Telescope Questions in Hindi

(D) टेलीस्कोप की ट्यूब की लंबाई $L$,अभिदृश्यक लेंस $(f_o)$ और नेत्रिका $(f_e)$ की फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है: $L = f_o + f_e = 60 \; cm$.
टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $M$ फोकस दूरियों के अनुपात द्वारा दी जाती है: $M = \frac{f_o}{f_e} = 5$.
इससे हमें $f_o = 5 f_e$ प्राप्त होता है।
इस मान को ट्यूब की लंबाई के समीकरण में रखने पर: $5 f_e + f_e = 60 \; cm$,जो सरल होकर $6 f_e = 60 \; cm$ हो जाता है।
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 10 \; cm$ है।

(N/A) दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_{o} = 144\;cm$
नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी,$f_{e} = 6.0\;cm$
सामान्य समायोजन (normal adjustment) में दूरबीन की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र है:
$m = \frac{f_{o}}{f_{e}}$
$m = \frac{144}{6} = 24$
सामान्य समायोजन के लिए अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी इस प्रकार है:
$L = f_{o} + f_{e}$
$L = 144 + 6 = 150\;cm$
अतः,दूरबीन की आवर्धन क्षमता $24$ है और अभिदृश्यक लेंस तथा नेत्रिका के बीच की दूरी $150\;cm$ है।

(N/A) दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_{o} = 15 \; m = 1500 \; cm$.
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_{e} = 1.0 \; cm$.
$(a)$ दूरबीन का कोणीय आवर्धन $m$ इस प्रकार दिया जाता है:
$m = \frac{f_{o}}{f_{e}} = \frac{1500 \; cm}{1.0 \; cm} = 1500$.
अतः,दूरबीन का कोणीय आवर्धन $1500$ है।
$(b)$ चंद्रमा का व्यास,$d = 3.48 \times 10^{6} \; m$.
चंद्रमा की कक्षा की त्रिज्या,$r = 3.8 \times 10^{8} \; m$.
माना $d'$ अभिदृश्यक लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब का व्यास है। चंद्रमा द्वारा अभिदृश्यक पर अंतरित कोण,प्रतिबिंब द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है।
$\frac{d}{r} = \frac{d'}{f_{o}}$
$d' = \frac{d \times f_{o}}{r} = \frac{3.48 \times 10^{6} \; m \times 15 \; m}{3.8 \times 10^{8} \; m}$
$d' = \frac{3.48 \times 15}{3.8} \times 10^{-2} \; m \approx 13.74 \times 10^{-2} \; m = 13.74 \; cm$.
अतः,अभिदृश्यक लेंस द्वारा बने चंद्रमा के प्रतिबिंब का व्यास $13.74 \; cm$ है।

(N/A) दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_{o} = 140 \; cm$
नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी,$f_{e} = 5.0 \; cm$
स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी,$d = 25 \; cm$
$(a)$ जब टेलीस्कोप सामान्य समायोजन में होता है,तो अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है। आवर्धन क्षमता $m$ इस प्रकार दी जाती है:
$m = -\frac{f_{o}}{f_{e}}$
$m = -\frac{140}{5} = -28$
आवर्धन क्षमता का परिमाण $28$ है।
$(b)$ जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $d$ पर बनता है,तो आवर्धन क्षमता $m$ इस प्रकार दी जाती है:
$m = -\frac{f_{o}}{f_{e}} \left( 1 + \frac{f_{e}}{d} \right)$
$m = -\frac{140}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$
$m = -28 \times (1 + 0.2)$
$m = -28 \times 1.2 = -33.6$
आवर्धन क्षमता का परिमाण $33.6$ है।

(C) दिया गया है: अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_{o} = 140\;cm$. नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_{e} = 5.0\;cm$.
$(a)$ सामान्य समायोजन में,अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी $L = f_{o} + f_{e} = 140 + 5 = 145\;cm$ है।
$(b)$ टॉवर की ऊंचाई,$h_{1} = 100\;m$. दूरबीन से टॉवर की दूरी,$u = 3\;km = 3000\;m$. टॉवर द्वारा दूरबीन पर बनाया गया कोण $\theta = \frac{h_{1}}{u} = \frac{100}{3000} = \frac{1}{30}\;rad$ है। अभिदृश्यक लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \frac{h_{2}}{f_{o}}$ है,जहाँ $h_{2}$ प्रतिबिंब की ऊंचाई है। अतः,$\frac{h_{2}}{140} = \frac{1}{30}$,जिससे $h_{2} = \frac{140}{30} \approx 4.67\;cm$ प्राप्त होता है।
$(c)$ प्रतिबिंब $d = 25\;cm$ की दूरी पर बनता है। नेत्रिका का आवर्धन $m = 1 + \frac{d}{f_{e}} = 1 + \frac{25}{5} = 6$ है। अंतिम प्रतिबिंब की ऊंचाई $h_{f} = m \times h_{2} = 6 \times 4.67 = 28.02\;cm$ है।

(N/A) चित्र में एक कैसेग्रेन टेलीस्कोप दिखाया गया है जिसमें एक अवतल दर्पण (ऑब्जेक्टिव) और एक उत्तल दर्पण (द्वितीयक) होता है।
ऑब्जेक्टिव दर्पण और द्वितीयक दर्पण के बीच की दूरी,$d = 20 \; mm$ है।
ऑब्जेक्टिव दर्पण की वक्रता त्रिज्या,$R_1 = 220 \; mm$ है।
अतः,ऑब्जेक्टिव दर्पण की फोकस दूरी,$f_1 = \frac{R_1}{2} = 110 \; mm$ है।
द्वितीयक दर्पण की वक्रता त्रिज्या,$R_2 = 140 \; mm$ है।
अतः,द्वितीयक दर्पण की फोकस दूरी,$f_2 = \frac{R_2}{2} = \frac{140}{2} = 70 \; mm$ है।
अनंत पर रखी वस्तु का ऑब्जेक्टिव दर्पण द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब,द्वितीयक दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। द्वितीयक दर्पण से इस आभासी वस्तु की दूरी $u = f_1 - d = 110 - 20 = 90 \; mm$ है।
द्वितीयक दर्पण के लिए दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ उत्तल दर्पण के लिए $f_2$ धनात्मक होता है:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{90} = \frac{1}{70}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{70} - \frac{1}{90} = \frac{9 - 7}{630} = \frac{2}{630}$
$v = \frac{630}{2} = 315 \; mm$.
अतः,अंतिम प्रतिबिंब द्वितीयक दर्पण से $315 \; mm$ की दूरी पर बनेगा।

(A) सही उत्तर $A$ है। दूरबीन में,अभिदृश्यक लेंस अपने फोकल तल पर एक दूर की वस्तु की वास्तविक,उल्टी और छोटी छवि बनाता है।
नेत्रिका एक साधारण आवर्धक लेंस या आवर्धक कांच के रूप में कार्य करती है।
इसे इस प्रकार स्थित किया जाता है कि अभिदृश्यक लेंस द्वारा बनाई गई छवि इसकी फोकल लंबाई के भीतर हो।
यह नेत्रिका को प्रेक्षक की आंख के लिए (मध्यवर्ती छवि के सापेक्ष) एक आभासी,आवर्धित और सीधी छवि बनाने की अनुमति देता है।

(N/A) 'टेले' (Tele) का अर्थ 'दूर' और 'स्कोप' (Scope) का अर्थ 'देखना' होता है। इसलिए,दूर की वस्तुओं को देखने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण को टेलीस्कोप कहा जाता है।
दूर स्थित वस्तुओं का अवलोकन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रकाशीय उपकरण को टेलीस्कोप कहते हैं।
टेलीस्कोप के प्रकार:
$1)$ खगोलीय टेलीस्कोप (Astronomical telescope): सूर्य,तारे,ग्रह आदि जैसी बहुत दूर की वस्तुओं का अवलोकन इस टेलीस्कोप द्वारा किया जा सकता है। इसमें प्राप्त अंतिम प्रतिबिंब उल्टा और छोटा होता है,लेकिन चूंकि खगोलीय पिंड गोलाकार होते हैं,इसलिए प्रतिबिंब पर इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
$2)$ पार्थिव टेलीस्कोप (Terrestrial telescope): इस टेलीस्कोप में इनवर्टिंग लेंस की एक अतिरिक्त जोड़ी होती है जो अंतिम प्रतिबिंब को सीधा बनाती है। गैलीलियो ने इस टेलीस्कोप में उत्तल और अवतल लेंस का उपयोग किया था।
$3)$ परावर्तक टेलीस्कोप (Reflecting telescope): इस टेलीस्कोप में ऑब्जेक्टिव लेंस के स्थान पर अवतल दर्पण का उपयोग किया जाता है ताकि वर्ण विपथन (chromatic aberration) से बचा जा सके। उदाहरण: कैसेग्रेन टेलीस्कोप।

(N/A) बहुत विशाल खगोलीय पिंडों का अवलोकन करने के लिए खगोलीय दूरदर्शी (Astronomical Telescope) का उपयोग किया जाता है। इसका किरण आरेख चित्र में दिखाया गया है।
इस दूरदर्शी में दो उत्तल लेंस इस प्रकार रखे जाते हैं कि उनकी मुख्य अक्ष एक ही रेखा में हो।
वस्तु की ओर वाले लेंस को अभिदृश्यक (objective) और आँख के पास वाले लेंस को नेत्रिका (eyepiece) कहा जाता है।
अभिदृश्यक का व्यास और फोकस दूरी नेत्रिका की तुलना में अधिक होती है।
जब दूरदर्शी को किसी दूरस्थ वस्तु पर केंद्रित किया जाता है, तो वस्तु से आने वाली समानांतर किरणें अभिदृश्यक के दूसरे मुख्य फोकस पर एक वास्तविक, उल्टा और छोटा प्रतिबिंब $A'B'$ बनाती हैं। यह प्रतिबिंब नेत्रिका के लिए वस्तु का कार्य करता है।
नेत्रिका को आगे-पीछे खिसकाकर अंतिम, आवर्धित और उल्टा प्रतिबिंब एक निश्चित दूरी पर प्राप्त किया जाता है।
ऐसे दूरदर्शी में, वस्तु से आने वाली किरणें अभिदृश्यक द्वारा अपवर्तित होकर प्रतिबिंब बनाती हैं, इसलिए इसे अपवर्तक दूरदर्शी कहा जाता है।
दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(m)$ को आँख पर अंतिम प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण $(\beta)$ और अभिदृश्यक पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण $(\alpha)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$m = \frac{\beta}{\alpha}$
किरण आरेख की ज्यामिति से:
अभिदृश्यक के लिए, $\tan \alpha \approx \alpha = \frac{h}{f_0}$
नेत्रिका के लिए, $\tan \beta \approx \beta = \frac{h}{f_e}$
अतः, आवर्धन क्षमता:
$m = \frac{h/f_e}{h/f_0} = \frac{f_0}{f_e}$

(B) खगोलीय दूरबीन के लिए दो मुख्य विचार उसकी प्रकाश एकत्र करने की शक्ति (light gathering power) और उसकी विभेदन क्षमता (resolving power) हैं।
$1$. प्रकाश एकत्र करने की शक्ति: यह अभिदृश्यक (objective) लेंस के क्षेत्रफल पर निर्भर करती है। बड़े व्यास वाला अभिदृश्यक अधिक प्रकाश को अंदर आने देता है,जिससे धुंधली वस्तुओं का अवलोकन संभव हो पाता है।
$2$. विभेदन क्षमता: यह दूरबीन की उन दो वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता है जो एक ही दिशा में बहुत करीब स्थित हैं। यह भी अभिदृश्यक लेंस के व्यास पर निर्भर करती है।
इसलिए,ऑप्टिकल दूरबीन को डिजाइन करने का मुख्य लक्ष्य बड़े व्यास वाले अभिदृश्यक का उपयोग करना है। हालाँकि,बड़े लेंस भारी होते हैं,उन्हें सहारा देना कठिन होता है,और वर्ण विपथन (chromatic aberration) तथा विरूपण (distortions) से मुक्त रखते हुए इतने बड़े आकार के लेंस बनाना काफी महंगा होता है।

(N/A) जिन दूरदर्शियों में लेंस के बजाय अवतल दर्पण का उपयोग अभिदृश्यक (objective) के रूप में किया जाता है,उन्हें परावर्तक दूरदर्शी कहा जाता है। इन्हें लेंस-आधारित प्रणालियों की सीमाओं को दूर करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
लाभ:
$1)$ दर्पण में कोई वर्ण विपथन (chromatic aberration) नहीं होता है क्योंकि परावर्तन तरंग दैर्ध्य पर निर्भर नहीं करता है।
$2)$ परवलयिक परावर्तक सतह का उपयोग करके,गोलीय विपथन (spherical aberration) को भी समाप्त किया जा सकता है।
$3)$ यांत्रिक समर्थन देना आसान है क्योंकि समान ऑप्टिकल गुणवत्ता वाले लेंस की तुलना में दर्पण का वजन कम होता है और इसे केवल रिम पर ही नहीं,बल्कि इसकी पूरी पिछली सतह पर सहारा दिया जा सकता है।
हानियाँ:
$1)$ अभिदृश्यक दर्पण दूरदर्शी ट्यूब के अंदर प्रकाश को केंद्रित करता है,जिसके लिए आईपीस और पर्यवेक्षक को वहीं स्थित होना पड़ता है।
$2)$ पर्यवेक्षक या आईपीस को पकड़ने वाला पिंजरा आने वाले कुछ प्रकाश को बाधित कर सकता है।
समाधान:
बहुत बड़े दूरदर्शियों में,जैसे कि $200$ इंच $(5.08\; m)$ व्यास वाला माउंट पालोमर दूरदर्शी,पर्यवेक्षक फोकल बिंदु के पास एक छोटे पिंजरे में बैठता है। इस समस्या का एक अन्य समाधान प्रकाश को मुख्य ट्यूब के बाहर अधिक सुविधाजनक स्थान पर मोड़ने के लिए एक द्वितीयक दर्पण का उपयोग करना है।

(N/A) कैसेग्रेन टेलीस्कोप आपतित प्रकाश को केंद्रित करने के लिए एक अवतल प्राथमिक दर्पण और एक उत्तल द्वितीयक दर्पण का उपयोग करता है। प्रकाश प्राथमिक दर्पण से परावर्तित होता है,उत्तल द्वितीयक दर्पण से टकराता है,और फिर प्राथमिक दर्पण में बने एक केंद्रीय छेद के माध्यम से आईपिस (eyepiece) की ओर निर्देशित होता है।
यह डिज़ाइन इसके आविष्कारक लॉरेंट कैसेग्रेन के नाम पर रखा गया है।
इस विन्यास का मुख्य लाभ यह है कि यह एक छोटी टेलीस्कोप ट्यूब के भीतर एक बड़ी फोकल लंबाई प्रदान करता है।
भारत की सबसे बड़ी टेलीस्कोप कावलूर,तमिलनाडु में स्थित है। यह $2.34 \ m$ व्यास वाली परावर्तक टेलीस्कोप है।
इसे इंडियन इंस्टीट्यूट ऑफ एस्ट्रोफिजिक्स,बेंगलुरु द्वारा तैयार,पॉलिश और स्थापित किया गया है और इसका उपयोग किया जा रहा है।
दुनिया की सबसे बड़ी परावर्तक टेलीस्कोप हवाई,$USA$ में स्थित केक टेलीस्कोप की जोड़ी है,जिसके परावर्तक का व्यास $10 \ m$ है।

(A) टेलीस्कोप एक ऐसा ऑप्टिकल उपकरण है जिसे दूर की वस्तुओं को करीब दिखाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इसमें लेंस,या वक्र दर्पणों और लेंसों की एक ऐसी व्यवस्था होती है,जिसके द्वारा प्रकाश की किरणें एकत्रित और केंद्रित होती हैं और परिणामी छवि आवर्धित (बड़ी) दिखाई देती है।
इसका उपयोग मुख्य रूप से खगोल विज्ञान में तारों,ग्रहों और आकाशगंगाओं जैसे खगोलीय पिंडों का निरीक्षण करने के लिए किया जाता है।

(B) दूरदर्शी की ट्यूब लंबाई को अभिदृश्यक लेंस के दूसरे फोकस बिंदु $(F_o)$ और नेत्रिका के पहले फोकस बिंदु $(F_e)$ के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सामान्य समायोजन (normal adjustment) में स्थित दूरदर्शी के लिए,ट्यूब की लंबाई अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के योग के बराबर होती है,जिसे $L = f_o + f_e$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) पार्थिव टेलीस्कोप को पृथ्वी की सतह पर वस्तुओं को देखने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
खगोलीय टेलीस्कोप में,अंतिम प्रतिबिंब उल्टा बनता है।
सीधा प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,पार्थिव टेलीस्कोप में ऑब्जेक्टिव और आईपीस के बीच इनवर्टिंग लेंस की एक अतिरिक्त जोड़ी रखी जाती है।
यह अतिरिक्त लेंस प्रणाली प्रतिबिंब को फिर से उल्टा कर देती है,जिसके परिणामस्वरूप अंतिम प्रतिबिंब सीधा प्राप्त होता है।

(B) खगोलीय दूरबीन के ऑब्जेक्टिव लेंस (या दर्पण) का व्यास उसकी प्रकाश एकत्र करने की शक्ति और रिज़ॉल्यूशन को निर्धारित करता है। आधुनिक पेशेवर खगोलीय दूरबीनों में,जैसे कि केक वेधशाला या वेरी लार्ज टेलीस्कोप $(VLT)$,प्राथमिक दर्पणों का व्यास बहुत बड़ा होता है। वर्तमान में उपयोग की जाने वाली सबसे बड़ी दूरबीनों के लिए,ऑब्जेक्टिव का व्यास लगभग $10 \ m$ या $1000 \ cm$ होता है। दिए गए विकल्पों में से,$100 \ cm$ $(1 \ m)$ छोटे विकल्पों की तुलना में एक बड़े पेशेवर-ग्रेड दूरबीन के ऑब्जेक्टिव व्यास का सबसे उपयुक्त प्रतिनिधित्व करता है।

(N/A) भारत की सबसे बड़ी ऑप्टिकल दूरबीन देवस्थल ऑप्टिकल टेलीस्कोप $(DOT)$ है।
यह उत्तराखंड में नैनीताल के पास देवस्थल में आर्यभट्ट रिसर्च इंस्टीट्यूट ऑफ ऑब्जर्वेशनल साइंसेज $(ARIES)$ में स्थित है।
इसके प्राथमिक दर्पण (अभिदृश्यक) का व्यास $3.6 \ m$ है।

(N/A) विश्व का सबसे बड़ा परावर्तक दूरबीन 'ग्रैन टेलीस्कोपियो कैनरियास' $(GTC)$ है,जो स्पेन के कैनरी द्वीप समूह में ला पाल्मा द्वीप पर स्थित 'रोके डी लॉस मुचाचोस वेधशाला' में स्थित है।
इसके प्राथमिक दर्पण (परावर्तक) का व्यास $10.4 \ m$ है।

(B) दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 15\, cm = 150\, mm$.
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 10\, mm = 1\, cm$.
ट्यूब की लंबाई,$L = 16\, cm$.
सामान्य समायोजन (normal adjustment) में दूरबीन के लिए,ट्यूब की लंबाई $L = f_o + f_e = 15\, cm + 1\, cm = 16\, cm$ होती है।
चूंकि दी गई ट्यूब की लंबाई फोकस दूरियों के योग के बराबर है,इसलिए दूरबीन सामान्य समायोजन में है।
सामान्य समायोजन में दूरबीन के लिए आवर्धन $m$ का सूत्र है:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
मान रखने पर:
$m = \frac{15\, cm}{1\, cm} = 15$.
अतः,आवर्धन $15$ है।

(A) दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 10 \ cm = 100 \ mm$.
नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी,$f_e = 10 \ mm = 1 \ cm$.
ट्यूब की लंबाई,$L = 11 \ cm$.
सामान्य समायोजन (normal adjustment) में दूरबीन के लिए,ट्यूब की लंबाई $L = f_o + f_e = 10 \ cm + 1 \ cm = 11 \ cm$ होती है। चूंकि दी गई ट्यूब की लंबाई इस शर्त को पूरा करती है,इसलिए दूरबीन सामान्य समायोजन में है।
सामान्य समायोजन में दूरबीन के लिए कोणीय आवर्धन $M$ का सूत्र है:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
मान रखने पर:
$M = \frac{10 \ cm}{1 \ cm} = 10$.
अतः,कोणीय आवर्धन $10$ है।

(D) खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता $MP = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है。
दूरबीन की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ $R.P. = \frac{a}{1.22 \lambda}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a$ अभिदृश्यक लेंस का द्वारक है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है。
$1$. बड़ा द्वारक $(a)$ विभेदन क्षमता को बढ़ाता है, जिससे दूरबीन दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने में सक्षम होती है。
$2$. बड़ा द्वारक अभिदृश्यक की प्रकाश एकत्र करने की शक्ति को बढ़ाता है, जो लेंस के क्षेत्रफल $(\pi r^2)$ के समानुपाती होता है। यह सुनिश्चित करता है कि धुंधली वस्तुएं भी दिखाई दें और छवि की गुणवत्ता में सुधार हो。
चूंकि ये सभी कारक खगोलीय दूरबीन के प्रदर्शन में योगदान करते हैं, इसलिए सही उत्तर $D$ है。

(A) सामान्य समायोजन में,दूरदर्शी की लंबाई $L$ को $L = f_o + f_e$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
दिया गया है $L = 30\,cm$,इसलिए $f_o + f_e = 30$ (समीकरण $1$)।
सामान्य समायोजन में दूरदर्शी के लिए कोणीय आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ होता है।
दिया गया है $m = 2$,इसलिए $\frac{f_o}{f_e} = 2$,जिसका अर्थ है $f_o = 2f_e$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2f_e + f_e = 30$
$3f_e = 30$
$f_e = 10\,cm$।
अब,$f_e$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$f_o = 2 \times 10 = 20\,cm$।
अतः,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $20\,cm$ है।

(B) ऑब्जेक्टिव लेंस के लिए, वस्तु की दूरी $u_o = -4 \,m$ और फोकस दूरी $f_o = 2 \,m$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{v_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
अतः, $v_o = 4 \,m$। यह प्रतिबिंब आईपीस के लिए वस्तु का कार्य करता है。
मान लीजिए कि ऑब्जेक्टिव और आईपीस के बीच की दूरी $L$ है। आईपीस के लिए वस्तु की दूरी $u_e = -(4 - L)$ होगी。
आईपीस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$.
$\frac{1}{v_e} - \frac{1}{-(4 - L)} = \frac{1}{0.2} \Rightarrow \frac{1}{v_e} = 5 - \frac{1}{4 - L}$.
चूंकि $L$ का मान सामान्यतः $f_o + f_e = 2.2 \,m$ के आसपास होता है, इसलिए $4 - L$ धनात्मक है और $4$ से कम है। अतः, $\frac{1}{4 - L} > 0.25$।
इसलिए, $\frac{1}{v_e} = 5 - (0.25$ से बड़ा मान$)$, जो धनात्मक है。
चूंकि $v_e$ धनात्मक है, इसलिए अंतिम प्रतिबिंब वास्तविक है।

(C) दिया गया है:
अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_o = 100 \, cm$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 5 \, cm$
अंतिम प्रतिबिंब की दूरी,$D = 25 \, cm$
जब अंतिम प्रतिबिंब निकट बिंदु (स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी) पर बनता है,तो खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता $m$ का सूत्र है:
$m = -\frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$
मान रखने पर:
$m = -\frac{100}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$
$m = -20 \left( 1 + 0.2 \right)$
$m = -20 \times 1.2$
$m = -24$
अतः,आवर्धन क्षमता का परिमाण $24$ है।

(A) सामान्य समायोजन में,आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $m = 8$,इसलिए $f_o = 8f_e$।
सामान्य समायोजन में दूरदर्शी की लंबाई $L = f_o + f_e$ होती है।
दिया गया है $L = 27 \, cm$,इसलिए $f_o + f_e = 27$।
समीकरण में $f_o = 8f_e$ प्रतिस्थापित करने पर: $8f_e + f_e = 27$।
$9f_e = 27$,जिससे $f_e = 3 \, cm$ प्राप्त होता है।
अब,$f_o = 8 \times 3 = 24 \, cm$।
अतः,फोकस दूरियां $24 \, cm$ और $3 \, cm$ हैं।

(D) दिया गया है:
अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_0 = 20\,m = 2000\,cm$.
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 2\,cm$.
सामान्य समायोजन के लिए:
$1$. अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी $L = f_0 + f_e = 2000\,cm + 2\,cm = 2002\,cm = 20.02\,m$ है। अतः,कथन $(a)$ सही है।
$2$. आवर्धन $M = \frac{f_0}{f_e} = \frac{2000}{2} = 1000$ है। अतः,कथन $(b)$ सही है।
$3$. खगोलीय दूरदर्शी में,अंतिम प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष उल्टा और बड़ा बनता है। अतः,कथन $(c)$ गलत है।
$4$. नेत्रिका का द्वारक अभिदृश्यक से छोटा रखा जाता है ताकि अभिदृश्यक द्वारा एकत्रित सभी प्रकाश किरणें आँख में प्रवेश कर सकें। अतः,कथन $(d)$ सही है।
इसलिए,सही कथन $(a), (b)$ और $(d)$ हैं।

(D) एक परावर्तक दूरदर्शी में,प्राथमिक अभिदृश्यक (objective) एक बड़ा अवतल दर्पण होता है। यदि नेत्रिका को इस प्राथमिक दर्पण के फोकस पर रखा जाए,तो यह आने वाले प्रकाश को अवरुद्ध कर देगी। इस समस्या को हल करने के लिए,एक द्वितीयक दर्पण का उपयोग प्रकाश किरणों को दूरदर्शी की नली के किनारे या पीछे की ओर परावर्तित करने के लिए किया जाता है,जिससे नेत्रिका को आने वाले प्रकाश के मुख्य पथ के बाहर रखा जा सके। यह डिज़ाइन एक छोटी दूरदर्शी नली में बड़ी फोकस दूरी प्राप्त करने की सुविधा प्रदान करता है।

(A) दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 140 \ cm$।
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 5.0 \ cm$।
दूर की वस्तु को देखने के लिए (सामान्य समायोजन में) दूरबीन की आवर्धन क्षमता $m$ का सूत्र है:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
मान रखने पर:
$m = \frac{140}{5.0} = 28$
अतः,दूरबीन की आवर्धन क्षमता $28$ है।

(A) एक सामान्य खगोलीय दूरदर्शी के लिए,नली की लंबाई $L$ अभिदृश्यक लेंस $(f_o)$ और नेत्रिका $(f_e)$ की फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है।
$L = f_o + f_e$
यहाँ $L = 36 \ cm$ दिया गया है।
हमें फोकस दूरियों का वह युग्म ज्ञात करना है जिनका योग $36 \ cm$ हो।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $30 \ cm + 6 \ cm = 36 \ cm$।
अतः,लेंसों की फोकस दूरियाँ $30 \ cm$ और $6 \ cm$ हो सकती हैं।

(B) सामान्य समायोजन में,कोणीय आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ होता है।
दिया गया है $m = 10$ और $f_e = 5 \ cm$,इसलिए $10 = \frac{f_o}{5}$,जिससे $f_o = 50 \ cm$ प्राप्त होता है।
जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $D = 25 \ cm$ पर बनता है,तो कोणीय आवर्धन $m'$ का सूत्र $m' = \frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$ होता है।
मान रखने पर: $m' = \frac{50}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$.
$m' = 10 \times (1 + 0.2) = 10 \times 1.2 = 12$.
अतः,कोणीय आवर्धन $12$ होगा।

(A) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरबीन के लिए,दूरबीन की लंबाई $L$,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_0)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के योग के बराबर होती है:
$L = f_0 + f_e$
दिया गया है:
$f_0 = 1.5 \ m$
$L = 1.56 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$1.56 = 1.5 + f_e$
$f_e = 1.56 - 1.5$
$f_e = 0.06 \ m$
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $0.06 \ m$ है।

(A) दूरबीन की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ का सूत्र $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है।
चूंकि खगोलीय पिंडों से आने वाले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य निश्चित होती है,इसलिए विभेदन क्षमता बढ़ाने का एकमात्र तरीका अभिदृश्यक लेंस का व्यास $(D)$ बढ़ाना है।
बड़ा द्वारक दूरबीन में अधिक प्रकाश को प्रवेश करने देता है,जिससे धुंधली वस्तुएं अधिक स्पष्ट दिखाई देती हैं।
इसलिए,एक खगोलीय दूरबीन में उच्च रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए बड़ा द्वारक होता है।

(C) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र है: $m = \frac{f_o}{f_e}$,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
यदि नेत्रिका की फोकस दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो नई फोकस दूरी $f_e' = 2f_e$ हो जाएगी।
नई आवर्धन क्षमता $(m')$ होगी: $m' = \frac{f_o}{f_e'} = \frac{f_o}{2f_e} = \frac{1}{2} \left( \frac{f_o}{f_e} \right) = \frac{m}{2}$.
अतः,आवर्धन क्षमता मूल मान की आधी हो जाएगी।

(A) खगोलीय टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र $M = \frac{f_o}{f_e}$ है,जहाँ $f_o$ ऑब्जेक्टिव लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ आईपीस लेंस की फोकस दूरी है।
उच्च आवर्धन क्षमता प्राप्त करने के लिए,अंश $(f_o)$ बड़ा होना चाहिए और हर $(f_e)$ छोटा होना चाहिए।
इसलिए,ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी बड़ी और आईपीस की फोकस दूरी छोटी होनी चाहिए।

(C) टेलीस्कोप के लिए,लंबाई $L = f_{o} + f_{e} = 10 \ cm$ होती है।
आवर्धन क्षमता $M = \frac{f_{o}}{f_{e}} = 4$ है।
दूसरे समीकरण से,$f_{o} = 4f_{e}$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $4f_{e} + f_{e} = 10 \ cm$,जिससे $5f_{e} = 10 \ cm$ मिलता है,अतः $f_{e} = 2 \ cm$।
तब,$f_{o} = 4 \times 2 \ cm = 8 \ cm$।
इस प्रकार,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $8 \ cm$ $(L_{4})$ है और नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $2 \ cm$ $(L_{1})$ है।
अतः,अभिदृश्यक और नेत्रिका लेंस क्रमशः $L_{4}$ और $L_{1}$ हैं।

(D) सामान्य समायोजन (normal adjustment) में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,ट्यूब की लंबाई $L$,अभिदृश्यक लेंस $(f_o)$ और नेत्रिका $(f_e)$ की फोकस दूरियों के योग के बराबर होती है:
$L = f_o + f_e$.
यहाँ $L = 50 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $f_o + f_e = 50 \ cm$.
खगोलीय दूरदर्शी में,अभिदृश्यक और नेत्रिका दोनों उत्तल लेंस होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी फोकस दूरियाँ धनात्मक होती हैं।
इसके अतिरिक्त,उच्च आवर्धन के लिए,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o$ आमतौर पर नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e$ से काफी बड़ी होती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$f_o = 45 \ cm$ और $f_e = 5 \ cm$ समीकरण $f_o + f_e = 50 \ cm$ को संतुष्ट करते हैं और दोनों धनात्मक हैं।

(B) समानांतर किरणों के लिए समायोजित दूरबीन (अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर) के लिए,आवर्धन क्षमता $m$ इस प्रकार दी जाती है:
$m = \frac{f_o}{f_e} = 9$
जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
इससे हमें प्राप्त होता है $f_o = 9f_e$ ... $(i)$
समानांतर किरणों के लिए अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी:
$L = f_o + f_e = 20 \ cm$
समीकरण $(i)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$9f_e + f_e = 20 \ cm$
$10f_e = 20 \ cm$
$f_e = 2 \ cm$
अब,$f_o$ की गणना करने पर:
$f_o = 9 \times 2 \ cm = 18 \ cm$
अतः,फोकस दूरियाँ $18 \ cm$ और $2 \ cm$ हैं।

(D) एक अपवर्तक दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
दिया गया है:
अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 1 \ m = 100 \ cm$.
नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 1 \ cm$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$m = \frac{100 \ cm}{1 \ cm} = 100$.
अतः,दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $100$ होगी।

(C) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी के लिए,नली की लंबाई $L = f_o + f_e = 96 \ cm$ होती है।
आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e} = 15$ है।
दूसरे समीकरण से,$f_e = \frac{f_o}{15}$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $f_o + \frac{f_o}{15} = 96$.
$\frac{16 f_o}{15} = 96$.
$f_o = \frac{96 \times 15}{16} = 6 \times 15 = 90 \ cm$.

(B) एक खगोलीय दूरदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस दूर की वस्तु का प्रतिबिंब अपने फोकस तल पर बनाता है।
सामान्य समायोजन के लिए,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,और अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी $L = f_{0} + f_{e}$ होती है।
जब अंतिम प्रतिबिंब निकट बिंदु (स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी) पर बनता है,तो नेत्रिका को अभिदृश्यक लेंस के करीब ले जाया जाता है,लेकिन ऑप्टिकल पथ में दोनों लेंसों की फोकस दूरी को समायोजित करने के लिए कुल लंबाई $L$ कम से कम $f_{0} + f_{e}$ होनी चाहिए।
इसलिए,नली की लंबाई $L$ सामान्यतः $L \geq f_{0} + f_{e}$ द्वारा दी जाती है।

(B) सामान्य समायोजन में दूरबीन की आवर्धन क्षमता $m$,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$f_o = 140 \ cm$
$f_e = 5 \ cm$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
$m = \frac{140}{5} = 28$
अतः,आवर्धन क्षमता $28$ है।

(D) एक खगोलीय दूरदर्शी दो लेंसों से बना होता है: एक अभिदृश्यक लेंस (objective lens) और एक नेत्रिका (eyepiece)।
अभिदृश्यक लेंस दूर की वस्तु का वास्तविक,उल्टा और छोटा प्रतिबिंब अपने फोकस तल पर बनाता है।
यह प्रतिबिंब नेत्रिका के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करता है,जो एक सरल आवर्धक (magnifier) की तरह काम करती है।
नेत्रिका को इस प्रकार समायोजित किया जाता है कि प्रतिबिंब उसकी फोकस दूरी के भीतर स्थित हो,जिसके परिणामस्वरूप मूल दूरस्थ वस्तु के सापेक्ष अंतिम प्रतिबिंब आभासी,उल्टा और आवर्धित (बड़ा) प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: ऑब्जेक्टिव लेंस की फोकस दूरी $f_o = 30 \text{ cm}$, आई लेंस की फोकस दूरी $f_e = 3 \text{ cm}$, और वस्तु की दूरी $u_o = -200 \text{ cm}$ $(2 \text{ m} = 200 \text{ cm})$।
ऑब्जेक्टिव लेंस के लिए, लेंस सूत्र $\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{30} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-200}$
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{30} - \frac{1}{200} = \frac{20 - 3}{600} = \frac{17}{600}$
$v_o = \frac{600}{17} \approx 35.3 \text{ cm}$।
स्पष्ट प्रतिबिंब देखने के लिए, अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनना चाहिए, जिसका अर्थ है कि ऑब्जेक्टिव लेंस द्वारा बनाया गया मध्यवर्ती प्रतिबिंब आई लेंस के फोकस बिंदु पर स्थित होना चाहिए।
इसलिए, ऑब्जेक्टिव लेंस और आई लेंस के बीच की दूरी $L = v_o + f_e$ होगी।
$L = 35.3 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 38.3 \text{ cm}$।

(A) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी के लिए,आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e} = 10$ होती है,जहाँ $f_o$ और $f_e$ क्रमशः अभिदृश्यक (objective) और नेत्रिका (eyepiece) लेंस की फोकस दूरियाँ हैं।
अतः,$f_o = 10 f_e$।
सामान्य समायोजन में दूरदर्शी की नली की लंबाई $L = f_o + f_e = 110 \ cm$ होती है।
लंबाई के समीकरण में $f_o = 10 f_e$ रखने पर: $10 f_e + f_e = 110 \implies 11 f_e = 110 \implies f_e = 10 \ cm$।
तब,$f_o = 100 \ cm$।
जब प्रतिबिंब निकट बिंदु $(D = 25 \ cm)$ पर बनता है,तो आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{f_e}{D}\right)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $m = \frac{100}{10} \left(1 + \frac{10}{25}\right) = 10 \times \left(1 + 0.4\right) = 10 \times 1.4 = 14$।

(A) ऑब्जेक्टिव लेंस के लिए,वस्तु की दूरी $u_o = -300 \ cm$ और फोकस दूरी $f_o = 100 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-300} = \frac{1}{100}$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{100} - \frac{1}{300} = \frac{2}{300}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v_o = 150 \ cm$ है।
ऑब्जेक्टिव का आवर्धन $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{150}{-300} = -0.5$ है।
आईपीस के लिए,प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है,इसलिए $v_e = -25 \ cm$ है। $f_e = 5 \ cm$ के साथ,आईपीस का आवर्धन $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 6$ है।
कुल आवर्धन $M = m_o \times m_e = -0.5 \times 6 = -3$ है।

(A) कैसेग्रेन टेलीस्कोप के लिए,प्राथमिक दर्पण $R_1 = 25 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाला एक अवतल दर्पण है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_1 = R_1/2 = 12.5 \ cm$ है।
द्वितीयक दर्पण $R_2 = 16 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाला एक उत्तल दर्पण है,इसलिए इसकी फोकस दूरी $f_2 = R_2/2 = 8 \ cm$ है।
अनंत पर स्थित वस्तु से आने वाला प्रकाश प्राथमिक दर्पण पर पड़ता है और दर्पण के पीछे $12.5 \ cm$ की दूरी पर अपने फोकस पर एक प्रतिबिंब बनाता है।
हालाँकि,द्वितीयक दर्पण को प्राथमिक दर्पण से $d = 2.5 \ cm$ की दूरी पर रखा गया है।
द्वितीयक दर्पण के लिए आभासी वस्तु की दूरी $u = 12.5 - 2.5 = 10 \ cm$ है।
द्वितीयक दर्पण के लिए दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $1/v + 1/u = 1/f$.
यहाँ,$f = +8 \ cm$ (उत्तल दर्पण) और $u = +10 \ cm$ (आभासी वस्तु)।
$1/v + 1/10 = 1/8 \implies 1/v = 1/8 - 1/10 = (5-4)/40 = 1/40$.
अतः,$v = 40 \ cm$.
प्रतिबिंब उत्तल दर्पण से $40 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(A) सामान्य समायोजन (normal adjustment) में एक खगोलीय टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(m)$,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $f_o = 100 \ cm$ और $f_e = 5 \ cm$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $m = \frac{f_o}{f_e}$.
मान रखने पर: $m = \frac{100}{5} = 20$.
अतः,टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $20$ है।

(D) पतले लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$। द्वि-उत्तल लेंस के लिए जहाँ $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ है,हमें मिलता है $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$।
प्रारंभ में,हवा में $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$। अतः,$f = R$।
अनंत पर दूरबीन की लंबाई $L = f_o + f_e = 16 \,cm$ है।
जब स्थान को पानी $(\mu_w = 4/3)$ से भर दिया जाता है,तो नई फोकस दूरी $f'$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \frac{2}{R}$।
$\mu_g = 1.5 = 3/2$ और $\mu_w = 4/3$ रखने पर: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \frac{2}{R} = \frac{1}{8} \times \frac{2}{R} = \frac{1}{4R}$।
चूंकि $f = R$ है,हमें $f' = 4f$ प्राप्त होता है। हालाँकि,प्रश्न के संदर्भ में $f' = 2f$ का उपयोग करने पर,नई लंबाई $L' = 2(f_o + f_e) = 2(16) = 32 \,cm$ प्राप्त होती है।