Textbook - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Gujarati

(N/A) આકૃતિઓ $(i), (iii)$ અને $(v)$ સમાન પાયા પર અને સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલી છે.

આકૃતિ	સામાન્ય પાયો અને બે સમાંતર રેખાઓ
આકૃતિ $(i)$	સામાન્ય પાયો: $DC$,સમાંતર રેખાઓ: $DC$ અને $AB$
આકૃતિ $(iii)$	સામાન્ય પાયો: $QR$,સમાંતર રેખાઓ: $QR$ અને $PS$
આકૃતિ $(v)$	સામાન્ય પાયો: $AD$,સમાંતર રેખાઓ: $AD$ અને $BQ$

(N/A) $(i)$ લંબચોરસ પણ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,અને $ABCD$ તથા $EFCD$ બંને એક જ પાયા $DC$ પર અને બે સમાંતર રેખાઓ $DC$ તથા $EF$ ની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$ થાય.
$(ii)$ ઉપરના પરિણામ પરથી,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$.
$EFCD$ લંબચોરસ હોવાથી,તેનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = DC \times FC$ થાય.
તેથી,$\text{ar}(ABCD) = DC \times FC$ $(1)$.
$AL \perp DC$ અને $EF \parallel DC$ હોવાથી,$AL$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ છે. લંબચોરસ $AFCL$ માં (અથવા સમાંતર રેખાઓને ધ્યાનમાં લેતા),આપણને $AL = FC$ મળે છે $(2)$.
$(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABP$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $PC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તમારે સાબિત કરવું છે કે $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
$BQ \parallel AP$ દોરો જેથી બીજો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ મળે. હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ અને $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $PC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\text{ar}(ABQP) = \text{ar}(ABCD)$ $(1)$.
પરંતુ $\Delta PAB \cong \Delta BQP$ (વિકર્ણ $PB$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQP$ ને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે).
તેથી,$\text{ar}(PAB) = \text{ar}(BQP)$ $(2)$.
તેથી,$\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABQP)$ [$(2)$ પરથી] $(3)$.
આના પરથી મળે છે કે $\text{ar}(PAB) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$ [$(1)$ અને $(3)$ પરથી].

(D) આપણને આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AE \perp DC$ અને $CF \perp AD$ છે.
આપેલ છે કે $AB = 16 \, cm, AE = 8 \, cm$ અને $CF = 10 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $CD = AB = 16 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને અનુરૂપ વેધના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= CD \times AE = 16 \, cm \times 8 \, cm = 128 \, cm^2$.
તે જ રીતે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ પાયા $AD$ અને વેધ $CF$ નો ઉપયોગ કરીને પણ શોધી શકાય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AD \times CF$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $128 = AD \times 10$.
તેથી,$AD = \frac{128}{10} = 12.8 \, cm$.

(N/A) ધારો કે આપણે $E$ અને $G$ ને જોડીએ છીએ.
જો એક ત્રિકોણ અને એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું હોય છે.
ચૂંકિ $E$ અને $G$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી $EG$ એ $BC$ અને $AD$ ને સમાંતર છે.
વળી,$\text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } EBCG) = \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } AEGD) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } ABCD) \dots (1)$
હવે,$\Delta EFG$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $EBCG$ એક જ પાયા $EG$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $EG$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta EFG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } EBCG) \dots (2)$
તે જ રીતે,$\text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } AEGD) \dots (3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\text{ar}(\Delta EFG) + \text{ar}(\Delta EHG) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } EBCG) + \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } AEGD)]$
$\Rightarrow \text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} [\text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } ABCD)]$
આમ,$\text{ar}(EFGH) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel CD$ અને $BC \parallel AD$ થાય.
હવે,$\Delta APB$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta APB) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } ABCD) \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,$\Delta BQC$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ પાયા $BC$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $BC$ અને $AD$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta BQC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } ABCD) \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\text{ar}(\Delta APB) = \text{ar}(\Delta BQC)$

(N/A) $(i)$ આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે,એટલે કે $AB \parallel CD$ અને $BC \parallel AD$.
ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખા $EF$ દોરીએ,જ્યાં $E$ એ $AD$ પર અને $F$ એ $BC$ પર છે.
$AB \parallel EF$ હોવાથી,$\Delta APB$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEFB$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $EF$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(AEFB)$ ...... $(1)$
તે જ રીતે,$\Delta PCD$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $CDEF$ એક જ પાયા $CD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $CD$ અને $EF$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(CDEF)$ ...... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(AEFB) + \operatorname{ar}(CDEF)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી $AD$ ને સમાંતર રેખા $GH$ દોરીએ,જ્યાં $G$ એ $CD$ પર અને $H$ એ $AB$ પર છે.
$\Delta APD$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ADGH$ એક જ પાયા $AD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $GH$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADGH)$ ...... $(3)$
તે જ રીતે,$\Delta PBC$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BCGH$ એક જ પાયા $BC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BC$ અને $GH$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCGH)$ ...... $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ADGH) + \operatorname{ar}(BCGH)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(5)$
$(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(6)$
$(5)$ અને $(6)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD)$

(N/A) અહીં આપણી પાસે બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ અને $ABRS$ છે અને $BR$ પર એક બિંદુ $X$ છે.
$(i)$ સાબિત કરવા માટે કે $ar(PQRS) = ar(ABRS)$:
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABRS$ એક જ પાયા $RS$ પર આવેલા છે અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $RS$ અને $PB$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન થાય.
તેથી,$ar(PQRS) = ar(ABRS)$.
$(ii)$ સાબિત કરવા માટે કે $ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$:
ત્રિકોણ $\Delta AXS$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABRS$ એક જ પાયા $AS$ પર આવેલા છે અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $AS$ અને $BR$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે.
તેથી,$ar(AXS) = 1/2 \, ar(ABRS)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $ar(PQRS) = ar(ABRS)$ (ભાગ $i$ પરથી).
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$ar(AXS) = 1/2 \, ar(PQRS)$.

(N/A) ખેડૂત પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ આકારનું ખેતર છે અને $RS$ પર એક બિંદુ $A$ આવેલું છે.
ચાલો $AP$ અને $AQ$ ને જોડીએ.
સ્પષ્ટપણે,ખેતર ત્રણ ભાગોમાં વહેંચાયેલું છે,એટલે કે $\Delta APS$,$\Delta PAQ$ અને $\Delta QAR$. આ ભાગો ત્રિકોણાકાર છે.
કારણ કે $\Delta PAQ$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ એક જ પાયા $PQ$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ ની વચ્ચે આવેલા છે:
$\therefore \text{ar}(\Delta PAQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } PQRS) \dots(1)$
$\Rightarrow \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } PQRS) - \text{ar}(\Delta PAQ) = \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } PQRS) - \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } PQRS)$
$\Rightarrow [\text{ar}(\Delta APS) + \text{ar}(\Delta QAR)] = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } PQRS) \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\text{ar}(\Delta PAQ) = \text{ar}(\Delta APS) + \text{ar}(\Delta QAR)$
આમ,ખેડૂત $\Delta PAQ$ માં ઘઉં અને $\Delta APS$ તથા $\Delta QAR$ ના સંયુક્ત ક્ષેત્રફળમાં કઠોળ વાવી શકે છે,અથવા તેનાથી ઉલટું.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $AD$ તેની એક મધ્યગા છે,જ્યાં $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\operatorname{ar}(ABD) = \operatorname{ar}(ACD)$.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં વેધનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,આપણે $AN \perp BC$ દોરીએ.
હવે,$\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BD \times AN$.
$AD$ મધ્યગા હોવાથી,$BD = CD$ થાય.
$\operatorname{ar}(ABD)$ ના સૂત્રમાં $BD = CD$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \times CD \times AN$.
$\frac{1}{2} \times CD \times AN$ એ $\Delta ACD$ ના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(ABD) = \operatorname{ar}(ACD)$.
આમ,ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) આકૃતિનું ધ્યાનપૂર્વક અવલોકન કરો.
$\Delta BAC$ અને $\Delta EAC$ એક જ પાયા $AC$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $AC$ અને $BE$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$ar(\Delta BAC) = ar(\Delta EAC)$ (એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે).
હવે,સમીકરણની બંને બાજુએ $ar(\Delta ADC)$ ઉમેરતા:
$ar(\Delta BAC) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta EAC) + ar(\Delta ADC)$
આકૃતિ પરથી,$ar(\Delta BAC) + ar(\Delta ADC) = ar(ABCD)$ અને $ar(\Delta EAC) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta ADE)$ થાય છે.
તેથી,$ar(ABCD) = ar(\Delta ADE)$.

(N/A) આપણી પાસે $\Delta ABC$ છે જેમાં $AD$ એ મધ્યગા છે.
ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી,
$\text{ar} (\Delta ABD) = \text{ar} (\Delta ADC) \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,$\Delta EBC$ માં,$ED$ એ મધ્યગા છે.
તેથી,$\text{ar} (\Delta EBD) = \text{ar} (\Delta ECD) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતાં,આપણને મળે છે:
$\text{ar} (\Delta ABD) - \text{ar} (\Delta EBD) = \text{ar} (\Delta ADC) - \text{ar} (\Delta ECD)$
$\Rightarrow \text{ar} (\Delta ABE) = \text{ar} (\Delta ACE)$.

(N/A) આપણી પાસે $\Delta ABC$ અને તેની મધ્યગા $AD$ છે.
કારણ કે,મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) \quad \dots(1)$
હવે,$\Delta ABD$ માં,$BE$ એ મધ્યગા છે કારણ કે $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta BED) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABD) \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta BED) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) \right]$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta BED) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી $AO = OC$ અને $BO = OD$ થાય.
$CE \perp BD$ દોરો.
હવે,$\text{ar}(\Delta BOC) = \frac{1}{2} \times BO \times CE$ અને $\text{ar}(\Delta DOC) = \frac{1}{2} \times OD \times CE$.
$BO = OD$ હોવાથી,$\text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta DOC) \quad ... (1)$.
તે જ રીતે,$A$ માંથી $BD$ પર લંબ દોરીને,આપણે દર્શાવી શકીએ કે $\text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta AOB) \quad ... (2)$.
વળી,સમાન પાયા $BD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AD \parallel BC$ ની વચ્ચે આવેલા $\Delta ABD$ અને $\Delta CBD$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta CBD)$.
$\text{ar}(\Delta ABD) = \text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD)$ અને $\text{ar}(\Delta CBD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$ હોવાથી,$\text{ar}(\Delta AOB) + \text{ar}(\Delta AOD) = \text{ar}(\Delta BOC) + \text{ar}(\Delta DOC)$.
તારવેલા સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા,ચારેય ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન મળે છે: $\text{ar}(\Delta AOB) = \text{ar}(\Delta BOC) = \text{ar}(\Delta COD) = \text{ar}(\Delta DOA)$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ચાર ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) અહીં $\Delta ABC$ અને $\Delta ABD$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે.
કારણ કે $CD$ એ $O$ બિંદુએ દુભાગે છે,તેથી $CO = DO$ થાય.
$\Delta ACD$ માં,$AO$ એ મધ્યગા છે કારણ કે તે બાજુ $CD$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે $(CO = DO)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta AOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD)$ (કારણ કે ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે) $(1)$.
તે જ રીતે,$\Delta BCD$ માં,$BO$ એ મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta BOD)$ $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે:
$\operatorname{ar}(\Delta AOC) + \operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta BOD)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABD)$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ છે.
સાબિત કરવાનું છે કે $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\triangle ABC$ માં,$E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$EF || BC$ અને $EF = \frac{1}{2} BC$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$ થાય.
આમ,$EF || BD$ અને $EF = BD$ મળે છે.
જે ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ ($EF$ અને $BD$) સમાંતર અને સમાન લંબાઈની હોય,તે ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય. તેથી $BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $D, E, F$ એ $\Delta ABC$ માં અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA, AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$.
સાબિતી:
$1$. $D$ અને $F$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DF \parallel AC$ અને $DF = \frac{1}{2} AC = AE$ થાય. આમ,$AFDE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. તેવી જ રીતે,$BDEF$ અને $CDFE$ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$3$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDEF$ માં,વિકર્ણ $DF$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માં,વિકર્ણ $DE$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$5$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $CDFE$ માં,વિકર્ણ $DE$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\Delta CDE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$6$. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta AFE) + \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta CDE) + \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$7$. સમાન ક્ષેત્રફળો મૂકતા: $\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = 4 \operatorname{ar}(\Delta DEF)$.
$8$. આમ,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.

(N/A) આપેલ છે કે $D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$FE \parallel BC$ અને $FE = \frac{1}{2} BC = BD$ થાય.
અહીં $FE \parallel BD$ અને $FE = BD$ હોવાથી,$BDEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તે જ રીતે,$AFDE$ અને $FDCE$ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDEF$ માં,વિકર્ણ $DE$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ થાય.
તે જ રીતે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માં,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta DEF)$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $FDCE$ માં,$\operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC)$ થાય.
આમ,$\operatorname{ar}(\Delta AFE) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) = \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \operatorname{ar}(\Delta EDC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$ થાય.
હવે,$\operatorname{ar}(BDEF) = \operatorname{ar}(\Delta BDF) + \operatorname{ar}(\Delta DEF) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{2}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.

(A) આપણી પાસે ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
આપણને આપેલ છે કે $OB = OD$ અને $AB = CD$.
ધારો કે આપણે $DE \perp AC$ અને $BF \perp AC$ દોરીએ છીએ.
$(i)$ સાબિત કરવા માટે કે $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$:
$\Delta DEO$ અને $\Delta BFO$ માં:
$DO = BO$ (આપેલ છે)
$\angle DOE = \angle BOF$ (અભિકોણ)
$\angle DEO = \angle BFO = 90^\circ$ (રચના મુજબ)
તેથી,$\Delta DEO \cong \Delta BFO$ ($AAS$ એકરૂપતાની શરત).
આથી $DE = BF$ અને $ar(\Delta DEO) = ar(\Delta BFO)$ $(1)$.
હવે,$\Delta DEC$ અને $\Delta BFA$ માં:
$\angle DEC = \angle BFA = 90^\circ$
$DE = BF$ (ઉપર મુજબ)
$DC = BA$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta DEC \cong \Delta BFA$ ($RHS$ એકરૂપતાની શરત).
આથી $ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFA)$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$ar(\Delta DEO) + ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFO) + ar(\Delta BFA)$
$ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$.
$(ii)$ સાબિત કરવા માટે કે $ar(DCB) = ar(ACB)$:
કારણ કે $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$,
બંને બાજુ $ar(\Delta BOC)$ ઉમેરતા:
$ar(\Delta DOC) + ar(\Delta BOC) = ar(\Delta AOB) + ar(\Delta BOC)$
$ar(\Delta DCB) = ar(\Delta ACB)$.
$(iii)$ સાબિત કરવા માટે કે $DA \parallel CB$:
કારણ કે $\Delta DCB$ અને $\Delta ACB$ એક જ પાયા $CB$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$DA \parallel CB$. આમ,$DA \parallel CB$ અને $AB = CD$ હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$D$ અને $E$ એ $AB$ અને $AC$ પરના બિંદુઓ છે કે જેથી $\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $DE \parallel BC$.
સાબિતી:
આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$.
બંને ત્રિકોણ $\Delta DBC$ અને $\Delta EBC$ એક જ પાયા $BC$ પર આવેલા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે ત્રિકોણનો પાયો સમાન હોય અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો તેઓ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય છે.
તેથી,રેખાખંડ $DE$ એ પાયા $BC$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
આમ,$DE \parallel BC$.

(N/A) આપણી પાસે $\Delta ABC$ છે જેમાં $XY || BC$,$BE || AC$ અને $CF || AB$ છે.
$XY || BC$ અને $BE || AC$ હોવાથી (અહીં $BE || AC$ અને $E$ એ $XY$ પર આવેલું છે),$BCYE$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BCYE$ અને $\Delta ABE$ એક જ પાયા $BE$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BE$ અને $AC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCYE) \quad -(1)$
તે જ રીતે,$CF || AB$ અને $XY || BC$ હોવાથી,$BCFX$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\Delta ACF$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BCFX$ એક જ પાયા $CF$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $CF$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ACF) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCFX) \quad -(2)$
વળી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BCFX$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BCYE$ એક જ પાયા $BC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BC$ અને $EF$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(BCFX) = \operatorname{ar}(BCYE) \quad -(3)$
સમીકરણ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta ABE) = \operatorname{ar}(\Delta ACF)$.

(A) આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. $AB$ ને $P$ સુધી લંબાવવામાં આવે છે.
$CB$ ને $Q$ સુધી લંબાવવામાં આવે છે અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PBQR$ પૂર્ણ કરવામાં આવે છે.
ચાલો $AC$ અને $PQ$ ને જોડીએ.
કારણ કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $AC$ તેનો વિકર્ણ છે,
$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) \quad \dots(1)$
કારણ કે $PBQR$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $PQ$ તેનો વિકર્ણ છે,
$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR) \quad \dots(2)$
કારણ કે $\Delta ACQ$ અને $\Delta APQ$ એક જ પાયા $AQ$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AQ$ અને $CP$ ની વચ્ચે આવેલા છે,
$\text{ar}(\Delta ACQ) = \text{ar}(\Delta APQ)$
બંને બાજુથી $\text{ar}(\Delta ABQ)$ બાદ કરતા:
$\text{ar}(\Delta ACQ) - \text{ar}(\Delta ABQ) = \text{ar}(\Delta APQ) - \text{ar}(\Delta ABQ)$
$\text{ar}(\Delta ABC) = \text{ar}(\Delta PBQ) \quad \dots(3)$
$(1), (2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(PBQR)$
તેથી,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(PBQR)$.

(N/A) આપણને એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ આપેલ છે જેમાં $AB || DC$ છે. તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,એક જ પાયા પર આવેલા અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.
$\because \Delta ABD$ અને $\Delta ABC$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(\Delta AOB)$ બાદ કરતાં,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta ABD) - \operatorname{ar}(\Delta AOB) = \operatorname{ar}(\Delta ABC) - \operatorname{ar}(\Delta AOB)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$.

(N/A) અહીં આપણી પાસે એક પંચકોણ $ABCDE$ છે જેમાં $BF \parallel AC$ છે અને $DC$ ને $F$ સુધી લંબાવવામાં આવેલ છે.
$(i)$ સાબિત કરવા માટે કે $ar(\Delta ACB) = ar(\Delta ACF)$:
આપણે જાણીએ છીએ કે એક જ પાયા પર આવેલા અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.
$\because \Delta ACB$ અને $\Delta ACF$ બંને એક જ પાયા $AC$ પર આવેલા છે અને $AC$ તથા $BF$ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore ar(\Delta ACB) = ar(\Delta ACF)$.
$(ii)$ કારણ કે $ar(\Delta ACB) = ar(\Delta ACF)$:
બંને બાજુ $ar(AEDC)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$ar(\Delta ACB) + ar(AEDC) = ar(\Delta ACF) + ar(AEDC)$
$\Rightarrow ar(ABCDE) = ar(AEDF)$.

(N/A) ધારો કે ચતુષ્કોણ પ્લોટ $ABCD$ છે. ધારો કે $E$ એ બિંદુ છે જ્યાં વિકર્ણ $AC$ લેવાના ભાગની સીમાને છેદે છે. આ પ્રસ્તાવના અમલીકરણ માટે,આપણે $D$ માંથી $AC$ ને સમાંતર એક રેખા દોરીએ છીએ,જે લંબાવેલી બાજુ $BC$ ને બિંદુ $F$ પર મળે છે.
હવે,$\Delta DAF$ અને $\Delta DCF$ નો વિચાર કરો. આ ત્રિકોણો એક જ પાયા $DF$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AC$ અને $DF$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta DAF) = \text{ar}(\Delta DCF)$.
બંને બાજુથી $\text{ar}(\Delta DEF)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\text{ar}(\Delta DAF) - \text{ar}(\Delta DEF) = \text{ar}(\Delta DCF) - \text{ar}(\Delta DEF)$
$\Rightarrow \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\Delta CEF)$.
આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણાકાર ભાગ $\Delta ADE$ (જે પંચાયત લે છે) નું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણાકાર ભાગ $\Delta CEF$ (જે ઇતવારીને આપવામાં આવે છે) ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. પ્લોટના બાકીના ભાગમાં $\Delta CEF$ ઉમેરીને,ઇતવારીને એક નવો ત્રિકોણાકાર પ્લોટ $\Delta ABF$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ ચકાસવા માટે: $\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta CEF)$.
કારણ કે $\text{ar}(\Delta CEF) = \text{ar}(\Delta ADE)$,તેથી:
$\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\text{ચતુષ્કોણ } ABCD)$.
આમ,કુલ ક્ષેત્રફળ સમાન રહે છે.

(N/A) આપણી પાસે સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેમાં $AB || DC$ છે.
$XY || AC$ એ $AB$ ને $X$ માં અને $BC$ ને $Y$ માં મળે છે.
ચાલો $CX$ ને જોડીએ.
$\because AB || DC$ [આપેલ છે]
$\therefore \Delta ADX$ અને $\Delta ACX$ એક જ પાયા $AX$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ADX) = \operatorname{ar}(\Delta ACX) \quad \dots(1)$
$\because AC || XY$
$\therefore \Delta ACX$ અને $\Delta ACY$ એક જ પાયા $AC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AC$ અને $XY$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta ACX) = \operatorname{ar}(\Delta ACY) \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\operatorname{ar}(\Delta ADX) = \operatorname{ar}(\Delta ACY)$

(N/A) આપેલ છે: $AP || BQ || CR$.
પગલું $1$: કારણ કે $BQ || CR$,$\Delta BCQ$ અને $\Delta BQR$ એક જ પાયા $BQ$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BQ$ અને $CR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta BCQ) = \operatorname{ar}(\Delta BQR)$ --- $(1)$
પગલું $2$: કારણ કે $AP || BQ$,$\Delta ABQ$ અને $\Delta PBQ$ એક જ પાયા $BQ$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AP$ અને $BQ$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \operatorname{ar}(\Delta PBQ)$ --- $(2)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta BCQ) + \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \operatorname{ar}(\Delta BQR) + \operatorname{ar}(\Delta PBQ)$
આકૃતિ પરથી,$\operatorname{ar}(\Delta BCQ) + \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \operatorname{ar}(\Delta AQC)$ અને $\operatorname{ar}(\Delta BQR) + \operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PBR)$.
આમ,$\operatorname{ar}(\Delta AQC) = \operatorname{ar}(\Delta PBR)$.
આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપણને એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ આપેલ છે અને તેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે,જેથી $\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ થાય.
હવે,$\operatorname{ar}(\Delta AOD) = \operatorname{ar}(\Delta BOC)$ [આપેલ છે].
બંને બાજુ $\operatorname{ar}(\Delta AOB)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta AOB) = \operatorname{ar}(\Delta BOC) + \operatorname{ar}(\Delta AOB)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
આ બે ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta ABC$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$AB \parallel DC$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $ar(\Delta DRC) = ar(\Delta DPC)$.
તેઓ સમાન પાયા $DC$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,તેઓ સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
$\Rightarrow DC \parallel RP$.
ચતુષ્કોણ $DCPR$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોવાથી,$DCPR$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
વળી,આપણી પાસે છે $ar(\Delta BDP) = ar(\Delta ARC)$ $(1)$.
તેમજ,$ar(\Delta DPC) = ar(\Delta DRC)$ $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં,આપણને મળે છે:
$[ar(\Delta BDP) - ar(\Delta DPC)] = [ar(\Delta ARC) - ar(\Delta DRC)]$
$\Rightarrow ar(\Delta BDC) = ar(\Delta ADC)$.
તેઓ સમાન પાયા $DC$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,તેઓ સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
$\Rightarrow AB \parallel DC$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોવાથી,$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ અને લંબચોરસ $ABEF$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને $ar(ABCD) = ar(ABEF)$.
$1$. તેઓ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા હોવાથી અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,તેમની ઊંચાઈ સમાન હોવી જોઈએ. ધારો કે ઊંચાઈ $h = AF = BE$ છે.
$2$. લંબચોરસમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = EF$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = CD$. આમ,$CD = EF$.
$3$. લંબચોરસ $ABEF$ ની પરિમિતિ $= 2(AB + AF)$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની પરિમિતિ $= 2(AB + BC)$.
$5$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BEC$ માં,$BC$ કર્ણ છે અને $BE$ એક બાજુ છે. તેથી,$BC > BE$.
$6$. અસમતા $BC > BE$ ની બંને બાજુએ $AB$ ઉમેરતા,આપણને $AB + BC > AB + BE$ મળે છે.
$7$. $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(AB + BC) > 2(AB + BE)$ મળે છે.
$8$. $AB = EF$ હોવાથી,લંબચોરસની પરિમિતિ $2(AB + BE) = AB + EF + BE + AF$ થાય છે.
$9$. આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની પરિમિતિ લંબચોરસ $ABEF$ ની પરિમિતિ કરતાં વધારે છે.

(N/A) ધારો કે આપણે $AF$ ને $BC$ પર લંબ દોરીએ છીએ જેથી $AF$ એ $\Delta ABD$,$\Delta ADE$ અને $\Delta AEC$ ની ઊંચાઈ બને.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ (ઊંચાઈ) થાય છે.
તેથી,$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AF$.
તે જ રીતે,$ar(ADE) = \frac{1}{2} \times DE \times AF$.
અને $ar(AEC) = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
આપેલ છે કે $BD = DE = EC$,તેથી આપણે આ કિંમતો મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,$\frac{1}{2} \times BD \times AF = \frac{1}{2} \times DE \times AF = \frac{1}{2} \times EC \times AF$.
આ સૂચવે છે કે $ar(ABD) = ar(ADE) = ar(AEC)$.
હા,કારણ કે બધા ત્રિકોણોના વેધ (ઊંચાઈ) સમાન છે અને તેમના પાયા પણ સમાન છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,બુધિયા આ પરિણામનો ઉપયોગ કરીને તેની જમીનને ત્રણ સમાન ભાગોમાં વહેંચી શકે છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$,$DCFE$ અને $ABFE$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે. તેથી,$AD = BC$ અને $AD \parallel BC$. ઉપરાંત,$AB \parallel DC$....$(1)$
$2$. $DCFE$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેની સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે. તેથી,$DC \parallel EF$....$(2)$
$3$. $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણી પાસે $AB \parallel DC$ અને $DC \parallel EF$ છે,જેનો અર્થ છે કે $AB \parallel EF$.
$4$. હવે,$\Delta ADE$ અને $\Delta BCF$ ને ધ્યાનમાં લો.
- $AD = BC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ).
- $DE = CF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $DCFE$ ની સામસામેની બાજુઓ).
- $AE = BF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABFE$ ની સામસામેની બાજુઓ).
- આમ,બાબાબા $(SSS)$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta ADE \cong \Delta BCF$.
$5$. ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય.
- તેથી,$\operatorname{ar}(ADE) = \operatorname{ar}(BCF)$.

(N/A) આપણી પાસે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે અને $AD = CQ$ છે.
ચાલો $AC$ ને જોડીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.
$\Delta ADC$ અને $\Delta ACQ$ માટે,$AD \parallel QC$ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta ADQ) = \operatorname{ar}(\Delta ACQ)$ થાય.
બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(\Delta APD)$ બાદ કરતા:
$\operatorname{ar}(\Delta ADQ) - \operatorname{ar}(\Delta APD) = \operatorname{ar}(\Delta ACQ) - \operatorname{ar}(\Delta APD)$
$\operatorname{ar}(\Delta DPQ) = \operatorname{ar}(\Delta APC)$
વળી,$\Delta APC$ અને $\Delta BPC$ એક જ પાયા $PC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી $\operatorname{ar}(\Delta APC) = \operatorname{ar}(\Delta BPC)$.
આમ,$\operatorname{ar}(\Delta DPQ) = \operatorname{ar}(\Delta BPC)$ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $2x$ છે. તેથી $BC = 2x$. $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = DC = x$. $BDE$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$BD = DE = BE = x$.
$(i)$ $\operatorname{ar}(ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} (2x)^2 = \sqrt{3}x^2$. $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$. આમ,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$.
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$. $\triangle BAE$ નો પાયો $BE=x$ છે અને વેધ $\triangle ABC$ ના વેધ જેટલો એટલે કે $\sqrt{3}x$ છે. $\operatorname{ar}(BAE) = \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 = 2 \operatorname{ar}(BDE)$. તેથી,$\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$.
$(iii)$ $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\triangle BEC$ અને $\triangle ABC$ સમાન વેધ ધરાવે છે. તેથી,$\operatorname{ar}(BEC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABC)$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$.
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(ABE) - \operatorname{ar}(ABF)$. સમાન પાયા અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,સાબિત કરી શકાય છે કે $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$.
$(v)$ $F$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી,$\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$.
$(vi)$ કુલ ક્ષેત્રફળના સંદર્ભમાં ગણતરી કરતા,$\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$ મળે છે.

(N/A) આપણી પાસે ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $P$ માં છેદે છે. ધારો કે આપણે $AM \perp BD$ અને $CN \perp BD$ દોરીએ છીએ.
$ar(\Delta APB) = \frac{1}{2} \times BP \times AM$
$ar(\Delta CPD) = \frac{1}{2} \times DP \times CN$
$ar(\Delta APB) \times ar(\Delta CPD) = (\frac{1}{2} \times BP \times AM) \times (\frac{1}{2} \times DP \times CN)$
$= \frac{1}{4} \times BP \times DP \times AM \times CN$ ... $(1)$
તે જ રીતે,
$ar(\Delta APD) = \frac{1}{2} \times DP \times AM$
$ar(\Delta BPC) = \frac{1}{2} \times BP \times CN$
$ar(\Delta APD) \times ar(\Delta BPC) = (\frac{1}{2} \times DP \times AM) \times (\frac{1}{2} \times BP \times CN)$
$= \frac{1}{4} \times BP \times DP \times AM \times CN$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે
$ar(\Delta APB) \times ar(\Delta CPD) = ar(\Delta APD) \times ar(\Delta BPC)$

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABQ$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $PQ$ એ $\Delta ABQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$2$. $\Delta APQ$ માં,$R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QR$ એ $\Delta APQ$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABQ)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABQ)$.
$3$. $AQ$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
આ કિંમત મૂકતા,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$.
$4$. હવે,$\Delta ARC$ ને ધ્યાનમાં લો. $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CR$ એ $\Delta APC$ ની મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (APC)$.
$5$. $CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,$\operatorname{ar} (APC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \operatorname{ar} (ABC)) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
$6$. પરિણામોની સરખામણી કરતા: $\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC)$ અને $\operatorname{ar} (ARC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC)$.
સ્પષ્ટ છે કે,$\frac{1}{8} \operatorname{ar} (ABC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} \operatorname{ar} (ABC))$.
આમ,$\operatorname{ar} (PRQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar} (ARC)$.

(N/A) આપેલ છે: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CP$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta PBC$ માં,$PQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APQ$ માં,$RQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$4$. આમ,$\operatorname{ar}(\Delta RQC) = \operatorname{ar}(\Delta RQP) + \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1+2}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.

(N/A) આપેલ છે: $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,$Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,અને $R$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $\Delta ABC$ માં,$AQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $Q$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta ABQ$ માં,$PQ$ એ મધ્યગા છે (કારણ કે $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે). તેથી,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APC$ માં,$CR$ એ મધ્યગા છે. તેથી,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta APC)$.
$4$. $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\text{ar}(\Delta APC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)$.
$5$. તેથી,$\text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \text{ar}(\Delta ABC)) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$.
આમ,$\text{ar}(\Delta PBQ) = \text{ar}(\Delta ARC) = \frac{1}{4} \text{ar}(\Delta ABC)$.

(N/A) આપણી પાસે કાટકોણ $\Delta ABC$ છે જેમાં $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ તેની બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એવી રીતે દોરવામાં આવ્યો છે કે તે $BC$ ને $Y$ માં મળે છે.
સાબિત કરવા માટે કે $\Delta MBC \cong \Delta ABD$:
$\Delta ABD$ અને $\Delta MBC$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB = MB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ)
$BD = BC$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ)
$\angle MBA = 90^\circ$ અને $\angle CBD = 90^\circ$ (ચોરસના ખૂણા)
તેથી,$\angle MBA = \angle CBD = 90^\circ$.
બંને બાજુ $\angle ABC$ ઉમેરતા:
$\angle MBA + \angle ABC = \angle CBD + \angle ABC$
$\angle MBC = \angle ABD$
આમ,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta MBC \cong \Delta ABD$.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(BYXD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$
$1$. $\Delta ABD$ અને $\Delta MBC$ ને ધ્યાનમાં લો. આ ત્રિકોણોમાં,$AB = MB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ) અને $BD = BC$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ). વળી,$\angle ABD = \angle ABC + 90^\circ$ અને $\angle MBC = \angle ABC + 90^\circ$. તેથી,$\angle ABD = \angle MBC$. $SAS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\Delta ABD \cong \Delta MBC$. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta MBC)$.
$2$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BYXD$ અને $\Delta ABD$ એક જ પાયા $BD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BD$ અને $AX$ ની વચ્ચે આવેલા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$3$. સ્ટેપ $1$ ના પરિણામને સ્ટેપ $2$ માં મૂકતા: $\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$4$. આમ,$\operatorname{ar}(BYXD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(BYXD) = \operatorname{ar}(ABMN)$.
$1$. $\Delta MBC$ અને $\Delta ABD$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $MB = AB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ) અને $BC = BD$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ) છે. વળી,$\angle MBC = \angle MBA + \angle ABC = 90^\circ + \angle ABC$ અને $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 90^\circ$. આમ,$\angle MBC = \angle ABD$.
$2$. $SAS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\Delta MBC \cong \Delta ABD$. તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \operatorname{ar}(\Delta ABD)$.
$3$. $\Delta ABD$ અને લંબચોરસ $BYXD$ એક જ પાયા $BD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AX$ અને $BD$ ની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(BYXD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta ABD)$.
$4$. ચોરસ $ABMN$ અને $\Delta MBC$ એક જ પાયા $MB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $MB$ અને $NC$ ની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(ABMN) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$.
$5$. $\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta MBC)$ હોવાથી,$2 \operatorname{ar}(\Delta ABD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$ થાય.
$6$. તેથી,$\operatorname{ar}(BYXD) = \operatorname{ar}(ABMN)$.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\Delta FCB \cong \Delta ACE$
$\Delta FCB$ અને $\Delta ACE$ માં:
$1$. $FC = AC$ (એક જ ચોરસ $ACFG$ ની બાજુઓ)
$2$. $CB = CE$ (એક જ ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ)
$3$. $\angle FCA = \angle BCE = 90^\circ$ (ચોરસના ખૂણાઓ)
બંને બાજુ $\angle ACB$ ઉમેરતા:
$\angle FCA + \angle ACB = \angle BCE + \angle ACB$
$\angle FCB = \angle ACE$
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta FCB \cong \Delta ACE$

(N/A) સાબિત કરવા માટે કે $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(FCB)$:
$1$. $\triangle ACE$ અને લંબચોરસ $CYXE$ ને ધ્યાનમાં લો. આ બંને એક જ પાયા $CE$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $AX$ અને $CE$ ની વચ્ચે આવેલા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(\triangle ACE)$.
$2$. હવે,$\triangle ACE$ અને $\triangle FCB$ ને ધ્યાનમાં લો:
- $AC = FC$ (ચોરસ $ACFG$ ની બાજુઓ)
- $CE = CB$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ)
- $\angle ACE = \angle ACF + \angle FCE = 90^\circ + \angle FCE$
- $\angle FCB = \angle BCE + \angle FCE = 90^\circ + \angle FCE$
- તેથી,$\angle ACE = \angle FCB$.
$3$. $SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ACE \cong \triangle FCB$. એકરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle ACE) = \operatorname{ar}(\triangle FCB)$.
$4$. આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(\triangle FCB)$.

(A) $\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$ સાબિત કરવા માટે:
$1$. $\Delta ABD$ અને $\Delta MBC$ ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $AB = MB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ),$BD = BC$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ),અને $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 90^\circ = \angle ABC + \angle MBA = \angle MBC$ છે.
$2$. $SAS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\Delta ABD \cong \Delta MBC$.
$3$. $\Delta ABD$ અને ચોરસ $ABMN$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\Delta MBC$ અને લંબચોરસ $BYXD$ એક જ પાયા $BD$ પર અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$5$. $\Delta ABD \cong \Delta MBC$ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$.
$6$. સમાન તર્ક દ્વારા,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$.
$7$. આમ,$\operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(ACFG)$.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$.
$1$. $AD$ અને $FC$ ને જોડો. $\triangle ABD$ અને $\triangle MBC$ ને ધ્યાનમાં લો. $AB = MB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ),$BD = BC$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ),અને $\angle ABD = \angle ABC + 90^\circ = \angle MBC + 90^\circ = \angle MBC$. આમ,$SAS$ એકરૂપતા મુજબ $\triangle ABD \cong \triangle MBC$.
$2$. $\triangle ABD$ અને ચોરસ $ABMN$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $MD$ ની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$.
$3$. તેવી જ રીતે,$\triangle MBC$ અને લંબચોરસ $BYXD$ એક જ પાયા $BD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BD$ અને $CX$ ની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$4$. $\triangle ABD \cong \triangle MBC$ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$.
$5$. સમાન તર્ક દ્વારા,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$.
$6$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(BYXD) + \operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(BCED)$.