Telescope Questions in Hindi

(B) दूर की वस्तु का आवर्धित और सीधा प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,हम एक उत्तल लेंस (अभिदृश्यक के रूप में) और एक अवतल लेंस (नेत्रिका के रूप में) के संयोजन का उपयोग करते हैं। इस विन्यास को गैलीलियन टेलीस्कोप के रूप में जाना जाता है। इस सेटअप में,उत्तल लेंस एक वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है और अवतल लेंस इस प्रतिबिंब को सीधा रखते हुए इसे आवर्धित करने के लिए नेत्रिका के रूप में कार्य करता है।

(C) सामान्य समायोजन (normal adjustment) में एक खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता $(M)$ को आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण और अभिदृश्यक पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सामान्य समायोजन में दूरबीन के लिए,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
आवर्धन क्षमता का सूत्र $M = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र $M = \frac{f_o}{f_e}$ है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
लेंस की शक्ति $(P)$ को $P = \frac{1}{f_e}$ (मीटर में) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस मान को आवर्धन के सूत्र में रखने पर,हमें $M = f_o \times P$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्धन क्षमता $(M)$ को बढ़ाने के लिए,हमें नेत्रिका की शक्ति $(P)$ को बढ़ाना होगा। इस प्रकार,उच्च शक्ति का नेत्रिका लगाने से दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता बढ़ जाती है।

(B) सामान्य समायोजन में दूरबीन का आवर्धन $m$, अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$m = \frac{f_o}{f_e} = \frac{60\, cm}{5\, cm} = 12$.
साथ ही, कोणीय आवर्धन $m$ को आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण $(\beta)$ और अभिदृश्यक पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण $(\alpha)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$m = \frac{\beta}{\alpha}$.
यह दिया गया है कि वस्तु $\alpha = 2^o$ का कोण बनाती है, इसलिए हम प्रतिबिंब की कोणीय चौड़ाई $\beta$ ज्ञात कर सकते हैं:
$\beta = m \times \alpha = 12 \times 2^o = 24^o$.

(C) टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(M)$ को आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण और बिना सहायता वाली आँख पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक टेलीस्कोप के लिए,आवर्धन क्षमता $M = 10$ का अर्थ है कि वस्तु प्रेक्षक को उसकी वास्तविक दूरी से $10$ गुना अधिक निकट दिखाई देती है।
इसलिए,पेड़ $10$ गुना पास दिखाई देगा।

(A) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 2 \, m = 200 \, cm$,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 5 \, cm$,और स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $D = 25 \, cm$.
$(i)$ जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D)$ पर बनता है:
आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = - \frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$ है।
मान रखने पर: $m = - \frac{200}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right) = -40 \left( 1 + 0.2 \right) = -40 \times 1.2 = -48$.
$(ii)$ जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (सामान्य समायोजन):
आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = - \frac{f_o}{f_e}$ है।
मान रखने पर: $m = - \frac{200}{5} = -40$.
अतः,आवर्धन क्षमताएं क्रमशः $-48$ और $-40$ होंगी।

(A) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी है।
आवर्धन क्षमता $(m)$ को बढ़ाने के लिए,अंश $(f_o)$ को यथासंभव बड़ा और हर $(f_e)$ को यथासंभव छोटा होना चाहिए।
अतः,$f_o$ बड़ा और $f_e$ छोटा होना चाहिए।

(B) दूरदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $(f_e)$ की तुलना में बहुत अधिक होती है,अर्थात $f_o >> f_e$।
सूक्ष्मदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ बहुत छोटी होती है,और यह नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $(f_e)$ से कम होती है,अर्थात $f_o < f_e$।
इसलिए,अभिदृश्यक और नेत्रिका लेंस की फोकस दूरियों के बीच का सापेक्ष अंतर सूक्ष्मदर्शी की तुलना में दूरदर्शी में काफी अधिक होता है।

(A) खगोलीय दूरबीन का आवर्धन (magnification) $m = -f_o / f_e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
चूंकि अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी नेत्रिका की तुलना में बहुत अधिक होती है $(f_o > f_e)$,इसलिए प्रारंभिक आवर्धन बड़ा होता है।
जब दूरबीन को उल्टा कर दिया जाता है,तो नेत्रिका अभिदृश्यक के रूप में और अभिदृश्यक नेत्रिका के रूप में कार्य करता है।
नया आवर्धन $m' = -f_e / f_o$ हो जाता है।
चूंकि $f_e < f_o$,इसलिए नए आवर्धन का परिमाण $1$ से बहुत कम होता है।
अतः,वस्तु बहुत छोटी दिखाई देगी।

(D) समानांतर किरणों के लिए समायोजित पार्थिव दूरदर्शी के लिए,आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $f_o = 80 \, cm$ और $m = 20$ दिया गया है,इसलिए $20 = \frac{80}{f_e}$,जिससे $f_e = 4 \, cm$ प्राप्त होता है।
पार्थिव दूरदर्शी की लंबाई $L = f_o + 4f + f_e$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ इरेक्टिंग लेंस की फोकस दूरी है।
यहाँ $f = 20 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $L = 80 + 4(20) + 4$.
$L = 80 + 80 + 4 = 164 \, cm$.

(D) एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (सामान्य समायोजन),तो कोणीय आवर्धन $|m| = \frac{f_o}{f_e} = 5$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $f_o = 5f_e$ ... $(i)$।
दूरदर्शी की नली की लंबाई अभिदृश्यक और नेत्रिका की फोकस दूरियों का योग होती है: $L = f_o + f_e = 36 \, cm$ ... $(ii)$।
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $5f_e + f_e = 36 \, cm$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $6f_e = 36 \, cm$ हो जाता है।
अतः,$f_e = 6 \, cm$।
$f_e$ का मान $(i)$ में रखने पर,हमें $f_o = 5 \times 6 \, cm = 30 \, cm$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फोकस दूरियाँ $f_o = 30 \, cm$ और $f_e = 6 \, cm$ हैं।

(C) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,आवर्धन क्षमता $m$ को अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 180 \, cm$.
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 6 \, cm$.
आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ है।
मान रखने पर: $m = \frac{180}{6} = 30$.
अतः,आवर्धन क्षमता $30$ होगी।

(C) सामान्य समायोजन (relaxed vision) में खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e} = 16$ द्वारा दी जाती है।
इससे हमें $f_o = 16 f_e$ प्राप्त होता है ..........$(i)$
सामान्य समायोजन में दूरदर्शी की नली की लंबाई अभिदृश्यक और नेत्रिका की फोकस दूरियों का योग होती है: $L = f_o + f_e = 34\, cm$ ..........$(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$16 f_e + f_e = 34$
$17 f_e = 34$
$f_e = 2\, cm$
अब,$f_e = 2\, cm$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$f_o = 16 \times 2 = 32\, cm$
अतः,फोकस दूरियाँ $f_o = 32\, cm$ और $f_e = 2\, cm$ हैं।

(C) अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $f_o = \frac{1}{P_o} = \frac{1}{1.25} = 0.8 \, m = 80 \, cm$ है।
नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $f_e = \frac{1}{P_e} = \frac{1}{-20} = -0.05 \, m = -5 \, cm$ है।
सामान्य दृष्टि (relaxed vision) के लिए,गैलीलियन दूरदर्शी की लंबाई $L = |f_o| - |f_e| = 80 \, cm - 5 \, cm = 75 \, cm$ होती है।
गैलीलियन दूरदर्शी का आवर्धन $m = \frac{f_o}{|f_e|} = \frac{0.8}{0.05} = 16$ होता है।
अतः,लंबाई $75 \, cm$ और आवर्धन $16$ है।

(A) किसी भी प्रकाशीय उपकरण की प्रकाश एकत्र करने की क्षमता उसके द्वारक के क्षेत्रफल के सीधे समानुपाती होती है।
जैसे-जैसे टेलीस्कोप के लेंस का द्वारक बढ़ाया जाता है,दूर की वस्तु से आने वाला अधिक प्रकाश टेलीस्कोप में प्रवेश करता है।
इसके परिणामस्वरूप प्रतिबिंब अधिक चमकीला बनता है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब की तीव्रता बढ़ जाती है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) गैलीलियन दूरदर्शी में एक उत्तल अभिदृश्यक लेंस (objective lens) और एक अवतल नेत्रिका (eyepiece) होती है।
जब दूरदर्शी सामान्य समायोजन (normal adjustment) में होता है,तो अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
अनंत पर स्थित वस्तु के लिए,अभिदृश्यक लेंस में प्रवेश करने वाली किरणें उसके फोकस तल पर एक प्रतिबिंब बनाती हैं।
यह प्रतिबिंब अवतल नेत्रिका के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
चूंकि नेत्रिका अवतल होती है,इसलिए यह वस्तु का आभासी,सीधा और आवर्धित (बड़ा) प्रतिबिंब बनाती है।
अतः,गैलीलियन दूरदर्शी द्वारा बनाया गया अंतिम प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित होता है।

(B) दूरदर्शी के लिए,जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (सामान्य समायोजन),तो आवर्धन क्षमता $m$ को अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$f_o = 60 \, cm$
$f_e = 10 \, cm$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
$m = \frac{60}{10} = 6$
अतः,आवर्धन क्षमता का परिमाण $6$ है।

(A) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी की नली की लंबाई $L = f_o + f_e = 54 \, cm$ होती है।
आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e} = 8$ है,जिसका अर्थ है $f_o = 8f_e$.
$f_o = 8f_e$ को लंबाई के समीकरण में रखने पर: $8f_e + f_e = 54 \, cm$.
$9f_e = 54 \, cm \Rightarrow f_e = 6 \, cm$.
अब,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी की गणना करने पर: $f_o = 8 \times 6 \, cm = 48 \, cm$.
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $6 \, cm$ और अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $48 \, cm$ है।

(A) गैलीलियन टेलीस्कोप के लिए,ट्यूब की लंबाई $L$ को $L = f_o - f_e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी है और $f_e$ आईपीस की फोकस दूरी है।
यहाँ $L = 9 \, cm$ और $f_o = 15 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर,$9 = 15 - f_e$,जिसका अर्थ है $f_e = 15 - 9 = 6 \, cm$।
गैलीलियन टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $m$ को $m = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$m = \frac{15}{6} = 2.5$।

(C) जब एक दूरदर्शी को समानांतर प्रकाश (सामान्य समायोजन) के लिए समायोजित किया जाता है,तो दूरदर्शी की नली की लंबाई $L = f_o + f_e = 80 \,cm$ होती है।
दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $M = \frac{f_o}{f_e} = 19$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे समीकरण से,$f_o = 19 f_e$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $19 f_e + f_e = 80 \,cm$।
$20 f_e = 80 \,cm$,जिससे $f_e = 4 \,cm$ प्राप्त होता है।
तब,$f_o = 19 \times 4 \,cm = 76 \,cm$।
अतः,लेंसों की फोकस दूरियाँ $76 \,cm$ और $4 \,cm$ हैं।

(A) एक परावर्तक दूरदर्शी प्रकाश को इकट्ठा करने और केंद्रित करने के लिए अपने प्राथमिक उद्देश्य लेंस के रूप में एक बड़े अवतल दर्पण का उपयोग करता है।
उत्तल दर्पणों के विपरीत,अवतल दर्पण दूर की वस्तुओं के वास्तविक प्रतिबिंब बना सकते हैं,जो खगोलीय अवलोकनों के लिए आवश्यक है।
एक परावर्तक दूरदर्शी में,दूर की वस्तु से आने वाली समानांतर किरणें बड़े अवतल दर्पण द्वारा परावर्तित होती हैं और एक द्वितीयक दर्पण की ओर निर्देशित होती हैं।
यह द्वितीयक दर्पण फिर प्रकाश को नेत्रिका (eyepiece) की ओर परावर्तित करता है,जहाँ अंतिम प्रतिबिंब बनता है।
इसलिए,अवतल दर्पण एक परावर्तक दूरदर्शी का मूलभूत घटक है।

(C) खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता $(m)$ को आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण और अभिदृश्यक पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सामान्य समायोजन (normal adjustment) में दूरबीन के लिए,आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
जब प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D)$ पर बनता है,तो सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e} (1 + \frac{f_e}{D})$ होता है।
दोनों ही स्थितियों में,आवर्धन क्षमता अभिदृश्यक और नेत्रिका दोनों की फोकस दूरी पर निर्भर करती है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) दूरबीन के लिए,अभिदृश्यक लेंस (objective lens) और नेत्रिका (eyepiece) के बीच की दूरी को ट्यूब की लंबाई $(L)$ कहा जाता है।
जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (सामान्य समायोजन),तो दोनों लेंसों के बीच की दूरी उनकी फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है:
$L = f_o + f_e$
दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 0.3 \, m$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 0.05 \, m$
अतः,दोनों लेंसों के बीच की दूरी है:
$L = 0.3 \, m + 0.05 \, m = 0.35 \, m$
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
खगोलीय दूरदर्शी सामान्यतः दो उत्तल लेंसों से बना होता है।
खगोलीय दूरदर्शी द्वारा निर्मित अंतिम प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष उल्टा (inverted) होता है,सीधा (erect) नहीं।
अतः,यह कथन कि प्रतिबिंब हमेशा सीधा होता है,गलत है।

(D) एक खगोलीय दूरदर्शी में,अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी $f_o + f_e$ होती है।
इसे पार्थिव दूरदर्शी बनाने के लिए,उनके बीच $f$ फोकस दूरी का एक सीधा करने वाला लेंस रखा जाता है।
सीधा करने वाले लेंस द्वारा वस्तु के समान आकार का प्रतिबिंब बनाने के लिए,वस्तु (जो अभिदृश्यक द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब है) को लेंस से $2f$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए और प्रतिबिंब दूसरी ओर $2f$ की दूरी पर बनेगा।
इस प्रकार,अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच जोड़ी गई कुल दूरी $2f + 2f = 4f$ है।
अतः,दूरदर्शी की नली की लंबाई में $4f$ की वृद्धि होती है।

(C) सामान्य समायोजन (normal adjustment) में खगोलीय दूरदर्शी के लिए,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
अभिदृश्यक लेंस दूर की वस्तु का प्रतिबिंब अपने फोकस बिंदु पर बनाता है,जो अभिदृश्यक लेंस से $f_o$ की दूरी पर होता है।
अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनने के लिए,यह प्रतिबिंब नेत्रिका (eyepiece) के फोकस बिंदु पर स्थित होना चाहिए।
इसलिए,अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी उनकी फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है।
अतः,दूरदर्शी की लंबाई $L = f_o + f_e$ होती है।

(B) गैलीलियन दूरदर्शी के लिए,सामान्य दृष्टि (जहाँ अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है) के लिए आवर्धन क्षमता $M$ का सूत्र है:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
दिया गया है:
अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_o = 200 \, cm$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 2 \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$M = \frac{200}{2} = 100$
अतः,दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $100$ है।

(A) एक खगोलीय दूरबीन के लिए,सामान्य आँख (जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर हो) के लिए आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र है:
$m = -\frac{f_o}{f_e}$
दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 100 \, cm$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 2 \, cm$
मान रखने पर:
$m = -\frac{100}{2} = -50$
आवर्धन क्षमता का परिमाण $50$ है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि अंतिम प्रतिबिंब उल्टा बनता है।

(C) एक खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है,अर्थात $M = f_o / f_e$।
चूंकि द्वारक का व्यास बढ़ाने पर लेंस की फोकस दूरियां नहीं बदलती हैं,इसलिए आवर्धन क्षमता समान रहती है।
दूरदर्शी की विभेदन क्षमता को $1 / \Delta\theta = D / 1.22\lambda$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक द्वारक का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
जैसे-जैसे व्यास $D$ बढ़ता है,विभेदन क्षमता बढ़ती है।
इसके अतिरिक्त,प्रकाश एकत्र करने की क्षमता (प्रतिबिंब की तीव्रता) बढ़ती है क्योंकि यह व्यास के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto D^2)$।

(B) खगोलीय दूरबीन के लिए जब अंतिम प्रतिबिंब निकट बिंदु (स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $D = 25 \, cm$) पर बनता है,तो आवर्धन क्षमता $m$ का सूत्र इस प्रकार है:
$m = - \frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$
दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $f_o = 200 \, cm$
नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $f_e = 5 \, cm$
स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $D = 25 \, cm$
मान रखने पर:
$m = - \frac{200}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$
$m = - 40 \left( 1 + 0.2 \right)$
$m = - 40 \times 1.2 = - 48$
अतः,अधिकतम आवर्धन क्षमता $-48$ होगी।

(B) सामान्य समायोजन में खगोलीय टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र $m = -\frac{f_o}{f_e}$ होता है, जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्र लेंस की फोकस दूरी है。
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि आवर्धन क्षमता नेत्र लेंस की फोकस दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $m \propto \frac{1}{f_e}$.
यदि नेत्र लेंस की फोकस दूरी आधी कर दी जाए, अर्थात $f_e' = \frac{f_e}{2}$, तो नई आवर्धन क्षमता $m'$ होगी:
$m' = -\frac{f_o}{f_e'} = -\frac{f_o}{f_e / 2} = 2 \left( -\frac{f_o}{f_e} \right) = 2M$.
अतः, आवर्धन क्षमता $2M$ हो जाएगी。

(B) एक खगोलीय दूरदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस का उपयोग दूर की वस्तुओं से प्रकाश एकत्र करने के लिए किया जाता है,इसलिए इसके लिए बड़े द्वारक (aperture) और लंबी फोकस दूरी $(f_0)$ की आवश्यकता होती है।
नेत्रिका एक साधारण आवर्धक (magnifier) के रूप में कार्य करती है और इसके लिए कम फोकस दूरी $(f_e)$ की आवश्यकता होती है।
अतः,खगोलीय दूरदर्शी के लिए शर्त $f_0 > f_e$ है।

(A) खगोलीय दूरबीन (टेलीस्कोप) का आवर्धन $m$ सूत्र $m = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक (objective) लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) लेंस की फोकस दूरी है।
आवर्धन $m$ को अधिकतम करने के लिए,हमें अनुपात $\frac{f_o}{f_e}$ को अधिकतम करना होगा।
यह अभिदृश्यक लेंस के लिए सबसे बड़ी उपलब्ध फोकस दूरी $(f_o = 100 \, cm)$ और नेत्रिका के लिए सबसे छोटी उपलब्ध फोकस दूरी $(f_e = 0.3 \, cm)$ चुनकर प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,$100 \, cm$ और $0.3 \, cm$ फोकस दूरी वाले लेंसों का चयन किया जाना चाहिए।

(B) दिया गया है:
अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_o = 100\, cm$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 5\, cm$
स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी,$D = 25\, cm$
जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है,तो दूरबीन के आवर्धन का सूत्र है:
$m = \frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$
मान रखने पर:
$m = \frac{100}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$
$m = 20 \left( 1 + 0.2 \right)$
$m = 20 \times 1.2 = 24$
अतः,दूरबीन का आवर्धन $24$ है।

(D) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,ऑब्जेक्टिव और आई-पीस के बीच की दूरी $L = f_o + f_e$ होती है। दिया गया है $f_o = 16 \, m$ और $f_e = 2 \, cm = 0.02 \, m$,इसलिए $L = 16 + 0.02 = 16.02 \, m$। कथन $A$ सही है।
कोणीय आवर्धन $m$ का मान $m = -f_o / f_e = -16 / 0.02 = -800$ होता है। आवर्धन का परिमाण $800$ है। कथन $B$ सही है।
आवर्धन में ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि खगोलीय दूरदर्शी द्वारा बनाया गया अंतिम प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष उल्टा होता है। कथन $C$ सही है।
चूंकि कथन $A, B,$ और $C$ सभी सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरबीन के लिए,आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e} = 20$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f_o = 20f_e$।
दूरबीन की नली की लंबाई $L = f_o + f_e = 105 \, cm$ है।
लंबाई के समीकरण में $f_o = 20f_e$ प्रतिस्थापित करने पर: $20f_e + f_e = 105$।
$21f_e = 105$,इसलिए $f_e = \frac{105}{21} = 5 \, cm$।
अब,अभिदृश्यक की फोकस दूरी की गणना करें: $f_o = 20 \times 5 = 100 \, cm$।

(A) खगोलीय दूरदर्शी (astronomical telescope) के सामान्य समायोजन के लिए,ट्यूब की लंबाई $L$ वस्तुनिष्ठ लेंस $(f_o)$ और नेत्रिका $(f_e)$ की फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है।
$L = f_o + f_e$
यहाँ $L = 36 \, cm$ दिया गया है।
चूंकि खगोलीय दूरदर्शी में दो उत्तल लेंसों का उपयोग किया जाता है,इसलिए दोनों फोकस दूरियाँ धनात्मक होनी चाहिए।
अतः,$f_o + f_e = 36 \, cm$।
विकल्पों की जाँच करने पर,$30 \, cm + 6 \, cm = 36 \, cm$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी की नली की लंबाई $L = f_o + f_e = 44\, cm$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय आवर्धन $|m| = \frac{f_o}{f_e} = 10$ है,जिसका अर्थ है $f_o = 10 f_e$।
लंबाई के समीकरण में $f_o = 10 f_e$ रखने पर: $10 f_e + f_e = 44$।
$11 f_e = 44$,इसलिए $f_e = 4\, cm$।
अतः,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 10 \times 4 = 40\, cm$ है।

(C) एक अपवर्तक दूरदर्शी के लिए,आवर्धन क्षमता $(m)$ को आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण और अभिदृश्यक पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब वस्तु अनंत पर होती है,तो अभिदृश्यक लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब उसके फोकस तल $(f_o)$ पर बनता है।
जब अंतिम प्रतिबिंब भी अनंत पर होता है (सामान्य समायोजन),तो नेत्रिका को इस प्रकार व्यवस्थित किया जाता है कि अभिदृश्यक द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब नेत्रिका के फोकस बिंदु $(f_e)$ पर स्थित हो।
इस विन्यास में,आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ होता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।

(B) एक पार्थिव दूरदर्शी में तीन लेंस होते हैं: एक अभिदृश्यक लेंस (objective lens),एक नेत्रिका (eyepiece),और एक सीधा करने वाला लेंस (erecting lens)।
अभिदृश्यक लेंस दूर की वस्तु का वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब बनाता है।
सीधा करने वाला लेंस इस प्रकार रखा जाता है कि वह इस प्रतिबिंब को फिर से उल्टा कर दे,जिससे अंतिम प्रतिबिंब सीधा प्राप्त होता है।
इसके बाद नेत्रिका इस सीधे प्रतिबिंब को प्रेक्षक के लिए आवर्धित करती है।

(D) खगोलीय दूरदर्शी के लिए,अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी $f_o = 50\, cm$ और नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी $f_e = 5\, cm$ है।
जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D = 25\, cm)$ पर बनता है,तो दूरदर्शी की नली की लंबाई $L$ का सूत्र है:
$L = f_o + u_e$
जहाँ $u_e$ नेत्रिका के लिए वस्तु की दूरी है।
नेत्रिका के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$.
यहाँ,$v_e = -D = -25\, cm$,इसलिए $\frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{5}$.
$\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = \frac{-1 - 5}{25} = -\frac{6}{25}$.
अतः,$u_e = \frac{25}{6}\, cm$.
दूरदर्शी की लंबाई $L = 50 + \frac{25}{6} = \frac{300 + 25}{6} = \frac{325}{6}\, cm$ होगी।

(C) टेलीस्कोप का आवर्धन $m$, आंख पर छवि द्वारा बनाए गए कोण $(\beta)$ और ऑब्जेक्टिव पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण $(\alpha)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$m = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{f_o}{f_e}$
दिया गया है:
ऑब्जेक्टिव की फोकल लंबाई, $f_o = 100 \ cm$
आई-पीस की फोकल लंबाई, $f_e = 2 \ cm$
चंद्रमा द्वारा आंख पर बनाया गया कोण (वस्तु का कोण), $\alpha = 0.5^o$
आवर्धन के सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{\beta}{0.5^o} = \frac{100}{2}$
$\frac{\beta}{0.5^o} = 50$
$\beta = 50 \times 0.5^o = 25^o$
अतः, चंद्रमा की छवि द्वारा बनाया गया कोण $25^o$ होगा।

(C) एक पार्थिव दूरदर्शी के लिए,आवर्धन $m$ अभिदृश्यक-उत्क्रमक लेंस प्रणाली और नेत्रिका के आवर्धन के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 90\, cm$,उत्क्रमक लेंस की फोकस दूरी $f_i = 5\, cm$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 6\, cm$ है।
अंतिम प्रतिबिंब नेत्रिका से $D = 30\, cm$ की दूरी पर बनता है।
पार्थिव दूरदर्शी के आवर्धन का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m = \frac{90}{6} \left( 1 + \frac{6}{30} \right)$
$m = 15 \left( 1 + 0.2 \right)$
$m = 15 \times 1.2 = 18$.
अतः,आवर्धन $18$ है।

(A) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी का आवर्धन $M$ सूत्र $M = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eye-piece) की फोकस दूरी है।
सबसे बड़ा आवर्धन $M$ प्राप्त करने के लिए,अनुपात $\frac{f_o}{f_e}$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि दिए गए अभिदृश्यक लेंस के लिए,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e$ सबसे कम होनी चाहिए।
दी गई फोकस दूरियों $(+ 15\, cm, + 20\, cm, + 150\, cm, + 250\, cm)$ में से,सबसे छोटा मान $+ 15\, cm$ है।
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $+ 15\, cm$ होनी चाहिए।

(B) खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D)$ पर बनता है:
$m = \frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$
दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 150 \, cm$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 6 \, cm$
स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी,$D = 25 \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$m = \frac{150}{6} \left( 1 + \frac{6}{25} \right)$
$m = 25 \left( 1 + 0.24 \right) = 25 \times 1.24 = 31$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $30$ है।

(D) सामान्य समायोजन में खगोलीय टेलीस्कोप की लंबाई $L = f_o + f_e = 10 \ cm$ होती है।
आवर्धन क्षमता $M = \frac{f_o}{f_e} = 4$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f_o = 4f_e$।
लंबाई के समीकरण में $f_o = 4f_e$ रखने पर: $4f_e + f_e = 10 \ cm$,इसलिए $5f_e = 10 \ cm$,जिससे $f_e = 2 \ cm$ प्राप्त होता है।
तब,$f_o = 4 \times 2 \ cm = 8 \ cm$।
इन मानों की दी गई फोकस दूरियों से तुलना करने पर: $f_o = 8 \ cm$ लेंस ${L_4}$ के अनुरूप है और $f_e = 2 \ cm$ लेंस ${L_1}$ के अनुरूप है।
अतः,ऑब्जेक्टिव लेंस ${L_4}$ है और आई लेंस ${L_1}$ है।

(C) दिया गया है: ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी $f_o = 50 \text{ cm}$,आईपीस की फोकस दूरी $f_e = 5 \text{ cm}$,स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $D = 25 \text{ cm}$,और वस्तु की दूरी $u_o = 200 \text{ cm}$।
सबसे पहले,लेंस सूत्र $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ का उपयोग करके ऑब्जेक्टिव लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब की दूरी $v_o$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{50} + \frac{1}{200} = \frac{5}{200} = \frac{1}{40}$,इसलिए $v_o = 40 \text{ cm}$।
आईपीस के लिए,प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है,इसलिए $v_e = -25 \text{ cm}$। आईपीस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{u_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{f_e} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{5} = -\frac{6}{25}$।
अतः $|u_e| = \frac{25}{6} \text{ cm} \approx 4.17 \text{ cm}$।
ऑब्जेक्टिव और आईपीस के बीच की कुल दूरी $L = v_o + |u_e| = 40 + 4.17 = 44.17 \text{ cm}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $C$ है।

(B) गैलीलियो दूरबीन के लिए,आवर्धन क्षमता $m$ का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (आईपीस) की फोकस दूरी है।
दिया गया है $f_o = 100\,cm$ और $m = 50$,अतः नेत्रिका की फोकस दूरी होगी:
$f_e = \frac{f_o}{m} = \frac{100}{50} = 2\,cm$.
सामान्य समायोजन में,गैलीलियो दूरबीन के लिए अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी $L = f_o - f_e$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $L = 100\,cm - 2\,cm = 98\,cm$.

(B) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता $m$ का सूत्र इस प्रकार है:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
दिया गया है:
आवर्धन क्षमता $m = 10$
नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 20 \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = \frac{f_o}{20 \, cm}$
$f_o = 10 \times 20 \, cm$
$f_o = 200 \, cm$
अतः,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $200 \, cm$ है।

(D) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $M$,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$M = \frac{f_o}{f_e}$.
चूंकि क्षमता $P = \frac{1}{f}$ (मीटर में) होती है,इसलिए $f = \frac{1}{P}$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $M = \frac{1/P_o}{1/P_e} = \frac{P_e}{P_o}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: अभिदृश्यक की क्षमता $P_o = 0.5\, D$ और नेत्रिका की क्षमता $P_e = 20\, D$ है।
अतः,$M = \frac{20}{0.5} = 40$।