delta APC$ और $\Delta BPC$ एक ही आधार $PC$ और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta APC) = \operatorname{ar}(\Delta BPC)$।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta DPQ) = \operatorname{ar}(\Delta BPC)$ सिद्ध होता है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा $2x$ है। तब $BC = 2x$ है। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$BD = DC = x$ है। चूँकि $BDE$ एक समबाहु त्रिभुज है,$BD = DE = BE = x$ है।
$(i)$ $\operatorname{ar}(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x)^2 = \sqrt{3}x^2$। $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$। अतः,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$।
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$। $\triangle BAE$ का आधार $BE=x$ है और ऊँचाई $\triangle ABC$ के शीर्षलंब के बराबर है,जो $\sqrt{3}x$ है। $\operatorname{ar}(BAE) = \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 = 2 \operatorname{ar}(BDE)$। अतः,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$।
$(iii)$ चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$\triangle BEC$ और $\triangle ABC$ का शीर्षलंब समान है। अतः,$\operatorname{ar}(BEC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABC)$,जिसका अर्थ है $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$।
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(ABE) - \operatorname{ar}(ABF)$। समान आधार और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके,यह दिखाया जा सकता है कि $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$।
$(v)$ चूँकि $F$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है,$\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$।
$(vi)$ कुल क्षेत्रफल के सापेक्ष गणना करने पर,$\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$ प्राप्त होता है।

(N/A) हमारे पास एक चतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि हम $AM \perp BD$ और $CN \perp BD$ खींचते हैं।
$ar(\Delta APB) = \frac{1}{2} \times BP \times AM$
$ar(\Delta CPD) = \frac{1}{2} \times DP \times CN$
$ar(\Delta APB) \times ar(\Delta CPD) = (\frac{1}{2} \times BP \times AM) \times (\frac{1}{2} \times DP \times CN)$
$= \frac{1}{4} \times BP \times DP \times AM \times CN$ ... $(1)$
इसी प्रकार,
$ar(\Delta APD) = \frac{1}{2} \times DP \times AM$
$ar(\Delta BPC) = \frac{1}{2} \times BP \times CN$
$ar(\Delta APD) \times ar(\Delta BPC) = (\frac{1}{2} \times DP \times AM) \times (\frac{1}{2} \times BP \times CN)$
$= \frac{1}{4} \times BP \times DP \times AM \times CN$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$ar(\Delta APB) \times ar(\Delta CPD) = ar(\Delta APD) \times ar(\Delta BPC)$

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABQ$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए $PQ$,$\Delta ABQ$ की माध्यिका है।
अतः,$\operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$2$. $\Delta APQ$ में,$R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$QR$,$\Delta APQ$ की माध्यिका है।
अतः,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$3$. चूँकि $AQ$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $\operatorname{ar} (ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
इसका मान रखने पर,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$.
$4$. अब,$\Delta ARC$ पर विचार करें। चूँकि $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CR$,$\Delta APC$ की माध्यिका है।
अतः,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APC)$.
$5$. चूँकि $CP$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $\operatorname{ar} (APC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
अतः,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
$6$. परिणामों की तुलना करने पर: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$ और $\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
स्पष्ट है कि,$\frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC))$.
अतः,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$।

(N/A) दिया है: $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है।
$1$. चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$CP$,$\Delta ABC$ की एक माध्यिका है। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta PBC$ में,$PQ$ एक माध्यिका है (चूँकि $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APQ$ में,$RQ$ एक माध्यिका है (चूँकि $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$4$. इस प्रकार,$\operatorname{ar}(\Delta RQC) = \operatorname{ar}(\Delta RQP) + \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1+2}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.

(N/A) दिया है: $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है।
$1$. $\Delta ABC$ में,$AQ$ एक माध्यिका है (चूंकि $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$2$. $\Delta ABQ$ में,$PQ$ एक माध्यिका है (चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$3$. $\Delta APC$ में,$CR$ एक माध्यिका है। अतः,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta APC)$।
$4$. चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\text{ar}(\Delta APC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$।
$5$. इसलिए,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।
अतः,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$।

(N/A) हमारे पास एक समकोण $\Delta ABC$ है जिसमें $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः इसकी भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$ इस प्रकार खींचा गया है कि यह $BC$ को $Y$ पर मिलता है।
सिद्ध करने के लिए कि $\Delta MBC \cong \Delta ABD$:
$\Delta ABD$ और $\Delta MBC$ में,हमारे पास है:
$AB = MB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ)
$BD = BC$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)
$\angle MBA = 90^\circ$ और $\angle CBD = 90^\circ$ (वर्ग के कोण)
अतः,$\angle MBA = \angle CBD = 90^\circ$।
दोनों पक्षों में $\angle ABC$ जोड़ने पर:
$\angle MBA + \angle ABC = \angle CBD + \angle ABC$
$\angle MBC = \angle ABD$
इस प्रकार,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta MBC \cong \Delta ABD$।

(N/A) सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(BYXD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$
$1$. $\Delta ABD$ और $\Delta MBC$ पर विचार करें। इन त्रिभुजों में,$AB = MB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ) और $BD = BC$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)। साथ ही,$\angle ABD = \angle ABC + 90^\circ$ और $\angle MBC = \angle ABC + 90^\circ$। अतः,$\angle ABD = \angle MBC$। $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta MBC$। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta MBC)$।
$2$. समांतर चतुर्भुज $BYXD$ और $\Delta ABD$ एक ही आधार $BD$ पर और समांतर रेखाओं $BD$ और $AX$ के बीच स्थित हैं। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$।
$3$. चरण $1$ के परिणाम को चरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$।
$4$. अतः,$\operatorname{ar}(BYXD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$।

(N/A) सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(BYXD) = \operatorname{ar}(ABMN)$.
$1$. $\Delta MBC$ और $\Delta ABD$ पर विचार करें। हमारे पास $MB = AB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ) और $BC = BD$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ) हैं। साथ ही,$\angle MBC = \angle MBA + \angle ABC = 90^\circ + \angle ABC$ और $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 90^\circ$। अतः,$\angle MBC = \angle ABD$।
$2$. $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\Delta MBC \cong \Delta ABD$। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \operatorname{ar}(\Delta ABD)$।
$3$. चूँकि $\Delta ABD$ और आयत $BYXD$ एक ही आधार $BD$ पर और समान्तर रेखाओं $AX$ और $BD$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(BYXD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta ABD)$।
$4$. चूँकि वर्ग $ABMN$ और $\Delta MBC$ एक ही आधार $MB$ पर और समान्तर रेखाओं $MB$ और $NC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(ABMN) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$।
$5$. चूँकि $\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta MBC)$,इसलिए $2 \operatorname{ar}(\Delta ABD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$।
$6$. अतः,$\operatorname{ar}(BYXD) = \operatorname{ar}(ABMN)$।

(N/A) सिद्ध करना है: $\Delta FCB \cong \Delta ACE$
$\Delta FCB$ और $\Delta ACE$ में:
$1$. $FC = AC$ (एक ही वर्ग $ACFG$ की भुजाएँ)
$2$. $CB = CE$ (एक ही वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)
$3$. $\angle FCA = \angle BCE = 90^\circ$ (वर्ग के कोण)
दोनों पक्षों में $\angle ACB$ जोड़ने पर:
$\angle FCA + \angle ACB = \angle BCE + \angle ACB$
$\angle FCB = \angle ACE$
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta FCB \cong \Delta ACE$

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(FCB)$:
$1$. $\triangle ACE$ और आयत $CYXE$ पर विचार करें। ये दोनों एक ही आधार $CE$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $AX$ और $CE$ के बीच स्थित हैं। अतः,$\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(\triangle ACE)$।
$2$. अब,$\triangle ACE$ और $\triangle FCB$ पर विचार करें:
- $AC = FC$ (वर्ग $ACFG$ की भुजाएँ)
- $CE = CB$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)
- $\angle ACE = \angle ACF + \angle FCE = 90^\circ + \angle FCE$
- $\angle FCB = \angle BCE + \angle FCE = 90^\circ + \angle FCE$
- इसलिए,$\angle ACE = \angle FCB$।
$3$. $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle ACE \cong \triangle FCB$। चूंकि सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle ACE) = \operatorname{ar}(\triangle FCB)$।
$4$. इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(\triangle FCB)$।

(A) $\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$ सिद्ध करने के लिए:
$1$. $\Delta ABD$ और $\Delta MBC$ पर विचार करें। हमारे पास $AB = MB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ),$BD = BC$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ),और $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 90^\circ = \angle ABC + \angle MBA = \angle MBC$ है।
$2$. $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta MBC$.
$3$. चूंकि $\Delta ABD$ और वर्ग $ABMN$ एक ही आधार $AB$ पर और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$.
$4$. इसी प्रकार,$\Delta MBC$ और आयत $BYXD$ एक ही आधार $BD$ पर और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$5$. चूंकि $\Delta ABD \cong \Delta MBC$,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। अतः,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$.
$6$. इसी तर्क द्वारा,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$.
$7$. अतः,$\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$.

(N/A) सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$।
$1$. $AD$ और $FC$ को मिलाइए। $\triangle ABD$ और $\triangle MBC$ को देखिए। हमारे पास $AB = MB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ),$BD = BC$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ),और $\angle ABD = \angle ABC + 90^\circ = \angle MBC + 90^\circ = \angle MBC$ है। अतः,$SAS$ सर्वांगसमता से $\triangle ABD \cong \triangle MBC$ है।
$2$. चूंकि $\triangle ABD$ और वर्ग $ABMN$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $MD$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$ है।
$3$. इसी प्रकार,$\triangle MBC$ और आयत $BYXD$ एक ही आधार $BD$ पर और समांतर रेखाओं $BD$ और $CX$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$ है।
$4$. चूंकि $\triangle ABD \cong \triangle MBC$,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं। अतः,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$ है।
$5$. इसी तर्क से,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$ है।
$6$. इन्हें जोड़ने पर,$\operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(BYXD) + \operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(BCED)$।