आकृति में,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $A$ समकोण है। $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$,$BC$ को $Y$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि: $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(FCB)$।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(FCB)$:
$1$. $\triangle ACE$ और आयत $CYXE$ पर विचार करें। ये दोनों एक ही आधार $CE$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $AX$ और $CE$ के बीच स्थित हैं। अतः,$\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(\triangle ACE)$।
$2$. अब,$\triangle ACE$ और $\triangle FCB$ पर विचार करें:
- $AC = FC$ (वर्ग $ACFG$ की भुजाएँ)
- $CE = CB$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)
- $\angle ACE = \angle ACF + \angle FCE = 90^\circ + \angle FCE$
- $\angle FCB = \angle BCE + \angle FCE = 90^\circ + \angle FCE$
- इसलिए,$\angle ACE = \angle FCB$।
$3$. $SAS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle ACE \cong \triangle FCB$। चूंकि सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle ACE) = \operatorname{ar}(\triangle FCB)$।
$4$. इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(\triangle FCB)$।