Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Medium$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ जिसमें $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $D, E$ और $F$ हैं।
सिद्ध करना है कि $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\triangle ABC$ में,$E$ और $F$ क्रमशः $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$EF || BC$ और $EF = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$EF || BD$ और $EF = BD$ प्राप्त होता है।
जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($EF$ और $BD$) समांतर और लंबाई में समान हो,वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। अतः $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है कि $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\triangle ABC$ में,$E$ और $F$ क्रमशः $AC$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$EF || BC$ और $EF = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$EF || BD$ और $EF = BD$ प्राप्त होता है।
जिस चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($EF$ और $BD$) समांतर और लंबाई में समान हो,वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। अतः $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
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