Refraction through Plane Surface and Glass Slab Questions in Gujarati

(A) જ્યારે કોઈ વસ્તુ પાતળા માધ્યમમાં હોય અને તેને ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી જોવામાં આવે,ત્યારે આભાસી વેગ $v_{app}$ અને વાસ્તવિક વેગ $v_{act}$ વચ્ચેનો સંબંધ ઘટ્ટ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $\mu$ દ્વારા $v_{app} = \mu \times v_{act}$ મુજબ મળે છે.
અહીં,પક્ષી હવા (પાતળું માધ્યમ) માં છે અને માછલી પાણી (ઘટ્ટ માધ્યમ) માં છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ છે.
પક્ષીની વાસ્તવિક ઝડપ $v_{act} = 6\, m/s$ છે.
તેથી,માછલી દ્વારા જોવામાં આવતી આભાસી ઝડપ $v_{app} = \frac{4}{3} \times 6 = 8\, m/s$ થશે.

(D) પગલું $1$: ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન.
ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર: $\frac{n_2}{v_1} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
અહીં,$n_1 = 1$ (હવા),$n_2 = 1.5$ (કાચ),$u = -\infty$,અને $R = +6\, cm$.
$\frac{1.5}{v_1} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1.5 - 1}{6} \implies \frac{1.5}{v_1} = \frac{0.5}{6}$.
$v_1 = \frac{1.5 \times 6}{0.5} = 18\, cm$.
આનો અર્થ એ છે કે કિરણો ગોલીય સપાટીના ધ્રુવથી $18\, cm$ અંતરે અભિસરણ પામશે.
પગલું $2$: સમતલ સપાટી પર વક્રીભવન.
કિરણો કાચ $(n_2 = 1.5)$ માંથી હવા $(n_1 = 1)$ માં જાય છે.
સમતલ સપાટીથી આભાસી વસ્તુનું અંતર $d = v_1 - R = 18 - 6 = 12\, cm$ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભવન માટે આભાસી ઊંડાઈનું સૂત્ર વાપરતા: $v = d \times \frac{n_{air}}{n_{glass}}$.
$v = 12 \times \frac{1}{1.5} = 12 \times \frac{2}{3} = 8\, cm$.
આમ,સમતલ સપાટીથી અભિસરણ બિંદુ $F$ નું અંતિમ અંતર $8\, cm$ છે.

(C) ઓપ્ટિકલ પાથ લંબાઈ $(OPL)$ એ કિરણની દિશામાં પથ લંબાઈ $dx$ પર વક્રીભવનાંક $\mu(x)$ ના સંકલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\mu(x) = 1 + x^2$ અને સ્લેબ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
ઓપ્ટિકલ પાથ લંબાઈ નીચે મુજબ મળે છે:
$OPL = \int_{0}^{1} \mu(x) \, dx$
$OPL = \int_{0}^{1} (1 + x^2) \, dx$
$OPL = [x + \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$
$OPL = (1 + \frac{1^3}{3}) - (0 + \frac{0^3}{3})$
$OPL = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \, m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે પાત્રમાં ભરેલા પાણીની ઊંચાઈ $x$ છે. પાણીની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app} = \frac{x}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્રના ખાલી ભાગની ઊંચાઈ $(21 - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાત્ર $20\%$ ભરેલું દેખાય છે. આનો અર્થ એ છે કે પાણીની આભાસી ઊંડાઈ અને ખાલી ભાગની ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $20:80$ અથવા $1:4$ છે.
તેથી,$\frac{d_{app}}{21 - x} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
$d_{app} = \frac{x}{4/3} = \frac{3x}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3x/4}{21 - x} = \frac{1}{4}$
$3x = 21 - x$
$4x = 21$
$x = 5.25 \, cm$.

(C) ધારો કે કાચના સ્લેબની જાડાઈ $x$ છે.
જ્યારે એક બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_1 = 5 \ cm$ છે.
જ્યારે બીજી બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_2 = 2 \ cm$ છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ અને આભાસી ઊંડાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $x_1$ એ પ્રથમ બાજુથી પરપોટાનું વાસ્તવિક અંતર છે અને $x_2$ એ બીજી બાજુથી વાસ્તવિક અંતર છે,જેથી $x_1 + x_2 = x$ થાય.
સૂત્ર મુજબ,$x_1 = \mu d_1 = 1.5 \times 5 = 7.5 \ cm$.
તે જ રીતે,$x_2 = \mu d_2 = 1.5 \times 2 = 3.0 \ cm$.
તેથી,સ્લેબની કુલ જાડાઈ $x = x_1 + x_2 = 7.5 + 3.0 = 10.5 \ cm$ છે.

(B) બે અદ્રાવ્ય પ્રવાહીઓના મિશ્રણની આભાસી ઊંડાઈ $(d_{app})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d_{app} = \frac{t_1}{\mu_1} + \frac{t_2}{\mu_2}$
જ્યાં $t_1$ અને $t_2$ એ વાસ્તવિક જાડાઈ છે અને $\mu_1$ અને $\mu_2$ એ બે પ્રવાહીઓના વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
પાણીની જાડાઈ $(t_w) = 5\,cm$,પાણીનો વક્રીભવનાંક $(\mu_w) = 5/3$.
તેલની જાડાઈ $(t_o) = 3\,cm$,તેલનો વક્રીભવનાંક $(\mu_o) = ?$.
આભાસી ઊંડાઈ $(d_{app}) = 36/7\,cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{36}{7} = \frac{5}{5/3} + \frac{3}{\mu_o}$
$\frac{36}{7} = 3 + \frac{3}{\mu_o}$
$\frac{3}{\mu_o} = \frac{36}{7} - 3$
$\frac{3}{\mu_o} = \frac{36 - 21}{7} = \frac{15}{7}$
$\mu_o = \frac{3 \times 7}{15} = \frac{21}{15} = 1.4$
તેથી,તેલનો વક્રીભવનાંક $1.4$ છે.

(A) જ્યારે વિવિધ રંગો (તરંગલંબાઇ) ધરાવતો પ્રકાશનો કિરણપુંજ કાચના સ્લેબમાં પ્રવેશે છે, ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે। સ્નેલના નિયમ મુજબ, કાચનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઇ પર આધાર રાખે છે $(\mu_{red} < \mu_{green})$.
વક્રીભવનાંક અલગ હોવાને કારણે, સ્લેબની અંદર લાલ અને લીલા કિરણો માટે વક્રીભવનના ખૂણા અલગ-અલગ હોય છે।
પરિણામે, કિરણો સ્લેબની અંદર અલગ-અલગ માર્ગે ગતિ કરે છે અને સામેની સમાંતર સપાટી પર બે અલગ બિંદુઓથી બહાર નીકળે છે।
જો કે, કાચના સ્લેબની બંને સપાટીઓ સમાંતર હોવાથી, બહાર નીકળતા કિરણો આપાત કિરણને સમાંતર હશે અને તેથી, એકબીજાને પણ સમાંતર હશે।

(C) $t$ જાડાઈ ધરાવતી કાચની સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$
નાના ખૂણાઓ માટે,આપણે $\sin(i - r) \approx i - r$ અને $\cos r \approx 1$ અંદાજો વાપરી શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$d \approx t(i - r)$
આને આપેલા વિકલ્પોના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $i$ ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ:
$d = ti \left( 1 - \frac{r}{i} \right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વસ્તુને અલગ માધ્યમમાંથી લગભગ લંબ આપાતકોણે જોવામાં આવે છે,ત્યારે વક્રીભવનને કારણે આભાસી ઊંડાઈ બદલાય છે,પરંતુ પાર્શ્વીય પરિમાણો (સપાટીને સમાંતર પરિમાણો) બદલાતા નથી.
કારણ કે $l$ લંબાઈની વસ્તુ $AB$ ને $d$ ઊંડાઈએ મૂકવામાં આવી છે,જો લંબાઈ $l$ પાણીની સપાટીને સમાંતર હોય,તો તેની પાર્શ્વીય લંબાઈમાં કોઈ મોટવણી કે ઘટાડો થતો નથી.
તેથી,પ્રતિબિંબની લંબાઈ વસ્તુની વાસ્તવિક લંબાઈ જેટલી જ રહે છે,જે $l$ છે.

(C) બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતો પ્રકાશ ઉપરની સપાટીમાંથી ત્યારે જ બહાર નીકળશે જો ઉપરની સપાટી પરનો આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
વર્તુળાકાર વિસ્તારની ત્રિજ્યા $R$ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ છે,જ્યાં $h$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે: $h = 8 \, cm$ અને $\mu = \frac{5}{3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{8}{\sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 1}}$
$R = \frac{8}{\sqrt{\frac{25}{9} - 1}}$
$R = \frac{8}{\sqrt{\frac{16}{9}}}$
$R = \frac{8}{4/3} = \frac{8 \times 3}{4} = 6 \, cm$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $\mu_{surrounding}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી $\mu_{slab}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા $t$ જાડાઈના સ્લેબમાંથી પસાર થાય,ત્યારે થતું સ્થાનાંતર $\Delta x = t(1 - \frac{\mu_{surrounding}}{\mu_{slab}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ સ્લેબ દ્વારા થતું કુલ સ્થાનાંતર:
$\Delta x_{total} = 45(1 - \frac{4/3}{1.5}) + 24(1 - \frac{4/3}{1}) + 54(1 - \frac{4/3}{1.5})$
$= 45(1 - \frac{4/3}{3/2}) + 24(1 - 4/3) + 54(1 - \frac{4/3}{3/2})$
$= 45(1 - 8/9) + 24(-1/3) + 54(1 - 8/9)$
$= 45(1/9) - 8 + 54(1/9)$
$= 5 - 8 + 6 = 3 \, cm$.
અરીસાથી વસ્તુનું વાસ્તવિક અંતર $d_{real} = 20 + 45 + 24 + 54 + 10 = 153 \, cm$ છે.
અરીસાથી વસ્તુનું આભાસી અંતર $d_{apparent} = d_{real} - \Delta x_{total} = 153 - 3 = 150 \, cm$ છે.
આભાસી અંતર એ વક્રતા ત્રિજ્યા $(R = 150 \, cm)$ જેટલું હોવાથી,વસ્તુ વક્રતા કેન્દ્ર પર હોય તેમ જણાય છે. તેથી,અંતિમ પ્રતિબિંબ વસ્તુના સ્થાને જ રચાય છે.

(C) પાણીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d = 33.25 \, cm$ છે. પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.33 = 4/3$ છે.
પાણીની સપાટીથી પદાર્થની આભાસી ઊંડાઈ $d' = d / \mu = 33.25 / (4/3) = 33.25 \times 0.75 = 24.9375 \, cm \approx 25 \, cm$ છે.
અરીસો પાણીની સપાટીથી $15 \, cm$ ઉપર મૂકવામાં આવ્યો છે.
તેથી,અરીસાથી પદાર્થનું કુલ અંતર $u = 15 \, cm + 25 \, cm = 40 \, cm$ છે.
જ્યારે પદાર્થ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર પર હોય ત્યારે પ્રતિબિંબ તે જ સ્થાને રચાય છે,તેથી પદાર્થનું અંતર $u$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ જેટલું છે.
આમ,$R = 40 \, cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R / 2 = 40 / 2 = 20 \, cm$ થાય.

(C) ધારો કે પક્ષીનો વાસ્તવિક વેગ $V_B$ છે અને માછલીનો વેગ $V_F = 3 \, cm/s$ છે.
જ્યારે પાણીમાં રહેલી માછલી હવામાં રહેલા પક્ષીને જુએ છે,ત્યારે પક્ષીની આભાસી ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = \mu h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = 4/3$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,પાણીની સપાટીની સાપેક્ષમાં પક્ષીનો આભાસી વેગ $V_{app} = \mu V_B = \frac{4}{3} V_B$ મળે છે.
માછલી પણ $3 \, cm/s$ ના વેગથી સપાટી તરફ ગતિ કરી રહી છે.
માછલી દ્વારા જોવામાં આવતો પક્ષીનો સાપેક્ષ વેગ એ પક્ષીના આભાસી વેગ અને માછલીના વેગનો સરવાળો છે:
$V_{rel} = V_{app} + V_F = \frac{4}{3} V_B + 3$.
આપેલ છે કે $V_{rel} = 19 \, cm/s$,તેથી:
$\frac{4}{3} V_B + 3 = 19$
$\frac{4}{3} V_B = 16$
$V_B = 16 \times \frac{3}{4} = 12 \, cm/s$.

(D) ધારો કે હવાના પરપોટાનું બે સપાટીઓથી વાસ્તવિક અંતર $x_1$ અને $x_2$ છે. આભાસી ઊંડાઈ $d'$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $d' = d / \mu$ છે.
પ્રથમ સપાટી માટે: $5 = x_1 / 1.5 \implies x_1 = 5 \times 1.5 = 7.5 \, cm$.
બીજી સપાટી માટે: $2 = x_2 / 1.5 \implies x_2 = 2 \times 1.5 = 3.0 \, cm$.
સ્લેબની કુલ જાડાઈ $t = x_1 + x_2 = 7.5 + 3.0 = 10.5 \, cm$ થાય.

(C) ટ્રાવેલિંગ માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ કરીને કાચના સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ નક્કી કરવા માટે, આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક જાડાઈ}}{\text{આભાસી જાડાઈ}}$.
પગલું $1$: કાચના સ્લેબ વગર માઇક્રોસ્કોપના પાયા પરના નિશાનનું રીડિંગ લો $(R_1)$.
પગલું $2$: કાચના સ્લેબને નિશાન પર મૂકો અને કાચના સ્લેબ દ્વારા તે જ નિશાનનું રીડિંગ લો $(R_2)$.
પગલું $3$: કાચના સ્લેબની ઉપરની સપાટી પર થોડો લાકડાનો વહેર (saw dust) અથવા ઝીણો પાવડર મૂકો અને તે વહેરનું રીડિંગ લો $(R_3)$.
આ ત્રણ રીડિંગ્સનો ઉપયોગ કરીને, વાસ્તવિક જાડાઈ $(R_3 - R_1)$ છે અને આભાસી જાડાઈ $(R_3 - R_2)$ છે. આમ, વક્રીભવનાંક નક્કી કરવા માટે ઓછામાં ઓછા $3$ રીડિંગ્સની જરૂર પડે છે.

(C) સ્લેબના સંયોજન માટે આભાસી સ્થાનાંતર $\Delta x$ નું સૂત્ર: $\Delta x = \sum d_i \left(1 - \frac{1}{\mu_i}\right)$ છે.
અહીં,આપણી પાસે બે સ્તરો છે: ગ્લાસ $(d_1 = 1\, cm, \mu_1 = 1.5)$ અને પાણી $(d_2 = 5\, cm, \mu_2 = 1.33)$.
ગ્લાસને કારણે સ્થાનાંતર: $\Delta x_1 = 1 \times (1 - \frac{1}{1.5}) = 1 \times (1 - 0.6667) = 0.3333\, cm$.
પાણીને કારણે સ્થાનાંતર: $\Delta x_2 = 5 \times (1 - \frac{1}{1.33}) = 5 \times (1 - 0.7519) = 5 \times 0.2481 = 1.2405\, cm$.
કુલ સ્થાનાંતર = $\Delta x_1 + \Delta x_2 = 0.3333 + 1.2405 = 1.5738\, cm$.

(D) આપેલ છે કે,વસ્તુ અંતર $u = -10\, cm$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +10\, cm$ છે.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{10} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{2}{10} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 5\, cm$ મળે છે.
જ્યારે $t = 1.5\, cm$ જાડાઈ અને $\mu = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની પ્લેટ સ્ત્રોતની આગળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu}) = 1.5(1 - \frac{1}{1.5}) = 1.5(1 - \frac{2}{3}) = 1.5(\frac{1}{3}) = 0.5\, cm$ મળે છે.
વસ્તુ અસરકારક રીતે લેન્સની નજીક આવે છે,તેથી નવું વસ્તુ અંતર $u' = -(10 - 0.5) = -9.5\, cm$ થાય છે.
નવું પ્રતિબિંબ સ્થાન $v'$ શોધવા માટે ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-9.5} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{5} - \frac{1}{9.5} = \frac{9.5 - 5}{47.5} = \frac{4.5}{47.5}$.
આમ,$v' = \frac{47.5}{4.5} \approx 10.55\, cm$ મળે છે.
પડદાના સ્થાનમાં થતું સ્થાનાંતર $d = v' - v = 10.55 - 10 = 0.55\, cm$ લેન્સથી દૂર તરફ હશે.

(C) આપાત તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ છે.
કારણ કે $4\%$ પ્રકાશ પરાવર્તિત થાય છે,તેથી $96\%$ તીવ્રતા કાચના સ્લેબમાં પ્રસારિત થાય છે.
ધારો કે $E_0'$ એ કાચમાં વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે. કાચમાં તીવ્રતા $I' = \frac{1}{2} \varepsilon E_0'^2 v$ છે,જ્યાં $v = c/n$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 n^2$ છે.
આમ,$I' = 0.96 I$.
પદોને મૂકતા: $\frac{1}{2} \varepsilon_0 n^2 E_0'^2 (c/n) = 0.96 \times \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$.
સાદુરૂપ આપતા,$n E_0'^2 = 0.96 E_0^2$.
અહીં $n = 1.5$ અને $E_0 = 30\, V/m$ આપેલ છે:
$1.5 E_0'^2 = 0.96 \times (30)^2$.
$1.5 E_0'^2 = 0.96 \times 900 = 864$.
$E_0'^2 = 864 / 1.5 = 576$.
$E_0' = \sqrt{576} = 24\, V/m$.

(B) ધારો કે ગ્લાસમાં ભરેલા પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ છે. પ્રવાહીની આભાસી ઊંડાઈ $h' = \frac{h}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગ્લાસ અડધો ભરેલો દેખાય છે. ગ્લાસની કુલ ઊંચાઈ $H = 21\, cm$ છે.
ગ્લાસનો ખાલી ભાગ $(H - h)$ છે.
ગ્લાસ અડધો ભરેલો દેખાય તે માટે,પ્રવાહીની આભાસી ઊંડાઈ ગ્લાસના ખાલી ભાગની ઊંચાઈ જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$H - h = \frac{h}{\mu}$.
અહીં $H = 21\, cm$ અને $\mu = 1.33 \approx 4/3$ લેતા.
$21 - h = \frac{h}{4/3} = \frac{3h}{4}$.
$21 = h + \frac{3h}{4} = \frac{7h}{4}$.
$h = \frac{21 \times 4}{7} = 3 \times 4 = 12\, cm$.

(D) માછલીની આભાસી ઊંડાઈ $(d_{app})$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $d_{app} = \frac{d_{act}}{\mu}$,જ્યાં $d_{act}$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ છે અને $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
અહીં $d_{act} = 12 \, cm$ અને $\mu = 4/3$ આપેલ છે.
$d_{app} = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \, cm$.
પ્રતિબિંબ જેટલી ઊંચાઈએ ઉપર આવે છે (શિફ્ટ) તે શોધવા માટે: $\text{Shift} = d_{act} - d_{app}$.
$\text{Shift} = 12 \, cm - 9 \, cm = 3 \, cm$.

(A) જુદા જુદા વક્રીભવનાંક ધરાવતા અનેક સ્તરોમાંથી જોવામાં આવતી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ એ દરેક સ્તરની આભાસી ઊંડાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા એક સ્તર માટે,આભાસી ઊંડાઈ $t' = \frac{t}{\mu}$ છે.
અહીં,દરેક પ્રવાહીની જાડાઈ $t = \frac{h}{3}$ છે.
તેથી,કુલ આભાસી ઊંડાઈ $d_{app}$ એ ત્રણ સ્તરોની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$d_{app} = \frac{h/3}{\mu_1} + \frac{h/3}{\mu_2} + \frac{h/3}{\mu_3}$
$d_{app} = \frac{h}{3} \left( \frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2} + \frac{1}{\mu_3} \right)$.

(A) ધારો કે પક્ષીનું સપાટીથી અંતર $y$ છે અને માછલીનું સપાટીથી અંતર $x$ છે. માછલી દ્વારા જોવામાં આવતી પક્ષીની આભાસી ઊંચાઈ $H_{app} = \mu y + x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને માછલીની સાપેક્ષમાં પક્ષીનો આભાસી વેગ મળે છે:
$v_{bf} = \frac{d}{dt}(\mu y + x) = \mu \frac{dy}{dt} + \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે:
પક્ષીનો વેગ,$\frac{dy}{dt} = -12\, m/s$ (નીચેની તરફ,તેથી ઋણ).
માછલીનો વેગ,$\frac{dx}{dt} = 24\, m/s$ (નીચેની તરફ,તેથી અંતર $x$ વધતું હોવાથી ધન).
વક્રીભવનાંક,$\mu = 4/3$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_{bf} = \frac{4}{3}(-12) + 24$
$v_{bf} = -16 + 24 = 8\, m/s$.
પરિણામ ધન હોવાથી,માછલી દ્વારા અવલોકન કરતા પક્ષી $8\, m/s$ ના વેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરતું જણાય છે.

(B) ધારો કે હવાના પરપોટાનું પ્રથમ અને બીજી સપાટીથી વાસ્તવિક અંતર અનુક્રમે $t_1$ અને $t_2$ છે.
આભાસી ઊંડાઈ $d'$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $d' = \frac{d}{\mu}$ છે.
$(1)$ પ્રથમ સપાટીથી જોતા:
$5 = \frac{t_1}{1.5} \Rightarrow t_1 = 5 \times 1.5 = 7.5 \, cm$.
$(2)$ બીજી સપાટીથી જોતા:
$2 = \frac{t_2}{1.5} \Rightarrow t_2 = 2 \times 1.5 = 3.0 \, cm$.
સ્લેબની કુલ જાડાઈ $T = t_1 + t_2$ છે.
$T = 7.5 \, cm + 3.0 \, cm = 10.5 \, cm$.

(D) પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાય તે માટે,વસ્તુને બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવી જોઈએ.
લેન્સથી વસ્તુનું મૂળ અંતર $u = 25 \, cm$ છે. લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \, cm$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી કાચની સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુ લેન્સ તરફ $x$ જેટલા અંતરે ખસેલી દેખાય છે,જે નીચે મુજબ છે:
$x = t \left( 1 - \frac{1}{\mu} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$x = t \left( 1 - \frac{1}{1.5} \right) = t \left( 1 - \frac{2}{3} \right) = \frac{t}{3}$
લેન્સથી વસ્તુનું નવું અસરકારક અંતર $u' = u - x = 25 - \frac{t}{3}$ થાય છે.
પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાતું હોવાથી,અસરકારક વસ્તુ અંતર કેન્દ્રલંબાઈ જેટલું હોવું જોઈએ:
$25 - \frac{t}{3} = 20$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{t}{3} = 25 - 20 = 5$
$t = 15 \, cm$.

(A) કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x = t(1 - \frac{1}{\mu})$,
જ્યાં $t$ એ કાચના સ્લેબની જાડાઈ છે અને $\mu$ એ કાચનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
કાચના સ્લેબની જાડાઈ,$t = 15 \, cm$
કાચનો વક્રીભવનાંક,$\mu = 1.5$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$x = 15 \times (1 - \frac{1}{1.5})$
$x = 15 \times (1 - \frac{2}{3})$
$x = 15 \times (\frac{1}{3})$
$x = 5 \, cm$
તેથી,પિન $5 \, cm$ ના અંતરે ઉપર આવેલી દેખાશે.

(A) સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = t \sin \theta \left( 1 - \frac{\cos \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}} \right)$
નાના આપાતકોણ $\theta$ માટે,આપણે નીચે મુજબના અંદાજો વાપરી શકીએ:
$\sin \theta \approx \theta$
$\cos \theta \approx 1$
$\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta} \approx \sqrt{n^2} = n$
આ અંદાજોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d \approx t \theta \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$
$d \approx t \theta \left( \frac{n - 1}{n} \right)$
$d = \frac{t \theta (n - 1)}{n}$

(D) જ્યારે કોઈ વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો એક ખૂણે રાખેલી કાચની સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે. સ્લેબમાં પ્રવેશતી વખતે પ્રકાશના કિરણો લંબ તરફ અને બહાર નીકળતી વખતે લંબથી દૂર પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર (lateral shift) અનુભવે છે. આ પાર્શ્વીય સ્થાનાંતરને કારણે વસ્તુનું પ્રતિબિંબ સ્લેબના નમન (tilt) ની દિશામાં ખસેલું દેખાય છે. સ્લેબ ત્રાંસી હોવાથી,બંને ટપકાંઓમાંથી આવતા કિરણો સમાન પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર અનુભવે છે. જોકે,કિરણો એક ખૂણે આપાત થતા હોવાથી,દરેક ટપકાનું આભાસી સ્થાન ખસે છે. પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $d = t \sin(i - r) / \cos(r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે. સ્લેબ ત્રાંસી હોવાને કારણે,બંને ટપકાંઓમાંથી આવતા કિરણો એવી રીતે સ્થાનાંતરિત થાય છે કે અવલોકનકારને તે એકબીજાની નજીક દેખાય છે. આમ,ટપકાંઓ એકબીજાની નજીક દેખાય છે.

(A) માધ્યમમાં રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{d}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
અહીં,$x$ કુલ ઊંડાઈ ધરાવતું પાત્ર દરેક $\frac{x}{2}$ ઊંડાઈના બે સ્તરોમાં વહેંચાયેલું છે.
પ્રથમ સ્તર $\mu_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતું તેલ છે,તેથી તેની આભાસી ઊંડાઈ $d_1 = \frac{x/2}{\mu_1} = \frac{x}{2\mu_1}$ છે.
બીજું સ્તર $\mu_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતું પાણી છે,તેથી તેની આભાસી ઊંડાઈ $d_2 = \frac{x/2}{\mu_2} = \frac{x}{2\mu_2}$ છે.
કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ બંને સ્તરોની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$d_{total} = d_1 + d_2 = \frac{x}{2\mu_1} + \frac{x}{2\mu_2} = \frac{x}{2} \left( \frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2} \right) = \frac{x}{2} \left( \frac{\mu_1 + \mu_2}{\mu_1\mu_2} \right) = \frac{x(\mu_1 + \mu_2)}{2\mu_1\mu_2}$.

(A) આભાસી ઊંડાઈ $d'$ નું સૂત્ર $d' = \frac{d}{\mu}$ છે,જ્યાં $d$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ છે અને $\mu$ એ પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક છે.
પાણી માટે,આભાસી ઊંડાઈ $9.4\,cm$ છે,જ્યાં $\mu_1 = 1.33$ અને $d = 12.5\,cm$ છે.
જ્યારે પાણીને $1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહી વડે બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આભાસી ઊંડાઈ $d_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d_2 = \frac{12.5}{1.5} \approx 8.33\,cm$.
માઇક્રોસ્કોપ શરૂઆતમાં $9.4\,cm$ પર કેન્દ્રિત હતું. સોય પર ફરીથી ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવા માટે,તેને આભાસી ઊંડાઈના તફાવત જેટલું ખસેડવું પડશે:
$\Delta d = 9.4 - 8.33 = 1.07\,cm \approx 1.1\,cm$.

(D) ધારો કે પ્રથમ કિસ્સામાં પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $H_{R1}$ છે અને આભાસી ઊંડાઈ $H_{app1}$ છે. ટેબલ પરના નિશાન માટે માઇક્રોસ્કોપનું રીડિંગ $a$ છે અને સપાટી માટે $b$ છે. તેથી,આભાસી ઊંડાઈ $H_{app1} = b - a$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$,તેથી $H_{R1} = \mu(b - a)$ .......$(1)$
બીજા કિસ્સામાં,વધુ પ્રવાહી ઉમેર્યા પછી,નિશાન માટેનું રીડિંગ $c$ છે અને સપાટી માટે $d$ છે. આભાસી ઊંડાઈ $H_{app2} = d - c$ છે.
તેથી,$H_{R2} = \mu(d - c)$ .......$(2)$
વાસ્તવિક ઊંડાઈમાં તફાવત એ ઉમેરવામાં આવેલ વધારાનું પ્રવાહી છે,જે સપાટીના સ્તરના રીડિંગમાં થતા ફેરફારને અનુરૂપ છે: $H_{R2} - H_{R1} = d - b$ .......$(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ને $(3)$ માં મૂકતા:
$\mu(d - c) - \mu(b - a) = d - b$
$\mu(d - c - b + a) = d - b$
$\mu = \frac{d - b}{d - c - b + a}$

(C) ધારો કે $\lambda$ એ હવામાં એકવર્ણી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે. $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ જાડાઈના સ્લેબમાં તરંગલંબાઈની સંખ્યા $N$,$N = \frac{d}{\lambda_m} = \frac{d \cdot \mu}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
સ્લેબ $X$ માટે (જાડાઈ $t$,વક્રીભવનાંક $1.5$):
$N_X = \frac{t \cdot 1.5}{\lambda}$.
બીજો સ્લેબ બે ભાગ $Y$ અને $Z$ નો બનેલો છે,જેની જાડાઈ $t_Y = \frac{t}{3}$ અને $t_Z = \frac{2t}{3}$ છે. ધારો કે $Y$ નો વક્રીભવનાંક $\mu_Y$ છે.
$N_{YZ} = \frac{t_Y \cdot \mu_Y}{\lambda} + \frac{t_Z \cdot 1.6}{\lambda} = \frac{(t/3) \cdot \mu_Y}{\lambda} + \frac{(2t/3) \cdot 1.6}{\lambda}$.
આપેલ છે કે બંને સ્લેબમાં તરંગલંબાઈની સંખ્યા સમાન છે $(N_X = N_{YZ})$:
$\frac{1.5 t}{\lambda} = \frac{t \cdot \mu_Y}{3 \lambda} + \frac{2t \cdot 1.6}{3 \lambda}$.
બંને બાજુને $t/\lambda$ વડે ભાગતા:
$1.5 = \frac{\mu_Y}{3} + \frac{3.2}{3}$.
$3$ વડે ગુણતા:
$4.5 = \mu_Y + 3.2$.
$\mu_Y = 4.5 - 3.2 = 1.3$.

(B) બહુવિધ પ્રવાહીના સ્તરો દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $(d_{app})$ દરેક સ્તરની આભાસી ઊંડાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે: $d_{app} = \sum \frac{h_i}{\mu_i}$.
અહીં, કુલ ઊંડાઈ $2h$ છે. નીચેના અડધા ભાગની ઊંડાઈ $h$ છે અને વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 2\sqrt{2}$ છે. ઉપરના અડધા ભાગની ઊંડાઈ $h$ છે અને વક્રીભવનાંક $\mu_2 = \sqrt{2}$ છે.
ઉપરથી જોતા તળિયાની સપાટીની આભાસી ઊંડાઈ:
$d_{app} = \frac{h_1}{\mu_1} + \frac{h_2}{\mu_2}$
$d_{app} = \frac{h}{2\sqrt{2}} + \frac{h}{\sqrt{2}}$
$d_{app} = \frac{h + 2h}{2\sqrt{2}} = \frac{3h}{2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$d_{app} = \frac{3h \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}h}{4} = \frac{3}{4}h\sqrt{2}$.

(5 CM) કાચના સ્લેબમાં પિનની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d = 15 \, cm$ છે.
પિનની આભાસી ઊંડાઈ $d^{\prime} = \frac{d}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = 1.5$ એ કાચનો વક્રીભવનાંક છે.
$d^{\prime} = \frac{15}{1.5} = 10 \, cm$.
પિન જેટલા અંતરે ઉપર આવેલી દેખાય છે તે સ્થાનાંતર $\Delta d = d - d^{\prime}$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta d = 15 \, cm - 10 \, cm = 5 \, cm$.
કારણ કે આ સ્થાનાંતર માત્ર સ્લેબની જાડાઈ અને તેના વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે,તેથી જવાબ સ્લેબના સ્થાન પર આધાર રાખતો નથી.

(N/A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ લંબચોરસ કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બે સમાંતર સપાટીઓ (હવા-કાચ અને કાચ-હવા) પર વક્રીભવન થાય છે.
$1$. પ્રથમ સપાટી (હવા-કાચ) પર,પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રવેશતી વખતે લંબ તરફ વળે છે.
$2$. બીજી સપાટી (કાચ-હવા) પર,પ્રકાશનું કિરણ પાતળા માધ્યમમાં પ્રવેશતી વખતે લંબથી દૂર જાય છે.
$3$. સ્નેલના નિયમ મુજબ,પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $(i_1)$ એ બીજી સપાટી પરના નિર્ગમન કોણ ($e$ અથવા આકૃતિમાં $r_2$) જેટલો હોય છે. આમ,નિર્ગમન કિરણ એ આપાત કિરણને સમાંતર હોય છે.
$4$. જોકે પ્રકાશના કિરણની દિશા બદલાતી નથી,પરંતુ તે તેના મૂળ માર્ગથી લંબવત સ્થાનાંતરિત થાય છે. આપાત કિરણના માર્ગ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેના આ લંબવત અંતરને લેટરલ શિફ્ટ અથવા પાર્શ્વિક સ્થાનાંતર કહેવામાં આવે છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ટાંકીનું તળિયું $n_{2} = n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માં $h_{2}$ જેટલી વાસ્તવિક ઊંડાઈએ છે.
જ્યારે તળિયાને લંબરૂપે જોવામાં આવે છે,ત્યારે તે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ $O$ ને બદલે $O^{\prime}$ પર દેખાય છે. જ્યારે તેને લંબ સાથે અમુક ખૂણે જોવામાં આવે છે,ત્યારે તે આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ $O^{\prime}$ પર દેખાય છે. વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h_{2}$ છે અને આભાસી ઊંડાઈ $h_{1}$ છે.
વક્રીભવનાંક અને ઊંડાઈ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\text{હવાનો વક્રીભવનાંક } (n_{1})}{\text{ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક } (n_{2})} = \frac{\text{આભાસી ઊંડાઈ } (h_{1})}{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ } (h_{2})}$
હવા માટે $n_{1} = 1$ અને ઘટ્ટ માધ્યમ માટે $n_{2} = n$ હોવાથી:
$\frac{1}{n} = \frac{h_{1}}{h_{2}}$
તેથી,સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$n = \frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$
આમ,આભાસી ઊંડાઈ:
$h_{1} = \frac{h_{2}}{n} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક}}$

(N/A) જ્યારે પ્રકાશ સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેના લંબ અંતરને પાર્શ્વ સ્થાનાંતર કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ કાચના સ્લેબમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે અને લંબ તરફ વળે છે.
બીજી સપાટી પર,તે ફરીથી વક્રીભવન પામે છે અને લંબથી દૂર જાય છે.
આ બે વક્રીભવનને કારણે,નિર્ગમન કિરણ એ આપાત કિરણને સમાંતર હોય છે પરંતુ તે પાર્શ્વ દિશામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $(s)$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $s = \frac{t \sin(i - r)}{\cos(r)}$,જ્યાં $t$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ વસ્તુને $\mu_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા ઘટ્ટ માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે અને તેને $\mu_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પાતળા માધ્યમમાંથી જોવામાં આવે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે.
સ્નેલના નિયમ અને વક્રીભવનની ભૂમિતિ મુજબ,વાસ્તવિક ઊંડાઈ $(d)$ અને આભાસી ઊંડાઈ $(d')$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$d' = d \times \frac{\mu_1}{\mu_2}$
જ્યાં:
$d$ = વસ્તુની વાસ્તવિક ઊંડાઈ.
$d'$ = વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ.
$\mu_1$ = જે માધ્યમમાંથી નિરીક્ષક જુએ છે તેનો વક્રીભવનાંક (દા.ત. હવા,$\mu_1 \approx 1$).
$\mu_2$ = જે માધ્યમમાં વસ્તુ મૂકેલી છે તેનો વક્રીભવનાંક.

(N/A) જ્યારે $\mu_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી જોવામાં આવે ત્યારે $\mu_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $d' = d \times (\frac{\mu_2}{\mu_1})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ટપકું $P$ પર છે. અવલોકનકાર હવામાં છે $(\mu_{air} = 1)$.
$1$. બીજા પ્રવાહી $(\mu_2)$ માંથી જોતા $P$ ની આભાસી ઊંડાઈ:
$x_1 = \frac{h}{3} \times (\frac{\mu_2}{\mu_1})$.
$2$. ત્રીજા પ્રવાહી $(\mu_3)$ માંથી જોતા પ્રતિબિંબ $P_1$ ની આભાસી ઊંડાઈ:
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h_2 = \frac{h}{3} + x_1$ છે.
$x_2 = (\frac{h}{3} + x_1) \times (\frac{\mu_3}{\mu_2}) = \frac{h}{3} \times \frac{\mu_3}{\mu_2} + \frac{h}{3} \times \frac{\mu_3}{\mu_1}$.
$3$. હવા $(\mu_{air} = 1)$ માંથી જોતા પ્રતિબિંબ $P_2$ ની આભાસી ઊંડાઈ:
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h_3 = \frac{h}{3} + x_2$ છે.
$x_3 = (\frac{h}{3} + x_2) \times (\frac{1}{\mu_3}) = \frac{h}{3} \times \frac{1}{\mu_3} + \frac{x_2}{\mu_3}$.
$x_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$x_3 = \frac{h}{3} (\frac{1}{\mu_3} + \frac{1}{\mu_2} + \frac{1}{\mu_1})$.
આમ,આભાસી ઊંડાઈ $\frac{h}{3} (\frac{1}{\mu_1} + \frac{1}{\mu_2} + \frac{1}{\mu_3})$ છે.

(B) ધારો કે ગ્લાસમાં પાણીની વાસ્તવિક ઊંચાઈ $H$ છે. પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 4/3$ છે.
ઉપરથી જોનાર અવલોકનકાર માટે પાણીની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app} = \frac{H}{\mu_w} = \frac{H}{4/3} = \frac{3H}{4}$ થાય.
ગ્લાસના ખાલી ભાગની ઊંચાઈ (હવાનો સ્તંભ) $17.5 - H$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વિદ્યાર્થીને લાગે છે કે ગ્લાસ અડધો ભરાયેલો છે,જેનો અર્થ છે કે પાણીની આભાસી ઊંડાઈ એ ગ્લાસના ખાલી ભાગની ઊંચાઈ જેટલી જ દેખાય છે.
તેથી,$\frac{3H}{4} = 17.5 - H$.
બંને બાજુ $H$ ઉમેરતા: $\frac{3H}{4} + H = 17.5$.
$\frac{7H}{4} = 17.5$.
$H = \frac{17.5 \times 4}{7} = 2.5 \times 4 = 10 \, cm$.

(B) પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $d$ માટેનું સૂત્ર: $d = t \frac{\sin(i-r)}{\cos r}$,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin i = \mu \sin r \Rightarrow \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \sin r$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r \Rightarrow \sin r = \frac{1}{2} \Rightarrow r = 30^{\circ}$.
હવે,કિંમતોને પાર્શ્વ સ્થાનાંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$4\sqrt{3} = t \frac{\sin(60^{\circ}-30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$.
$4\sqrt{3} = t \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = t \tan 30^{\circ}$.
$4\sqrt{3} = t \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
$t = 4\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 4 \times 3 = 12 \, cm$.

(A) લેસર કિરણ ઉપરની સપાટી પર આંશિક પરાવર્તન અને આંશિક વક્રીભવન અનુભવે છે. વક્રીભૂત કિરણ કાચમાંથી પસાર થાય છે,પાછળના અરીસા પરથી પરાવર્તિત થાય છે અને કાચના સ્લેબમાંથી બહાર નીકળે છે.
ધારો કે આપાતકોણ $\theta$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\sin \theta = n \sin r$,તેથી $\sin r = \frac{\sin \theta}{n}$.
પ્રથમ પરાવર્તનના બિંદુ (ઉપરની સપાટી પર) અને જ્યાં વક્રીભૂત કિરણ સ્લેબમાંથી બહાર નીકળે છે તે બિંદુ વચ્ચેનું આડું અંતર $x = 2t \tan r$ છે.
પડદા પર,બે કિરણો (એક ઉપરની સપાટીથી પરાવર્તિત,એક નીચેની સપાટીથી) ટપકાં બનાવે છે. આ ટપકાં વચ્ચેનું ઊભું અંતર $h_1 - h_2$ એ આડા અંતર $d_1 - d_2$ સાથે $\tan \theta = \frac{d_1 - d_2}{h_1 - h_2}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આમ,અંતર $h_1 - h_2 = \frac{2t \tan r}{\tan \theta}$ છે.
$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{\sin \theta / n}{\sqrt{1 - (\sin \theta / n)^2}} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h_1 - h_2 = \frac{2t}{\tan \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}} = \frac{2t \cos \theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta}}$.

(B) એક કરતા વધુ માધ્યમો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે આભાસી ઊંડાઈ $d$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{d_1}{\mu_1} + \frac{d_2}{\mu_2}$
જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ માધ્યમોની જાડાઈ છે અને $\mu_1$ અને $\mu_2$ એ તેમના અનુક્રમે વક્રીભવનાંક છે.
અહીં,પાણી માટે: $d_1 = 5 \,cm$ અને $\mu_1 = 1.33$.
કાચના સ્લેબ માટે: $d_2 = 2 \,cm$ અને $\mu_2 = 1.5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{5}{1.33} + \frac{2}{1.5}$
$d \approx 3.759 + 1.333$
$d \approx 5.092 \,cm$.
નજીકના મૂલ્યમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $d \approx 5.1 \,cm$ મળે છે.

(A) જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી સમાંતર કાચની સ્લેબને અભિસારી કિરણપુંજના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો કાચમાં પ્રવેશતી વખતે લંબ તરફ અને બહાર નીકળતી વખતે લંબથી દૂર વક્રીભવન પામે છે.
આના કારણે અભિસરણ બિંદુ આપાત પ્રકાશની દિશામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
કાચની સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું રેખીય સ્થાનાંતર $\Delta x$ એ સૂત્ર $\Delta x = t(1 - 1/\mu)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સ્થાનાંતર આપાત પ્રકાશની દિશામાં હોવાથી,અભિસરણ બિંદુ સ્લેબથી દૂર (મૂળ સ્થાનથી દૂર) ખસે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) જ્યારે માઇક્રોસ્કોપને બીકરના તળિયે રહેલી વસ્તુ પર ફોકસ કરવામાં આવે છે,અને ત્યારબાદ માઇક્રોસ્કોપને $h = 1 \,cm$ જેટલું ઉપર ઉઠાવવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુને ફરીથી ફોકસમાં લાવવા માટે પ્રતિબિંબ પણ $h$ જેટલું ઉપર ખસવું જોઈએ.
પાણીને કારણે વસ્તુના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = d \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$,જ્યાં $d$ એ પાણીની ઊંડાઈ છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
અહીં સ્થાનાંતર $\Delta x = 1 \,cm$ અને $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી:
$1 = d \left(1 - \frac{1}{4/3}\right)$
$1 = d \left(1 - \frac{3}{4}\right)$
$1 = d \left(\frac{1}{4}\right)$
$d = 4 \,cm$.
તેથી,$4 \,cm$ ઊંડાઈ સુધી પાણી રેડવું જોઈએ.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે નિર્ગમન કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,કિરણ $1$ એ આપાત લાલ કિરણ છે અને કિરણ $5$ એ નિર્ગમન લાલ કિરણ છે. કાચના સ્લેબની સપાટીઓ સમાંતર હોવાથી,નિર્ગમન કિરણ $5$ એ આપાત કિરણ $1$ ને સમાંતર છે.
તે જ રીતે,કિરણ $2$ એ આપાત જાંબલી કિરણ છે અને કિરણ $6$ એ નિર્ગમન જાંબલી કિરણ છે. આમ,નિર્ગમન કિરણ $6$ એ આપાત કિરણ $2$ ને સમાંતર છે.
આપાત કિરણો $1$ અને $2$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી,તમામ નિર્ગમન કિરણો ($5$ અને $6$) પણ આપાત કિરણો ($1$ અને $2$) ને સમાંતર હશે.
તેથી,નિર્ગમન કિરણ $5$ એ આપાત કિરણ $2$ (અને $1$) ને સમાંતર છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) કાચના સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુના સ્થાનમાં થતો આભાસી સ્થાનાંતર (shift) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta t = t(1 - \frac{1}{\mu})$,જ્યાં $t$ એ સ્લેબની જાડાઈ છે અને $\mu$ એ દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ સ્લેબ માટે,સ્થાનાંતર $\Delta t$ એ વક્રીભવનાંક $\mu$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (જેમ $\mu$ વધે તેમ સ્થાનાંતર વધે છે).
જે અક્ષર સૌથી ઓછો ઉપર ઉઠેલો દેખાય છે તે ન્યૂનતમ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,જે તે રંગ માટે થાય છે જેનો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોય.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ જાંબલી રંગ માટે સૌથી વધુ અને લાલ રંગ માટે સૌથી ઓછો હોય છે.
લાલ રંગ $(R)$ નો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોવાથી,તેમાં સૌથી ઓછું સ્થાનાંતર થાય છે અને તેથી તે સૌથી ઓછો ઉપર ઉઠેલો દેખાય છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને લંબાઈ $L$ ધરાવતા માધ્યમમાં કિરણનો પ્રકાશીય પથ (optical path length) $\Delta x = \mu L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કિરણો માટે,પ્રકાશીય પથ લંબાઈ અનુક્રમે $\mu_1 L$ અને $\mu_2 L$ છે.
બહાર આવતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta = |\mu_1 L - \mu_2 L| = (\mu_1 - \mu_2) L$ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta$ છે.
પથ તફાવતની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} (\mu_1 - \mu_2) L$ મળે છે.

(D) કાચ-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ $c$ એ $\sin c = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$c = 45^{\circ}$.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = c = 45^{\circ}$.
પ્રથમ આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin r \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin r \implies \sin r = \frac{1}{2}$.
તેથી,$r = 30^{\circ}$.
પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $x$ નું સૂત્ર: $x = t \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin(45^{\circ} - 30^{\circ})}{\cos 30^{\circ}}$.
$x = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot \frac{0.26}{\sqrt{3}/2} = 0.26 \cdot 2 = 0.52 \, cm$.
તેથી,$x = 52 \times 10^{-2} \, cm$.

(A) જ્યારે $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતું પ્રવાહી $h$ ઊંચાઈ સુધી ડોલમાં ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તળિયે રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ બદલાય છે.
વસ્તુના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = h \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$.
અહીં આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $\Delta x = 30\,cm$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{5}{3}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$30 = h \left(1 - \frac{1}{5/3}\right)$
$30 = h \left(1 - \frac{3}{5}\right)$
$30 = h \left(\frac{2}{5}\right)$
$h = \frac{30 \times 5}{2} = 15 \times 5 = 75\,cm$.
આમ,ડોલમાં રહેલા પ્રવાહીની ઊંચાઈ $75\,cm$ છે.

(A) બલ્બ પાણીની સપાટીથી $8\,cm$ ની ઊંડાઈએ ટાંકીના તળિયે છે. વક્રીભવનને કારણે,ઉપરથી જોતા બલ્બની આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{d}{\mu} = \frac{8}{4/3} = 6\,cm$ મળે છે.
બલ્બનું આભાસી સ્થાન પાણીની સપાટીથી $6\,cm$ નીચે છે. આ આભાસી સ્થાનનું સમતલ અરીસાથી અંતર $50 - 6 = 44\,cm$ છે.
સમતલ અરીસો તેની પાછળ તેટલા જ અંતરે પ્રતિબિંબ રચે છે. આમ,પ્રતિબિંબ $I_2$ અરીસાની પાછળ $44\,cm$ ના અંતરે રચાય છે.
ટાંકીના તળિયેથી પ્રતિબિંબ $I_2$ નું કુલ અંતર એ તળિયેથી અરીસા સુધીનું અંતર $(50\,cm)$ અને અરીસાથી પ્રતિબિંબ સુધીનું અંતર $(44\,cm)$ નો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= 50 + 44 = 94\,cm$.