Refraction through Plane Surface and Glass Slab Questions in Gujarati

(B) ધારો કે એક બાજુથી પરપોટાનું વાસ્તવિક અંતર $x$ છે. તો વિરુદ્ધ બાજુથી અંતર $(24 - x)$ થશે.
આભાસી ઊંડાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d_{\text{apparent}} = \frac{d_{\text{actual}}}{\mu}$.
પ્રથમ બાજુ માટે: $12 = \frac{x}{\mu} \implies x = 12\mu$.
બીજી બાજુ માટે: $4 = \frac{24 - x}{\mu} \implies 24 - x = 4\mu$.
બીજા સમીકરણમાં $x = 12\mu$ મૂકતા:
$24 - 12\mu = 4\mu$.
$24 = 16\mu$.
$\mu = \frac{24}{16} = 1.5 = \frac{3}{2}$.

(A) વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d_i$ અને વક્રીભવનાંક $n_i$ ધરાવતા માધ્યમની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app, i} = \frac{d_i}{n_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાત્રની કુલ ઊંડાઈ $d$ છે. તે બે સમાન ભાગમાં વહેંચાયેલું છે,તેથી દરેક પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d_1 = d_2 = \frac{d}{2}$ છે.
તેલના સ્તરની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app, 1} = \frac{d/2}{n_1} = \frac{d}{2n_1}$ છે.
પાણીના સ્તરની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app, 2} = \frac{d/2}{n_2} = \frac{d}{2n_2}$ છે.
પાત્રની કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ બંને સ્તરોની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$d_{app} = d_{app, 1} + d_{app, 2} = \frac{d}{2n_1} + \frac{d}{2n_2}$.
$\frac{d}{2}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $d_{app} = \frac{d}{2} \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)$ મળે છે.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા,$d_{app} = \frac{d}{2} \left( \frac{n_2 + n_1}{n_1 n_2} \right) = \frac{d(n_1 + n_2)}{2n_1 n_2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે માછલીનો વેગ $v_f = 8\,ms^{-1}$ (ઉપરની તરફ) છે અને પક્ષીનો વેગ $v_b$ (નીચેની તરફ) છે.
માછલી દ્વારા જોવામાં આવતો પક્ષીનો આભાસી વેગ $v_{b/f} = 12\,ms^{-1}$ (નીચેની તરફ) છે.
સપાટી પરના વક્રીભવનને કારણે આભાસી વેગના સૂત્ર મુજબ,ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી જોતા પાતળા માધ્યમમાં રહેલી વસ્તુનો આભાસી વેગ $v_{app} = \mu \cdot v_{actual}$ થાય છે.
અહીં,પક્ષી હવા $(\mu_1 = 1)$ માં છે અને માછલી પાણી $(\mu_2 = 4/3)$ માં છે.
પાણીની સપાટીની સાપેક્ષે પક્ષીનો વેગ $v_b$ છે. પાણીની સપાટીની સાપેક્ષે માછલીનો વેગ $v_f = 8\,ms^{-1}$ છે.
માછલીની સાપેક્ષે પક્ષીનો આભાસી વેગ $v_{b/f} = v_{b,app} + v_f$ થાય (કારણ કે બંને વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
પક્ષી હવામાં હોવાથી,પાણીમાંથી જોતા તેનો આભાસી વેગ $v_{b,app} = \mu \cdot v_b = \frac{4}{3} v_b$ થાય.
આપેલ છે કે $v_{b/f} = 12\,ms^{-1}$,તેથી:
$12 = \frac{4}{3} v_b + 8$
$12 - 8 = \frac{4}{3} v_b$
$4 = \frac{4}{3} v_b$
$v_b = 3\,ms^{-1}$.

(D) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h$ ધરાવતા માધ્યમમાં પદાર્થની આભાસી ઊંડાઈ $h_{app} = \frac{h}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદ્રાવ્ય પ્રવાહીના અનેક સ્તરો માટે,કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ દરેક સ્તરની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$h_{app} = \frac{h_1}{\mu_1} + \frac{h_2}{\mu_2}$
આપેલ છે:
$h_1 = 6 \,cm, \mu_1 = \frac{8}{5}$
$h_2 = 6 \,cm, \mu_2 = \frac{3}{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$h_{app} = \frac{6}{8/5} + \frac{6}{3/2}$
$h_{app} = \frac{30}{8} + \frac{12}{3}$
$h_{app} = \frac{15}{4} + 4 = \frac{15 + 16}{4} = \frac{31}{4} \,cm$
આને આપેલી આભાસી ઊંડાઈ $\frac{\alpha}{4} \,cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 31$ મળે છે.

(B) આપેલ છે:
જાડાઈ $t = 4 \sqrt{3} \text{ cm}$
વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$
આપાતકોણ $i = \theta_c$ (ક્રાંતિકોણ)
$1$. ક્રાંતિકોણની ગણતરી:
$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta_c = 45^{\circ}$
તેથી,$i = 45^{\circ}$.
$2$. પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin r$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{2} \Rightarrow r = 30^{\circ}$.
$3$. પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $\Delta$ ની ગણતરી:
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\Delta = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$ છે.
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot \sin(45^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot \sin 15^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}$
આપેલ છે કે $\sin 15^{\circ} = 0.25 = \frac{1}{4}$ અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\Delta = \frac{4 \sqrt{3} \cdot (1/4)}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 2 \text{ cm}$.
આમ,પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $2 \text{ cm}$ છે.

(C) ધારો કે $h$ એ પાણીની સપાટીથી દડાની ઊંચાઈ છે. $h$ ઊંચાઈએ દડાનો વેગ $v_b = \sqrt{2g(H - h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $H = 20 \,m$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે અને $h = 12.8 \,m$ છે.
$v_b = \sqrt{2 \times 10 \times (20 - 12.8)} = \sqrt{20 \times 7.2} = \sqrt{144} = 12 \,m/s$.
જ્યારે કોઈ વસ્તુ પાતળા માધ્યમ (હવા) માં હોય અને તેને ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી જોવામાં આવે, ત્યારે આભાસી ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = \mu h$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $\mu = 4/3$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી, માછલી દ્વારા જોવા મળતો આભાસી વેગ $v_a = \frac{d}{dt}(h') = \mu \frac{dh}{dt} = \mu v_b$ થશે.
$v_a = (4/3) \times 12 \,m/s = 16 \,m/s$.

(C) સ્લેબની ઉપરના ભાગે પ્રકાશ તરંગનો ઓપ્ટિકલ પાથ લેન્થ $n_2 d$ છે અને નીચેના ભાગે તે $n_1 d$ છે.
વક્રીભવનાંક રેખીય રીતે બદલાતો હોવાથી,જ્યારે તરંગ સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વેવફ્રન્ટ નમે છે.
ઉપરના અને નીચેના કિરણો વચ્ચેના ઓપ્ટિકલ પાથ લેન્થનો તફાવત $\Delta = (n_2 - n_1)d$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર આ પથ તફાવતને કારણે વેવફ્રન્ટ $\theta$ ખૂણે નમે છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{\Delta}{h} = \frac{(n_2 - n_1)d}{h}$ થાય છે.
આમ,પ્રકાશ તરંગ $\theta = \tan^{-1}\left[\frac{(n_2 - n_1)d}{h}\right]$ ખૂણે ઉપર તરફ વિચલિત થાય છે.
આ સાબિત કરે છે કે વિધાન $B$ સાચું છે.
વિચલન કોણ માત્ર $(n_2 - n_1)$ ના તફાવત પર આધાર રાખતો હોવાથી,વિધાન $D$ પણ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $D$ છે.

(C) એક એકમ માટે પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $x$ એ દરેક સ્તરમાં થતા આડા સ્થાનાંતરના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x = h \tan 60^{\circ} + d \tan \theta_1 + d \tan \theta_2$
દરેક સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. હવા-પ્રથમ સ્તરની સપાટી પર: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sin \theta_1 \Rightarrow \sin \theta_1 = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta_1 = 45^{\circ}$
$2$. પ્રથમ સ્તર-બીજા સ્તરની સપાટી પર: $\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sin 45^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin \theta_2 \Rightarrow \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \cdot \sin \theta_2 \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin \theta_2 \Rightarrow \sin \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta_2 = 30^{\circ}$
હવે,એક એકમ માટે કુલ આડું સ્થાનાંતર $x$ ગણો:
$x = \frac{1}{3} \tan 60^{\circ} + \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) \tan 45^{\circ} + \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) \tan 30^{\circ}$
$x = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$
$x = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{3-\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 + 3 - \sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ cm}$
$n$ એકમો માટે,કુલ અંતર $l = n \cdot x = n \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ cm}$
$n = 4$

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $h$ જાડાઈ ધરાવતા સમાંતર બાજુવાળા કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે બે સમાંતર સપાટીઓ પર વક્રીભવન અનુભવે છે.
ધારો કે $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $d$ એ આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
સ્લેબમાંથી પ્રકાશના માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,પાર્શ્વ સ્થાનાંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{h \sin(i - r)}{\cos r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે ઉપરથી અનેક પ્રવાહીના સ્તરો દ્વારા જોવામાં આવે ત્યારે પાત્રના તળિયાની આભાસી ઊંડાઈ $d'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d' = \frac{h_1}{\mu_1} + \frac{h_2}{\mu_2}$
અહીં,$h_1 = 60 \ cm$,$\mu_1 = 1.2$,$h_2 = H$,અને $\mu_2 = 1.6$ છે.
તેથી,$d' = \frac{60}{1.2} + \frac{H}{1.6} = 50 + \frac{H}{1.6}$.
તળિયાની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d = 60 + H$ છે.
આભાસી સ્થાનાંતર એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ અને આભાસી ઊંડાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Shift} = d - d'$
$40 = (60 + H) - (50 + \frac{H}{1.6})$
$40 = 10 + H - \frac{H}{1.6}$
$30 = H(1 - \frac{1}{1.6})$
$30 = H(\frac{1.6 - 1}{1.6}) = H(\frac{0.6}{1.6})$
$30 = H(\frac{6}{16}) = H(\frac{3}{8})$
$H = 30 \times \frac{8}{3} = 80 \ cm$.

(B) કાચની સ્લેબને કારણે શાહીના ટપકાની આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{t}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $t = 3 \ cm$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે અને $\mu$ એ તેનો વક્રીભવનાંક છે.
અવલોકનકાર સ્લેબની ઉપર $5 \ cm$ ના અંતરે છે.
અહીં કુલ વાસ્તવિક અંતર $5 \ cm$ છે। સ્લેબની જાડાઈ $3 \ cm$ છે। સ્લેબની ઉપરનું અંતર $5 - 3 = 2 \ cm$ છે.
સ્લેબની ઉપરની સપાટીથી ટપકાની આભાસી ઊંડાઈ $\frac{3}{\mu}$ છે.
અવલોકનકારથી કુલ આભાસી અંતર $2 + \frac{3}{\mu} = 4 \ cm$ છે.
$\frac{3}{\mu} = 4 - 2 = 2 \ cm$.
$\mu = \frac{3}{2} = 1.5$.

(A) ધારો કે પાતળા માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v_1$ છે અને કાચના સ્લેબમાં $v_2$ છે. આપેલ છે કે વેગ $20 \%$ ઘટે છે,તેથી $v_2 = v_1 - 0.20v_1 = 0.8v_1 = \frac{4}{5}v_1$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$. વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v}$ હોવાથી,$\frac{c}{v_1} \sin i = \frac{c}{v_2} \sin r$.
આ સમીકરણ $\frac{\sin i}{v_1} = \frac{\sin r}{v_2}$ માં પરિણમે છે,તેથી $\sin r = \frac{v_2}{v_1} \sin i$.
$v_2 = 0.8v_1$ હોવાથી,$\sin r = 0.8 \sin i$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta$ લેતા,$r = 0.8i = \frac{4}{5}i$.
વિચલન કોણ $\delta = i - r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$\delta = i - 0.8i = 0.2i = \frac{1}{5}i$ મળે છે.

(A) ધારો કે કાચના સમઘનની બાજુ $L = 21 \ cm$ છે. ધારો કે પ્રથમ સપાટીથી હવાના પરપોટાનું વાસ્તવિક અંતર $x$ છે. તો,વિરુદ્ધ સપાટીથી તેનું અંતર $(L - x)$ થશે.
પ્રથમ સપાટીથી જોતા,આભાસી અંતર $d_1 = x / \mu = 8 \ cm$ છે,તેથી $x = 8\mu$.
વિરુદ્ધ સપાટીથી જોતા,આભાસી અંતર $d_2 = (L - x) / \mu = 6 \ cm$ છે,તેથી $L - x = 6\mu$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $x + (L - x) = 8\mu + 6\mu$,જે $L = 14\mu$ આપે છે.
$L = 21 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$21 = 14\mu$,તેથી $\mu = 21 / 14 = 1.5$.
$\mu = 1.5$ ને $x = 8\mu$ માં મૂકતા,આપણને $x = 8 \times 1.5 = 12 \ cm$ મળે છે.

(D) અદ્રાવ્ય પ્રવાહીઓના સંયોજનની આભાસી ઊંડાઈ શોધવાનું સૂત્ર: $d_{app} = \sum \frac{d_i}{\mu_i}$,જ્યાં $d_i$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ છે અને $\mu_i$ એ $i$-માં પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક છે।
આપેલ છે:
$d_1 = 3 \text{ cm}, \mu_1 = 3/2$
$d_2 = 4 \text{ cm}, \mu_2 = 4/3$
$d_3 = 6 \text{ cm}, \mu_3 = 6/5$
આભાસી ઊંડાઈની ગણતરી:
$d_{app} = \frac{3}{3/2} + \frac{4}{4/3} + \frac{6}{6/5}$
$d_{app} = (3 \times 2/3) + (4 \times 3/4) + (6 \times 5/6)$
$d_{app} = 2 + 3 + 5 = 10 \text{ cm}$.
તેથી,પાત્રની આભાસી ઊંડાઈ $10 \text{ cm}$ છે।

(B) ધારો કે $s_1$ એ સપાટીથી સ્ત્રોતનું અંતર છે અને $c$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ છે. સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{s_1}{c}$ છે.
ધારો કે $s_2$ એ કાચની સ્લેબની જાડાઈ $(5 \ cm)$ છે અને $v$ એ કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ છે. સ્લેબમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $T_2 = \frac{s_2}{v}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{v}$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી,આપણે $v = \frac{c}{\mu}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{c/\mu} = \frac{s_2 \times \mu}{c}$.
તેથી,$s_1 = s_2 \times \mu$.
અહીં $s_2 = 5 \ cm$ અને $\mu = 1.6$ હોવાથી,$s_1 = 5 \times 1.6 = 8 \ cm$ મળે છે.

(C) ધારો કે પાત્રમાં ભરેલા પાણીની ઊંચાઈ $x$ છે।
પાત્રના તળિયાની આભાસી ઊંડાઈ, ઉપરથી જોતા, $d' = \frac{x}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે।
આપેલ છે કે $n = \frac{4}{3}$, તેથી આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{x}{4/3} = \frac{3x}{4}$ થાય।
પાત્ર અડધું ભરેલું દેખાય છે, જેનો અર્થ છે કે પાણીની ઉપરની સપાટીથી તળિયાની આભાસી ઊંડાઈ $15 \, cm$ હોવી જોઈએ।
તેથી, $d' = 15 \, cm$.
$d' = \frac{x}{n}$ હોવાથી, $15 = \frac{x}{4/3}$.
$x = 15 \times \frac{4}{3} = 20 \, cm$.
આમ, પાણીની ઊંચાઈ $20 \, cm$ હોવી જોઈએ।

(A) એક સ્તર માટે આભાસી ઊંડાઈનું સૂત્ર $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} (R)}{\text{વક્રીભવનાંક} (\mu)}$ છે.
ઘણા અદ્રાવ્ય પ્રવાહીઓના સંયોજન માટે,કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ દરેક સ્તરની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{R_1}{\mu_1} + \frac{R_2}{\mu_2} + \frac{R_3}{\mu_3}$
આપેલ છે:
$R_1 = 3 \ cm, \mu_1 = \frac{3}{2}$
$R_2 = 4 \ cm, \mu_2 = \frac{4}{3}$
$R_3 = 6 \ cm, \mu_3 = \frac{6}{5}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{3}{3/2} + \frac{4}{4/3} + \frac{6}{6/5}$
$= (3 \times \frac{2}{3}) + (4 \times \frac{3}{4}) + (6 \times \frac{5}{6})$
$= 2 + 3 + 5$
$= 10 \ cm$.

(C) આપેલ છે: કાચમાં તરંગોની સંખ્યા $(N_g)$ એ પાણીમાં તરંગોની સંખ્યા $(N_w)$ જેટલી છે.
$N_g = N_w$
તરંગોની સંખ્યા $N = \frac{d}{\lambda}$ હોવાથી,જ્યાં $d$ એ માધ્યમની જાડાઈ છે અને $\lambda$ એ તે માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે:
$\frac{d_g}{\lambda_g} = \frac{d_w}{\lambda_w}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d_g \cdot \mu_g}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{d_w \cdot \mu_w}{\lambda_{\text{air}}}$
$\mu_g \cdot d_g = \mu_w \cdot d_w$
અહીં $d_g = 5 \ cm$,$d_w = 6 \ cm$,અને $\mu_g = 1.56$ આપેલ છે:
$1.56 \times 5 = \mu_w \times 6$
$\mu_w = \frac{1.56 \times 5}{6} = \frac{7.8}{6} = 1.30$
આમ,પાણીનો વક્રીભવનાંક $1.30$ છે.

(B) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચના સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સામાન્ય સ્થાનાંતર (normal shift) $x$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x = t \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$
$t$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = t \left(\frac{\mu - 1}{\mu}\right)$
$t = \frac{x \cdot \mu}{\mu - 1}$
તેથી,કાચના સ્લેબની જાડાઈ $t = \frac{\mu x}{\mu - 1}$ છે.

(C) એકબીજામાં ન ભળતા પ્રવાહીના અનેક સ્તરો ધરાવતા પાત્રની આભાસી ઊંડાઈ દરેક વ્યક્તિગત સ્તરની આભાસી ઊંડાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આભાસી ઊંડાઈ માટેનું સૂત્ર $d_{app} = \sum \frac{d_i}{n_i}$ છે,જ્યાં $d_i$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ છે અને $n_i$ એ $i$-માં સ્તરનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
સ્તર $1$: $d_1 = 40 \ cm$,$n_1 = 1.6$
સ્તર $2$: $d_2 = 30 \ cm$,$n_2 = 1.5$
આભાસી ઊંડાઈની ગણતરી:
$d_{app} = \frac{40}{1.6} + \frac{30}{1.5}$
$d_{app} = 25 \ cm + 20 \ cm$
$d_{app} = 45 \ cm$
તેથી,પાત્રની આભાસી ઊંડાઈ $45 \ cm$ છે.

(A) કાચના સ્લેબને કારણે થતા આભાસી સ્થાનાંતર $(h)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = t \left(1 - \frac{1}{n}\right)$
જ્યાં $t$ એ સ્લેબની વાસ્તવિક જાડાઈ છે અને $n$ એ વક્રીભવનાંક છે।
આપેલ છે:
$t = 4.8 \text{ cm}$
$n = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$h = 4.8 \left(1 - \frac{1}{1.5}\right)$
$h = 4.8 \left(1 - \frac{2}{3}\right)$
$h = 4.8 \left(\frac{1}{3}\right)$
$h = 1.6 \text{ cm}$
તેથી, શાહીનું ટપકું $1.6 \text{ cm}$ જેટલું ઉપર આવેલું દેખાશે।

(B) ધારો કે ટાંકીમાં પ્રવાહીની કુલ ઊંડાઈ $H$ છે. વસ્તુ $P$ અરીસાથી $h$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી પ્રવાહીની સપાટીથી તેની ઊંડાઈ $(H-h)$ છે.
અવલોકનકાર $O$ દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુ $P$ ની આભાસી ઊંડાઈ $d_1 = \frac{H-h}{\mu}$ છે.
સમતલ અરીસા દ્વારા બનતું વસ્તુ $P$ નું પ્રતિબિંબ અરીસાથી $h$ અંતર નીચે છે. પ્રવાહીની સપાટીથી આ પ્રતિબિંબની કુલ ઊંડાઈ $(H+h)$ છે.
અવલોકનકાર $O$ દ્વારા જોવામાં આવતી પ્રતિબિંબની આભાસી ઊંડાઈ $d_2 = \frac{H+h}{\mu}$ છે.
વસ્તુ $P$ અને તેના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું આભાસી અંતર એ તેમની આભાસી ઊંડાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{આભાસી અંતર} = d_2 - d_1 = \frac{H+h}{\mu} - \frac{H-h}{\mu} = \frac{H+h-H+h}{\mu} = \frac{2h}{\mu}$.

(B) નાના ખૂણાઓ માટે,સ્નેલનો નિયમ $n = \frac{\sin i}{\sin r} \approx \frac{i}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વેગ $25 \%$ ઘટે છે,તેથી નવો વેગ $v = c - 0.25c = 0.75c = \frac{3}{4}c$ થાય.
વક્રીભવનાંક $n$ ને $n = \frac{c}{v} = \frac{c}{0.75c} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$n$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{i}{r} = \frac{4}{3} \implies r = \frac{3}{4}i$.
વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = i - r$ દ્વારા મળે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $\delta = i - \frac{3}{4}i = \frac{i}{4}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ સપાટીથી હવાના પરપોટાનું અંતર $l_1$ છે અને બીજી સપાટીથી $l_2$ છે. સમઘનની કુલ લંબાઈ $L = 24 \,cm$ છે. તેથી, $l_1 + l_2 = 24 \,cm$, જેનો અર્થ થાય છે $l_2 = 24 - l_1$.
આભાસી ઊંડાઈ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$ છે.
પ્રથમ સપાટી માટે:
$\mu = \frac{l_1}{10} \quad \dots(i)$
બીજી સપાટી માટે:
$\mu = \frac{l_2}{6} = \frac{24 - l_1}{6} \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{l_1}{10} = \frac{24 - l_1}{6}$
$6l_1 = 10(24 - l_1)$
$6l_1 = 240 - 10l_1$
$16l_1 = 240$
$l_1 = \frac{240}{16} = 15 \,cm$
તેથી, પ્રથમ સપાટીથી હવાના પરપોટાનું અંતર $15 \,cm$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
ધારો કે માછલીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h$ છે અને આભાસી ઊંડાઈ $h'$ છે.
સમતલ સપાટી પર વક્રીભવનની ભૂમિતિ પરથી, આપાતકોણ $i$ અને વક્રીભૂતકોણ $r$ નાના હોય ત્યારે:
$\sin(i) \approx \tan(i) = \frac{P}{h}$
$\sin(r) \approx \tan(r) = \frac{P}{h'}$
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$
અહીં, $n_1 = \mu = \frac{4}{3}$ (પાણી) અને $n_2 = 1$ (હવા).
તેથી, $\mu \times \frac{P}{h} = 1 \times \frac{P}{h'}$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $h = \mu h'$ મળે છે.
આપેલ છે કે $h' = 30 \,cm$ અને $\mu = \frac{4}{3}$, તેથી:
$h = \frac{4}{3} \times 30 \,cm = 40 \,cm$.
આમ, માછલીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $40 \,cm$ છે.

(A) $t$ જાડાઈના માધ્યમમાં તરંગોની સંખ્યા $N = \frac{t}{\lambda_m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે અને $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે.
આમ, $N = \frac{t \cdot \mu}{\lambda_0}$.
આપેલ છે કે કાચના સ્લેબમાં તરંગોની સંખ્યા $(t_g = 4 \,cm, \mu_g = 5/3)$ એ પાણીના સ્તંભમાં તરંગોની સંખ્યા $(t_w = 5 \,cm, \mu_w = ?)$ જેટલી છે, તેથી:
$\frac{t_g \cdot \mu_g}{\lambda_0} = \frac{t_w \cdot \mu_w}{\lambda_0}$
$t_g \cdot \mu_g = t_w \cdot \mu_w$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4 \times \frac{5}{3} = 5 \times \mu_w$
$\frac{20}{3} = 5 \times \mu_w$
$\mu_w = \frac{20}{3 \times 5} = \frac{4}{3}$.

(C)
ધારો કે કાચના સ્લેબની જાડાઈ $t$ છે અને એક બાજુથી પરપોટાનું વાસ્તવિક અંતર $x$ છે।
જ્યારે એક બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_1 = x / \mu = 5 \,cm$ છે।
જ્યારે બીજી બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_2 = (t - x) / \mu = 2 \,cm$ છે।
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$d_1 + d_2 = (x / \mu) + ((t - x) / \mu) = t / \mu$
અહીં $\mu = 1.5$, $d_1 = 5 \,cm$, અને $d_2 = 2 \,cm$ આપેલ છે:
$5 + 2 = t / 1.5$
$7 = t / 1.5$
$t = 7 \times 1.5 = 10.5 \,cm$
તેથી, સ્લેબની જાડાઈ $10.5 \,cm$ છે।

(A) ધારો કે તરંગોની સંખ્યા $N$ છે. માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{d}{N}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ માધ્યમની જાડાઈ છે.
કાચના સ્લેબ માટે,$\lambda_g = \frac{4}{N}$.
પાણીના સ્તંભ માટે,$\lambda_w = \frac{5}{N}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ તેના વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{\mu}$.
તેથી,$\frac{\lambda_w}{\lambda_g} = \frac{\mu_g}{\mu_w}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5/N}{4/N} = \frac{5/3}{\mu_w}$.
$\frac{5}{4} = \frac{5}{3 \mu_w}$.
$3 \mu_w = 4$.
$\mu_w = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(B) ધારો કે સપાટીથી ઉદગમનું અંતર $x$ છે. કાચના સ્લેબની જાડાઈ $d = 5 \ cm$ છે અને તેનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$ છે.
હવામાં (જ્યાં ઝડપ $c$ છે) $x$ અંતર કાપવા માટે પ્રકાશ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_1 = \frac{x}{c}$ છે.
કાચના સ્લેબમાં (જ્યાં ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ છે) $d$ જાડાઈ કાપવા માટે પ્રકાશ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_2 = \frac{d}{v} = \frac{d}{c/\mu} = \frac{\mu d}{c}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$t_1 = t_2$,તેથી:
$\frac{x}{c} = \frac{\mu d}{c}$
$x = \mu d$
$x = 1.6 \times 5 \ cm = 8 \ cm$.
તેથી,સપાટીથી ઉદગમનું અંતર $8 \ cm$ છે.

(C) $t$ જાડાઈના માધ્યમમાં તરંગોની સંખ્યા $N = \frac{t}{\lambda_m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ છે અને $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઇ છે.
આમ,$N = \frac{t \cdot \mu}{\lambda_0}$.
આપેલ છે કે કાચના સ્લેબમાં તરંગોની સંખ્યા પાણીના સ્તંભમાં તરંગોની સંખ્યા જેટલી છે:
$\frac{t_g \cdot \mu_g}{\lambda_0} = \frac{t_w \cdot \mu_w}{\lambda_0}$
$\therefore \mu_g \cdot t_g = \mu_w \cdot t_w$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu_g = 1.5$,$t_g = 6 \ cm$,અને $t_w = 7 \ cm$:
$1.5 \times 6 = \mu_w \times 7$
$9 = 7 \cdot \mu_w$
$\mu_w = \frac{9}{7} \approx 1.286$.

(B) વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપનો ગુણોત્તર છે,$n = \frac{c}{v}$.
આપેલ છે કે વેગ $20 \%$ ઘટે છે,તેથી નવો વેગ $v = c - 0.20c = 0.80c = \frac{4}{5}c$ થાય.
આમ,વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v} = \frac{c}{0.8c} = \frac{1}{0.8} = 1.25$ અથવા $\frac{5}{4}$ મળે.
નાના ખૂણાઓ માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$. આપાત માધ્યમ હવા હોવાથી $(n_1 = 1)$,આપણને $i = n r$ મળે,તેથી $r = \frac{i}{n} = \frac{i}{1.25} = 0.8i = \frac{4i}{5}$ થાય.
વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = i - r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\delta = i - 0.8i = 0.2i = \frac{i}{5}$ મળે છે.

(A) $t$ જાડાઈના માધ્યમમાં તરંગોની સંખ્યા $N = t / \lambda_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_m = \lambda_0 / n$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે અને $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે.
આમ,$N = (t \cdot n) / \lambda_0$.
કાચ અને પાણી બંને માટે તરંગોની સંખ્યા સમાન હોવાથી:
$N_{glass} = N_{water}$
$(t_g \cdot n_g) / \lambda_0 = (t_w \cdot n_w) / \lambda_0$
$t_g \cdot n_g = t_w \cdot n_w$
અહીં $t_g = 4 \ cm$,$t_w = 5 \ cm$,અને $n_w = 4/3$ આપેલ છે:
$4 \cdot n_g = 5 \cdot (4/3)$
$n_g = (5 \cdot 4) / (3 \cdot 4)$
$n_g = 5/3$.

(D) $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$t$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $(T)$ એ $T = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = \frac{t}{v} = \frac{t}{(c/\mu)}$ મળે છે.
તેથી,$T = \frac{\mu t}{c}$.

(C) જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં તરંગોની સંખ્યા $N = \frac{d}{\lambda_m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ છે.
આમ,$N = \frac{d \cdot \mu}{\lambda_0}$.
બંને માધ્યમો માટે તરંગોની સંખ્યા સમાન હોવાથી:
$\frac{d_g \cdot \mu_g}{\lambda_0} = \frac{d_w \cdot \mu_w}{\lambda_0}$
$d_g \cdot \mu_g = d_w \cdot \mu_w$
અહીં $d_g = 4 \,cm$,$\mu_g = \frac{5}{3}$,અને $\mu_w = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times \frac{5}{3} = x \times \frac{4}{3}$
$\frac{20}{3} = \frac{4x}{3}$
$4x = 20$
$x = 5 \,cm$.

(B) વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $n = \frac{c}{v}$ છે.
ઝડપ $v$ એ એકમ સમય $t$ માં કાપેલું અંતર $d$ હોવાથી,$v = \frac{d}{t}$ થાય.
આ કિંમત વક્રીભવનાંકના સૂત્રમાં મૂકતા: $n = \frac{c}{d/t} = \frac{ct}{d}$.
સમય $t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $t = \frac{nd}{c}$.
આપેલ છે: $n = 1.5$,$d = 4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$,અને $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{1.5 \times 4 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{8}}$.
$t = \frac{6 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{8}} = 2 \times 10^{-10} \ s$.

(B) કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu}$
અહીં, વાસ્તવિક ઊંડાઈ $(t)$ = $9 \ cm$ અને વક્રીભવનાંક $(\mu)$ = $1.5$ છે।
$\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{9}{1.5} = 6 \ cm$
પિન જેટલા અંતરે ઉપર આવેલી દેખાય છે તે સ્થાનાંતર (shift) નીચે મુજબ છે:
$\text{સ્થાનાંતર} = \text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} - \text{આભાસી ઊંડાઈ}$
$\text{સ્થાનાંતર} = 9 \ cm - 6 \ cm = 3 \ cm$
તેથી, પિન $3 \ cm$ જેટલી ઉપર આવેલી દેખાશે।

(A) વક્રીભવનાંક $n$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ અને આભાસી ઊંડાઈના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $(RD)$ એ કાચના સ્લેબની વાસ્તવિક જાડાઈ છે,જે સ્લેબની ઉપરની ચોક ડસ્ટ માટેના રીડિંગ અને નીચેના શાહીના નિશાન માટેના રીડિંગ વચ્ચેનો તફાવત છે: $RD = 8.123 \ cm - 5.123 \ cm = 3.000 \ cm$.
આભાસી ઊંડાઈ $(AD)$ એ કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતા શાહીના નિશાનની ઊંડાઈ છે,જે ઉપરની ચોક ડસ્ટ માટેના રીડિંગ અને સ્લેબ દ્વારા શાહીના નિશાન માટેના રીડિંગ વચ્ચેનો તફાવત છે: $AD = 8.123 \ cm - 6.123 \ cm = 2.000 \ cm$.
વક્રીભવનાંક $n = \frac{RD}{AD} = \frac{3.000}{2.000} = 1.5$ છે.

(D) કાચની પ્લેટનો વક્રીભવનાંક અલગ-અલગ રંગો માટે અલગ-અલગ હોય છે કારણ કે દરેક રંગ માટે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અલગ હોય છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે વક્રીભવનાંક વધારે હોય છે.
જાંબલી રંગની તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી હોવાથી,કાચનો વક્રીભવનાંક જાંબલી રંગ માટે મહત્તમ અને લાલ રંગ માટે ન્યૂનતમ હોય છે.
કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુના સ્થાનમાં દેખીતું સ્થાનાંતર આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta t = t(1 - \frac{1}{\mu})$,જ્યાં $t$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
અથવા,દેખીતી ઊંડાઈનો ઉપયોગ કરતા: $d' = \frac{d}{\mu}$. સ્થાનાંતર $\Delta d = d - d' = d(1 - \frac{1}{\mu})$ છે.
જાંબલી પ્રકાશ માટે $\mu$ મહત્તમ હોવાથી,$(1 - \frac{1}{\mu})$ પદ જાંબલી રંગ માટે મહત્તમ બને છે.
તેથી,જાંબલી અક્ષર સૌથી વધુ ઊંચકાયેલો દેખાશે.

(C) પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $L_{s} = t \frac{\sin(i-r)}{\cos r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આપાતકોણ $i$ વધે છે,તેમ પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $L_{s}$ વધે છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
જેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનકોણ $r$ ઘટે છે,જેના પરિણામે પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $L_{s}$ માં વધારો થાય છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
લંબ સ્થાનાંતર $L_{N} = t(1 - \frac{1}{\mu})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ વધે છે,તેમ પદ $\frac{1}{\mu}$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $(1 - \frac{1}{\mu})$ વધે છે. તેથી,વક્રીભવનાંક વધતા લંબ સ્થાનાંતર $L_{N}$ વધે છે. આમ,વિધાન $C$ ખોટું છે.
$L_{s}$ અને $L_{N}$ બંને માધ્યમની જાડાઈ $t$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
આથી,ખોટું વિધાન $C$ છે.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના સૂત્ર મુજબ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે.
કાચ માટે,વક્રીભવનાંક જાંબલી રંગ માટે સૌથી વધુ અને લાલ રંગ માટે સૌથી ઓછો હોય છે.
જેમ કે $v \propto 1/n$,પ્રકાશની ઝડપ વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,કારણ કે કાચમાં લાલ રંગનો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોય છે,તે અન્ય રંગોની તુલનામાં મહત્તમ ઝડપે ગતિ કરે છે.

(B) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $n = c/v$.
આપેલ છે, $n = 1.5$ અને $c = 3 \times 10^{8} \,m/s$.
તેથી, કાચના સ્લેબમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/n = (3 \times 10^{8}) / 1.5 = 2 \times 10^{8} \,m/s$ થશે.
કાચના સ્લેબની જાડાઈ $d = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$ છે.
સ્લેબમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $t = d/v$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = (4 \times 10^{-3} \,m) / (2 \times 10^{8} \,m/s) = 2 \times 10^{-11} \,s$.

(B) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$.
એકમ જાડાઈ દીઠ પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $\frac{d}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$ છે,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે અને $r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{d}{t} = \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$.
$\sin(i - r)$ નું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{d}{t} = \frac{\sin i \cos r - \cos i \sin r}{\cos r} = \sin i - \cos i \tan r$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \sin 45^{\circ} - \cos 45^{\circ} \tan r$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - \tan r)$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 1 - \tan r$.
તેથી,$\tan r = 1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આમ,$r = \tan^{-1}\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.

(D) જ્યારે પાતળા માધ્યમમાંથી લંબરૂપે જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈનું સૂત્ર: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu}$ છે.
અહીં,$\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} = 100 \ cm$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{100}{4/3} = 100 \times \frac{3}{4} = 75 \ cm$.
તેથી,વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $75 \ cm$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ પાત્રમાં $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા અને $d_1, d_2, \dots, d_n$ વાસ્તવિક ઊંડાઈ ધરાવતા મિશ્ર ન થઈ શકે તેવા પ્રવાહીઓ ભરવામાં આવે,ત્યારે લંબરૂપે જોતા કુલ આભાસી ઊંડાઈ $d_{app}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d_{app} = \sum_{i=1}^{n} \frac{d_i}{\mu_i} = \frac{d_1}{\mu_1} + \frac{d_2}{\mu_2} + \dots + \frac{d_n}{\mu_n}$
આ પ્રશ્નમાં,કુલ ઊંડાઈ $2d \text{ cm}$ છે,જે બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલી છે. તેથી,દરેક પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d_1 = d$ અને $d_2 = d$ છે.
નીચેના અડધા ભાગનો વક્રીભવનાંક $\mu_1$ છે અને ઉપરના અડધા ભાગનો $\mu_2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d_{app} = \frac{d}{\mu_1} + \frac{d}{\mu_2}$
$d_{app} = d\left(\frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2}\right)$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$ છે.
અહીં,$\mu = 1.5$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ એ કાચના સ્લેબની જાડાઈ છે,જે $0.12 \,m$ છે.
તેથી,આભાસી ઊંડાઈની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu} = \frac{0.12}{1.5} = 0.08 \,m$.
શાહીના ટપકાના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર: $\text{સ્થાનાંતર} = \text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} - \text{આભાસી ઊંડાઈ} = 0.12 \,m - 0.08 \,m = 0.04 \,m$.
ટપકાની છબી $0.04 \,m$ ઉપર આવેલી દેખાતી હોવાથી,ટપકા પર ફરીથી ફોકસ કરવા માટે ટ્રાવેલિંગ માઈક્રોસ્કોપને $0.04 \,m$ ઉપરની તરફ ખસેડવું આવશ્યક છે.

(B) ધારો કે $u_1$ એ લેન્સથી વસ્તુનું પ્રારંભિક અંતર છે અને $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $v_1 = 60 \ cm$ (પ્રારંભિક પ્રતિબિંબ અંતર) અને $m = 2$ (લેટરલ મોટવણી).
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v_1}{|u_1|} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{60}{|u_1|} = 2 \Rightarrow |u_1| = 30 \ cm$. તેથી,$u_1 = -30 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1+2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \Rightarrow f = 20 \ cm$.
જ્યારે $H = 24 \ cm$ ઊંચાઈનું પ્રવાહી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે વક્રીભવનને કારણે વસ્તુ ઉપરની તરફ ખસેલી જણાય છે. નવું આભાસી વસ્તુ અંતર $u_2$ એ સામાન્ય સ્થાનાંતરના સૂત્ર દ્વારા મૂળ અંતર સાથે સંબંધિત છે: $u_2 = |u_1| - H(1 - \frac{1}{\mu})$.
નવા પ્રતિબિંબ અંતર $v_2 = 120 \ cm$ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{20} = \frac{1}{120} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{120} - \frac{1}{20} = \frac{1-6}{120} = -\frac{5}{120} = -\frac{1}{24}$.
તેથી,$|u_2| = 24 \ cm$.
સ્થાનાંતરને સરખાવતા: $|u_1| - |u_2| = H(1 - \frac{1}{\mu})$
$30 - 24 = 24(1 - \frac{1}{\mu}) \Rightarrow 6 = 24(1 - \frac{1}{\mu})$
$1 - \frac{1}{\mu} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{\mu} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \mu = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(B) સૂર્ય અનંત અંતરે છે, તેથી $u = \infty$.
પ્રકાશ અરીસાથી $32 \,cm$ ની ઊંચાઈએ કેન્દ્રિત થાય છે. અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{32} + \frac{1}{\infty} \Rightarrow f = 32 \,cm$.
જ્યારે ટાંકીને $20 \,cm$ ની ઊંચાઈ સુધી પાણીથી ભરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રકાશના કિરણો પાણીની સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે.
અરીસો તળિયેથી $32 \,cm$ અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવશે. પાણીની સપાટી $20 \,cm$ પર હોવાથી, પાણીની સપાટીથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $BO = 32 \,cm - 20 \,cm = 12 \,cm$ છે.
આ પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટી માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. વક્રીભવનને કારણે, પાણીની સપાટીથી આભાસી ઊંચાઈ $BI$ નીચે મુજબ મળે છે:
$BI = \frac{BO}{\mu} = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \,cm$.
આમ, સૂર્યપ્રકાશ પાણીની સપાટીથી $9 \,cm$ ઉપર કેન્દ્રિત થાય છે.

(C) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\sin r = \frac{\sin i}{\mu} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,વક્રીભવન કોણ $r = 30^{\circ}$ થાય.
$b$ જાડાઈ ધરાવતા કાચના સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = b \cdot \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$d = 0.04 \cdot \frac{\sin(60^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$
$d = 0.04 \cdot \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = 0.04 \cdot \tan 30^{\circ}$
$d = 0.04 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ m}$
પરિણામને $\text{mm}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $1000$ વડે ગુણાકાર કરીશું:
$d = \frac{0.04 \times 1000}{\sqrt{3}} \text{ mm} = \frac{40}{\sqrt{3}} \text{ mm}$.