आकृति में,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $A$ पर है। $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$,$BC$ से $Y$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि: $\Delta FCB \cong \Delta ACE$.

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(N/A) सिद्ध करना है: $\Delta FCB \cong \Delta ACE$
$\Delta FCB$ और $\Delta ACE$ में:
$1$. $FC = AC$ (एक ही वर्ग $ACFG$ की भुजाएँ)
$2$. $CB = CE$ (एक ही वर्ग $BCED$ की भुजाएँ)
$3$. $\angle FCA = \angle BCE = 90^\circ$ (वर्ग के कोण)
दोनों पक्षों में $\angle ACB$ जोड़ने पर:
$\angle FCA + \angle ACB = \angle BCE + \angle ACB$
$\angle FCB = \angle ACE$
अतः,$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा:
$\Delta FCB \cong \Delta ACE$

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एक त्रिभुज $ABC$ में,$E$ माध्यिका $AD$ का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(BED) = 1/4 \operatorname{ar}(ABC)$ है।

आकृति में,$PQRS$ और $ABRS$ समांतर चतुर्भुज हैं और $X$ भुजा $BR$ पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि:
$(i)$ $ar(PQRS) = ar(ABRS)$
$(ii)$ $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$

$D$ और $E$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ पर स्थित ऐसे बिंदु हैं कि $\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$ है। सिद्ध कीजिए कि $DE \parallel BC$ है।

$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}( BDEF ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}( ABC )$

एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ परस्पर $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(BOC)$ है। सिद्ध कीजिए कि $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है।

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