Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultआकृति में,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $EFCD$ एक आयत है। साथ ही,$AL \perp DC$ है। सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ $\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$
$(ii)$ $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$
$(i)$ $\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$
$(ii)$ $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$
(N/A) $(i)$ चूँकि एक आयत भी एक समांतर चतुर्भुज होता है,और $ABCD$ तथा $EFCD$ दोनों एक ही आधार $DC$ पर और दो समांतर रेखाओं $DC$ तथा $EF$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$ होगा।
$(ii)$ उपरोक्त परिणाम से,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$।
चूँकि $EFCD$ एक आयत है,इसका क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = DC \times FC$ होता है।
अतः,$\text{ar}(ABCD) = DC \times FC$ $(1)$।
चूँकि $AL \perp DC$ और $EF \parallel DC$ है,$AL$ समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है। आयत $AFCL$ में (या समांतर रेखाओं को ध्यान में रखते हुए),हमें $AL = FC$ प्राप्त होता है $(2)$।
$(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ उपरोक्त परिणाम से,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(EFCD)$।
चूँकि $EFCD$ एक आयत है,इसका क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = DC \times FC$ होता है।
अतः,$\text{ar}(ABCD) = DC \times FC$ $(1)$।
चूँकि $AL \perp DC$ और $EF \parallel DC$ है,$AL$ समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है। आयत $AFCL$ में (या समांतर रेखाओं को ध्यान में रखते हुए),हमें $AL = FC$ प्राप्त होता है $(2)$।
$(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें $\text{ar}(ABCD) = DC \times AL$ प्राप्त होता है।
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$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
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