Mix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Hindi

(A) $1$. समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $Area = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ है, जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
$2$. दिया गया है कि $d_1 = 12 \, cm$ और $d_2 = 16 \, cm$, इसलिए समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, cm^2$ है।
$3$. वैरिग्नन प्रमेय (Varignon's Theorem) के अनुसार, किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति एक समांतर चतुर्भुज होती है, और इसका क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
$4$. चूंकि समचतुर्भुज एक प्रकार का चतुर्भुज है, इसलिए इसके मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times (\text{समचतुर्भुज का क्षेत्रफल})$ होगा।
$5$. अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 96 = 48 \, cm^2$ है।

(B) त्रिभुज की माध्यिका वह रेखाखंड है जो एक शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। ज्यामिति के प्रमेय के अनुसार,एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है। चूंकि माध्यिका त्रिभुज को दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करती है जिनका शीर्षलंब समान होता है और आधार की लंबाई भी समान होती है (क्योंकि माध्यिका भुजा को समद्विभाजित करती है),इसलिए इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

(C) एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित बहुभुजों की पहचान करने के लिए,हम दो शर्तों को देखते हैं:
$1$. उनके पास एक उभयनिष्ठ भुजा (आधार) होनी चाहिए।
$2$. उभयनिष्ठ आधार के विपरीत शीर्ष उस रेखा पर स्थित होने चाहिए जो आधार के समांतर हो।
आकृति $(c)$ में,हमारे पास दो समांतर चतुर्भुज,$PQRS$ और $ABQR$ हैं। दोनों का आधार $QR$ उभयनिष्ठ है,और उनके विपरीत शीर्ष ($P, S$ और $A, B$) एक ही रेखा $PS$ पर स्थित हैं,जो आधार $QR$ के समांतर है। अतः,वे एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।

(D) माना $ABCD$ एक आयत है जिसकी भुजाएँ $AB = 8 \, cm$ और $BC = 6 \, cm$ हैं।
माना $E, F, G$ और $H$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
इन मध्य-बिंदुओं को जोड़ने पर हमें चतुर्भुज $EFGH$ प्राप्त होता है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,एक आयत की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने पर बनने वाला चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।
इस समचतुर्भुज $EFGH$ के विकर्ण आयत की भुजाओं के बराबर होते हैं,अर्थात $EG = BC = 6 \, cm$ और $HF = AB = 8 \, cm$।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{विकर्णों का गुणनफल} = \frac{1}{2} \times EG \times HF$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6 \, cm \times 8 \, cm = 24 \, cm^{2}$।
अतः,प्राप्त आकृति $24 \, cm^{2}$ क्षेत्रफल वाला एक समचतुर्भुज है।

(A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत शीर्षलंब (ऊंचाई) के गुणनफल के बराबर होता है।
दी गई आकृति में,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के लिए,यदि हम $AD$ को आधार मानते हैं,तो संगत शीर्षलंब $BM$ है (क्योंकि $BM \perp AD$)।
अतः,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब} = AD \times BM$।
वैकल्पिक रूप से,यदि हम $AB$ को आधार मानते हैं,तो संगत शीर्षलंब $DL$ है (क्योंकि $DL \perp AB$)।
अतः,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB \times DL$।
चूंकि $AB = DC$,इसलिए क्षेत्रफल $DC \times DL$ भी होगा। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया है कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल और आयत $ABEM$ का क्षेत्रफल समान है। दोनों एक ही आधार $AB$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $AB$ और $MC$ के बीच स्थित हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ ऊँचाई होता है,और ऊँचाई समांतर रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी है,इसलिए दोनों आकृतियों की ऊँचाई $AM = BE$ समान है।
समकोण त्रिभुज $AMD$ में,कर्ण $AD$ हमेशा लंबवत भुजा $AM$ से बड़ा होता है $(AD > AM)$।
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुज $BCE$ में,कर्ण $BC$ भुजा $BE$ से बड़ा होता है $(BC > BE)$।
चूंकि $AM = BE$,इसलिए $AD > AM$ और $BC > BE$ है।
आयत $ABEM$ का परिमाप $= 2(AB + AM)$।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप $= AB + BC + CD + DA = AB + BC + AB + AD = 2AB + BC + AD$।
चूंकि $BC > BE$ और $AD > AM$,इसलिए $2AB + BC + AD > 2AB + BE + AM = 2AB + 2AM = 2(AB + AM)$ होता है।
अतः,समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का परिमाप $>$ आयत $ABEM$ का परिमाप।

(C) माना $D, E, F$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$DE \parallel AC$ और $DE = \frac{1}{2} AC = AF$ है।
इसी प्रकार,$EF \parallel AB$ और $EF = \frac{1}{2} AB = AD$ है।
अतः,$ADEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड त्रिभुज को चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ होता है।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\triangle ADE) = \operatorname{ar}(\triangle BDE) = \operatorname{ar}(\triangle EFC) = \operatorname{ar}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
समांतर चतुर्भुज $ADEF$ दो त्रिभुजों $\triangle ADE$ और $\triangle AFE$ से बना है।
अतः,$\operatorname{ar}(ADEF) = \operatorname{ar}(\triangle ADE) + \operatorname{ar}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।

(D) हम जानते हैं कि एक ही आधार या समान आधारों पर और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।
चूंकि उनके क्षेत्रफल बराबर हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात $1: 1$ है।

(A) एक चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि इन दो त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान है,तो इसका अर्थ है कि विकर्ण चतुर्भुज के क्षेत्रफल को समद्विभाजित करता है।
हालाँकि यह सत्य है कि समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,लेकिन इसका विलोम सभी चतुर्भुजों के लिए सत्य होना आवश्यक नहीं है।
उदाहरण के लिए,एक पतंग या कोई भी सामान्य चतुर्भुज जिसमें विकर्ण क्षेत्रफल को दो समान भागों में विभाजित करता है,उसका समांतर चतुर्भुज,समचतुर्भुज या आयत होना आवश्यक नहीं है।
इसलिए,$ABCD$ का विकल्पों $(B), (C)$ या $(D)$ में उल्लिखित किसी भी प्रकार का होना आवश्यक नहीं है।

(B) हम जानते हैं कि यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
माना समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A_p$ है और त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_t$ है।
प्रमेय के अनुसार,$A_t = \frac{1}{2} \times A_p$ होता है।
अतः,त्रिभुज के क्षेत्रफल और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_t}{A_p} = \frac{1}{2}$ होगा,जो कि $1: 2$ है।

(C) $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। मान लीजिए समलंब चतुर्भुज $ABCD$ की ऊँचाई $H$ है। चूँकि $E$ और $F$ असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,रेखाखंड $EF$,$AB$ और $DC$ के समांतर है और इसकी लंबाई $EF = \frac{1}{2}(a + b)$ है।
छोटे समलंब चतुर्भुजों $ABFE$ और $EFCD$ की ऊँचाई $h = \frac{H}{2}$ होगी।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊँचाई}$.
$\operatorname{ar}(ABFE) = \frac{1}{2} \times (AB + EF) \times h = \frac{1}{2} \times \left(a + \frac{a+b}{2}\right) \times \frac{H}{2} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{3a+b}{2}\right) \times \frac{H}{2} = \frac{H(3a+b)}{8}$.
$\operatorname{ar}(EFCD) = \frac{1}{2} \times (EF + DC) \times h = \frac{1}{2} \times \left(\frac{a+b}{2} + b\right) \times \frac{H}{2} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3b}{2}\right) \times \frac{H}{2} = \frac{H(a+3b)}{8}$.
अतः,अनुपात $\frac{\operatorname{ar}(ABFE)}{\operatorname{ar}(EFCD)} = \frac{\frac{H(3a+b)}{8}}{\frac{H(a+3b)}{8}} = \frac{3a+b}{a+3b}$.
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $(3a+b) : (a+3b)$ है।

(A) यह कथन सत्य है।
$1$. $\triangle ABC$ में,$AD$ माध्यिका है,इसलिए यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। अतः,$\operatorname{ar}(ABD) = \operatorname{ar}(ACD)$.
$2$. इसी प्रकार,$\triangle PBC$ में,$PD$ माध्यिका है,इसलिए $\operatorname{ar}(PBD) = \operatorname{ar}(PCD)$.
$3$. $\triangle ABD$ के क्षेत्रफल में से $\triangle PBD$ का क्षेत्रफल और $\triangle ACD$ के क्षेत्रफल में से $\triangle PCD$ का क्षेत्रफल घटाने पर,हमें $\operatorname{ar}(ABD) - \operatorname{ar}(PBD) = \operatorname{ar}(ACD) - \operatorname{ar}(PCD)$ प्राप्त होता है।
$4$. इसे सरल करने पर $\operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(ACP)$ प्राप्त होता है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
दिया गया है कि $PQRS$ और $EFRS$ एक ही आधार $SR$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $PF$ और $SR$ के बीच स्थित दो समांतर चतुर्भुज हैं।
इसलिए,$\operatorname{ar}(PQRS) = \operatorname{ar}(EFRS)$.
अब,त्रिभुज $MFR$ और समांतर चतुर्भुज $EFRS$ पर विचार करें। वे एक ही आधार $FR$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $EF$ और $SR$ के बीच स्थित हैं।
प्रमेय के अनुसार,यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इसलिए,$\operatorname{ar}(MFR) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(EFRS)$.
चूंकि $\operatorname{ar}(EFRS) = \operatorname{ar}(PQRS)$ है,इसलिए $\operatorname{ar}(MFR) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$ होगा।

(B) यहाँ $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $X$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
अब,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(AXCD) + \text{ar}(\triangle XBC) \dots(1)$
चूँकि समांतर चतुर्भुज का विकर्ण $AC$ उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\text{ar}(ABCD) = 2 \times \text{ar}(\triangle ABC) \dots(2)$
चूँकि $X$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\triangle ABC$ की माध्यिका $CX$ उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। अतः,$\text{ar}(\triangle XBC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) \dots(3)$
$(1)$ और $(3)$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) = 24 + \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC)$
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) - \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\frac{3}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\text{ar}(\triangle ABC) = \frac{24 \times 2}{3} = 16 \text{ cm}^2$.
चूँकि $16 \text{ cm}^2 \neq 24 \text{ cm}^2$,अतः दिया गया कथन असत्य है।

(B) आयत $PQRS$ में,विकर्ण $PR$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PR = 13 \, cm$ है।
दिया है $PS = 5 \, cm$,समकोण $\triangle PSR$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
$PR^2 = PS^2 + SR^2$
$13^2 = 5^2 + SR^2$
$169 = 25 + SR^2$
$SR^2 = 144 \implies SR = 12 \, cm$।
चूंकि $PQRS$ एक आयत है,इसलिए $PQ = SR = 12 \, cm$ है।
$\triangle PQS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times PS = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \, cm^2$ है।
चूंकि $A$,$PQ$ पर कोई बिंदु है,त्रिभुज $PAS$ का आधार $PA$ और ऊँचाई $PS = 5 \, cm$ है।
$\triangle PAS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PA \times PS$ है।
चूंकि $PA < PQ$ है (क्योंकि $A$,$PQ$ पर स्थित है),इसलिए $\text{ar}(PAS) < \text{ar}(PQS) = 30 \, cm^2$ होगा।
अतः,दिया गया कथन $\text{ar}(PAS) = 30 \, cm^2$ असत्य है।

(B) $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज का विकर्ण $QS$ उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
$\therefore \operatorname{ar}(\triangle QRS) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \times 180 \, cm^{2} = 90 \, cm^{2}$.
चूंकि $A$ विकर्ण $QS$ पर स्थित कोई बिंदु है,इसलिए $\triangle ASR$,$\triangle QRS$ का ही एक भाग है।
$\triangle ASR$ और $\triangle QRS$ का आधार $SR$ समान है,लेकिन आधार $SR$ के सापेक्ष $\triangle ASR$ की ऊँचाई,$\triangle QRS$ की ऊँचाई से कम है (जब तक कि $A$,$Q$ पर स्थित न हो)।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\triangle ASR) < \operatorname{ar}(\triangle QRS)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle ASR) < 90 \, cm^{2}$.
इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(A) माना कि समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $x$ है।
चूँकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसका क्षेत्रफल $ar(\triangle ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ होगा।
दिया गया है कि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए समबाहु त्रिभुज $BDE$ की भुजा की लंबाई $BD = \frac{BC}{2} = \frac{x}{2}$ होगी।
समबाहु त्रिभुज $BDE$ का क्षेत्रफल $ar(\triangle BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} x^2\right)$ होगा।
$ riangle ABC$ के क्षेत्रफल का मान रखने पर,हमें $ar(\triangle BDE) = \frac{1}{4} ar(\triangle ABC)$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए समबाहु त्रिभुज $BDE$ की भुजा की लंबाई $\frac{a}{2}$ होगी।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.
$\operatorname{ar}(\triangle BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
औचित्य:
चूँकि $\triangle DPC$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $DC$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
दिया गया है कि $G$,$DC$ का मध्य-बिंदु है,अतः समांतर चतुर्भुज $EFGD$ का आधार $DG = \frac{1}{2} DC$ है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज $EFGD$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल उनके आधारों के अनुपात में होते हैं।
$\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{DG}{DC} \times \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ और $\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \operatorname{ar}(EFGD)$.

$(8 CM^2)$ दिया गया है कि $PQRS$ एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $PQ = 8 \, cm$ है।
चूंकि $T$ और $U$ क्रमशः $PS$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $TU$,$PQ$ और $SR$ के समानांतर है।
$ST = \frac{1}{2} PS = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \, cm$.
चूंकि $TU$,$PQ$ और $SR$ के समानांतर है,और $T, U$ मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $TU = PQ = 8 \, cm$.
$\Delta OTS$ और $\Delta QPS$ में,चूंकि $TU \parallel PQ$,समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार,$\Delta OTS \sim \Delta QPS$.
चूंकि $T$,$PS$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए समरूपता का अनुपात $\frac{ST}{SP} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$OT = \frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \, cm$.
चूंकि $PQRS$ एक वर्ग है,$\angle TSP = 90^\circ$,इसलिए $\angle OTS = 90^\circ$.
$\Delta OTS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times ST \times OT$.
$\Delta OTS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \, cm^2$.

(A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD = CQ$,और $AQ$,$DC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है।
चरण $1$: चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AD \parallel BC$ और $AD = BC$ है। दिया है $AD = CQ$,इसलिए $BC = CQ$ है।
चरण $2$: $\triangle ADQ$ और $\triangle ADC$ पर विचार करें। चूँकि $AD \parallel QC$,इसलिए $\operatorname{ar}(ADQ) = \operatorname{ar}(ADC)$ है क्योंकि वे एक ही आधार $AD$ पर और समांतर रेखाओं $AD$ और $QC$ के बीच स्थित हैं।
चरण $3$: दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(ADP)$ घटाने पर:
$\operatorname{ar}(ADQ) - \operatorname{ar}(ADP) = \operatorname{ar}(ADC) - \operatorname{ar}(ADP)$
$\operatorname{ar}(DPQ) = \operatorname{ar}(APC) .....(1)$
चरण $4$: अब,$\triangle APC$ और $\triangle BPC$ पर विचार करें। वे एक ही आधार $PC$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं (चूँकि $AB \parallel DC$ है)।
इसलिए,$\operatorname{ar}(APC) = \operatorname{ar}(BPC) .....(2)$
चरण $5$: $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$.

(A) $PSDA$ एक समांतर चतुर्भुज है। $PS$ पर बिंदु $Q$ और $R$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $PQ = QR = RS$ और $PA \parallel QB \parallel RC$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$ है।
चूंकि $PSDA$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PS = AD$ और $PS \parallel AD$ है।
दिया है कि $PQ = QR = RS$,इसलिए $PQ = QR = RS = \frac{1}{3} PS$ है।
चूंकि $PA \parallel QB \parallel RC \parallel SD$ है,इसलिए अंतःखंड प्रमेय (Intercept Theorem) के अनुसार $AB, BC, CD$ भी बराबर होंगे।
अतः,$AB = BC = CD = \frac{1}{3} AD$ है।
इसलिए,$PQ = CD$ प्राप्त होता है।
अब,$\triangle PQE$ और $\triangle CFD$ पर विचार करें:
$1$. $PQ = CD$ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
$2$. $\angle QPE = \angle FDC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PS \parallel AD$ और $PD$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle PQE = \angle FCD$ (संगत कोण,क्योंकि $QB \parallel RC$ और $PS$ एक तिर्यक रेखा है)।
$ASA$ सर्वांगसमता नियम के अनुसार,$\triangle PQE \cong \triangle CFD$ है।
चूंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$ है।

(N/A) हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle LZY) = \operatorname{ar}(MZYX)$ है।
चूँकि $\triangle LXZ$ और $\triangle MXZ$ एक ही आधार $XZ$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $LM$ और $XZ$ के बीच स्थित हैं,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle LXZ) = \operatorname{ar}(\triangle MXZ) \quad \dots(1)$
समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(\triangle XYZ)$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\triangle LXZ) + \operatorname{ar}(\triangle XYZ) = \operatorname{ar}(\triangle MXZ) + \operatorname{ar}(\triangle XYZ)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle LZY) = \operatorname{ar}(MZYX)$.

(N/A) $(i)$ चूँकि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है,इसलिए:
$ar(ABEF) = ar(ABCD)$
अतः,$ar(ABEF) = 90 \, cm^{2}$।
$(ii)$ $ar(ABD) = \frac{1}{2} \times ar(ABCD)$
[चूँकि समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है]
$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times 90 \, cm^{2} = 45 \, cm^{2}$।
$(iii)$ $ar(BEF) = \frac{1}{2} \times ar(ABEF)$
[चूँकि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है]
$ar(BEF) = \frac{1}{2} \times 90 \, cm^{2} = 45 \, cm^{2}$।

(A) $\triangle ABC$ में $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $P$,$BC$ पर स्थित कोई बिंदु है। दिया है कि $CQ \parallel PD$,$AB$ को $Q$ पर मिलता है,हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ है।
$CD$ को मिलाइए। चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad \dots(1)$
चूँकि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) \quad \dots(2)$
[$\because$ त्रिभुज $DPQ$ और $DPC$ एक ही आधार $DP$ पर और समांतर रेखाओं $DP$ और $CQ$ के बीच स्थित हैं]
समीकरण $(2)$ के दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(\triangle DPB)$ जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) + \operatorname{ar}(\triangle DPB) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) + \operatorname{ar}(\triangle DPB)$
$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \operatorname{ar}(\triangle BCD)$
समीकरण $(1)$ से,हम जानते हैं कि $\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ है।

(N/A) $ABCD$ एक वर्ग है। $E$ और $F$ क्रमशः $BC$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। यदि $R$,$EF$ का मध्य-बिंदु है,तो हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle AER) = \operatorname{ar}(\triangle AFR)$।
$\triangle ABE$ और $\triangle ADF$ में,हमारे पास है:
$AB = AD$ [वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं]
$\angle ABE = \angle ADF = 90^{\circ}$
$BE = DF$ [चूंकि $E$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $F$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,और $BC = CD$]
अतः,$\triangle ABE \cong \triangle ADF$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसका अर्थ है $AE = AF$ [$CPCT$] ... $(1)$
अब,$\triangle AER$ और $\triangle AFR$ में,हमारे पास है:
$AE = AF$ [$(1)$ से]
$ER = RF$ [दिया है कि $R$,$EF$ का मध्य-बिंदु है]
$AR = AR$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$\triangle AER \cong \triangle AFR$ [$SSS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
चूंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle AER) = \operatorname{ar}(\triangle AFR)$।

(N/A) माना कि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ और $SQ$ बिंदु $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $M$,$PR$ और $SQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$SM = MQ$ है।
$\triangle PQS$ में,$PM$ एक माध्यिका है क्योंकि $M$,$SQ$ का मध्य-बिंदु है।
चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए:
$\operatorname{ar}(\triangle PSM) = \operatorname{ar}(\triangle PQM) \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,$\triangle OQS$ में,$OM$ एक माध्यिका है क्योंकि $M$,$SQ$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\triangle OSM) = \operatorname{ar}(\triangle OQM) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\triangle PSM) + \operatorname{ar}(\triangle OSM) = \operatorname{ar}(\triangle PQM) + \operatorname{ar}(\triangle OQM)$
$\operatorname{ar}(\triangle PSO) = \operatorname{ar}(\triangle PQO)$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(D) $\Delta ADF$ और $\Delta ECF$ में,हमारे पास है:
$\angle DAF = \angle CEF$ [एकांतर अंतःकोण]
$AD = CE$ [चूंकि $AD = BC$ और $BC = CE$ (दिया है)]
$\angle ADF = \angle ECF$ [एकांतर अंतःकोण]
अतः,$\Delta ADF \cong \Delta ECF$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इस प्रकार,$DF = CF$ [$CPCT$].
$\Delta BCD$ में,$BF$ माध्यिका है क्योंकि $DF = CF$ है।
चूंकि एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए $\text{ar}(\Delta BDF) = \text{ar}(\Delta BCF) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta BCD)$।
दिया है $\text{ar}(\Delta DFB) = 3 \, \text{cm}^2$,इसलिए $\text{ar}(\Delta BCD) = 2 \times 3 = 6 \, \text{cm}^2$।
चूंकि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है,इसलिए $\text{ar}(\Delta BCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD)$।
$6 = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD)$।
$\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD) = 12 \, \text{cm}^2$।

(N/A) दिया है: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel DC$ और $L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $PQ \parallel AD$ रेखा $AB$ को $P$ पर और $DC$ को बढ़ाने पर $Q$ पर मिलती है।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(APQD)$।
उपपत्ति:
$\triangle CLQ$ और $\triangle BLP$ में:
$1$. $\angle QCL = \angle LBP$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DQ$)
$2$. $CL = LB$ (दिया है,$L$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)
$3$. $\angle CLQ = \angle BLP$ (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle CLQ \cong \triangle BLP$ है।
चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे: $\operatorname{ar}(\triangle CLQ) = \operatorname{ar}(\triangle BLP)$ ... $(1)$
अब,समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(APLCD)$ जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle CLQ) + \operatorname{ar}(APLCD) = \operatorname{ar}(\triangle BLP) + \operatorname{ar}(APLCD)$
इससे प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(APQD) = \operatorname{ar}(ABCD)$
अतः,$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(APQD)$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: एक चतुर्भुज $ABCD$ जिसमें भुजाओं $AB, BC, CD,$ और $DA$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $P, Q, R,$ और $S$ हैं,जिन्हें क्रम में जोड़ने पर चतुर्भुज $PQRS$ बनता है।
सिद्ध करना है: $\text{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति: $\triangle ABC$ में,$P$ और $Q$ क्रमशः $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$.
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$S$ और $R$ क्रमशः $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$.
चूंकि $PQ \parallel AC$ और $SR \parallel AC$,इसलिए $PQ \parallel SR$.
साथ ही,$PQ = SR = \frac{1}{2} AC$. अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,चारों कोनों पर बने त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग करने पर: $\text{ar}(\triangle APS) + \text{ar}(\triangle BPQ) + \text{ar}(\triangle CRQ) + \text{ar}(\triangle DSR) = \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD)$.
इसलिए,$\text{ar}(PQRS) = \text{ar}(ABCD) - \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
इति सिद्धम्।

(N/A) $P$ और $Q$ से होकर $AB$ के समांतर रेखाएं $PR$ और $QS$ खींचिए। अब $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है और इसका आधार $PQ = \frac{1}{3} BC$ है।
$\operatorname{ar}(APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ [एक ही आधार $BC$ और $BC \parallel AD$]....$(1)$
$\operatorname{ar}(AQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APD) = \operatorname{ar}(AQD)$....$(3)$
दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(AOD)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APD) - \operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(AQD) - \operatorname{ar}(AOD)$
$\operatorname{ar}(APO) = \operatorname{ar}(OQD)$....$(4)$
$(4)$ में दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(OPQ)$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है
$\operatorname{ar}(APO) + \operatorname{ar}(OPQ) = \operatorname{ar}(OQD) + \operatorname{ar}(OPQ)$
$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ)$
चूंकि,$\operatorname{ar}(APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$,इसलिए
$\operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$
अब,$\operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD)$
अतः,$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$।

(N/A) हमें दिया गया है कि $AD \parallel n$ है। त्रिभुज $\triangle APD$ और $\triangle AQD$ एक ही आधार $AD$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $AD$ और $n$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle APD) = \operatorname{ar}(\triangle AQD) \dots(1)$
अब,समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(ABCD)$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\triangle APD) + \operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(\triangle AQD) + \operatorname{ar}(ABCD)$
आकृति से,$\operatorname{ar}(\triangle APD) + \operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABCDP)$ और $\operatorname{ar}(\triangle AQD) + \operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABCQ)$ है।
अतः,$\operatorname{ar}(ABCDP) = \operatorname{ar}(ABCQ)$.

(N/A) दिया है: $BD \parallel CA$,$E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CE = \frac{1}{2} CA$ है।
चूंकि $BD = \frac{1}{2} CA$ है,इसलिए $BD = CE$ है।
साथ ही,$BD \parallel CE$ (क्योंकि $BD \parallel CA$ है)।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $BCED$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,$\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$ क्योंकि वे एक ही आधार $BC$ और समांतर रेखाओं $BC$ और $DE$ के बीच स्थित हैं।
$\triangle ABC$ में,$BE$ एक माध्यिका है क्योंकि $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है।
त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इसलिए,$\operatorname{ar}(EBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABC)$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(EBC)$ है।
$\operatorname{ar}(EBC) = \operatorname{ar}(DBC)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(DBC)$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है। भुजा $BC$ पर एक बिंदु $E$ लिया गया है। $AE$ और $DC$ को बढ़ाने पर वे $F$ पर मिलते हैं।
उपपत्ति: चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और विकर्ण $AC$ इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए हमारे पास है:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad ....(1)$
चूंकि $DC \parallel AB$,इसलिए $CF \parallel AB$ है।
एक ही आधार $CF$ पर और एक ही समांतर रेखाओं $AB$ और $DF$ के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle BCF) \quad ....(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) + \operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle BCF)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle ADF) = \operatorname{ar}(ABFC)$
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक रेखा $PQ$,$O$ से होकर गुजरती है जहाँ $P$,$AD$ पर और $Q$,$BC$ पर स्थित है।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(quad. APQB) = \operatorname{ar}(quad. PQCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
उपपत्ति:
$\triangle AOP$ और $\triangle COQ$ में:
$1$. $AO = CO$ (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)।
$2$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$3$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतः कोण,क्योंकि $AD \parallel BC$)।
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle AOP \cong \triangle COQ$ है।
इसका अर्थ है कि $\operatorname{ar}(\triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle COQ)$ (सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है)।
अब,दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(quad. OPCD)$ जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle AOP) + \operatorname{ar}(quad. OPCD) = \operatorname{ar}(\triangle COQ) + \operatorname{ar}(quad. OPCD)$
$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle COQ) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle ADC)$.
चूंकि $AC$ एक विकर्ण है,$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
अतः,$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
इसी प्रकार,दूसरा भाग $quad. PQCB$ का क्षेत्रफल भी $\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$ होगा।

(N/A) माना $BE$ और $CF$ त्रिभुज $ABC$ की माध्यिकाएँ हैं जो $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$।
चूँकि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,माध्यिका $CF$ के लिए:
$\operatorname{ar}(\triangle BCF) = \operatorname{ar}(\triangle ACF)$
$\operatorname{ar}(\triangle GBF) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE) + \operatorname{ar}(\triangle GCE) \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए:
$\operatorname{ar}(\triangle ABE) = \operatorname{ar}(\triangle CBE)$
$\operatorname{ar}(\triangle AFG) + \operatorname{ar}(\triangle BFG) = \operatorname{ar}(\triangle GCE) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) \quad \dots(2)$
हम जानते हैं कि केंद्रक $G$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुजों में विभाजित करता है: $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(\triangle GCA) = \operatorname{ar}(\triangle GAB) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
चूँकि $F$ और $E$ मध्य बिंदु हैं,$\operatorname{ar}(\triangle GAF) = \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
अतः,$\operatorname{ar}(AFGE) = \operatorname{ar}(\triangle GAF) + \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
इस प्रकार,$\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$ सिद्ध होता है।

(N/A) दिया है: $CD \parallel AE$ और $CY \parallel BA$।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(\triangle CBX) = \operatorname{ar}(\triangle AXY)$।
उपपत्ति:
चूंकि $\triangle ABC$ और $\triangle ABY$ एक ही आधार $AB$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $CY$ और $BA$ के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) = \operatorname{ar}(\triangle ABY)$
दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(\triangle ABX)$ घटाने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) - \operatorname{ar}(\triangle ABX) = \operatorname{ar}(\triangle ABY) - \operatorname{ar}(\triangle ABX)$
आकृति से,$\operatorname{ar}(\triangle ABC) - \operatorname{ar}(\triangle ABX) = \operatorname{ar}(\triangle CBX)$ और $\operatorname{ar}(\triangle ABY) - \operatorname{ar}(\triangle ABX) = \operatorname{ar}(\triangle AXY)$।
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle CBX) = \operatorname{ar}(\triangle AXY)$।
इति सिद्धम्।

(N/A) $\Delta MBY$ और $\Delta DCY$ में,हमारे पास है:
$\angle 1 = \angle 2$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$\angle 3 = \angle 4$ [चूंकि $AB \parallel DC$ और एकांतर अंतःकोण बराबर हैं]
$BY = CY$ [चूंकि $Y$,$BC$ का मध्य-बिंदु है]
अतः,$\Delta MBY \cong \Delta DCY$ [$ASA$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसलिए,$MB = DC = 30 \, cm$ [$CPCT$]
अब,$AM = AB + BM = 50 \, cm + 30 \, cm = 80 \, cm$
$\Delta ADM$ में,मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,$XY = \frac{1}{2} AM = \frac{1}{2} \times 80 \, cm = 40 \, cm$
चूंकि $AB \parallel XY \parallel DC$ और $X$ तथा $Y$,$AD$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए समलंब चतुर्भुज $DCXY$ और $XYBA$ की ऊँचाई समान है। माना समान ऊँचाई $h \, cm$ है।
$\frac{\operatorname{ar}(DCXY)}{\operatorname{ar}(XYBA)} = \frac{\frac{1}{2}(DC + XY) \times h}{\frac{1}{2}(XY + AB) \times h} = \frac{30 + 40}{40 + 50} = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$
अतः,$\operatorname{ar}(DCXY) = \frac{7}{9} \operatorname{ar}(XYBA)$।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $LM \parallel BC,$ जहाँ $L$ भुजा $AB$ पर और $M$ भुजा $AC$ पर स्थित है।
उपपत्ति:
चूँकि $\triangle LBM$ और $\triangle LCM$ एक ही आधार $LM$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $LM$ और $BC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर हैं।
$\therefore \operatorname{ar}(\triangle LBM) = \operatorname{ar}(\triangle LCM)$
हम इन क्षेत्रफलों को दो छोटे त्रिभुजों के योग के रूप में लिख सकते हैं:
$\operatorname{ar}(\triangle LBM) = \operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle LOB)$
$\operatorname{ar}(\triangle LCM) = \operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle MOC)$
इन मानों को समानता में रखने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle LOB) = \operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle MOC)$
दोनों पक्षों से $\operatorname{ar}(\triangle LOM)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\triangle LOB) = \operatorname{ar}(\triangle MOC)$
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $BP \parallel AC$ और $AD \parallel EQ$।
चूँकि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है:
$1$. $\triangle ABC$ और $\triangle APC$ के लिए,वे एक ही आधार $AC$ पर और समांतर रेखाओं $BP$ और $AC$ के बीच स्थित हैं। इसलिए,$\operatorname{ar}(\triangle ABC) = \operatorname{ar}(\triangle APC) \dots(1)$
$2$. $\triangle ADE$ और $\triangle ADQ$ के लिए,वे एक ही आधार $AD$ पर और समांतर रेखाओं $AD$ और $EQ$ के बीच स्थित हैं। इसलिए,$\operatorname{ar}(\triangle ADE) = \operatorname{ar}(\triangle ADQ) \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle ADE) = \operatorname{ar}(\triangle APC) + \operatorname{ar}(\triangle ADQ)$
दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(\triangle ACD)$ जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle ADE) + \operatorname{ar}(\triangle ACD) = \operatorname{ar}(\triangle APC) + \operatorname{ar}(\triangle ADQ) + \operatorname{ar}(\triangle ACD)$
आकृति को देखने पर,बायां पक्ष पंचभुज $ABCDE$ के क्षेत्रफलों का योग है और दायां पक्ष $\triangle APQ$ के क्षेत्रफलों का योग है।
अतः,$\operatorname{ar}(ABCDE) = \operatorname{ar}(\triangle APQ)$।

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ की माध्यिकाएँ $AE, BF$ और $CD$ बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \operatorname{ar}(\triangle AGC) = \operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
रचना: $BP \perp AE$ खींचिए।
उपपत्ति: $AG = \frac{2}{3} AE$ [क्योंकि केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है]।
अब,$\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \frac{1}{2} \times AG \times BP$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} AE \times BP$
$= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{2} \times AE \times BP)$
$= \frac{2}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABE)$
$= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ [क्योंकि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है]
$= \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
इसी प्रकार,$\operatorname{ar}(\triangle AGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ और $\operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
अतः,$\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \operatorname{ar}(\triangle AGC) = \operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: $X$ और $Y$ क्रमशः $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। $QP \parallel BC$.
$1$. चूँकि $X$ और $Y$ क्रमशः $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$XY \parallel BC$.
$2$. एक ही आधार $BC$ पर स्थित और दो समांतर रेखाओं $XY$ और $BC$ के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है।
$\therefore \text{ar}(\triangle BYC) = \text{ar}(\triangle BXC)$.
$3$. दोनों पक्षों से $\text{ar}(\triangle BOC)$ घटाने पर:
$\text{ar}(\triangle BYC) - \text{ar}(\triangle BOC) = \text{ar}(\triangle BXC) - \text{ar}(\triangle BOC)$
$\Rightarrow \text{ar}(\triangle BOY) = \text{ar}(\triangle COX) \dots(1)$
$4$. इसी प्रकार,समांतर रेखाओं और आधार के गुणों का उपयोग करके,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $\text{ar}(ABP) = \text{ar}(ACQ)$।

(N/A) दिया है: $ABCD$ और $AEFD$ दो समांतर चतुर्भुज हैं।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$.
उपपत्ति:
$\triangle PEA$ और $\triangle QFD$ में:
$1$. $\angle APE = \angle DQF$ (संगत कोण बराबर हैं क्योंकि $AB \parallel CD$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
$2$. $\angle AEP = \angle DFQ$ (संगत कोण बराबर हैं क्योंकि $AE \parallel DF$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $AE = DF$ (समांतर चतुर्भुज $AEFD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle PEA \cong \triangle QFD$।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$।

(N/A) हाँ,समलंब चतुर्भुज $PQRS$ और त्रिभुज $\Delta APQ$ एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
उभयनिष्ठ आधार: $PQ$
समांतर रेखाएँ: $PQ$ और $SR$.

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel DC$ है। $E$,$BC$ को बढ़ाने पर स्थित एक बिंदु है।
सिद्ध करना है: $ar(BDE) = ar(ACED)$।
उपपत्ति:
त्रिभुज $ADC$ और त्रिभुज $BDC$ एक ही आधार $DC$ पर स्थित हैं और दो समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$ar(ADC) = ar(BDC)$।
समीकरण के दोनों पक्षों में $ar(DCE)$ जोड़ने पर:
$ar(ADC) + ar(DCE) = ar(BDC) + ar(DCE)$
आकृति से,$ar(ADC) + ar(DCE) = ar(ACED)$ और $ar(BDC) + ar(DCE) = ar(BDE)$ है।
अतः,$ar(ACED) = ar(BDE)$ या $ar(BDE) = ar(ACED)$।
इति सिद्धम्।

(B) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उस आधार के संगत शीर्षलंब के गुणनफल के बराबर होता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,क्षेत्रफल की गणना आधार $AB$ और शीर्षलंब $DM$ का उपयोग करके,या आधार $BC$ और शीर्षलंब $DN$ का उपयोग करके की जा सकती है।
अतः,$\text{Area}(ABCD) = AB \times DM = BC \times DN$.
यहाँ $AB = 12 \, cm$,$DM = 5 \, cm$,और $DN = 6 \, cm$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $12 \times 5 = BC \times 6$.
$60 = BC \times 6$.
$BC = \frac{60}{6} = 10 \, cm$.

(N/A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$E, F, G$ और $H$ क्रमशः $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। $GE$ को मिलाइए।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB \parallel CD$ और $AB = CD$ है।
$\therefore BE \parallel CG$ और $BE = (\frac{1}{2} AB) = CG = (\frac{1}{2} CD)$ है।
$\therefore$ चतुर्भुज $EBCG$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\therefore GE \parallel BC$ है।
अब,$\Delta EFG$ और समांतर चतुर्भुज $EBCG$ एक ही आधार $GE$ पर और समांतर रेखाओं $GE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore ar(EFG) = \frac{1}{2} ar(EBCG)$ ... $(1)$
इसी प्रकार,$\Delta EHG$ और समांतर चतुर्भुज $AEGD$ एक ही आधार $GE$ पर और समांतर रेखाओं $GE$ और $AD$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(AEGD)$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,
$ar(EFG) + ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(EBCG) + \frac{1}{2} ar(AEGD)$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} [ar(EBCG) + ar(AEGD)]$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} ar(ABCD)$

(N/A) $P$ से होकर $AB$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $Q$ पर और $AD$ को $R$ पर प्रतिच्छेद करती है।
अब,चतुर्भुज $ABQR$ में,
$AB \parallel QR$ (रचना से)
$BQ \parallel AR$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,$BC \parallel AD$)
$\therefore$ चतुर्भुज $ABQR$ एक समांतर चतुर्भुज है। इसी प्रकार,$DCQR$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\Delta APB$ और समांतर चतुर्भुज $ABQR$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $QR$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore \operatorname{ar}(APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,$\Delta PCD$ और समांतर चतुर्भुज $DCQR$ एक ही आधार $DC$ पर और समांतर रेखाओं $DC$ और $QR$ के बीच स्थित हैं।
$\therefore \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR) \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,
$\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) + \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR)$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ABQR) + \operatorname{ar}(DCQR)]$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(3)$
अब,$P$ से होकर $AD$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $S$ पर और $CD$ को $T$ पर प्रतिच्छेद करती है।
तब,उपरोक्त की भाँति,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(4)$
$(3)$ और $(4)$ से,
$\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$

(N/A) दिया है: समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB || CD$ है और विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है: $ar(AOD) = ar(BOC)$।
उपपत्ति:
$1$. त्रिभुज $ADC$ और $BDC$ एक ही आधार $CD$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $AB || CD$ के बीच स्थित हैं।
$2$. इसलिए,$ar(ADC) = ar(BDC)$ (एक ही आधार और समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है)।
$3$. दोनों पक्षों से $ar(DOC)$ घटाने पर:
$ar(ADC) - ar(DOC) = ar(BDC) - ar(DOC)$।
$4$. आकृति से,$ar(ADC) - ar(DOC) = ar(AOD)$ और $ar(BDC) - ar(DOC) = ar(BOC)$।
$5$. अतः,$ar(AOD) = ar(BOC)$।
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया है: समलंब चतुर्भुज $PQRS$ में,$PQ || RS$ है।
सिद्ध करना है: $ar(PQS) = ar(QPR)$।
उपपत्ति:
$1$. त्रिभुज $PQS$ और $QPR$ एक ही आधार $PQ$ पर स्थित हैं।
$2$. चूँकि $PQ || RS$ है,इसलिए समांतर रेखाओं $PQ$ और $RS$ के बीच की दूरी स्थिर रहती है।
$3$. अतः,त्रिभुज $PQS$ (आधार $PQ$ के साथ) की ऊँचाई और त्रिभुज $QPR$ (आधार $PQ$ के साथ) की ऊँचाई,समांतर रेखाओं $PQ$ और $RS$ के बीच की दूरी के बराबर है।
$4$. हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
$5$. चूँकि दोनों त्रिभुजों का आधार $PQ$ समान है और उनकी ऊँचाई भी समान (समांतर रेखाओं के बीच की दूरी) है,इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।
$6$. अतः,$ar(PQS) = ar(QPR)$।