Mix Examples-Ray Optics Questions in Hindi

(A) भुजा की लंबाई वाले नियमित षट्कोण की ज्यामिति से,दूरी $P_1P_2$ एक शीर्ष द्वारा अलग किए गए दो शीर्षों को जोड़ने वाले विकर्ण की लंबाई है। कोसाइन के नियम या ज्यामिति का उपयोग करते हुए,$P_1P_2 = 2a \sin(60^\circ) = a\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु पर प्रदीप्ति की तीव्रता $I$ को $I = \frac{L \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्रोत की दीप्ति तीव्रता है,$r$ दूरी है,और $\theta$ प्रकाश किरण और सतह के अभिलंब के बीच का कोण है।
$P_2$ पर,प्रकाश किरण लंबवत आपतित होती है,इसलिए $\theta = 0^\circ$ और $\cos 0^\circ = 1$ है। अतः,$I_0 = \frac{L}{(a\sqrt{3})^2} = \frac{L}{3a^2}$ है।
बिंदु $P_3$ के लिए,दूरी $r = P_1P_3$ है। एक नियमित षट्कोण में,$P_1$ और $P_3$ के बीच की दूरी $r = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$ है।
प्रकाश किरण $P_1P_3$ और $P_3$ पर अभिलंब के बीच का कोण $\theta = 30^\circ$ है। इसलिए,$I_{P_3} = \frac{L \cos 30^\circ}{r^2} = \frac{L (\sqrt{3}/2)}{(2a)^2} = \frac{L \sqrt{3}}{8a^2}$ है।
$L = 3a^2 I_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{P_3} = \frac{(3a^2 I_0) \sqrt{3}}{8a^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8} I_0$ प्राप्त होता है।

(C) पानी का अपवर्तनांक $\mu = 1.33 \approx 4/3$ है।
वास्तविक गहराई $d$ पर स्थित वस्तु की आभासी गहराई $d' = d/\mu = d \times (3/4)$ होती है।
$1$. दर्पण से वस्तु (तल पर) की दूरी:
वस्तु तल पर है,इसलिए पानी की सतह से इसकी वास्तविक गहराई $33.25\ cm$ है। पानी की सतह से इसकी आभासी गहराई $d'_o = 33.25 \times (3/4) = 24.9375\ cm$ है।
दर्पण पानी की सतह से $15\ cm$ ऊपर है,इसलिए वस्तु दूरी $u = -(15 + 24.9375) = -39.9375\ cm$ है।
$2$. दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी:
प्रतिबिंब पानी की सतह से $25\ cm$ नीचे बनता है। पानी की सतह से इसकी आभासी गहराई $d'_i = 25 \times (3/4) = 18.75\ cm$ है।
प्रतिबिंब दूरी $v = -(15 + 18.75) = -33.75\ cm$ है।
$3$. दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{-33.75} + \frac{1}{-39.9375} = \frac{1}{f}$
$-0.05467 = \frac{1}{f}$
$f \approx -18.3\ cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $20\ cm$ है।

(D) प्रारंभ में,$C$ पर स्थित वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें दर्पण पर लंबवत पड़ती हैं और अपने पथ का अनुसरण करती हैं,जिससे $C$ पर प्रतिबिंब बनता है। जब दर्पण को पानी से भर दिया जाता है,तो $C$ पर स्थित वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें हवा से होकर गुजरती हैं और फिर पानी में प्रवेश करती हैं। पानी की सतह पर अपवर्तन के कारण,किरणें अभिलंब की ओर मुड़ जाती हैं। ये किरणें फिर अवतल दर्पण से टकराती हैं और परावर्तित होती हैं। परावर्तन के बाद,वे फिर से पानी से गुजरती हैं और पानी की सतह पर अभिलंब से दूर अपवर्तित हो जाती हैं। परिणामस्वरूप,किरणें $C$ और $O$ के बीच स्थित बिंदु $I$ पर अभिसरित होती हैं। इस प्रकार,$C$ और $O$ के बीच एक वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।

(B) कोई लंबन (parallax) न होने का अर्थ है कि दोनों प्रतिबिंब (समतल दर्पण और उत्तल दर्पण द्वारा निर्मित) एक-दूसरे के संपाती हैं।
समतल दर्पण के गुण के अनुसार,यह अपने पीछे $30\, cm$ की दूरी पर प्रतिबिंब बनाएगा। समतल दर्पण को वस्तु से $30\, cm$ और उत्तल दर्पण से $20\, cm$ की दूरी पर रखा गया है (क्योंकि कुल दूरी $50\, cm$ है)।
चित्र के अनुसार,उत्तल दर्पण के लिए प्रतिबिंब दूरी $v = +10\, cm$ है और वस्तु दूरी $u = -50\, cm$ है।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-50} = \frac{5-1}{50} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$
अतः,$f = \frac{25}{2}\, cm$
वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times \frac{25}{2} = 25\, cm$ होगी।

(D) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है। यहाँ $f = -1\, m$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार,अवतल दर्पण के लिए $f$ ऋणात्मक होता है)। मान लें कि दूरियाँ $u_P = -3\, m$ और $u_Q = -5\, m$ हैं।
फलक $P$ के लिए:
$\frac{1}{v_P} + \frac{1}{-3} = \frac{1}{-1} \implies \frac{1}{v_P} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \implies v_P = -1.5\, m$.
प्रतिबिंब दूरी का परिमाण $1.5\, m$ है।
फलक $Q$ के लिए:
$\frac{1}{v_Q} + \frac{1}{-5} = \frac{1}{-1} \implies \frac{1}{v_Q} = -1 + \frac{1}{5} = -\frac{4}{5} \implies v_Q = -1.25\, m$.
प्रतिबिंब दूरी का परिमाण $1.25\, m$ है।
प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $|v_P - v_Q| = |1.5 - 1.25| = 0.25\, m$ है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u}$ है।
फलक $P$ के लिए: $m_P = -\frac{-1.5}{-3} = -0.5$। प्रतिबिंब $P$ की ऊंचाई = $|m_P| \times 2\, m = 0.5 \times 2 = 1\, m$।
फलक $Q$ के लिए: $m_Q = -\frac{-1.25}{-5} = -0.25$। प्रतिबिंब $Q$ की ऊंचाई = $|m_Q| \times 2\, m = 0.25 \times 2 = 0.5\, m$।
अतः,मान $0.25\, m, 1\, m, 0.5\, m$ हैं।

(B) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = 10 \, cm$। फोकस दूरी $f = R/2 = 5 \, cm$। चूंकि यह एक अवतल दर्पण है,$f = -5 \, cm$। मोड़ $Q$ के लिए वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$ है।
$1$. ऊर्ध्वाधर भाग $PQ$ के लिए (अनुप्रस्थ आवर्धन):
अनुप्रस्थ आवर्धन $m_t = \frac{f}{f - u} = \frac{-5}{-5 - (-20)} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3}$।
ऊर्ध्वाधर भाग के प्रतिबिंब की लंबाई $L_1 = |m_t| \times L_0 = \frac{1}{3} L_0$।
$2$. क्षैतिज भाग $QR$ के लिए (अनुदैर्ध्य आवर्धन):
अनुदैर्ध्य आवर्धन $m_l = -\left(\frac{f}{f - u}\right)^2 = -\left(\frac{-5}{-5 - (-20)}\right)^2 = -\left(\frac{-5}{15}\right)^2 = -\frac{1}{9}$।
क्षैतिज भाग के प्रतिबिंब की लंबाई $L_2 = |m_l| \times L_0 = \frac{1}{9} L_0$।
$3$. प्रतिबिंबों की लंबाई का अनुपात:
अनुपात = $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{1}{3} L_0}{\frac{1}{9} L_0} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1}$।
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(C) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta_{prism} = (\mu - 1)A = (1.5 - 1) \times 4^o = 2^o$ द्वारा दिया जाता है।
किरण प्रिज्म में लंबवत प्रवेश करती है,इसलिए यह पहली सतह से बिना विचलित हुए गुजरती है और दूसरी सतह पर $2^o$ से विचलित हो जाती है।
यह विचलित किरण दर्पण पर $i = 2^o$ के आपतन कोण पर टकराती है (क्योंकि विचलन आपतित और निर्गत किरण के बीच का कोण है)।
दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta_{mirror} = 180^o - 2i = 180^o - 2(2^o) = 176^o$ है।
कुल विचलन $\delta_{total} = \delta_{prism} + \delta_{mirror} = 2^o + 176^o = 178^o$ है।

(C) माना लैंप की दीप्ति तीव्रता $I_1$ है और बिंदु स्रोत की तीव्रता $I_2$ है। माना ग्रीस स्पॉट से लैंप की दूरी $x$ है।
प्रथम स्थिति में (गंदी चिमनी),लैंप की तीव्रता $I_1' = I_1(1 - a)$ है,जहाँ $a$ अवशोषित प्रकाश का अंश है। संतुलन की स्थिति इस प्रकार है:
$\frac{I_1'}{x^2} = \frac{I_2}{10^2} \implies \frac{I_1'}{I_2} = \frac{x^2}{100} \quad (1)$
दूसरी स्थिति में (साफ चिमनी),लैंप की तीव्रता $I_1$ है। संतुलन प्राप्त करने के लिए बिंदु स्रोत को $2 \, cm$ खिसकाया जाता है। चूंकि लैंप अब अधिक चमकीला है,संतुलन बनाए रखने के लिए दूरी $8 \, cm$ हो जाती है। संतुलन की स्थिति इस प्रकार है:
$\frac{I_1}{x^2} = \frac{I_2}{8^2} \implies \frac{I_1}{I_2} = \frac{x^2}{64} \quad (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{I_1'}{I_1} = \frac{x^2/100}{x^2/64} = \frac{64}{100} = 0.64$
इसका अर्थ है $I_1' = 0.64 \, I_1$। संचरित प्रकाश का अंश $0.64$ है,इसलिए अवशोषित अंश $1 - 0.64 = 0.36$ है।
अतः,अवशोषित प्रकाश का प्रतिशत $36\%$ है।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$।
दिए गए ग्राफ से,ढलान $\tan 30^\circ = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $\mu_2 = \sqrt{3} \mu_1$।
चूंकि $\mu = \frac{c}{v}$,इसलिए $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{3} \approx 1.73$।
इस प्रकार,$v_1 = 1.73 v_2$,जो कथन $(b)$ की पुष्टि करता है।
क्रांतिक कोण $i_c$,$\sin i_c = \frac{\mu_{rarer}}{\mu_{denser}} = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है,जो कथन $(c)$ की पुष्टि करता है।
इसलिए,$(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $\frac{1}{v}$ को $\frac{1}{u}$ के पदों में व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{v} = -\frac{1}{u} + \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रैखिक रूप में है,जहाँ $y = \frac{1}{v}$,$x = \frac{1}{u}$,ढाल $m = -1$,और अंतःखंड $c = \frac{1}{f}$ है।
अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होती है,इसलिए $c = \frac{1}{f}$ ऋणात्मक है। हालाँकि,वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,$u$ और $v$ दोनों ऋणात्मक होते हैं। जैसे-जैसे $u$,$f$ से $\infty$ तक बदलता है,$v$,$\infty$ से $f$ तक बदलता है। ग्राफ $-1$ की ढाल वाली एक सीधी रेखा है जो दोनों अक्षों पर ऋणात्मक अंतःखंड काटती है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए रूप के अनुरूप है।

(B) अवतल दर्पण के लिए, आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{f}{f - u}$ है।
जब आभासी प्रतिबिंब बनता है, तो वस्तु की दूरी $u$, $0$ और $f$ के बीच होती है (अर्थात $0 < u < f$)।
जब $u = 0$ होता है, तो $m = \frac{f}{f - 0} = 1$ होता है।
जैसे-जैसे $u$ बाईं ओर से $f$ के करीब पहुंचता है $(u \to f^-)$, हर $(f - u)$ धनात्मक पक्ष से $0$ के करीब पहुंचता है, इसलिए $m \to \infty$ हो जाता है।
चूंकि $m = \frac{f}{f - u}$, हम $m(f - u) = f$ लिख सकते हैं, जिसका अर्थ है $mf - mu = f$, या $mu = f(m - 1)$, जो हमें $u = f(1 - \frac{1}{m})$ देता है।
यह एक वक्र को दर्शाता है जहाँ जैसे-जैसे $u$, $0$ से $f$ तक बढ़ता है, $m$, $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है। यह ग्राफ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(A) अवतल दर्पण के लिए,वक्रता त्रिज्या $R = -10\; cm$,इसलिए फोकस दूरी $f = -5\; cm$ है। वस्तु दर्पणों के बीच में रखी गई है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -7.5\; cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-7.5} = \frac{1}{-5}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{7.5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15} - \frac{3}{15} = -\frac{1}{15}$
$v = -15\; cm$.
चूंकि दर्पण $15\; cm$ की दूरी पर हैं,इसलिए यह प्रतिबिंब ठीक उत्तल दर्पण के ध्रुव पर बनता है।
उत्तल दर्पण के लिए,वस्तु उसके ध्रुव पर है,इसलिए $u = 0$ है। फोकस दूरी $f = +5\; cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{0} = \frac{1}{5}$
इसका अर्थ है कि प्रकाश की किरणें ध्रुव पर आपतित होती हैं और उसी पथ पर वापस लौट जाती हैं,जिसका अर्थ है कि अंतिम प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के ध्रुव पर बनता है।

(C) जब दर्पणों को एक-दूसरे के साथ समकोण पर रखा जाता है,जैसे कि दो आसन्न दीवारों पर और एक छत पर,तो वे एक-दूसरे के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर दर्पणों की एक प्रणाली बनाते हैं।
तीन दर्पणों की एक प्रणाली के लिए जो समकोण पर रखे गए हैं (एक कोना बनाते हुए),कोने में रखी वस्तु के लिए बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है,लेकिन एक कॉर्नर रिफ्लेक्टर के लिए,कुल प्रतिबिंबों की संख्या $7$ होती है।
विशेष रूप से,तीन दर्पणों के लिए जो परस्पर समकोण पर होते हैं,प्रतिबिंब विभिन्न स्थितियों में बनते हैं,जिसके परिणामस्वरूप कुल $7$ प्रतिबिंब प्राप्त होते हैं।

(C) चित्र में दिखाए अनुसार,यदि वस्तु को अवतल दर्पण से $x$ दूरी पर रखा जाता है,तो समतल दर्पण से उसकी दूरी $(22.5 - x)$ होगी। समतल दर्पण वस्तु का समान आकार का और सीधा प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $(22.5 - x)$ दूरी पर बनाएगा।
प्रश्न के अनुसार,अवतल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब समतल दर्पण द्वारा बने प्रतिबिंब के साथ संपाती है। इसलिए,अवतल दर्पण के लिए:
$v = -[22.5 + (22.5 - x)] = -(45 - x)$
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{-(45 - x)} + \frac{1}{-x} = \frac{1}{-10}$
$\frac{45}{45x - x^2} = \frac{1}{10}$
$x^2 - 45x + 450 = 0$
$(x - 30)(x - 15) = 0$
$x = 30\; cm$ या $x = 15\; cm$.
चूंकि दोनों दर्पणों के बीच की दूरी $22.5\; cm$ है,इसलिए $x = 30\; cm$ संभव नहीं है। अतः,वस्तु को अवतल दर्पण से $15\; cm$ की दूरी पर होना चाहिए।
$v = -(45 - 15) = -30\; cm$.
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{-30}{-15} = -2$.

(B) अभिसारी लेंस के लिए: $u = -15 \; cm$,$f = +10 \; cm$.
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = 30 \; cm$.
लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब अवतल दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। प्रतिबिंब को वस्तु पर ही बनने के लिए,किरणों को अवतल दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए। यह तब होता है जब किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों।
लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $30 \; cm$ है। मान लीजिए कि दर्पण को लेंस से $d$ दूरी पर रखा गया है। दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $(d - 30)$ होगी।
किरणों के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के वक्रता केंद्र पर होना चाहिए।
अतः,दर्पण से प्रतिबिंब की दूरी $R = 2f = 2 \times 12 = 24 \; cm$ होनी चाहिए।
इसलिए,$d - 30 = 24 \Rightarrow d = 54 \; cm$.

(A) इंद्रधनुष का निर्माण एक जटिल प्रकाशीय घटना है जो वायुमंडल में पानी की बूंदों के साथ सूर्य के प्रकाश की परस्पर क्रिया के कारण होती है।
$1$. अपवर्तन: जैसे ही सूर्य का प्रकाश पानी की बूंद में प्रवेश करता है,यह अपवर्तित होता है,जिससे प्रकाश मुड़ जाता है।
$2$. विक्षेपण: श्वेत प्रकाश अपने घटक रंगों $(VIBGYOR)$ में विभाजित हो जाता है क्योंकि अलग-अलग तरंग दैर्ध्य अलग-अलग कोणों पर अपवर्तित होते हैं।
$3$. पूर्ण आंतरिक परावर्तन: इसके बाद प्रकाश बूंद की आंतरिक सतह से टकराता है और पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
$4$. अपवर्तन: अंत में,प्रकाश बूंद से बाहर निकलता है,जहाँ फिर से उसका अपवर्तन होता है।
इसलिए,इसमें शामिल मुख्य घटनाएँ अपवर्तन,विक्षेपण और पूर्ण आंतरिक परावर्तन हैं। व्यतिकरण इंद्रधनुष के निर्माण में प्राथमिक कारक नहीं है। अतः,सही संयोजन $1, 2$ और $3$ है।

(A) चित्र में दिखाए अनुसार,समतल दर्पण अपने पीछे $30\, cm$ की दूरी पर समान आकार की सीधी और आभासी छवि बनाता है।
चूंकि वस्तु और समतल दर्पण के बीच की दूरी $30\, cm$ है,इसलिए समतल दर्पण द्वारा बनाई गई छवि समतल दर्पण के पीछे $30\, cm$ की दूरी पर है।
उत्तल दर्पण से समतल दर्पण की दूरी $50\, cm - 30\, cm = 20\, cm$ है।
मान लीजिए $P$ उत्तल दर्पण का ध्रुव है और $M$ समतल दर्पण की स्थिति है। समतल दर्पण द्वारा बनाई गई छवि $I$,$M$ के पीछे $30\, cm$ की दूरी पर है।
उत्तल दर्पण के ध्रुव $P$ से इस छवि $I$ की दूरी $PI = MI - MP = 30\, cm - 20\, cm = 10\, cm$ है।
चूंकि कोई लंबन नहीं है,इसलिए उत्तल दर्पण द्वारा बनाई गई छवि भी इसी स्थिति पर बनती है।
उत्तल दर्पण के लिए,वस्तु की दूरी $u = -50\, cm$ और छवि की दूरी $v = +10\, cm$ है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{10}{-50} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) एक्सपोज़र $E$,प्रकाश की तीव्रता $I$ और समय $t$ के गुणनफल के समानुपाती होता है। तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{P}{r^2}$,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है और $r$ दूरी है।
समान फोटोग्राफिक प्रिंट के लिए,आवश्यक कुल एक्सपोज़र स्थिर रहता है,इसलिए $I_1 t_1 = I_2 t_2$।
तीव्रता के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_1}{r_1^2} \times t_1 = \frac{P_2}{r_2^2} \times t_2$।
दिया गया है: $P_1 = 40$,$r_1 = 0.6 \, m$,$t_1 = 20 \, s$ और $P_2 = 20$,$r_2 = 1.2 \, m$।
मान रखने पर: $\frac{40}{(0.6)^2} \times 20 = \frac{20}{(1.2)^2} \times t_2$।
$\frac{40}{0.36} \times 20 = \frac{20}{1.44} \times t_2$।
$t_2 = \frac{40 \times 20 \times 1.44}{0.36 \times 20} = \frac{40 \times 1.44}{0.36} = 40 \times 4 = 160 \, s$।

(C) लेंस के लिए: $u = -15 \, cm$,$f = +10 \, cm$।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v} - \frac{1}{-15} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$।
अतः,$v = 30 \, cm$।
प्रतिबिंब को वस्तु पर ही बनने के लिए,किरणों को उत्तल दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए। यह तभी संभव है जब किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों।
लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $30 \, cm$ है। यदि दर्पण को लेंस से $d$ दूरी पर रखा जाए,तो लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब से दर्पण की दूरी $(30 - d)$ होगी।
किरणों के दर्पण पर लंबवत होने के लिए,यह दूरी वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 12 = 24 \, cm$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$30 - d = 24 \implies d = 6 \, cm$।

(D) मान लीजिए कि आपतित किरण दर्पण $M_1$ के अभिलंब के साथ $i$ कोण बनाती है। परावर्तन के नियम के अनुसार, परावर्तन कोण भी $i$ होगा।
परावर्तित किरण दर्पण $M_1$ के साथ $(90° - i)$ का कोण बनाती है।
चूंकि दर्पण लंबवत हैं, परावर्तित किरण दर्पण $M_2$ के अभिलंब के साथ $90° - (90° - i) = i$ का कोण बनाती है।
$M_2$ पर परावर्तन के नियम के अनुसार, अंतिम परावर्तित किरण $M_2$ के अभिलंब के साथ $i$ कोण बनाती है।
$\theta$ कोण पर रखे गए दो दर्पणों द्वारा उत्पन्न कुल विचलन $\delta = 360° - 2\theta$ है।
यहाँ, $\theta = 90°$, इसलिए $\delta = 360° - 2(90°) = 180°$ है।
$180°$ के विचलन का अर्थ है कि अंतिम किरण आपतित किरण के विपरीत दिशा में (anti-parallel) है।
इस प्रकार, किसी भी आपतन कोण $i$ के लिए (जहाँ दोनों परावर्तन होते हैं), अंतिम किरण हमेशा आपतित किरण के समानांतर (विपरीत दिशा में) रहती है। इसलिए, यह शर्त किसी भी $i$ के लिए मान्य है।

(C) माना अवतल दर्पण $M_1$ है और उत्तल दर्पण $M_2$ है। दर्पण $M_1$ के लिए,वस्तु $O$,$u = -15 \ cm$ और $f = -10 \ cm$ पर है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{2-3}{30} = -\frac{1}{30} \Rightarrow v = -30 \ cm$.
यह प्रतिबिंब $I_1$,दर्पण $M_2$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। $M_2$ से $I_1$ की दूरी $u_2 = -(40 - 30) = -10 \ cm$ है।
दर्पण $M_2$ के लिए,$f = +15 \ cm$ और $u = -10 \ cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v_2} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{15} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2+3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \Rightarrow v_2 = +6 \ cm$.
अतः,अंतिम प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के पीछे $6 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(C) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,वस्तु की दूरी $u = -x$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = -y$ है।
इन मानों को दर्पण सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-y} + \frac{1}{-x}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{f} = -(\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$,या $\frac{1}{y} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण दर्शाता है कि जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$y$ गैर-रेखीय रूप से घटता है। विशेष रूप से,संबंध $y = \frac{fx}{x-f}$ है।
जब $x \to f$ होता है,तो $y \to \infty$ होता है। जब $x \to \infty$ होता है,तो $y \to f$ होता है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (Rectangular hyperbola) को दर्शाता है।

(B) प्रकाश की तीव्रता $I$ दूरी $d$ के व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है, जिसे $I \propto \frac{1}{d^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समान फोटोग्राफिक प्रभाव (एक्सपोज़र) प्राप्त करने के लिए, फिल्म द्वारा प्राप्त कुल ऊर्जा स्थिर होनी चाहिए, जहाँ $\text{Energy} = \text{Intensity} \times \text{Time}$ है।
अतः, $I_1 \times t_1 = I_2 \times t_2$.
$I \propto \frac{1}{d^2}$ संबंध का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{t_1}{d_1^2} = \frac{t_2}{d_2^2}$.
यहाँ $d_1 = 20 \,cm$, $t_1 = 2 \,s$, और $d_2 = 40 \,cm$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{2}{20^2} = \frac{t_2}{40^2}$.
$t_2 = 2 \times \left(\frac{40}{20}\right)^2 = 2 \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8 \,s$.

(A) जब प्रकाश की किरण विरल माध्यम (हवा) से सघन माध्यम (पानी) में प्रवेश करती है,तो वह अभिलंब की ओर झुक जाती है।
कॉशी के समीकरण के अनुसार,किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$,प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर इस प्रकार निर्भर करता है: $n(\lambda) = A + B/\lambda^2 + ...$,जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं।
चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_V)$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_R)$ से कम होती है,इसलिए बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(n_V)$,लाल प्रकाश के अपवर्तनांक $(n_R)$ से अधिक होता है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
चूंकि $n_V > n_R$,इसलिए बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तन कोण $(r_V)$,लाल प्रकाश के अपवर्तन कोण $(r_R)$ से छोटा होगा।
अतः,बैंगनी किरण लाल किरण की तुलना में अभिलंब की ओर अधिक झुकेगी। चित्र $A$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) लेंस सूत्र है: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
उत्तल लेंस के लिए चिह्न परिपाटी के अनुसार,वस्तु दूरी $u$ ऋणात्मक $(-u)$ और प्रतिबिंब दूरी $v$ धनात्मक $(+v)$ ली जाती है।
इन मानों को लेंस सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u-f}{uf} \implies v = \frac{uf}{u-f}$।
जब $u$,$f$ और $2f$ के बीच होता है,तो $v$ धनात्मक और $2f$ से बड़ा होता है। जैसे-जैसे $u$ का मान $f$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$v$ का मान $\infty$ से $f$ तक घटता है। यह प्रथम चतुर्थांश में एक अतिपरवलयिक वक्र को दर्शाता है।

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$।
ऋणात्मक अपवर्तनांक वाले पदार्थ के लिए,$\mu_2$ ऋणात्मक होता है।
इसलिए,$\sin r = (\mu_1 / \mu_2) \sin i$।
चूंकि $\mu_2 < 0$ है,इसलिए $\sin r$ ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अपवर्तित किरण आपतित किरण की तरह अभिलंब के एक ही ओर स्थित होती है।
यह उस आरेख के अनुरूप है जहाँ किरण अभिलंब की ओर झुकती है लेकिन आपतित पक्ष पर ही रहती है।

(C) माना वस्तु $O$ पर है। उत्तल दर्पण से वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$ है।
समतल दर्पण वस्तु से $15 \, cm$ की दूरी पर है। चूंकि वस्तु उत्तल दर्पण से $20 \, cm$ दूर है,इसलिए समतल दर्पण उत्तल दर्पण के पीछे $20 - 15 = 5 \, cm$ की दूरी पर स्थित है।
समतल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब समतल दर्पण के पीछे $15 \, cm$ की दूरी पर बनता है। चूंकि समतल दर्पण उत्तल दर्पण के $5 \, cm$ पीछे है,इसलिए प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के पीछे $15 - 5 = 10 \, cm$ की दूरी पर होगा। अतः $v = +10 \, cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-20} = \frac{2-1}{20} = \frac{1}{20}$.
अतः,$f = 20 \, cm$।

(D) वस्तु उत्तल दर्पण से $50 \, cm$ की दूरी पर है। समतल दर्पण को वस्तु से $30 \, cm$ की दूरी पर रखा गया है।
चूंकि वस्तु से उत्तल दर्पण तक की कुल दूरी $50 \, cm$ है,इसलिए समतल दर्पण से उत्तल दर्पण तक की दूरी $50 - 30 = 20 \, cm$ है।
समतल दर्पण वस्तु का आभासी प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $30 \, cm$ की दूरी पर बनाता है।
इस प्रतिबिंब की उत्तल दर्पण से दूरी $30 + 20 = 50 \, cm$ (दर्पण के पीछे) है।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि कोई लंबन नहीं है,जिसका अर्थ है कि दोनों दर्पणों द्वारा निर्मित प्रतिबिंब एक-दूसरे पर संपाती हैं।
समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $30 \, cm$ की दूरी पर है।
ज्यामिति के अनुसार,समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब की उत्तल दर्पण के ध्रुव $P$ से दूरी $v = 30 - 20 = 10 \, cm$ (दर्पण के पीछे) है।
अतः,उत्तल दर्पण के लिए $u = -50 \, cm$ और $v = +10 \, cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{10} + \frac{1}{-50} = \frac{1}{f}$
$\frac{5 - 1}{50} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{4}{50} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = 12.5 \, cm$.
वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 12.5 = 25 \, cm$ होगी।

(D) एक्सपोज़र समय $t$,f-नंबर के वर्ग $(N^2)$ के समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$t \propto N^2$।
यहाँ $t_1 = 1/100 \ s$ जब $N_1 = 2$ $(f/2)$ है।
हमें $N_2 = 4$ $(f/4)$ पर $t_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{N_2^2}{N_1^2}$।
मान रखने पर: $\frac{t_2}{t_1} = \frac{4^2}{2^2} = \frac{16}{4} = 4$।
अतः,$t_2 = 4 \times t_1 = 4 \times \frac{1}{100} \ s = \frac{4}{100} \ s$।

(C) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta_{prism} = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\delta_{prism} = (1.5 - 1) \times 4^o = 0.5 \times 4^o = 2^o$.
किरण दर्पण पर आपतन कोण $i = \delta_{prism} = 2^o$ के साथ टकराती है (क्योंकि किरण प्रिज्म की पहली सतह पर लंबवत आपतित होती है)।
दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta_{mirror} = 180^o - 2i = 180^o - 2(2^o) = 180^o - 4^o = 176^o$.
कुल विचलन प्रिज्म और दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलनों का योग है: $\delta_{total} = \delta_{prism} + \delta_{mirror} = 2^o + 176^o = 178^o$.

(D) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = \left(\frac{L}{f_o}\right) \left(\frac{D}{f_e}\right)$ है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है,$f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है,$L$ नली की लंबाई है और $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $m \propto \frac{1}{f_o}$। अतः,यदि $f_o$ बढ़ता है,तो सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता घटेगी।
खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता का सूत्र $m = \frac{f_o}{f_e}$ है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $m \propto f_o$। अतः,यदि $f_o$ बढ़ता है,तो दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता बढ़ेगी।

(B) हवा में पानी की एक बूंद एक गोलाकार लेंस के रूप में कार्य करती है। चूंकि पानी का अपवर्तनांक $(n_w \approx 1.33)$ हवा के अपवर्तनांक $(n_a \approx 1.0)$ से अधिक होता है,इसलिए पानी की बूंद आपतित समानांतर प्रकाश किरणों के लिए एक अभिसारी लेंस (converging lens) की तरह व्यवहार करती है। जैसे ही प्रकाश बूंद में प्रवेश करता है,यह अभिलंब की ओर मुड़ जाता है,और जैसे ही यह बाहर निकलता है,यह अभिलंब से दूर मुड़ जाता है,जिससे समानांतर किरणें बूंद के पीछे एक बिंदु पर अभिसरित हो जाती हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(A) $1$. दर्पण की फोकस दूरी केवल उसकी वक्रता त्रिज्या $(f = R/2)$ पर निर्भर करती है और यह आसपास के माध्यम से स्वतंत्र होती है। इसलिए,पानी में अवतल दर्पण की फोकस दूरी $3 \, cm$ ही रहेगी।
$2$. लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
$3$. हवा में: $\frac{1}{f_a} = (1.5 - 1) K = 0.5 K$,जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$. दिया गया है $f_a = 3 \, cm$,इसलिए $K = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$.
$4$. पानी में: $\mu_{rel} = \frac{1.5}{4/3} = 1.5 \times \frac{3}{4} = 1.125 = \frac{9}{8}$.
$5$. $\frac{1}{f_w} = (\frac{9}{8} - 1) K = (\frac{1}{8}) \times \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$.
$6$. अतः,$f_w = 12 \, cm$.

(A) व्यक्ति $M_1$ से आने वाला प्रकाश दर्पणों से टकराता है और फिर व्यक्ति $M_2$ तक पहुँचता है। गतिमान व्यक्ति $M_1$ की उन स्थितियों को ज्ञात करने की आवश्यकता है जब उससे आने वाला प्रकाश दर्पण के किनारों से टकराकर खड़े व्यक्ति $M_2$ तक पहुँचता है।
मान लीजिए कि $M_1$ की गति की रेखा दर्पणों के तल से $2L$ दूरी पर है। चित्र में दिखाए अनुसार दर्पण के किनारे $E, F, G, H$ हैं। प्रेक्षक $O$ दर्पणों के बीच के अंतराल से $L$ दूरी पर है।
ऊपरी दर्पण (किनारों $E$ और $G$) के लिए समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए:
किनारे $E$ के लिए ($O$ के निकट): $O$ से गुजरने वाली दर्पणों के समानांतर रेखा से $M_1$ की दूरी $x_E$ है। समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{x_E}{L} = \frac{2L}{L} \implies x_E = 2L$।
किनारे $G$ के लिए ($O$ से दूर): $O$ से गुजरने वाली रेखा से $M_1$ की दूरी $x_G$ है। समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{x_G}{L+L} = \frac{2L}{L} \implies x_G = 4L$।
ऊपरी दर्पण के माध्यम से दृश्य पथ की लंबाई $AB = x_G - x_E = 4L - 2L = 2L$ है।
इसी प्रकार,निचले दर्पण के लिए,दृश्य पथ की लंबाई $CD$ भी $2L$ है।
कुल दृश्य लंबाई $= AB + CD = 2L + 2L = 4L$।
कुल समय $t = \frac{\text{कुल दूरी}}{u} = \frac{4L}{u}$।

(D) $m$ द्रव्यमान के बाएं ब्लॉक के लिए,कुल खिंचाव बल $3mg$ है और निकाय का कुल द्रव्यमान $(m + 3m) = 4m$ है। अतः,बाएं ब्लॉक का त्वरण $a_1 = \frac{3mg}{4m} = \frac{3}{4}g$ है।
चूंकि दर्पण (भुजा $AB$) वस्तु $O$ की ओर $a_1$ त्वरण से गति करता है,इसलिए इस दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $a_{I_1} = 2a_1 = 2 \times \frac{3}{4}g = \frac{3}{2}g$ त्वरण से वस्तु की ओर गति करेगा।
$m$ द्रव्यमान के दाएं ब्लॉक के लिए,कुल खिंचाव बल $2mg$ है और निकाय का कुल द्रव्यमान $(m + 2m) = 3m$ है। अतः,दाएं ब्लॉक का त्वरण $a_2 = \frac{2mg}{3m} = \frac{2}{3}g$ है।
चूंकि दर्पण (भुजा $CD$) वस्तु $O$ से दूर $a_2$ त्वरण से गति करता है,इसलिए इस दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $a_{I_2} = 2a_2 = 2 \times \frac{2}{3}g = \frac{4}{3}g$ त्वरण से वस्तु से दूर गति करेगा।
चूंकि दोनों प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a_{I_1} + a_{I_2} = \frac{3}{2}g + \frac{4}{3}g = \frac{9g + 8g}{6} = \frac{17}{6}g$ होगा।

(B) मान लीजिए वस्तु का वेग $\vec{v}_o = V \hat{j}$ है।
दर्पण $(2)$ के लिए,जो ऊर्ध्वाधर है,प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{I_2}$ वस्तु के वेग को दर्पण की सतह पर परावर्तित करके प्राप्त किया जाता है। चूंकि दर्पण स्थिर है,$\vec{v}_{I_2} = -V \hat{i} + V \hat{j}$ होगा।
दर्पण $(1)$ के लिए,जो ऊर्ध्वाधर के साथ $\beta$ कोण पर है,अभिलंब सदिश $\hat{n} = \sin \beta \hat{i} + \cos \beta \hat{j}$ है। प्रतिबिंब का वेग $\vec{v}_{I_1} = \vec{v}_o - 2(\vec{v}_o \cdot \hat{n})\hat{n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
डॉट गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{v}_o \cdot \hat{n} = (V \hat{j}) \cdot (\sin \beta \hat{i} + \cos \beta \hat{j}) = V \cos \beta$.
अतः,$\vec{v}_{I_1} = V \hat{j} - 2(V \cos \beta)(\sin \beta \hat{i} + \cos \beta \hat{j}) = -2V \sin \beta \cos \beta \hat{i} + V(1 - 2 \cos^2 \beta) \hat{j} = -V \sin 2\beta \hat{i} - V \cos 2\beta \hat{j}$.
सापेक्ष वेग $\vec{v}_{I_1/I_2} = \vec{v}_{I_1} - \vec{v}_{I_2} = (-V \sin 2\beta \hat{i} - V \cos 2\beta \hat{j}) - (-V \hat{i} + V \hat{j}) = V(1 - \sin 2\beta) \hat{i} - V(1 + \cos 2\beta) \hat{j}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $2V \sin \beta$ है।

(A) $1$. समतल दर्पण $M_1$ द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण $M_1$ के पीछे $x$ दूरी पर होता है। चूंकि $M_1$ और $M_2$ के बीच की दूरी $y$ है,इसलिए $M_1$ द्वारा बना प्रतिबिंब उत्तल दर्पण $M_2$ के सामने $(x + y)$ दूरी पर होगा। अतः,$M_2$ के लिए वस्तु दूरी $u = -(x + y)$ है।
$2$. उत्तल दर्पण $M_2$ द्वारा बना प्रतिबिंब उसी स्थान पर है जहाँ $M_1$ द्वारा बना प्रतिबिंब है। $M_1$ द्वारा बना प्रतिबिंब $M_1$ के पीछे $x$ दूरी पर है,जो $M_2$ के पीछे $(y - x)$ दूरी पर (या $M_2$ के सामने $(x - y)$ दूरी पर) है। अतः,$M_2$ के लिए प्रतिबिंब दूरी $v = +(x - y)$ है।
$3$. दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f$ उत्तल दर्पण की फोकस दूरी है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{x - y} + \frac{1}{-(x + y)}$
$\frac{1}{f} = \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}$
$\frac{1}{f} = \frac{(x + y) - (x - y)}{(x - y)(x + y)}$
$\frac{1}{f} = \frac{2y}{x^2 - y^2}$
$f = \frac{x^2 - y^2}{2y}$

(B) वस्तु और समतल दर्पण के बीच की दूरी $30 \ cm$ है,अर्थात समतल दर्पण और उत्तल दर्पण के बीच की दूरी $20 \ cm$ है,इसलिए उत्तल दर्पण के लिए प्रतिबिंब दूरी $10 \ cm$ है।
उत्तल दर्पण के लिए,$u = -50 \ cm$ और $v = +10 \ cm$ है।
माना $f$ फोकस दूरी है।
$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{10} - \frac{1}{50} = \frac{1}{f}$
$\frac{5-1}{50} = \frac{1}{f} \implies f = \frac{50}{4} = 12.5 \ cm$.
वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 12.5 = 25 \ cm$ है।

(A) मान लीजिए कि वस्तु $O$ समतल दर्पण $M_1$ की ओर $v$ वेग से गति करती है। समतल दर्पण $M_1$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $O'$ भी अवतल दर्पण $M_2$ की ओर $v$ वेग से गति करेगा।
अब,$O'$ अवतल दर्पण $M_2$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। अवतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $I$ का वेग $v_I = -m^2 v_O$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ आवर्धन है और $v_O$ दर्पण $M_2$ के सापेक्ष वस्तु $O'$ का वेग है।
चूंकि वस्तु $O'$ अवतल दर्पण $M_2$ की ओर गति कर रही है,इसलिए इसका वेग $v_O$ बाईं ओर की दिशा में है। इस मान को सूत्र में रखने पर,प्रतिबिंब $I$ का वेग दाईं ओर की दिशा में प्राप्त होगा।

(D) मान लीजिए बिंदु स्रोत की शक्ति $P$ है।
जब दर्पण को हटा दिया जाता है,तो स्रोत से प्रकाश सीधे $d = 60\, cm$ की दूरी पर स्थित पर्दे पर गिरता है। तीव्रता $I_1 = \frac{P}{4\pi d^2} = \frac{P}{4\pi (60)^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब दर्पण उपस्थित होता है,तो प्रकाश पर्दे तक दो तरह से पहुँचता है:
$1$. स्रोत से सीधे: $I_{direct} = \frac{P}{4\pi (60)^2}$.
$2$. दर्पण से परावर्तित: चूंकि स्रोत फोकस $(f = 20\, cm)$ पर है,इसलिए परावर्तित किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर होती हैं। ये किरणें दर्पण के द्वारक (aperture) के समान त्रिज्या का एक पुंज बनाती हैं। मान लीजिए दर्पण के द्वारक की त्रिज्या $h$ है,तो परावर्तित प्रकाश $\pi h^2$ क्षेत्रफल पर केंद्रित होता है। परावर्तित प्रकाश की तीव्रता $I_{reflected} = \frac{P}{4\pi h^2}$ है।
ज्यामिति के अनुसार,छोटे कोणों के लिए $\tan \theta = \frac{h}{20} \approx \theta$। साथ ही,सीधे पथ के लिए,$\tan \theta = \frac{h}{60}$।
तीव्रताओं का अनुपात लेने पर: $I_{total} = I_{direct} + I_{reflected} = \frac{P}{4\pi (60)^2} + \frac{P}{4\pi (20)^2}$।
अनुपात $\frac{I_{total}}{I_1} = \frac{\frac{P}{4\pi (60)^2} + \frac{P}{4\pi (20)^2}}{\frac{P}{4\pi (60)^2}} = 1 + \frac{(60)^2}{(20)^2} = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10$।
अतः,अनुपात $10 : 1$ है।

(B) आपतित किरण का सदिश $\vec{v}_i = -\hat{i} - 2\hat{j}$ है। आपतित किरण का इकाई सदिश $\hat{r}_i = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{5}}$ है।
इंटरफेस ($x-z$ तल) पर अभिलंब $y$-अक्ष की दिशा में है। अभिलंब सदिश $\hat{n} = -\hat{j}$ लें।
आपतन कोण $i$ के लिए,$\cos i = |\hat{r}_i \cdot \hat{n}| = |(-\frac{1}{\sqrt{5}}\hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}}\hat{j}) \cdot (-\hat{j})| = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
अतः,$\sin i = \sqrt{1 - \cos^2 i} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$:
$2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin r \implies \sin r = \frac{4}{5}$.
अतः,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
अपवर्तित किरण का सदिश $\vec{v}_r$ आपतित किरण और अभिलंब के तल में ही रहता है। चूँकि आपतित किरण का $z$-घटक शून्य है,इसलिए अपवर्तित किरण का भी $z$-घटक शून्य होगा। मान लीजिए $\vec{v}_r = a\hat{i} + b\hat{j}$ है।
सतह पर अपवर्तन के दौरान सदिश का स्पर्शरेखीय घटक संरक्षित रहता है। आपतित सदिश का $x$-घटक $-1/\sqrt{5}$ है। अपवर्तित इकाई सदिश का $x$-घटक $\sin r \cdot (\text{दिशा}) = \frac{4}{5} \cdot (-1) = -4/5$ होगा।
$y$-घटक $-\cos r = -3/5$ है।
इस प्रकार,इकाई सदिश $\hat{r}_r = -\frac{4}{5}\hat{i} - \frac{3}{5}\hat{j} = \frac{-4\hat{i} - 3\hat{j}}{5}$ है।

(D) अवतल दर्पण के लिए,प्रतिबिंब की स्थिति वस्तु के साथ तब संपाती होती है जब वस्तु वक्रता केंद्र पर रखी जाती है। अतः,वक्रता त्रिज्या $R = 0.5\, m$ है।
जब दर्पण को द्रव में रखा जाता है,तो वस्तु (पिन) से प्रकाश दर्पण तक पहुँचने के लिए द्रव से होकर गुजरता है। प्रतिबिंब के वस्तु के साथ संपाती होने के लिए दर्पण द्वारा देखी गई वस्तु की आभासी गहराई वक्रता त्रिज्या $R = 0.5\, m$ के बराबर होनी चाहिए।
पिन को दर्पण से $0.4\, m$ की दूरी पर रखा गया है। इस दूरी में $0.2\, m$ हवा और $0.2\, m$ द्रव शामिल है।
दर्पण से वस्तु की आभासी दूरी $d_{app}$ हवा में वास्तविक दूरी और द्रव में आभासी दूरी के योग द्वारा दी जाती है:
$d_{app} = 0.2\, m + \mu(0.2\, m) = 0.5\, m$
$0.2\mu = 0.5 - 0.2 = 0.3$
$\mu = \frac{0.3}{0.2} = 1.5 = 3/2$.

(D) जब दर्पण को पानी से भर दिया जाता है,तो $C$ पर स्थित वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें दर्पण की सतह तक पहुँचने से पहले पानी-हवा की सतह पर अपवर्तित होती हैं। अपवर्तन के कारण,वस्तु की आभासी स्थिति ऊपर की ओर $C^{\prime}$ पर स्थानांतरित हो जाती है,जहाँ $OC^{\prime} = R\mu$ (जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है)।
चूँकि वस्तु प्रभावी रूप से दर्पण से $R$ से अधिक दूरी पर है,इसलिए दर्पण वक्रता केंद्र $C$ और फोकस $F$ के बीच एक वास्तविक प्रतिबिंब $I^{\prime}$ बनाता है।
जैसे ही परावर्तित किरणें वापस लौटती हैं,वे फिर से पानी-हवा की सतह पर अपवर्तित होती हैं। यह दूसरा अपवर्तन किरणों को और अधिक मोड़ देता है,जिससे अंतिम प्रतिबिंब $I$ नीचे की ओर ध्रुव $O$ की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
अतः,अंतिम प्रतिबिंब वास्तविक है और $C$ तथा $O$ के बीच किसी बिंदु पर स्थित है।

(D) पक्षी तल से $3h$ ऊंचाई पर है। पानी का स्तर $h$ ऊंचाई पर है। पानी की सतह से पक्षी की दूरी $d = 3h - h = 2h$ है।
सबसे पहले,पक्षी से आने वाला प्रकाश पानी में अपवर्तित होता है। पानी के अंदर से देखे जाने पर पक्षी की आभासी गहराई $d' = \mu \times d = (4/3) \times 2h = 8h/3$ है।
इस आभासी वस्तु की चांदी वाले तल से कुल दूरी $H = h + 8h/3 = 11h/3$ है।
दर्पण तल के पीछे $H = 11h/3$ दूरी पर एक प्रतिबिंब बनाता है।
यह प्रतिबिंब पानी की सतह पर अपवर्तन के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करता है। सतह से इस वस्तु की दूरी $H' = H + h = 11h/3 + h = 14h/3$ है।
पक्षी द्वारा देखा गया अंतिम आभासी स्थान $y = H' / \mu = (14h/3) / (4/3) = 14h/4 = 3.5h$ है।
चूंकि पानी का स्तर $h$,$dh/dt = -1\, cm/s$ की दर से बदल रहा है,हम $y$ का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$dy/dt = d/dt(3.5h) = 3.5 \times (dh/dt) = 3.5 \times (-1) = -3.5\, cm/s$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब $3.5\, cm/s$ की गति से नीचे की ओर बढ़ता है।

(A) माना कि कांच-वायु अंतरापृष्ठ पर आपतन कोण $\alpha$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$n_1 \sin \alpha = 1 \times \sin \theta$ (जहाँ वायु का अपवर्तनांक $1$ है)।
अतः,$\sin \theta = n_1 \sin \alpha$ --- $(1)$
अब,कांच-पानी अंतरापृष्ठ पर आपतन कोण $(90^\circ - \alpha)$ होगा।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $(C)$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। अतः,$(90^\circ - \alpha) \geq C$.
क्रांतिक कोण की स्थिति के लिए,$\sin C = \frac{n_2}{n_1}$.
चूँकि $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$,तो $\cos \alpha \geq \frac{n_2}{n_1}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \leq 1 - (\frac{n_2}{n_1})^2 = \frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2}$.
अतः,$\sin \alpha \leq \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$.
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर,$\sin \theta = n_1 \sin \alpha \leq n_1 \left( \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1} \right) = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.
अतः,$\sin \theta < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$.

(C) $1$. पहली सतह (हवा से पानी में) पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \times \sin 53^o = (4/3) \times \sin r$।
$2$. दिया गया है $\sin 53^o = 0.8 = 4/5$,तो $(4/5) = (4/3) \sin r$,जिससे $\sin r = 3/5 = 0.6$ प्राप्त होता है,अर्थात $r = 37^o$।
$3$. पहले अपवर्तन पर विचलन $\delta_1 = i - r = 53^o - 37^o = 16^o$ (घड़ी की दिशा में) है।
$4$. पिछली सतह पर,किरण परावर्तित होती है। आपतन कोण $r = 37^o$ है,और परावर्तन कोण भी $37^o$ है। परावर्तन पर विचलन $\delta_2 = 180^o - 2r = 180^o - 2(37^o) = 180^o - 74^o = 106^o$ (घड़ी की दिशा में) है।
$5$. दूसरे अपवर्तन पर (पानी से हवा में),आपतन कोण $r = 37^o$ है,और निर्गत कोण $i = 53^o$ है। विचलन $\delta_3 = i - r = 53^o - 37^o = 16^o$ (घड़ी की दिशा में) है।
$6$. कुल विचलन $\delta_{net} = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = 16^o + 106^o + 16^o = 138^o$।

(D) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,त्रिज्या $R = 40\,cm$.
चरण $1$: पहली सतह पर अपवर्तन।
सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \infty$,$\mu_1 = 1$,$\mu_2 = 1.5$,और $R = +40\,cm$ है।
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{\infty} = \frac{1.5 - 1}{40} \Rightarrow v = 120\,cm$.
चरण $2$: पीछे की सतह पर परावर्तन।
दर्पण के लिए वस्तु की दूरी $u' = -(120 - 40) = -80\,cm$ (दर्पण के सामने)।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v'} + \frac{1}{u'} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f = -20\,cm$ है।
$\frac{1}{v'} + \frac{1}{-80} = \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{v'} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{80} = -\frac{3}{80} \Rightarrow v' = -80/3\,cm$.
चरण $3$: फिर से पहली सतह पर अपवर्तन।
यहाँ वस्तु की दूरी $u'' = -(40 - 80/3) = -40/3\,cm$ (केंद्र से)।
सूत्र $\frac{\mu_2}{v''} - \frac{\mu_1}{u''} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ का उपयोग करने पर,अंतिम प्रतिबिंब केंद्र के बाईं ओर $60\,cm$ की दूरी पर प्राप्त होता है।

(B) प्रतिबिंब के वस्तु पर संपाती होने के लिए,प्रकाश किरणों को उत्तल दर्पण पर लंबवत आपतित होना चाहिए। इसका अर्थ है कि किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होनी चाहिए।
सबसे पहले,हम लेंस सूत्र का उपयोग करके उत्तल लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब की स्थिति ज्ञात करते हैं: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
दिया है: $f = +10\,cm$,$u = -15\,cm$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30\,cm$.
इसका अर्थ है कि लेंस,लेंस से $30\,cm$ की दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है।
उत्तल दर्पण को लेंस के फोकस पर रखा गया है,जो लेंस से $10\,cm$ की दूरी पर है। लेंस और दर्पण के बीच की दूरी $d = 10\,cm$ है।
लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब की दर्पण से दूरी $MI = v - d = 30\,cm - 10\,cm = 20\,cm$ है।
चूंकि किरणों को अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए दर्पण पर लंबवत टकराना चाहिए,इसलिए बिंदु $I$ को उत्तल दर्पण का वक्रता केंद्र होना चाहिए।
अतः,वक्रता त्रिज्या $R = MI = 20\,cm$.
दर्पण की फोकस दूरी $f_m = \frac{R}{2} = \frac{20}{2} = 10\,cm$ है।

(A) जब एक अभिसारी लेंस के निचले आधे हिस्से को एक अपारदर्शी कार्ड से ढक दिया जाता है,तो वस्तु से आने वाली प्रकाश किरणें अभी भी लेंस के ऊपरी आधे हिस्से से गुजर सकती हैं।
चूंकि वस्तु का प्रत्येक बिंदु लेंस के सभी हिस्सों पर प्रकाश किरणें भेजता है,इसलिए लेंस का ऊपरी आधा हिस्सा स्क्रीन पर वस्तु की पूर्ण छवि बनाने के लिए पर्याप्त है।
हालाँकि,क्योंकि प्रकाश का एक हिस्सा अवरुद्ध हो जाता है,छवि बनाने वाले प्रकाश की तीव्रता कम हो जाती है,जिससे छवि धुंधली हो जाती है।
इसलिए,पूरी छवि दिखाई देती है,लेकिन यह कम चमकदार हो जाती है। दिए गए विकल्पों में से,जो छवि पूरी वस्तु को दर्शाती है (भले ही वह धुंधली हो) वह सही विकल्प है।

(D) प्रारंभ में, वस्तु फोकस पर है $(u = -f)$। जैसे-जैसे लेंस दाईं ओर गति करता है, वस्तु की दूरी $u$ प्रभावी रूप से फोकस दूरी $f$ से अधिक हो जाती है (परिमाण में)।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ के अनुसार, जैसे-जैसे $u$ का मान $-f$ से बदलकर $-f$ से थोड़ा कम होता है, प्रतिबिंब $v$ अनंत $(\infty)$ से लेंस की ओर (अर्थात बाईं ओर) गति करता है।
जैसे-जैसे लेंस गति करना जारी रखता है, वस्तु अंततः फोकस और प्रकाशिक केंद्र के बीच के क्षेत्र $(|u| < f)$ में आ जाती है। इस क्षेत्र में, वस्तु की ओर ही एक आभासी प्रतिबिंब बनता है। जैसे-जैसे लेंस और दाईं ओर जाता है, आभासी प्रतिबिंब भी लेंस की दिशा में (अर्थात दाईं ओर) गति करता है।
अतः, प्रतिबिंब पहले बाईं ओर और फिर दाईं ओर गति करेगा।