Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultएक ग्रामीण,इतवारी के पास चतुर्भुज के आकार का जमीन का एक भूखंड है। गाँव की ग्राम पंचायत ने स्वास्थ्य केंद्र बनाने के लिए उसके भूखंड के एक कोने से कुछ हिस्सा लेने का निर्णय लिया। इतवारी इस प्रस्ताव पर इस शर्त के साथ सहमत होता है कि उसे उसकी जमीन के बदले में उसके भूखंड से सटी हुई उतनी ही जमीन दी जाए ताकि एक त्रिभुजाकार भूखंड बन सके। समझाइए कि इस प्रस्ताव को कैसे लागू किया जाएगा।
(N/A) मान लीजिए चतुर्भुज भूखंड $ABCD$ है। मान लीजिए $E$ वह बिंदु है जहाँ विकर्ण $AC$ लिए जाने वाले हिस्से की सीमा को काटता है। इस प्रस्ताव को लागू करने के लिए,हम $D$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचते हैं,जो बढ़ाई गई भुजा $BC$ को बिंदु $F$ पर मिलती है।
अब,$\Delta DAF$ और $\Delta DCF$ पर विचार करें। ये त्रिभुज एक ही आधार $DF$ पर और समानांतर रेखाओं $AC$ और $DF$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta DAF) = \text{ar}(\Delta DCF)$.
दोनों पक्षों से $\text{ar}(\Delta DEF)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar}(\Delta DAF) - \text{ar}(\Delta DEF) = \text{ar}(\Delta DCF) - \text{ar}(\Delta DEF)$
$\Rightarrow \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\Delta CEF)$.
इसका अर्थ है कि त्रिभुजाकार भाग $\Delta ADE$ (जो पंचायत लेती है) का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार भाग $\Delta CEF$ (जो इतवारी को दिया जाता है) के क्षेत्रफल के बराबर है। भूखंड के शेष भाग में $\Delta CEF$ जोड़कर,इतवारी को एक नया त्रिभुजाकार भूखंड $\Delta ABF$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल की जाँच करने के लिए: $\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta CEF)$.
चूँकि $\text{ar}(\Delta CEF) = \text{ar}(\Delta ADE)$,इसलिए:
$\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\text{चतुर्भुज } ABCD)$.
इस प्रकार,कुल क्षेत्रफल समान रहता है।
अब,$\Delta DAF$ और $\Delta DCF$ पर विचार करें। ये त्रिभुज एक ही आधार $DF$ पर और समानांतर रेखाओं $AC$ और $DF$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta DAF) = \text{ar}(\Delta DCF)$.
दोनों पक्षों से $\text{ar}(\Delta DEF)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{ar}(\Delta DAF) - \text{ar}(\Delta DEF) = \text{ar}(\Delta DCF) - \text{ar}(\Delta DEF)$
$\Rightarrow \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\Delta CEF)$.
इसका अर्थ है कि त्रिभुजाकार भाग $\Delta ADE$ (जो पंचायत लेती है) का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार भाग $\Delta CEF$ (जो इतवारी को दिया जाता है) के क्षेत्रफल के बराबर है। भूखंड के शेष भाग में $\Delta CEF$ जोड़कर,इतवारी को एक नया त्रिभुजाकार भूखंड $\Delta ABF$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल की जाँच करने के लिए: $\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta CEF)$.
चूँकि $\text{ar}(\Delta CEF) = \text{ar}(\Delta ADE)$,इसलिए:
$\text{ar}(\Delta ABF) = \text{ar}(ABCE) + \text{ar}(\Delta ADE) = \text{ar}(\text{चतुर्भुज } ABCD)$.
इस प्रकार,कुल क्षेत्रफल समान रहता है।
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