Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Gujarati

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{max} = K$ અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = K \cos^2(\frac{\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{6})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $I = K (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = K (\frac{3}{4}) = \frac{3K}{4}$ મળે.

(D) શલાકાની પહોળાઈ $W = \frac{\lambda D}{d} = X$ (આપેલ છે).
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n$ મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n \frac{\lambda D}{d} = nX$ છે.
ચોથી પ્રકાશિત શલાકા માટે,$y_4 = 4X$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n$ મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d} = (2n - 1) \frac{X}{2}$ છે.
છઠ્ઠી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$y'_6 = (2(6) - 1) \frac{X}{2} = \frac{11X}{2} = 5.5X$.
શલાકાઓ મધ્યસ્થ પ્રકાશિત પટ્ટાની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,કુલ અંતર તેમના સ્થાનના મૂલ્યોનો સરવાળો થશે:
કુલ અંતર $= y_4 + y'_6 = 4X + 5.5X = 9.5X$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d} \quad (i)$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે $(\frac{n}{3})^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_2 = \frac{(\frac{n}{3}) \lambda_2 D}{d} \quad (ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{n \lambda_1 D}{d}}{\frac{n \lambda_2 D}{3d}} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{3d}{n \lambda_2 D} = \frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{y_1}{y_2}$ એ $\frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$ છે.

(C) $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10$-મી પ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=10)$:
$y_{10} = \frac{10 \lambda D}{d} = \frac{10 \times \lambda \times 1.2}{0.6 \times 10^{-3}} = (20 \times 10^3) \lambda \quad \dots(i)$
$n$-મી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y'_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3$-જી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=3)$:
$y'_3 = \frac{(2 \times 3 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d} = \frac{5 \times \lambda \times 1.2}{2 \times 0.6 \times 10^{-3}} = (5 \times 10^3) \lambda \quad \dots(ii)$
આપેલ છે કે તેમની વચ્ચેનું અંતર $8.85 \ mm$ છે:
$y_{10} - y'_3 = 8.85 \times 10^{-3} \ m$
$(20 \times 10^3) \lambda - (5 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$(15 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$\lambda = \frac{8.85 \times 10^{-3}}{15 \times 10^3} = 0.59 \times 10^{-6} \ m = 5.9 \times 10^{-7} \ m$
$\lambda = 5900 \ Å$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે. અંતર $S_1P = D$ અને $S_2P = \sqrt{D^2 + d^2}$ છે.
$S_2P$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S_2P = D(1 + \frac{d^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) = D + \frac{d^2}{2D}$.
બિંદુ $P$ પર પથ તફાવત (path difference) $\Delta x$:
$\Delta x = S_2P - S_1P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
$n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવતની શરત:
$\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{d^2}{3D}$,આ કિંમત શરતમાં મૂકતા:
$\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{d^2}{6D}$.
બંને બાજુ $\frac{d^2}{D}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} = \frac{2n - 1}{6}$.
$3 = 2n - 1 \Rightarrow 2n = 4 \Rightarrow n = 2$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{violet} \approx 400 \ nm)$ એ સોડિયમ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{sodium} \approx 589 \ nm)$ કરતા ઘણી ઓછી હોવાથી,જ્યારે સોડિયમ પ્રકાશને બદલે જાંબલી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે ત્યારે શલાકાની પહોળાઈ $W$ ઘટે છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,વિનાશક વ્યતિકરણને કારણે અપ્રકાશિત શલાકાઓ રચાય છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે,પથ તફાવત $\Delta x$ એ અડધી તરંગલંબાઈનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2} = (2n-1) \pi$.
આમ,અપ્રકાશિત શલાકા માટે કળા તફાવત $(2n-1) \pi$ છે.

(B) ધારો કે બે વ્યક્તિગત તરંગોની તીવ્રતા $I_0$ છે. પરિણામી તીવ્રતા $I$ એ $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
- ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\phi = \pi$ હોય,તેથી $I_{min} = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$.
- પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/4$ એ કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ ને અનુરૂપ છે.
- આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_1$ એ $I_1 = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 2I_0$ છે.
- ગુણોત્તર $I_{min} / I_1 = 0 / 2I_0 = 0$ થાય છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુ માટે,તીવ્રતા $I = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{I_{\max}}{4}$,તેથી $\frac{I_{\max}}{4} = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$.
આના પરથી $\cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{\phi}{2} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$,એટલે કે કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
કળા તફાવત અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) \Delta x$ છે.
$\Delta x = d \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $\frac{2\pi}{3} = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) d \sin \theta$ મળે છે.
$\sin \theta$ માટે ઉકેલતા,$\sin \theta = \frac{\lambda}{3d}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1} \left(\frac{\lambda}{3d}\right)$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(\beta)$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં આપેલ છે કે નવું સ્લિટ અંતર $d' = 10d$ અને પડદાથી નવું અંતર $D' = \frac{D}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ આ મુજબ મળે: $\beta' = \frac{D' \lambda}{d'} = \frac{(\frac{D}{2}) \lambda}{10d} = \frac{D \lambda}{20d}$.
આમ,$\beta = \frac{D \lambda}{d}$ હોવાથી,$\beta' = \frac{\beta}{20}$ થાય.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતા $\frac{1}{20}$ ગણી થાય છે.

(C) આપેલ છે: ફ્રિન્જની પહોળાઈ $W = 2 \, mm$.
પડદાના કેન્દ્રથી $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત ફ્રિન્જનું અંતર $y_n = nW$ છે.
પડદાના કેન્દ્રથી $n^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત ફ્રિન્જનું અંતર $y'_n = (n - 0.5)W$ છે.
$13^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે, $n = 13$: $y_{13} = 13 \times 2 = 26 \, mm$.
$4^{\text{થી}}$ અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે, $n = 4$: $y'_4 = (4 - 0.5) \times 2 = 3.5 \times 2 = 7 \, mm$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $y_{13} - y'_4 = 26 \, mm - 7 \, mm = 19 \, mm$ થાય.

(B) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે.
સૂત્રમાં $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{I}{I_0} = \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{I}{I_0} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$, પડદાનું અંતર $D = 1.2 \, m$, તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m$, અને પડદા પરનું સ્થાન $y = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$.
પથ તફાવત $\Delta x$ એ $y$ બિંદુ પર $\Delta x = \frac{d \cdot y}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{(0.6 \times 10^{-3} \, m) \times (3 \times 10^{-3} \, m)}{1.2 \, m} = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{1.2} \, m = 1.5 \times 10^{-6} \, m$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ પથ તફાવત સાથે $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{6000 \times 10^{-10}} \times 1.5 \times 10^{-6} = \frac{2 \pi \times 1.5 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = \frac{3 \pi \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = 0.5 \pi \times 10 = 5 \pi \, \text{રેડિયન}$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થ $(W)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને સ્ક્રીન વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી નવું અંતર $d' = 2d$ થાય.
આપણે ફ્રિન્જ વિડ્થ સમાન રાખવા માંગીએ છીએ,તેથી $W' = W$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda D'}{2d}$
$W = W'$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{\lambda D}{d} = \frac{\lambda D'}{2d}$
બંને બાજુથી $\lambda$ અને $d$ ને દૂર કરતા:
$D = \frac{D'}{2}$
તેથી,$D' = 2D$.
આમ,સ્લિટથી સ્ક્રીનનું અંતર બમણું કરવું જોઈએ.

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $\lambda_{\text{air}} = 6300 \,Å = 6300 \times 10^{-10} \,m$ અને $\mu = 1.33$ છે।
તેથી, $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \,m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda_{\text{liquid}} \times D}{d}$ છે।
અહીં $D = 1.33 \,m$ અને $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$W = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(B) શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $W \propto \lambda$,$W \propto D$ અને $W \propto \frac{1}{d}$.
શલાકાઓને એકબીજાની વધુ નજીક લાવવા માટે,શલાકાની પહોળાઈ $W$ ઘટવી જોઈએ.
કારણ કે $W \propto \lambda$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટાડવાથી શલાકાની પહોળાઈ ઘટશે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોય છે $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}})$.
તેથી,લીલા પ્રકાશને બદલે વાદળી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવાથી શલાકાઓ એકબીજાની વધુ નજીક આવશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ પ્રકાશિત પટ્ટાથી $n$ મી પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે પાંચમી મહત્તમ $(n = 5)$ નું અંતર $y_1 = \frac{5 \lambda_1 D}{d}$ છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે પાંચમી મહત્તમ $(n = 5)$ નું અંતર $y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ છે.
બંને અંતરોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{5 \lambda_1 D}{d}}{\frac{5 \lambda_2 D}{d}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(C) કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ છે.
તેથી,$\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
પરિણામી તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = 2I_0(1 + \cos \phi)$ છે.
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ માટે,$I_1 = 2I_0(1 + \cos(\frac{\pi}{2})) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
બીજા બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ છે.
તેથી,$\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\phi_2 = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$I_2 = 2I_0(1 + \cos(\frac{2\pi}{3})) = 2I_0(1 - \frac{1}{2}) = 2I_0(\frac{1}{2}) = I_0$.
તેથી,$\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = \frac{3I_0}{I_0} = 3$.

(A) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ દાખલ કરવાને કારણે શલાકાનું સ્થાનાંતર $y$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y = \frac{D}{\text{d}} (\mu - 1) t = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
પ્રથમ પ્લેટ માટે આપેલ છે કે $\mu_1 = 1.44$,તેથી સ્થાનાંતર $y_1 = y = \frac{\beta}{\lambda} (1.44 - 1) t = 0.44 t \frac{\beta}{\lambda}$.
બીજી પ્લેટ માટે $\mu_2 = 1.66$,નવું સ્થાનાંતર $y_2$ આ મુજબ છે: $y_2 = \frac{\beta}{\lambda} (1.66 - 1) t = 0.66 t \frac{\beta}{\lambda}$.
બંને સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{y_2}{y_1} = \frac{0.66}{0.44} = \frac{66}{44} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$y_2 = \frac{3}{2} y$.

(B) વ્યતિકરણને કારણે કોઈ બિંદુ પરની તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ થાય છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય છે.
ધારો કે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની તીવ્રતા સમાન છે,એટલે કે $I_1 = I_2 = I_0$,તો તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = 2I_0(1 + \cos \phi)$ બને છે.
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ માટે,$I_1 = 2I_0(1 + \cos 90^{\circ}) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
$\phi_2 = \frac{\pi}{3}$ માટે,$I_2 = 2I_0(1 + \cos 60^{\circ}) = 2I_0(1 + 0.5) = 2I_0(1.5) = 3I_0$.
તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{2I_0}{3I_0} = \frac{2}{3}$ થાય છે.

(D) આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = 3 \mu m = 3 \times 10^{-6} \text{ m}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત $\Delta x = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-6} = n \times (5 \times 10^{-7})$.
$n = \frac{3 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{30}{5} = 6$.
અહીં $n = 6$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,બિંદુ $Q$ એ $6^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા દર્શાવે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ મહત્તમથી $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{n \lambda D}{a}$,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $a$ અચળ હોવાથી,$d \propto n \lambda$ થાય.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે $8^{\text{th}}$ મહત્તમ: $d_1 = 8 \lambda_1 \times (\frac{D}{a})$.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે $6^{\text{th}}$ મહત્તમ: $d_2 = 6 \lambda_2 \times (\frac{D}{a})$.
ગુણોત્તર $\frac{d_2}{d_1}$ લેતા:
$\frac{d_2}{d_1} = \frac{6 \lambda_2}{8 \lambda_1} = \frac{3 \lambda_2}{4 \lambda_1}$.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I = I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{I_0}{2}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2$,એટલે કે $2: 1$ થાય.

(B) સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{87}{2} \lambda = 87 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
આને અપ્રકાશિત શલાકાની શરત સાથે સરખાવતા: $(2n - 1) \frac{\lambda}{2} = 87 \frac{\lambda}{2}$.
$2n - 1 = 87$
$2n = 88$
$n = 44$.
તેથી,આ બિંદુ $44^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા દર્શાવે છે.

(B) પડદા પરના કોઈ બિંદુ $P$ પર,જે કેન્દ્રથી $y$ અંતરે છે,ત્યાં પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{y}{D} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $n = 1$ લેતા,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની બરાબર સામે જોવા મળે છે. કેન્દ્રથી સ્લિટનું અંતર $d/2$ છે. તેથી,$y = d/2$.
આ કિંમતોને પથ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{d}{2} \cdot \frac{d}{D} = \frac{\lambda}{2}$
$\frac{d^2}{D} = \lambda$
તેથી,પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{d^2}{D}$ છે.

(C) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ શલાકાઓની સંખ્યા $n$ એ શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$n \propto \frac{1}{\beta}$ મળે.
તેથી,$n \propto \frac{1}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
અહીં $n_1 = 15$ શલાકા/$cm$,$\lambda_1 = 5600$ Å,અને $\lambda_2 = 7000$ Å આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $15 \times 5600 = n_2 \times 7000$.
$n_2 = \frac{15 \times 5600}{7000} = \frac{15 \times 56}{70} = \frac{15 \times 8}{10} = \frac{120}{10} = 12$.
આમ,પ્રતિ $cm$ $12$ શલાકાઓ મળશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે।
પડદાના અંતરમાં ફેરફાર $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ અને ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta \omega = 3 \times 10^{-5} \, m$ આપેલ છે, તેથી સંબંધ $\Delta \omega = \frac{\lambda (\Delta D)}{d}$ થશે।
$\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\lambda = \frac{d \cdot \Delta \omega}{\Delta D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{(10^{-3} \, m)(3 \times 10^{-5} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m} = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \, m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \, \text{\AA} = 6000 \, \text{\AA}$.

(B) ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\theta = \frac{\lambda}{d}$
આપેલ છે કે,હવામાં $\theta = 0.20$ રેડિયન છે.
જ્યારે આખી સિસ્ટમને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
નવી કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\theta'$ છે:
$\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$
આપેલ છે કે $\mu = \frac{4}{3}$,તેથી:
$\theta' = \frac{0.20}{4/3} = 0.20 \times \frac{3}{4} = 0.15$ રેડિયન.
આમ,પાણીમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $0.15$ રેડિયન થશે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્લિટનું અંતર $d$ ત્રણ ગણું કરવામાં આવે છે,એટલે કે $d' = 3d$,જ્યારે $\lambda$ અને $D$ અચળ રહે છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ આ મુજબ થશે: $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{1}{3} \beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતા $\frac{1}{3}$ ગણી થઈ જશે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
મધ્યસ્થ મહત્તમ માટે,$n = 0$ અને પ્રથમ મહત્તમ માટે,$n = 1$ હોય છે.
આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 6300 Å$ માટે,પ્રથમ મહત્તમ માટેનો પથ તફાવત $\Delta x = 1 \times 6300 Å = 6300 Å$ થાય.

(D) ધારો કે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I'$ છે. પરિણામી તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$
જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_0$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = 1$ હોય,તેથી $I_0 = 4I'$.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I' \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I' \times \frac{1}{2} = 2I'$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{I}{I_0} = \frac{2I'}{4I'} = \frac{1}{2}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$\lambda_1$ તરંગલંબાઇ માટે $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,$\lambda_2$ તરંગલંબાઇ માટે $(n/2)^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $y_2 = \frac{(n/2) \lambda_2 D}{d} = \frac{n \lambda_2 D}{2d}$ છે.
હવે,$y_1$ અને $y_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{(n \lambda_1 D / d)}{(n \lambda_2 D / 2d)} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{2d}{n \lambda_2 D} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં, $\beta_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, જ્યાં $D_1 = 75 \,cm$ છે.
જ્યારે સ્લિટનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે, ત્યારે $d_2 = 2d_1$ થાય છે. ફ્રિન્જની પહોળાઈ અચળ રાખવા માટે $(\beta_2 = \beta_1)$, આપણે $\frac{\lambda D_2}{d_2} = \frac{\lambda D_1}{d_1}$ હોવું જોઈએ.
$d_2 = 2d_1$ મૂકતા, આપણને $\frac{D_2}{2d_1} = \frac{D_1}{d_1}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $D_2 = 2D_1$.
$D_2 = 2 \times 75 \,cm = 150 \,cm$.
પડદાને $75 \,cm$ થી $150 \,cm$ સુધી ખસેડવો આવશ્યક છે, જેનો અર્થ છે કે તેને સ્લિટ્સથી $150 \,cm - 75 \,cm = 75 \,cm$ દૂર ખસેડવો જોઈએ.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકા (મહત્તમ) નું સ્થાન $Y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે $10^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $Y_1 = \frac{10 \lambda_1 D}{d}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે $5^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $Y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ છે.
$Y_1$ અને $Y_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{10 \lambda_1 D / d}{5 \lambda_2 D / d} = \frac{10 \lambda_1}{5 \lambda_2} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર: $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $K$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 1$ હોય,તેથી $K = 4I_0$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ આપેલ છે,તેથી કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
આ કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = K \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $I = K (\frac{1}{2})^2 = \frac{K}{4}$ મળે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુએ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ થાય છે.
ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d^2}{2D} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$.
આથી $\lambda = \frac{d^2}{(2n-1)D}$ મળે છે.
$n=1, 2, 3, \ldots$ માટે,$(2n-1)$ ની કિંમતો $1, 3, 5, \ldots$ થાય છે.
આમ,$\lambda$ એ $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \ldots$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,શક્ય તરંગલંબાઈઓ $D, 3D, 5D, \ldots$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(D) યંગના બે સ્લિટના પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણની ભાત રચવા માટે બે અલગ-અલગ સ્લિટમાંથી આવતા સુસંબદ્ધ પ્રકાશના તરંગોનું સંપાતીકરણ જરૂરી છે.
જ્યારે એક સ્લિટને કાળા અપારદર્શક કાગળથી ઢાંકી દેવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશ ફક્ત બાકી રહેલી એક જ સ્લિટમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
હવે બીજી કોઈ સ્ત્રોત ન હોવાથી,પ્રથમ સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશ સાથે વ્યતિકરણ થવાની શક્યતા રહેતી નથી.
પરિણામે,પડદા પર કોઈ વ્યતિકરણની ભાત (fringes) જોવા મળશે નહીં.

(B) $YDSE$ માં ફ્રિન્જ પહોળાઈનું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે।
ધારો કે મૂળ ફ્રિન્જ પહોળાઈ $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1} = W$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ, નવું અંતર $D_2 = D_1 + 0.25 D_1 = 1.25 D_1$ અને નવું સ્લિટ અંતર $d_2 = \frac{d_1}{2}$ છે।
નવી ફ્રિન્જ પહોળાઈ $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $W_2 = \frac{\lambda (1.25 D_1)}{(d_1 / 2)} = 1.25 \times 2 \times \frac{\lambda D_1}{d_1}$।
કારણ કે $W = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, તેથી $W_2 = 2.5 W$ થાય।

(B) મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = (n - 0.5) \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$n = 4$,તેથી $y_4 = (4 - 0.5) \frac{\lambda D}{d} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની સામે રચાય છે,તેથી તેનું મધ્યસ્થ અક્ષથી અંતર $y = \frac{d}{2}$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d}{2} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
$\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\lambda = \frac{d^2}{2 \times 3.5 D} = \frac{d^2}{7 D}$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત પટ્ટાથી $n^{\text{મા}}$ અપ્રકાશિત પટ્ટાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y_n = (n - \frac{1}{2}) \beta$
જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ અપ્રકાશિત પટ્ટાનો ક્રમ દર્શાવે છે.
આમ,અંતર $(n - 0.5) \beta$ થાય છે.

(D) પથ તફાવત $\Delta x = \frac{57}{2} \lambda = 28.5 \lambda$ આપેલ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n \lambda$ જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$. અહીં $28.5 \lambda$ એ પૂર્ણાંક ગુણાંક નથી,તેથી તે પ્રકાશિત શલાકા નથી.
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (n - \frac{1}{2}) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બંનેને સરખાવતા: $28.5 \lambda = (n - 0.5) \lambda$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n - 0.5 = 28.5$,જે $n = 29$ આપે છે.
તેથી,આ બિંદુ $29^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા દર્શાવે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઇ માટે $6^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $d_1 = \frac{6 \lambda_1 D}{d}$ છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઇ માટે $4^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $d_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$ છે.
$d_1$ અને $d_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{6 \lambda_1 D / d}{4 \lambda_2 D / d} = \frac{6 \lambda_1}{4 \lambda_2} = \frac{3}{2} \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(B) $\text{1.33}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda_w D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, પાણીમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_w = \frac{\lambda_{air}}{\mu} = \frac{6300 \times 10^{-10} \,m}{1.33}$ છે।
આપેલ છે: $D = 1.33 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, અને $\mu = 1.33$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
શલાકાઓને એકબીજાની વધુ નજીક લાવવા માટે,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટાડવી જરૂરી છે.
સૂત્ર પરથી,$\beta \propto \lambda$ અને $\beta \propto \frac{1}{d}$ છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોવાથી $(\lambda_{blue} < \lambda_{green})$,વાદળી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવાથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આ પ્રયોગ પાણીમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે $(\mu > 1)$.
$\mu > 1$ હોવાથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda'$ એ હવામાં રહેલી મૂળ તરંગલંબાઇ $\lambda$ કરતા નાની હોય છે.
પરિણામે,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થાય છે.
$\mu > 1$ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ ઘટે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જ-વિડ્થ $(z)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને સ્ક્રીન (અથવા આઈ-પીસ) વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $\lambda$ અને $d$ અચળ રાખવામાં આવ્યા હોવાથી,$z \propto D$ થાય છે.
આ સંબંધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $(C)$ સીધો રેખીય સંબંધ $(z \propto D)$ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો આલેખ $(C)$ છે.

(D) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$,સ્ક્રીનનું અંતર $D = 2 \,m$,તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 480 \,nm = 480 \times 10^{-9} \,m$ અને $\lambda_2 = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$.
$n^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ તરંગલંબાઇ માટે $5^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકા: $y_5^{(1)} = 5 \frac{\lambda_1 D}{d}$.
બીજી તરંગલંબાઇ માટે $5^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકા: $y_5^{(2)} = 5 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
આ શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_5^{(2)} - y_5^{(1)} = \frac{5D}{d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta y = \frac{5 \times 2}{3 \times 10^{-3}} \times (600 - 480) \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta y = \frac{10}{3 \times 10^{-3}} \times 120 \times 10^{-9} \,m = \frac{1200}{3} \times 10^{-6} \,m = 400 \times 10^{-6} \,m = 4 \times 10^{-4} \,m$.