त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $P$ और $Q$ हैं और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$ है।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABQ$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए $PQ$,$\Delta ABQ$ की माध्यिका है।
अतः,$\operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$2$. $\Delta APQ$ में,$R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$QR$,$\Delta APQ$ की माध्यिका है।
अतः,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$3$. चूँकि $AQ$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $\operatorname{ar} (ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
इसका मान रखने पर,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$.
$4$. अब,$\Delta ARC$ पर विचार करें। चूँकि $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CR$,$\Delta APC$ की माध्यिका है।
अतः,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APC)$.
$5$. चूँकि $CP$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,इसलिए $\operatorname{ar} (APC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
अतः,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
$6$. परिणामों की तुलना करने पर: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$ और $\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
स्पष्ट है कि,$\frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC))$.
अतः,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$।