Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultसमांतर चतुर्भुज $ABCD$ की भुजा $AB$ को किसी बिंदु $P$ तक बढ़ाया गया है। $A$ से होकर जाने वाली और $CP$ के समांतर एक रेखा,$CB$ को बढ़ाने पर $Q$ पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज $PBQR$ पूरा किया जाता है। सिद्ध कीजिए कि $\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(PBQR)$।
[संकेत: $AC$ और $PQ$ को मिलाइए। अब $\text{ar}(ACQ)$ और $\text{ar}(APQ)$ की तुलना कीजिए।]
[संकेत: $AC$ और $PQ$ को मिलाइए। अब $\text{ar}(ACQ)$ और $\text{ar}(APQ)$ की तुलना कीजिए।]
(A) हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। $AB$ को $P$ तक बढ़ाया गया है।
$CB$ को $Q$ तक बढ़ाया गया है और समांतर चतुर्भुज $PBQR$ पूरा किया गया है।
आइए $AC$ और $PQ$ को मिलाएँ।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AC$ इसका विकर्ण है,
$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) \quad \dots(1)$
चूँकि $PBQR$ एक समांतर चतुर्भुज है और $PQ$ इसका विकर्ण है,
$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR) \quad \dots(2)$
चूँकि $\Delta ACQ$ और $\Delta APQ$ एक ही आधार $AQ$ पर और समांतर रेखाओं $AQ$ और $CP$ के बीच स्थित हैं,
$\text{ar}(\Delta ACQ) = \text{ar}(\Delta APQ)$
दोनों पक्षों से $\text{ar}(\Delta ABQ)$ घटाने पर:
$\text{ar}(\Delta ACQ) - \text{ar}(\Delta ABQ) = \text{ar}(\Delta APQ) - \text{ar}(\Delta ABQ)$
$\text{ar}(\Delta ABC) = \text{ar}(\Delta PBQ) \quad \dots(3)$
$(1), (2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR)$
अतः,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(PBQR)$।
$CB$ को $Q$ तक बढ़ाया गया है और समांतर चतुर्भुज $PBQR$ पूरा किया गया है।
आइए $AC$ और $PQ$ को मिलाएँ।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $AC$ इसका विकर्ण है,
$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) \quad \dots(1)$
चूँकि $PBQR$ एक समांतर चतुर्भुज है और $PQ$ इसका विकर्ण है,
$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR) \quad \dots(2)$
चूँकि $\Delta ACQ$ और $\Delta APQ$ एक ही आधार $AQ$ पर और समांतर रेखाओं $AQ$ और $CP$ के बीच स्थित हैं,
$\text{ar}(\Delta ACQ) = \text{ar}(\Delta APQ)$
दोनों पक्षों से $\text{ar}(\Delta ABQ)$ घटाने पर:
$\text{ar}(\Delta ACQ) - \text{ar}(\Delta ABQ) = \text{ar}(\Delta APQ) - \text{ar}(\Delta ABQ)$
$\text{ar}(\Delta ABC) = \text{ar}(\Delta PBQ) \quad \dots(3)$
$(1), (2)$ और $(3)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR)$
अतः,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(PBQR)$।
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