Telescope Questions in Hindi

(A) टेलीस्कोप के अभिदृश्यक लेंस द्वारा उत्पन्न आवर्धन,प्रतिबिंब की ऊंचाई $(I)$ और वस्तु की ऊंचाई $(O)$ के अनुपात के बराबर होता है,जो अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_0)$ और वस्तु की दूरी $(u_0)$ के अनुपात के भी बराबर होता है:
$m = \frac{I}{O} = \frac{f_0}{u_0}$
दिया गया है:
इमारत की ऊंचाई $(O)$ = $50 \, m = 5000 \, cm$
अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_0)$ = $200 \, cm$
इमारत की दूरी $(u_0)$ = $2 \, km = 2000 \, m = 200,000 \, cm$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{I}{5000} = \frac{200}{200000}$
$I = 5000 \times \frac{200}{200000}$
$I = 5000 \times \frac{1}{1000} = 5 \, cm$
अतः,अभिदृश्यक लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब की ऊंचाई $5 \, cm$ है।

(A) गैलीलियो टेलीस्कोप के लिए,आवर्धन क्षमता $m$ का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ होता है।
यहाँ $f_o = 100 \, cm$ और $m = 50$ दिया गया है,इसलिए $50 = \frac{100}{f_e}$।
$f_e$ का मान ज्ञात करने पर,$f_e = \frac{100}{50} = 2 \, cm$ प्राप्त होता है।
सामान्य समायोजन में,गैलीलियो टेलीस्कोप के लिए अभिदृश्यक और नेत्रिका (eyepiece) के बीच की दूरी $L = f_o - f_e$ होती है।
मान रखने पर,$L = 100 \, cm - 2 \, cm = 98 \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी से देखे जाने पर चंद्रमा का कोणीय व्यास $\alpha = \frac{\text{व्यास}}{\text{दूरी}} = \frac{3.5 \times 10^3 \text{ km}}{3.8 \times 10^5 \text{ km}} = \frac{3.5}{380} \text{ rad} \approx 0.00921 \text{ rad}$ है।
दूरबीन का आवर्धन $|m| = \frac{f_o}{f_e} = \frac{400 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 40$ द्वारा दिया जाता है।
आँख पर अंतिम प्रतिबिंब द्वारा बनाया गया कोण $\beta = |m| \times \alpha$ है।
मान रखने पर: $\beta = 40 \times \left( \frac{3.5}{380} \right) \text{ rad} = \frac{140}{380} \text{ rad} \approx 0.368 \text{ rad}$।
रेडियन को डिग्री में बदलने पर: $\beta (\text{डिग्री में}) = 0.368 \times \frac{180}{\pi} \approx 0.368 \times 57.3^o \approx 21.1^o$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लगभग $20^o$ है।

(A) अभिदृश्यक लेंस के पूर्ण उपयोग के लिए,दूरबीन की निकास पुतली (exit pupil) का व्यास मानव आँख की पुतली के व्यास के बराबर होना चाहिए। निकास पुतली,नेत्रिका द्वारा निर्मित अभिदृश्यक का प्रतिबिंब होती है।
दूरबीन का आवर्धन $M$,अभिदृश्यक $(f_o)$ और नेत्रिका $(f_e)$ की फोकस दूरियों के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
साथ ही,आवर्धन अभिदृश्यक के व्यास $(D)$ और निकास पुतली के व्यास $(d)$ का अनुपात होता है:
$M = \frac{D}{d}$
आवर्धन के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{f_o}{f_e} = \frac{D}{d}$
दिया गया है:
$f_o = 3 \ m = 300 \ cm$
$D = 15 \ cm$
$d = 3 \ mm = 0.3 \ cm$
मान रखने पर:
$\frac{300}{f_e} = \frac{15}{0.3}$
$\frac{300}{f_e} = 50$
$f_e = \frac{300}{50} = 6 \ cm$

(B) एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,सामान्य दृष्टि (जहाँ अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है) के लिए आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र है:
$M = -\frac{f_o}{f_e}$
दिया गया है:
अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_o = 200 \; cm$
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 4 \; cm$
मान रखने पर:
$M = -\frac{200}{4}$
$M = -50$
आवर्धन क्षमता का परिमाण $50$ है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब उल्टा बनता है।

(B) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_0 = 60\, cm$, नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 5\, cm$, और स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $D = 25\, cm$ है।
खगोलीय दूरबीन के लिए, जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है, तो आवर्धन क्षमता $MP$ का सूत्र है:
$MP = -\frac{f_0}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$
मान रखने पर:
$MP = -\frac{60}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right) = -12 \left( 1 + 0.2 \right) = -12 \times 1.2 = -14.4$
(आवर्धन क्षमता का परिमाण $14.4$ है)
दूरबीन की लंबाई $L = f_0 + |u_e|$ होती है, जहाँ $u_e$ नेत्रिका के लिए वस्तु की दूरी है।
नेत्रिका के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$
यहाँ, $v_e = -D = -25\, cm$ और $f_e = 5\, cm$ है।
$\frac{1}{5} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e} \Rightarrow \frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{6}{25}$
$|u_e| = \frac{25}{6} \approx 4.17\, cm$
अतः, $L = 60 + 4.17 = 64.17\, cm$।

(D) सामान्य समायोजन में,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
दूरदर्शी की लंबाई $(L)$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के योग के बराबर होती है।
दिया गया है:
$f_o = 200 \; cm$
$f_e = 4 \; cm$
सूत्र:
$L = f_o + f_e$
गणना:
$L = 200 \; cm + 4 \; cm = 204 \; cm$

(B) सामान्य समायोजन में टेलीस्कोप का आवर्धन $(M)$,ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी $(f_o)$ और आईपीस की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
साथ ही,आवर्धन को आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण $(\beta)$ और ऑब्जेक्टिव पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण $(\alpha)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$M = \frac{\beta}{\alpha}$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{f_o}{f_e}$
$\beta = \alpha \times \frac{f_o}{f_e}$
दिया गया है: $\alpha = 2^o$,$f_o = 60\, cm$,$f_e = 5\, cm$.
मान रखने पर:
$\beta = 2^o \times \frac{60}{5} = 2^o \times 12 = 24^o$
अतः,प्रतिबिंब की कोणीय चौड़ाई $24^o$ है।

(B) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता का सूत्र है: $RP = \frac{d}{1.22 \lambda}$,जहाँ $d$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन क्षमता द्वारक के सीधे समानुपाती होती है: $RP \propto d$।
इसलिए,दूरदर्शी की विभेदन क्षमता को बढ़ाने के लिए बड़े द्वारक का उपयोग किया जाता है,जिससे यह दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच विभेद कर सके।

(C) सामान्य समायोजन के लिए,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
इस स्थिति में,अभिदृश्यक लेंस (objective lens) द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब उसके मुख्य फोकस $(f_0)$ पर स्थित होता है।
यह प्रतिबिंब नेत्रिका (eyepiece) के लिए वस्तु का कार्य करता है,जिसे इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि यह प्रतिबिंब नेत्रिका के फोकस $(f_e)$ पर स्थित हो।
अतः,दूरदर्शी की कुल लंबाई अभिदृश्यक और नेत्रिका की फोकस दूरियों का योग होती है।
लंबाई $= f_0 + f_e$.

(B) सामान्य समायोजन (दूर दृष्टि) में खगोलीय दूरदर्शी के लिए,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
आवर्धन क्षमता $(M)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = -\frac{f_o}{f_e}$
जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
दिया गया है:
$f_o = 200 \, cm$
$f_e = 4 \, cm$
मान रखने पर:
$M = -\frac{200}{4} = -50$
आवर्धन क्षमता का परिमाण $|M| = 50$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए, अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
इस स्थिति में, अभिदृश्यक लेंस (objective lens) का फोकस बिंदु नेत्रिका (eyepiece) के फोकस बिंदु के साथ संपाती होता है।
आवर्धन क्षमता $(m)$ को आंख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण $(\beta)$ और अभिदृश्यक लेंस पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण $(\alpha)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $m = \beta / \alpha = -f_0 / f_e$, जहाँ $f_0$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि अंतिम प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष उल्टा बनता है।

(D) एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (सामान्य समायोजन),तो कोणीय आवर्धन $m = \frac{f_o}{f_e} = 5$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $f_o = 5f_e$।
दूरदर्शी की नली की लंबाई अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी है,जो $L = f_o + f_e = 36 \, cm$ है।
लंबाई के समीकरण में $f_o = 5f_e$ रखने पर: $5f_e + f_e = 36 \, cm$।
$6f_e = 36 \, cm$,जिससे $f_e = 6 \, cm$ प्राप्त होता है।
अब,$f_o$ की गणना करने पर: $f_o = 5 \times 6 \, cm = 30 \, cm$।
अतः,फोकस दूरियाँ $f_o = 30 \, cm$ और $f_e = 6 \, cm$ हैं।

(B) एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है (सामान्य समायोजन),तो कोणीय आवर्धन $m$ इस प्रकार दिया जाता है:
$m = \frac{f_o}{f_e} = 10 \implies f_o = 10 f_e$
सामान्य समायोजन में दूरदर्शी की लंबाई $L$,अभिदृश्यक और नेत्रिका की फोकस दूरियों का योग होती है:
$L = f_o + f_e = 44 \, cm$
लंबाई के समीकरण में $f_o = 10 f_e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10 f_e + f_e = 44$
$11 f_e = 44$
$f_e = 4 \, cm$
अब,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $f_o$ की गणना करें:
$f_o = 10 \times 4 = 40 \, cm$

(A) सामान्य समायोजन में टेलीस्कोप के लिए,आवर्धन क्षमता $M = \frac{f_0}{f_e} = 9$ होती है,जिसका अर्थ है $f_0 = 9f_e$।
सामान्य समायोजन के लिए लेंसों के बीच की दूरी $L = f_0 + f_e = 20 \, cm$ होती है।
दूरी के समीकरण में $f_0 = 9f_e$ रखने पर: $9f_e + f_e = 20 \, cm$।
$10f_e = 20 \, cm$,इसलिए $f_e = 2 \, cm$।
तब,$f_0 = 9 \times 2 \, cm = 18 \, cm$।
अतः,लेंसों की फोकस दूरियाँ $18 \, cm$ और $2 \, cm$ हैं।

(A) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,नली की लंबाई $L$ का सूत्र $L = f_0 + f_e = 105 \, cm$ है।
आवर्धन क्षमता $M$ का सूत्र $M = \frac{f_0}{f_e} = 20$ है।
आवर्धन सूत्र से,हमें $f_0 = 20 f_e$ प्राप्त होता है।
इस मान को लंबाई के समीकरण में रखने पर: $20 f_e + f_e = 105 \, cm$।
$21 f_e = 105 \, cm \implies f_e = 5 \, cm$।
अब,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी की गणना करने पर: $f_0 = 105 - 5 = 100 \, cm$।

(A) दूरबीन का आवर्धन $M = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $f_o = 4 \, m = 400 \, cm$ और $f_e = 10 \, cm$ है।
अतः, $M = -\frac{400}{10} = -40$.
चंद्रमा द्वारा ऑब्जेक्टिव पर बनाया गया कोण $\alpha = \frac{\text{व्यास}}{\text{दूरी}} = \frac{3.5 \times 10^3}{3.8 \times 10^5} \approx 0.00921 \, \text{रेडियन}$ है।
प्रतिबिंब का कोणीय व्यास $\beta = |M| \times \alpha = 40 \times 0.00921 = 0.3684 \, \text{रेडियन}$ है।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करने पर:
$\beta = 0.3684 \times \frac{180}{3.14159} \approx 21.1^\circ$.
अतः, निकटतम पूर्णांक में कोणीय व्यास $21^\circ$ है।

(A) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
इस स्थिति में,दूरदर्शी की नली की लंबाई $(L)$,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के योग के बराबर होती है।
दिया गया है: $f_o = 200 \, cm$ और $f_e = 4 \, cm$.
दूरदर्शी की लंबाई का सूत्र $L = f_o + f_e$ है।
मान रखने पर: $L = 200 \, cm + 4 \, cm = 204 \, cm$.
अतः,दूरदर्शी की लंबाई $204 \, cm$ होगी।

(A) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ को $M = f_o / f_e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
दूरदर्शी की नली की लंबाई $(L)$ $L = f_o + f_e$ द्वारा दी जाती है।
नली की लंबाई $(L)$ बढ़ाने के लिए,हमें लेंसों की फोकस दूरी ($f_o$ या $f_e$) को बढ़ाना होगा।
चूंकि आवर्धन क्षमता $(M)$ नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए नली की लंबाई बढ़ाने के लिए $f_e$ को बढ़ाने पर आवर्धन क्षमता $(M)$ कम हो जाएगी।
अतः,आवर्धन क्षमता घटेगी।

(B) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरबीन के लिए,आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e} = 8$ है।
इसका अर्थ है $f_o = 8f_e$।
दूरबीन की नली की लंबाई $L = f_o + f_e = 54 \, cm$ दी गई है।
लंबाई के समीकरण में $f_o = 8f_e$ रखने पर: $8f_e + f_e = 54 \, cm$।
$9f_e = 54 \, cm$,जिससे $f_e = 6 \, cm$ प्राप्त होता है।
अब,$f_o = 8 \times 6 \, cm = 48 \, cm$।
अतः,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $48 \, cm$ है और नेत्रिका की फोकस दूरी $6 \, cm$ है।

(C) टेलीस्कोप का कोणीय आवर्धन $M$,ऑब्जेक्टिव लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ और आईपीस की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$M = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{f_o}{f_e}$
जहाँ $\alpha$ वस्तु द्वारा ऑब्जेक्टिव पर बनाया गया कोण है और $\beta$ प्रतिबिंब द्वारा आईपीस पर बनाया गया कोण है।
दिया गया है: $f_o = 60 \ cm$,$f_e = 5 \ cm$,और $\alpha = 2^\circ$.
मान रखने पर:
$\frac{\beta}{2^\circ} = \frac{60}{5}$
$\frac{\beta}{2^\circ} = 12$
$\beta = 12 \times 2^\circ = 24^\circ$.
अतः,प्रतिबिंब का कोणीय आकार $24^\circ$ है।

(B) चंद्रमा द्वारा ऑब्जेक्टिव लेंस पर बनाया गया कोण $\alpha = \frac{\text{व्यास}}{\text{दूरी}} = \frac{3.5 \times 10^3}{3.8 \times 10^5} \, rad$ है।
टेलीस्कोप का आवर्धन (magnification) $m = \frac{f_o}{f_e} = \frac{\beta}{\alpha}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta$ आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाया गया कोण है।
यहाँ $f_o = 4 \, m = 400 \, cm$ और $f_e = 10 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $m = \frac{400}{10} = 40$।
अतः,$\beta = 40 \times \alpha = 40 \times \frac{3.5 \times 10^3}{3.8 \times 10^5} \, rad$।
कोण को डिग्री में बदलने पर: $\beta = 40 \times \frac{3.5}{380} \times \frac{180}{\pi} \approx 21.1^\circ$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $20^\circ$ है।

(C) समानांतर किरणों (सामान्य समायोजन) के लिए दूरबीन की आवर्धन क्षमता $m = \frac{f_o}{f_e} = 9$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
इससे हमें $f_o = 9f_e$ प्राप्त होता है ..... $(i)$
सामान्य समायोजन में दूरबीन की नली की लंबाई अभिदृश्यक और नेत्रिका की फोकस दूरियों का योग होती है: $L = f_o + f_e = 20\; cm$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$9f_e + f_e = 20\; cm$
$10f_e = 20\; cm$
$f_e = 2\; cm$
अब,$f_e = 2\; cm$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$f_o = 9 \times 2\; cm = 18\; cm$
अतः,लेंसों की फोकस दूरियाँ $18\; cm$ और $2\; cm$ हैं।

(A) सामान्य समायोजन में,अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी $d = f_0 + f_e$ होती है।
वस्तु ($L$ लंबाई की रेखा) अभिदृश्यक लेंस पर स्थित है। नेत्रिका से इसकी दूरी $u = -(f_0 + f_e)$ है।
नेत्रिका का आवर्धन $m_e = \frac{f_e}{f_e + u}$ द्वारा दिया जाता है।
$u = -(f_0 + f_e)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m_e = \frac{f_e}{f_e - (f_0 + f_e)} = \frac{f_e}{-f_0} = -\frac{f_e}{f_0}$ प्राप्त होता है।
आवर्धन का परिमाण $|m_e| = \frac{I}{L} = \frac{f_e}{f_0}$ है।
चूंकि दूरदर्शी का आवर्धन $M = \frac{f_0}{f_e}$ है,इसलिए $M = \frac{L}{I}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 40\, cm$,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 4\, cm$,और वस्तु की दूरी $u_o = -200\, cm$ है।
अभिदृश्यक लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-200} = \frac{1}{40}$
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{40} - \frac{1}{200} = \frac{5-1}{200} = \frac{4}{200} = \frac{1}{50}$
अतः,$v_o = 50\, cm$ प्राप्त होता है।
अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनने के लिए (सामान्य समायोजन),अभिदृश्यक द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब नेत्रिका के मुख्य फोकस पर स्थित होना चाहिए। इसलिए,लेंसों के बीच की दूरी $l = v_o + f_e$ होगी।
$l = 50\, cm + 4\, cm = 54\, cm$।

(D) एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,कोणीय आवर्धन $M = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
उच्च कोणीय आवर्धन प्राप्त करने के लिए,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $f_o$ बड़ी होनी चाहिए।
दूरदर्शी का कोणीय विभेदन $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
उच्च कोणीय विभेदन प्राप्त करने के लिए,$\theta$ का मान छोटा होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अभिदृश्यक लेंस का व्यास $D$ बड़ा होना चाहिए।
अतः,एक खगोलीय अपवर्तक दूरदर्शी के लिए बड़ी फोकस दूरी और बड़े व्यास वाले अभिदृश्यक लेंस की आवश्यकता होती है।

(A) सामान्य समायोजन में,अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी $f_0 + f_e$ होती है।
चूंकि $L$ लंबाई की रेखा अभिदृश्यक लेंस पर है,यह नेत्रिका के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करती है।
नेत्रिका से इस वस्तु की दूरी $u = -(f_0 + f_e)$ है।
नेत्रिका का आवर्धन $m_e = f_e / (f_e + u)$ द्वारा दिया जाता है।
$u$ का मान रखने पर:
$m_e = f_e / (f_e - (f_0 + f_e)) = f_e / (-f_0) = -f_e / f_0$.
आवर्धन का परिमाण $|m_e| = l / L = f_e / f_0$ है।
चूंकि दूरबीन का आवर्धन $M = f_0 / f_e$ होता है,इसलिए हमें $M = L / l$ प्राप्त होता है।

(B) टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(M)$ को आँख पर प्रतिबिंब द्वारा बनाए गए कोण और बिना सहायता वाली आँख पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
व्यावहारिक रूप से,एक टेलीस्कोप वस्तु की भौतिक ऊँचाई को नहीं बदलता है; इसके बजाय,यह वस्तु को उसकी आवर्धन क्षमता के बराबर कारक से प्रेक्षक के करीब लाता है।
चूँकि आवर्धन क्षमता $20$ है,इसलिए पेड़ प्रेक्षक को उसकी वास्तविक स्थिति से $20$ गुना अधिक पास दिखाई देगा।

(C) सामान्य समायोजन (शिथिल नेत्र) में खगोलीय दूरबीन का कोणीय आवर्धन $M = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{f_0}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta$ नेत्रिका पर प्रतिबिंब द्वारा बनाया गया कोण है और $\alpha$ अभिदृश्यक लेंस पर वस्तु द्वारा बनाया गया कोण है।
दिया गया है $\alpha = 0.25^o$ और $\beta = 1.5^o$,इसलिए $M = \frac{1.5}{0.25} = 6$.
अतः,$\frac{f_0}{f_e} = 6$,जिसका अर्थ है $f_0 = 6f_e$.
दूरबीन की नली की लंबाई $L = f_0 + f_e = 35 \ cm$ है।
लंबाई के समीकरण में $f_0 = 6f_e$ रखने पर: $6f_e + f_e = 35 \ cm$.
$7f_e = 35 \ cm$.
$f_e = 5 \ cm$.

(A) खगोलीय दूरबीन का आवर्धन $M$ सूत्र $M = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
सबसे बड़ा आवर्धन प्राप्त करने के लिए,अनुपात $\left| \frac{f_o}{f_e} \right|$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
इसके लिए अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी सबसे अधिक $(f_o = 150\; cm)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी सबसे कम $(f_e = 15\; cm)$ होनी चाहिए।
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $15\; cm$ होनी चाहिए।

(B) सामान्य समायोजन में (जहाँ समानांतर किरणें आई-लेंस से बाहर निकलती हैं) टेलीस्कोप का कोणीय आवर्धन $M$,ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी $(f_o)$ और आई-लेंस की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
साथ ही,कोणीय आवर्धन को आँख पर छवि द्वारा बनाए गए कोण $(\beta)$ और ऑब्जेक्टिव पर वस्तु द्वारा बनाए गए कोण $(\alpha)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$M = \frac{\beta}{\alpha}$
दिया गया है:
$f_o = 60\,cm$
$f_e = 5\,cm$
$\alpha = 2^o$
आवर्धन के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{f_o}{f_e} = \frac{\beta}{\alpha}$
$\frac{60}{5} = \frac{\beta}{2}$
$12 = \frac{\beta}{2}$
$\beta = 12 \times 2 = 24^o$
अतः,छवि की कोणीय चौड़ाई $24^o$ है।

(A) खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $m \propto f_o$ है।
अतः,यदि अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ बढ़ाई जाती है,तो दूरबीन की आवर्धन क्षमता $(m)$ बढ़ जाएगी।

(A) खगोलीय दूरदर्शी के लिए,जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,तो कोणीय आवर्धन $m$ का सूत्र $|m| = \frac{f_o}{f_e}$ होता है।
दिया गया है $|m| = 5$,इसलिए $f_o = 5f_e$ है।
जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर हो,तो दूरदर्शी की नली की लंबाई $L = f_o + f_e$ होती है।
दिया गया है $L = 36 \, cm$,समीकरण में $f_o = 5f_e$ रखने पर:
$5f_e + f_e = 36 \, cm$
$6f_e = 36 \, cm$
$f_e = 6 \, cm$.
अब,$f_o$ की गणना करने पर:
$f_o = 5 \times 6 \, cm = 30 \, cm$.
अतः,फोकस दूरियाँ $30 \, cm$ और $6 \, cm$ हैं।

(A) सामान्य समायोजन में टेलीस्कोप के लिए,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
सामान्य समायोजन में खगोलीय टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र है:
$M = -\frac{f_o}{f_e}$
जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
दिया गया है:
$f_o = 144\, cm$
$f_e = 6\, cm$
मान रखने पर:
$M = -\frac{144}{6} = -24$
आवर्धन क्षमता का परिमाण $24$ है।

(B) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी के लिए,आवर्धन क्षमता $M = \frac{f_o}{f_e} = 100$ होती है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
इससे हमें $f_o = 100 f_e$ प्राप्त होता है।
सामान्य समायोजन में अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी $L = f_o + f_e = 101 \,cm$ होती है।
समीकरण में $f_o = 100 f_e$ रखने पर,हमें $100 f_e + f_e = 101 \,cm$ प्राप्त होता है।
$101 f_e = 101 \,cm$,जिससे $f_e = 1 \,cm$ प्राप्त होता है।
अब,अभिदृश्यक की फोकस दूरी की गणना करने पर: $f_o = 100 \times 1 \,cm = 100 \,cm$।

(D) दिया गया है: अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $f_0 = 16 \, m$। नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 2 \, cm = 0.02 \, m$।
$1$. सामान्य समायोजन के लिए दूरदर्शी की नली की लंबाई $L = f_0 + f_e = 16 + 0.02 = 16.02 \, m$ होती है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. खगोलीय दूरदर्शी के लिए कोणीय आवर्धन $m = -f_0 / f_e = -16 / 0.02 = -800$ होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. खगोलीय दूरदर्शी में,अंतिम प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष उल्टा बनता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) सामान्य समायोजन में,अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी $f_0 + f_e$ होती है। $L$ लंबाई की रेखा अभिदृश्यक लेंस पर स्थित है,इसलिए नेत्रिका से इसकी दूरी $u = -(f_0 + f_e)$ है।
लेंस के लिए आवर्धन सूत्र का उपयोग करते हुए,$m = \frac{I}{L} = \frac{f_e}{f_e + u}$।
$u = -(f_0 + f_e)$ का मान रखने पर:
$\frac{I}{L} = \frac{f_e}{f_e - (f_0 + f_e)} = \frac{f_e}{-f_0}$।
चूंकि सामान्य समायोजन में दूरबीन की आवर्धन क्षमता $M.P. = -\frac{f_0}{f_e}$ होती है,इसलिए हमें $\frac{I}{L} = \frac{1}{M.P.}$ प्राप्त होता है।
अतः,$M.P. = \frac{L}{I}$।

(B) दिया गया है: अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $f_o = 100 \, cm$।
टेलीस्कोप की कुल लंबाई $L = 105 \, cm$।
स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $v_e = -25 \, cm$।
हम जानते हैं कि टेलीस्कोप की लंबाई $L = f_o + |u_e|$ होती है,जहाँ $|u_e|$ नेत्रिका के लिए वस्तु की दूरी है।
$|u_e| = L - f_o = 105 - 100 = 5 \, cm$।
अतः,$u_e = -5 \, cm$।
नेत्रिका के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{f_e} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{-5} = -0.04 + 0.2 = 0.16$।
इसलिए,$f_e = \frac{1}{0.16} = 6.25 \, cm$।

(C) सामान्य समायोजन में टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(M)$ $M = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $f_o = 150\,cm$ और $f_e = 5\,cm$ दिया गया है,इसलिए $M = \frac{150}{5} = 30$ है।
अभिदृश्यक लेंस पर वस्तु द्वारा बनाया गया कोण $\alpha \approx \tan \alpha = \frac{\text{टॉवर की ऊँचाई}}{\text{दूरी}} = \frac{50\,m}{1000\,m} = 0.05\,rad$ है।
नेत्रिका पर छवि द्वारा बनाया गया कोण $\beta = \theta$ है।
चूंकि $M = \frac{\beta}{\alpha}$,इसलिए $\theta = M \times \alpha = 30 \times 0.05 = 1.5\,rad$ है।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi} \approx 57.3^o$ से गुणा करते हैं।
इस प्रकार,$\theta \approx 1.5 \times 57.3^o \approx 86^o$ है। हालाँकि,छोटे कोण के सन्निकटन और इस विशिष्ट प्रश्न के लिए मानक पाठ्यपुस्तक के संदर्भ को देखते हुए,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $60^o$ है।

(D) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_{o} = 30\, cm$.
नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी,$f_{e} = 3.0\, cm$.
स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी,$D = 25\, cm$.
गैलिलियन दूरदर्शी के लिए,जब अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी पर बनता है,तो आवर्धन क्षमता $M$ का सूत्र है:
$M = \frac{f_{o}}{f_{e}} \left( 1 - \frac{f_{e}}{D} \right)$
मान रखने पर:
$M = \frac{30}{3} \left( 1 - \frac{3}{25} \right)$
$M = 10 \times \left( \frac{25 - 3}{25} \right)$
$M = 10 \times \frac{22}{25}$
$M = \frac{220}{25} = 8.8$
चूंकि प्रतिबिंब सीधा है,इसलिए आवर्धन क्षमता धनात्मक होगी। अतः,$M = +8.8$.

(D) दिया गया है: $f_o = 50\,cm$,$f_e = 5\,cm$,$u_o = -200\,cm$,और अंतिम प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $d = -25\,cm$ पर बनता है।
सबसे पहले,लेंस सूत्र $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ का उपयोग करके अभिदृश्यक लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब की दूरी $v_o$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{50} - \frac{1}{200} = \frac{4-1}{200} = \frac{3}{200} \Rightarrow v_o = \frac{200}{3}\,cm$.
इसके बाद,नेत्रिका के लिए वस्तु की दूरी $u_e$ ज्ञात करने के लिए $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$ का उपयोग करें,जहाँ $v_e = -25\,cm$ है:
$-\frac{1}{u_e} = \frac{1}{5} - (-\frac{1}{25}) = \frac{5+1}{25} = \frac{6}{25} \Rightarrow u_e = -\frac{25}{6}\,cm$.
कुल आवर्धन $M = M_o \times M_e = (\frac{v_o}{u_o}) \times (\frac{v_e}{u_e})$ द्वारा प्राप्त होता है:
$M = (\frac{200/3}{-200}) \times (\frac{-25}{-25/6}) = (-\frac{1}{3}) \times (6) = -2$.

(C) अपवर्तक टेलीस्कोप बड़े लेंस का उपयोग करते हैं। लेंस को केवल उनके किनारों पर ही सहारा दिया जा सकता है,जिससे वे बहुत बड़े होने पर अपने स्वयं के वजन के कारण झुक जाते हैं,जिससे छवि विकृत हो जाती है।
परावर्तक टेलीस्कोप बड़े दर्पणों का उपयोग करते हैं। दर्पणों को पूरी पिछली सतह से सहारा दिया जा सकता है,जिससे बड़े आकार के लेंस की तुलना में बड़े आकार के दर्पणों को यांत्रिक सहारा देना बहुत आसान हो जाता है।
इसके अतिरिक्त,दर्पण वर्ण विपथन (chromatic aberration) से मुक्त होते हैं,जो बड़े टेलीस्कोप के लिए एक महत्वपूर्ण लाभ है।
इसलिए,कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) सामान्य समायोजन के लिए,आवर्धन $m = f_o / f_e = 10$,जिसका अर्थ है $f_o = 10 f_e$.
दूरदर्शी की लंबाई $L = f_o + f_e = 1.1 \, m = 110 \, cm$ है।
लंबाई के समीकरण में $f_o = 10 f_e$ रखने पर: $10 f_e + f_e = 110 \, cm \implies 11 f_e = 110 \, cm \implies f_e = 10 \, cm$.
अतः,$f_o = 10 \times 10 \, cm = 100 \, cm$.
जब प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(D = 25 \, cm)$ पर बनता है,तो आवर्धन $m' = f_o / f_e \times (1 + f_e / D)$ द्वारा दिया जाता है।
$m' = 10 \times (1 + 10 / 25) = 10 \times (1 + 0.4) = 10 \times 1.4 = 14$.

(C) एक अपवर्तक दूरबीन का कोणीय आवर्धन $m$,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी,$f_o = 15 \, m = 1500 \, cm$.
नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_e = 1.0 \, cm$.
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$m = \frac{f_o}{f_e} = \frac{1500 \, cm}{1.0 \, cm} = 1500$.
अतः,दूरबीन का कोणीय आवर्धन $1500$ है।

(A) सामान्य समायोजन में,अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है।
खगोलीय दूरबीन की आवर्धन क्षमता $m$,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ और नेत्रिका लेंस की फोकस दूरी $(f_e)$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$f_o = 140\, cm$
$f_e = 5.0\, cm$
सूत्र:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
गणना:
$m = \frac{140}{5.0} = 28$
अतः,दूरबीन की आवर्धन क्षमता $28$ है।

(D) पृथ्वी से देखे जाने पर चंद्रमा का कोणीय व्यास $\alpha = \frac{\text{चंद्रमा का व्यास}}{\text{पृथ्वी से दूरी}} = \frac{3.5 \times 10^3 \, km}{3.8 \times 10^5 \, km} = \frac{3.5}{380} \approx 0.00921 \, \text{रेडियन}$ है।
दूरबीन का आवर्धन $M = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $f_o = 4 \, m = 400 \, cm$ और $f_e = 10 \, cm$ दिया गया है।
अतः, $M = -\frac{400}{10} = -40$.
प्रतिबिंब का कोणीय व्यास $\beta = |M| \times \alpha$ है।
$\beta = 40 \times 0.00921 = 0.3684 \, \text{रेडियन}$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करें:
$\beta = 0.3684 \times \frac{180}{3.14159} \approx 21.11^\circ$.
निकटतम पूर्णांक में, कोणीय व्यास $21^\circ$ है।

(D) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 20 \, m = 2000 \, cm$,नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 2 \, cm$ है।
$1$. आवर्धन $(m)$: सामान्य समायोजन के लिए दूरदर्शी का आवर्धन $m = \frac{f_o}{f_e} = \frac{2000 \, cm}{2 \, cm} = 1000$ होता है।
$2$. नली की लंबाई $(L)$: सामान्य समायोजन के लिए,$L = f_o + f_e = 20 \, m + 0.02 \, m = 20.02 \, m$ होती है।
$3$. प्रतिबिंब की प्रकृति: खगोलीय दूरदर्शी वस्तु के सापेक्ष उल्टा प्रतिबिंब बनाता है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) ऑब्जेक्टिव दर्पण की फोकस दूरी $(f_o)$ उसकी वक्रता त्रिज्या $(R)$ की आधी होती है:
$f_o = \frac{R}{2} = \frac{80 \, cm}{2} = 40 \, cm$.
दिया गया है कि नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ $1.6 \, cm$ है।
परावर्तक दूरबीन की आवर्धन क्षमता $(m)$,ऑब्जेक्टिव की फोकस दूरी और नेत्रिका की फोकस दूरी के अनुपात के बराबर होती है:
$m = \frac{f_o}{f_e} = \frac{40}{1.6} = 25$.
अतः,दूरबीन की आवर्धन क्षमता $25$ है।

(D) जब अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है,तो खगोलीय दूरदर्शी के लिए कोणीय आवर्धन $m = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ आवर्धन का परिमाण $5$ दिया गया है,इसलिए $|m| = \frac{f_o}{f_e} = 5$,जिसका अर्थ है $f_o = 5f_e$।
अभिदृश्यक और नेत्रिका के बीच की दूरी (नली की लंबाई) $L = f_o + f_e = 36 \, cm$ है।
समीकरण में $f_o = 5f_e$ रखने पर: $5f_e + f_e = 36 \, cm$।
$6f_e = 36 \, cm \Rightarrow f_e = 6 \, cm$।
अब,$f_o$ की गणना करने पर: $f_o = 5 \times 6 \, cm = 30 \, cm$।
अतः,फोकस दूरियाँ $f_o = 30 \, cm$ और $f_e = 6 \, cm$ हैं।

(C) सामान्य समायोजन में दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $M = -\frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दी जाती है।
हालाँकि,अधिकतम आवर्धन क्षमता के लिए,प्रतिबिंब स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $(d = 25 \, cm)$ पर बनता है।
अधिकतम आवर्धन क्षमता का सूत्र $M = -\frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{f_e}{d}\right)$ है।
यहाँ $f_o = 200 \, cm$,$f_e = 5 \, cm$,और $d = 25 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $M = -\frac{200}{5} \left(1 + \frac{5}{25}\right)$.
$M = -40 \left(1 + 0.2\right) = -40 \times 1.2$.
$M = -48$.