Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumत्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $P$ और $Q$ हैं और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(RQC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(ABC)$ है।
(N/A) दिया है: $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है।
$1$. चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$CP$,$\Delta ABC$ की एक माध्यिका है। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta PBC$ में,$PQ$ एक माध्यिका है (चूँकि $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APQ$ में,$RQ$ एक माध्यिका है (चूँकि $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$4$. इस प्रकार,$\operatorname{ar}(\Delta RQC) = \operatorname{ar}(\Delta RQP) + \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1+2}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$1$. चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$CP$,$\Delta ABC$ की एक माध्यिका है। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta PBC$ में,$PQ$ एक माध्यिका है (चूँकि $Q$,$BC$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta PBQ) = \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$3$. $\Delta APQ$ में,$RQ$ एक माध्यिका है (चूँकि $R$,$AP$ का मध्य-बिंदु है)। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
चूँकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta RQP) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
$4$. इस प्रकार,$\operatorname{ar}(\Delta RQC) = \operatorname{ar}(\Delta RQP) + \operatorname{ar}(\Delta PQC) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1+2}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{3}{8} \operatorname{ar}(\Delta ABC)$.
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