Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumआकृति में,$BC$ पर $D$ और $E$ दो ऐसे बिंदु हैं कि $BD = DE = EC$ है। दर्शाइए कि $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$ है।
क्या अब आप इस अध्याय की 'प्रस्तावना' में छोड़े गए प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि क्या बुधिया का खेत वास्तव में समान क्षेत्रफल वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है?
क्या अब आप इस अध्याय की 'प्रस्तावना' में छोड़े गए प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि क्या बुधिया का खेत वास्तव में समान क्षेत्रफल वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है?
(N/A) मान लीजिए कि हम $AF$ को $BC$ पर लंब खींचते हैं ताकि $AF$,$\Delta ABD$,$\Delta ADE$ और $\Delta AEC$ की ऊँचाई हो।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
इसलिए,$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AF$.
इसी प्रकार,$ar(ADE) = \frac{1}{2} \times DE \times AF$.
और $ar(AEC) = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
चूँकि यह दिया गया है कि $BD = DE = EC$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$\frac{1}{2} \times BD \times AF = \frac{1}{2} \times DE \times AF = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
इसका अर्थ है कि $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
हाँ,चूँकि सभी त्रिभुजों के शीर्षलंब (ऊँचाई) समान हैं और उनके आधार भी बराबर हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं। अतः,बुधिया इस परिणाम का उपयोग करके अपनी भूमि को तीन बराबर भागों में विभाजित कर सकती है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
इसलिए,$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AF$.
इसी प्रकार,$ar(ADE) = \frac{1}{2} \times DE \times AF$.
और $ar(AEC) = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
चूँकि यह दिया गया है कि $BD = DE = EC$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$\frac{1}{2} \times BD \times AF = \frac{1}{2} \times DE \times AF = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
इसका अर्थ है कि $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
हाँ,चूँकि सभी त्रिभुजों के शीर्षलंब (ऊँचाई) समान हैं और उनके आधार भी बराबर हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं। अतः,बुधिया इस परिणाम का उपयोग करके अपनी भूमि को तीन बराबर भागों में विभाजित कर सकती है।
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