Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultयदि $E, F, G$ और $H$ क्रमशः समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं,तो दर्शाइए कि $\text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ है।
(N/A) मान लीजिए हम $E$ और $G$ को मिलाते हैं।
यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
चूँकि $E$ और $G$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $EG$ रेखा $BC$ और $AD$ के समांतर है।
साथ ही,$\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) = \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD) \dots (1)$
अब,$\Delta EFG$ और समांतर चतुर्भुज $EBCG$ एक ही आधार $EG$ पर और समांतर रेखाओं $EG$ और $BC$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta EFG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) \dots (2)$
इसी प्रकार,$\text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD) \dots (3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar}(\Delta EFG) + \text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) + \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD)]$
$\Rightarrow \text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD)]$
अतः,$\text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$।
यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
चूँकि $E$ और $G$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए $EG$ रेखा $BC$ और $AD$ के समांतर है।
साथ ही,$\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) = \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD) \dots (1)$
अब,$\Delta EFG$ और समांतर चतुर्भुज $EBCG$ एक ही आधार $EG$ पर और समांतर रेखाओं $EG$ और $BC$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta EFG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) \dots (2)$
इसी प्रकार,$\text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD) \dots (3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar}(\Delta EFG) + \text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } EBCG) + \text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } AEGD)]$
$\Rightarrow \text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{समांतर चतुर्भुज } ABCD)]$
अतः,$\text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$।
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