Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumआकृति में,$PQRS$ और $ABRS$ समांतर चतुर्भुज हैं और $X$ भुजा $BR$ पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि:
$(i)$ $ar(PQRS) = ar(ABRS)$
$(ii)$ $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$
$(i)$ $ar(PQRS) = ar(ABRS)$
$(ii)$ $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$
(N/A) हमारे पास दो समांतर चतुर्भुज $PQRS$ और $ABRS$ हैं और $BR$ पर एक बिंदु $X$ है।
$(i)$ सिद्ध करना है कि $ar(PQRS) = ar(ABRS)$:
चूंकि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ और समांतर चतुर्भुज $ABRS$ एक ही आधार $RS$ पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं $RS$ और $PB$ के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं।
अतः,$ar(PQRS) = ar(ABRS)$।
$(ii)$ सिद्ध करना है कि $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$:
चूंकि $\Delta AXS$ और समांतर चतुर्भुज $ABRS$ एक ही आधार $AS$ पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं $AS$ और $BR$ के बीच स्थित हैं,इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
अतः,$ar(AXS) = 1/2 \, ar(ABRS)$।
चूंकि $ar(PQRS) = ar(ABRS)$ (भाग $i$ से),
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$।
$(i)$ सिद्ध करना है कि $ar(PQRS) = ar(ABRS)$:
चूंकि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ और समांतर चतुर्भुज $ABRS$ एक ही आधार $RS$ पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं $RS$ और $PB$ के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं।
अतः,$ar(PQRS) = ar(ABRS)$।
$(ii)$ सिद्ध करना है कि $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$:
चूंकि $\Delta AXS$ और समांतर चतुर्भुज $ABRS$ एक ही आधार $AS$ पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं $AS$ और $BR$ के बीच स्थित हैं,इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
अतः,$ar(AXS) = 1/2 \, ar(ABRS)$।
चूंकि $ar(PQRS) = ar(ABRS)$ (भाग $i$ से),
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$।
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आकृति में,चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ परस्पर $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OB = OD$ है। यदि $AB = CD$ है,तो दर्शाइए कि:
$(i)$ $ar(DOC) = ar(AOB)$
$(ii)$ $ar(DCB) = ar(ACB)$
$(iii)$ $DA \parallel CB$ या $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
[संकेत: $D$ और $B$ से $AC$ पर लंब खींचिए।]
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$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
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$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
Medium
View Solutionआकृति में,$P$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि:
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
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[संकेत: $P$ से होकर $AB$ के समांतर एक रेखा खींचिए।]
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View Solution$D$ और $E$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ पर स्थित ऐसे बिंदु हैं कि $\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$ है। सिद्ध कीजिए कि $DE \parallel BC$ है।
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