Mix Examples-Ray Optics Questions in Hindi

(C) $1$. बिंदु $P$ से आने वाला प्रकाश प्रिज्म में प्रवेश करता है। प्रिज्म के अंदर से देखने पर $P$ की आभासी गहराई $h' = \mu h = 2h$ है। लंबवत पथ पर रजतित सतह से वस्तु की कुल दूरी $d_1 = 2h + x$ है,जहाँ $x$ ऊपरी सतह से कर्ण पर स्थित बिंदु तक की दूरी है।
$2$. रजतित कर्ण सतह एक समतल दर्पण की तरह कार्य करती है। प्रतिबिंब $I$,दर्पण के पीछे $d_1 = 2h + x$ दूरी पर बनता है।
$3$. यह प्रतिबिंब $I$,प्रिज्म की ऊर्ध्वाधर सतह पर अपवर्तन के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। ऊर्ध्वाधर सतह से $I$ की दूरी $d_1 + y = 2h + x + y$ है,जहाँ $y$ कर्ण पर स्थित बिंदु से ऊर्ध्वाधर सतह तक की दूरी है। $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ प्रिज्म की ज्यामिति के अनुसार,$x + y = 10 \,cm$ है।
$4$. प्रिज्म के बाहर से देखने पर प्रतिबिंब $I$ की आभासी दूरी $d_{out} = \frac{d_1 + y}{\mu} = \frac{2h + 10}{2} = h + 5$ है।
$5$. यह प्रतिबिंब उत्तल लेंस से $u = -(h + 5 + 15) = -(h + 20) \,cm$ की दूरी पर है। लेंस दीवार पर $v = +15 \,cm$ पर प्रतिबिंब बनाता है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{15} - \frac{1}{-(h + 20)} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{h + 20} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$
$h + 20 = 30 \implies h = 10 \,cm$.

(C) परावर्तन के नियमों के अनुसार,आपतित किरण,परावर्तित किरण और आपतन बिंदु पर अभिलंब,तीनों एक ही तल में स्थित होते हैं।
चूंकि $\hat{n}_1$,$\hat{n}_2$ और $\hat{n}_3$ क्रमशः आपतित किरण,अभिलंब और परावर्तित किरण की दिशा में एकांक सदिश हैं,इसलिए ये समतलीय सदिश हैं।
किसी भी तीन समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) शून्य होता है।
अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,समतलीय सदिशों के लिए $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = 0$ होता है।
इसलिए,$(\hat{n}_1 \times \hat{n}_2) \cdot \hat{n}_3 = 0$ सत्य होना चाहिए।

(D) कथन $A$ सही है: वस्तुओं का कांपना गर्मी के कारण हवा के घनत्व में अनियमित परिवर्तन से होने वाले वायुमंडलीय अपवर्तन के कारण होता है।
कथन $B$ सही है: क्षितिज के पास चंद्रमा का बड़ा दिखाई देना एक प्रसिद्ध दृष्टिभ्रम है।
कथन $C$ सही है: प्रिज्म के लिए,यदि प्रिज्म का कोण $A > 2 \theta_c$ है,तो दूसरे फलक पर आपतित प्रकाश किरण क्रांतिक कोण से अधिक कोण पर टकराएगी,जिससे पूर्ण आंतरिक परावर्तन होगा और कोई निर्गत किरण प्राप्त नहीं होगी।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) सही विकल्प $B$ है।
टेलीस्कोप का उपयोग मुख्य रूप से दूर की वस्तुओं को रिज़ॉल्व करने के लिए किया जाता है जो नग्न आंखों से एक बिंदु के रूप में दिखाई देती हैं या जिन्हें अलग-अलग नहीं देखा जा सकता है। कोणीय आकार बढ़ाकर और अधिक प्रकाश एकत्र करके,यह हमें दूर की वस्तुओं के विवरण को रिज़ॉल्व करने की अनुमति देता है।
माइक्रोस्कोप का उपयोग मुख्य रूप से बहुत छोटी वस्तुओं को आवर्धित (बड़ा) करने के लिए किया जाता है जो पर्यवेक्षक के करीब होती हैं,जिससे वे बड़ी दिखाई देती हैं और उनका विवरण स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

(B) दिया गया है: उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = 10\,cm$। लेंस से दर्पण की दूरी $= 20\,cm$। अंतिम प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $5\,cm$ पर बनता है।
दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $5\,cm$ की दूरी पर है। इसका अर्थ है कि दर्पण के लिए वस्तु (जो लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $I_1$ है) दर्पण के सामने $5\,cm$ की दूरी पर होनी चाहिए।
चूंकि दर्पण लेंस से $20\,cm$ की दूरी पर है,इसलिए लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $I_1$,लेंस से $v = 20\,cm - 5\,cm = 15\,cm$ की दूरी पर है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर: $\frac{1}{15} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{15} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$
अतः,$u = 30\,cm$। वस्तु लेंस से $30\,cm$ की दूरी पर रखी गई है।

(D) दर्पण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
यहाँ $u = -40\,cm$ और $v = -120\,cm$ (अभिसारी दर्पण द्वारा बने वास्तविक प्रतिबिंब के लिए)।
$\frac{1}{-120} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{f} \implies \frac{-1-3}{120} = \frac{1}{f} \implies f = -30\,cm$.
पैमाने का अल्पतमांक $(LC)$ = $\frac{1}{20}\,cm = 0.05\,cm$ है। अतः,$du = dv = 0.05\,cm$.
दर्पण सूत्र का अवकलन करने पर: $-\frac{dv}{v^2} - \frac{du}{u^2} = -\frac{df}{f^2}$.
त्रुटि गणना के लिए परिमाण लेने पर: $|df| = f^2 \left( \frac{|dv|}{v^2} + \frac{|du|}{u^2} \right)$.
$|df| = (30)^2 \left( \frac{1/20}{120^2} + \frac{1/20}{40^2} \right) = 900 \times \frac{1}{20} \left( \frac{1}{14400} + \frac{1}{1600} \right)$.
$|df| = 45 \left( \frac{1 + 9}{14400} \right) = 45 \times \frac{10}{14400} = \frac{450}{14400} = \frac{45}{1440} = \frac{1}{32}\,cm$.
$1/K$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 32$ प्राप्त होता है।

(C) प्राथमिक इंद्रधनुष वर्षा की बूंदों के भीतर सूर्य के प्रकाश के एकल आंतरिक परावर्तन द्वारा बनता है,और यह $40^{\circ}$ से $42^{\circ}$ की कोणीय सीमा पर दिखाई देता है।
द्वितीयक इंद्रधनुष वर्षा की बूंदों के भीतर सूर्य के प्रकाश के दोहरे आंतरिक परावर्तन द्वारा बनता है,और यह $51^{\circ}$ से $54^{\circ}$ की कोणीय सीमा पर दिखाई देता है।
चूंकि द्वितीयक इंद्रधनुष की कोणीय त्रिज्या बड़ी होती है,इसलिए यह हमेशा प्राथमिक इंद्रधनुष के ऊपर बनता है।

(C) अल्पतमांक $\Delta x = 0.2\,cm$.
वस्तु दूरी $u = (100 \pm 0.2) - (80 \pm 0.2) = (20 \pm 0.4)\,cm$.
प्रतिबिंब दूरी $v = (180 \pm 0.2) - (100 \pm 0.2) = (80 \pm 0.4)\,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर, $\frac{1}{f} = \frac{1}{80} - \frac{1}{-20} = \frac{1+4}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
अतः, $f = 16\,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का अवकलन करने पर, हमें $\frac{\Delta f}{f^2} = \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2}$ प्राप्त होता है।
फोकस दूरी में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = \left( \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2} \right) \times f \times 100$ है।
मान रखने पर: $\% \text{त्रुटि} = \left( \frac{0.4}{80^2} + \frac{0.4}{20^2} \right) \times 16 \times 100$.
$\% \text{त्रुटि} = \left( \frac{0.4}{6400} + \frac{0.4}{400} \right) \times 1600 = \left( \frac{0.4}{4} + \frac{0.4}{64} \right) \times 16 = (0.1 + 0.00625) \times 16 = 1.6 + 0.1 = 1.70\%$.

(D) (अवतल दर्पण) के लिए: यह वास्तविक प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ के परे हो), आभासी प्रतिबिंब (जब वस्तु $P$ और $F$ के बीच हो), आवर्धित प्रतिबिंब (जब वस्तु $P$ और $2F$ के बीच हो), और अनंत पर प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ पर हो) बना सकता है। अतः, $A \rightarrow p, q, r, s$.
$B$ (उत्तल दर्पण) के लिए: यह हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब छोटा होता है, इसलिए यह आवर्धित नहीं हो सकता। यदि वस्तु $F$ पर हो तो यह अनंत पर प्रतिबिंब बना सकता है। अतः, $B \rightarrow q, s$.
$C$ (उत्तल लेंस) के लिए: यह वास्तविक प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ के परे हो), आभासी प्रतिबिंब (जब वस्तु $O$ और $F$ के बीच हो), आवर्धित प्रतिबिंब (जब वस्तु $O$ और $2F$ के बीच हो), और अनंत पर प्रतिबिंब (जब वस्तु $F$ पर हो) बना सकता है। अतः, $C \rightarrow p, q, r, s$.
$D$ (अवतल लेंस) के लिए: यह हमेशा आभासी प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब हमेशा छोटा होता है, इसलिए यह आवर्धित नहीं हो सकता। यदि वस्तु $F$ पर हो तो यह अनंत पर प्रतिबिंब बना सकता है। अतः, $D \rightarrow q, s$.

(B) अपवर्तन के मामले में,आवर्धन $m = -v/u = 2$ है। चूँकि वस्तु वास्तविक है,$u = -30 \ cm$,इसलिए $v = -2u = 60 \ cm$। लेंस सूत्र $1/v - 1/u = 1/f_1$ का उपयोग करने पर,$1/60 - 1/(-30) = 1/f_1$,जिससे $f_1 = 20 \ cm$ प्राप्त होता है।
परावर्तन के मामले में,वक्र सतह एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करती है। प्रतिबिंब लेंस से $10 \ cm$ की दूरी पर बनता है। दर्पण सूत्र $1/v + 1/u = 1/f_2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -30 \ cm$ और $v = -10 \ cm$,हमें $1/(-10) + 1/(-30) = 1/f_2$ प्राप्त होता है,इसलिए $f_2 = -7.5 \ cm$। चूँकि $f_2 = -R/2$,वक्रता त्रिज्या $R = 15 \ cm$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए लेंस मेकर सूत्र $1/f_1 = (n-1)/R$ का उपयोग करने पर,$f_1 = 20 \ cm$ और $R = 15 \ cm$ रखने पर,$1/20 = (n-1)/15$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n-1 = 0.75$,इसलिए $n = 1.75$।
अतः,सही कथन $D$ है।

(B) $1$. उत्तल लेंस के लिए: लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = -50 \ cm$ और $f = +30 \ cm$ है।
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-50} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5-3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$। अतः,$v = 75 \ cm$।
$2$. यह प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। दर्पण $x = 50 \ cm$ पर स्थित है। लेंस द्वारा बनाया गया प्रतिबिंब $x = 75 \ cm$ पर है,जो दर्पण के पीछे $25 \ cm$ की दूरी पर है। इसलिए,दर्पण के लिए वस्तु की दूरी $u = +25 \ cm$ है।
$3$. उत्तल दर्पण के लिए: $f_m = \frac{R}{2} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$। दर्पण सूत्र $\frac{1}{v_m} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_m}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = +25 \ cm$ और $f_m = +50 \ cm$ है।
$\frac{1}{v_m} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50} \implies \frac{1}{v_m} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$। अतः,$v_m = -50 \ cm$।
$4$. प्रतिबिंब दर्पण के सामने उसकी झुकी हुई अक्ष पर $50 \ cm$ की दूरी पर बनता है। दर्पण की अक्ष $x$-अक्ष के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है। दर्पण के ध्रुव के निर्देशांक $(50, 0)$ हैं। प्रतिबिंब ध्रुव से $30^{\circ}$ के कोण पर अक्ष के अनुदिश $50 \ cm$ की दूरी पर है।
$5$. ध्रुव के सापेक्ष प्रतिबिंब के निर्देशांक: $\Delta x = -50 \cos 30^{\circ} = -50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -25\sqrt{3}$ और $\Delta y = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25$।
$6$. निरपेक्ष निर्देशांक $x = 50 - 25\sqrt{3}$ और $y = 25$ हैं। अतः,निर्देशांक $(50 - 25\sqrt{3}, 25)$ हैं।

(C) मान लीजिए $L$ और $M_1$ के बीच की दूरी $d$ है। वस्तु $S$,$L$ से $10 \text{ cm}$ की दूरी पर है ($20 \text{ cm}$ का मध्य बिंदु)। चूंकि $L$ की फोकस दूरी $10 \text{ cm}$ है,वस्तु $S$ लेंस $L$ के फोकस पर है।
$S$ से आने वाली प्रकाश किरणें $L$ से गुजरती हैं और मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं।
ये समानांतर किरणें अवतल दर्पण $M_1$ पर आपतित होती हैं। $M_1$ से परावर्तन के बाद,वे $M_1$ के फोकस पर अभिसरित होती हैं। $M_1$ की फोकस दूरी $f_1 = R_1/2 = 20/2 = 10 \text{ cm}$ है।
अतः,किरणें $M_1$ के सामने $10 \text{ cm}$ की दूरी पर एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं।
यह बिंदु लेंस $L$ के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस $L$ से इस बिंदु की दूरी $u = -(d - 10) \text{ cm}$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-(d - 10)} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{d - 10} \quad (i)$।
$L$ से निकलने वाली किरणें दर्पण $M_2$ पर आपतित होती हैं। अंतिम प्रतिबिंब के $S$ पर संपाती होने के लिए,किरणों को $M_2$ पर लंबवत आपतित होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उन्हें $M_2$ के वक्रता केंद्र से आता हुआ प्रतीत होना चाहिए। $M_2$ की वक्रता त्रिज्या $24 \text{ cm}$ है। चूंकि $S$,$M_2$ से $10 \text{ cm}$ दूर है,किरणों को $M_2$ से $10 \text{ cm}$ की दूरी पर (जो स्वयं $S$ है) अभिसरित होना चाहिए।
अतः,$L$ द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $L$ से $v = 10 \text{ cm}$ की दूरी पर ($M_2$ की दिशा में) होना चाहिए।
$(i)$ में $v = 10$ रखने पर:
$\frac{1}{10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{d - 10} \implies \frac{1}{d - 10} = 0$,जो संभव नहीं है।
पुनर्मूल्यांकन: $M_1$ से परावर्तन के बाद किरणें $M_1$ से $10 \text{ cm}$ की दूरी पर अभिसरित होती हैं। मान लीजिए यह $I_1$ है। $I_1$,$L$ से $(d-10)$ की दूरी पर है। अंतिम प्रतिबिंब को $S$ पर प्राप्त करने के लिए,किरणों को $M_2$ पर इस तरह आपतित होना चाहिए कि वे अपने पथ को वापस ले लें। यह तब होता है जब वे $M_2$ के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हों। $M_2$ का वक्रता केंद्र $M_2$ से $24 \text{ cm}$ की दूरी पर है,अर्थात $L$ के पीछे $4 \text{ cm}$ की दूरी पर।
$L$ के लिए $u = -(d-10)$ और $v = +4$ के साथ लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{-(d-10)} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{d-10} = \frac{1}{10} - \frac{1}{4} = \frac{2-5}{20} = -\frac{3}{20}$।
इससे $d-10 = -20/3$,$d = 10 - 6.67 = 3.33$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $M_1$ से आने वाली किरणें $L$ से फिर से गुजरने के बाद $S$ पर प्रतिबिंब बनाती हैं:
$M_2$ के लिए,वस्तु $S$ $10 \text{ cm}$ पर है। $f_2 = -12 \text{ cm}$। $\frac{1}{v} + \frac{1}{-10} = \frac{1}{-12} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \implies v = 60 \text{ cm}$।
यह प्रतिबिंब $L$ के लिए $u = -(20+60) = -80 \text{ cm}$ पर वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$\frac{1}{v_L} - \frac{1}{-80} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_L} = \frac{1}{10} - \frac{1}{80} = \frac{7}{80} \implies v_L = 80/7$।
यह $v_L$ $L$ से वह दूरी है जहाँ $M_1$ से आने वाली किरणों को अभिसरित होना चाहिए। चूंकि $M_1$ की $f=10$ है,$L$ से आने वाली किरणें (समानांतर) $M_1$ से $10 \text{ cm}$ की दूरी पर अभिसरित होती हैं। इसलिए $d - 10 = 80/7 \implies d = 150/7$।
अतः $n = 150$।

(B) तार को $f/2$ और $f$ के बीच रखा गया है। अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
मान लीजिए कि कर्ण पर एक बिंदु $P$,फोकस $f$ से $x$ दूरी पर है,इसलिए $u = -(f-x)$।
इसे दर्पण सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{f-x} = -\frac{1}{f}$।
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f-x} - \frac{1}{f} = \frac{x}{f(f-x)}$।
अतः,$v = \frac{f(f-x)}{x}$।
आवर्धन $M = -\frac{v}{u} = -\frac{f(f-x)/x}{-(f-x)} = \frac{f}{x}$।
$u = -f/2$ पर त्रिभुज के लंबवत भाग के लिए,प्रतिबिंब $v = -f$ पर बनता है (वास्तविक,उल्टा और $2$ गुना बड़ा)।
फोकस $(u = -f)$ पर स्थित बिंदु के लिए,प्रतिबिंब अनंत $(v \rightarrow \infty)$ पर बनता है।
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $f/2$ तक बढ़ता है,आवर्धन $M = f/x$,$\infty$ से $2$ तक घटता है। कर्ण का प्रतिबिंब एक वक्र है जो अनंत तक फैला हुआ है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है कि लेंस $75 cm$ पर,ऑब्जेक्ट पिन $45 cm$ पर और इमेज पिन $135 cm$ पर है।
वस्तु दूरी $u = 45 - 75 = -30 cm$.
प्रतिबिंब दूरी $v = 135 - 75 = 60 cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1+2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$. अतः,$f = 20 cm$.
स्केल पर $1 cm$ में $4$ भाग हैं,इसलिए अल्पतमांक (least count) $\Delta u = \Delta v = \frac{1}{4} cm = 0.25 cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का अवकलन करने पर,$-\frac{df}{f^2} = -\frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम त्रुटि के लिए परिमाण लेने पर: $\frac{df}{f^2} = \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2}$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{df}{f} \times 100 = f \left[ \frac{dv}{v^2} + \frac{du}{u^2} \right] \times 100$.
मान रखने पर: $\frac{df}{f} \times 100 = 20 \left[ \frac{0.25}{60^2} + \frac{0.25}{30^2} \right] \times 100$.
$= 20 \times 0.25 \left[ \frac{1}{3600} + \frac{1}{900} \right] \times 100 = 5 \left[ \frac{1+4}{3600} \right] \times 100 = 5 \times \frac{5}{36} = \frac{25}{36} \% \approx 0.69 \%$.

(B) $\triangle OAB$ में,जहाँ $O$ वक्रता केंद्र है,$A$ परिधि पर एक बिंदु है,और $B$ पानी की सतह का केंद्र है:
$R^2 = (R-h)^2 + r^2$
$R^2 = R^2 - 2Rh + h^2 + r^2$
$2Rh = h^2 + r^2$
$R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$. चूँकि $h \ll r$,$R \approx \frac{r^2}{2h}$. अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों तकनीकी रूप से सही सन्निकटन हैं,लेकिन $(A)$ सटीक ज्यामितीय संबंध है।
घूर्णन करते द्रव के लिए,सतह का समीकरण $y = y_0 + \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ है। ऊँचाई का अंतर $h = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ है।
गोलाकार सतह पर अपवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
यहाँ $\mu_1 = \frac{4}{3}$ (पानी),$\mu_2 = 1$ (हवा),$u = -H$ (लगभग),और सतह अवतल है,इसलिए $R$ ऋणात्मक है: $-R$.
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-H} = \frac{1 - 4/3}{-R} \Rightarrow \frac{1}{v} + \frac{4}{3H} = \frac{1}{3R}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{3R} - \frac{4}{3H} = \frac{2h}{3r^2} - \frac{4}{3H}$.
$h = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{2(\omega^2 r^2 / 2g)}{3r^2} - \frac{4}{3H} = \frac{\omega^2}{3g} - \frac{4}{3H} = -\frac{4}{3H} (1 - \frac{\omega^2 H}{4g})$.
$v = -\frac{3H}{4} (1 - \frac{\omega^2 H}{4g})^{-1} \approx -\frac{3H}{4} (1 + \frac{\omega^2 H}{4g})^{-1}$.
अतः,$(C)$ सही है।

(D) किरण लंबवत आपतन पर प्रिज्म में प्रवेश करती है और कर्ण पर $45^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$1$. पथ $e \rightarrow i$ (पूर्ण आंतरिक परावर्तन) के लिए: शर्त $i > \theta_c$ है,जहाँ $\sin \theta_c = \mu_2 / \mu_1$. अतः,$\sin 45^{\circ} > \mu_2 / \mu_1 \Rightarrow 1/\sqrt{2} > \mu_2 / \mu_1 \Rightarrow \mu_1 > \sqrt{2} \mu_2$. (यह $S-1$ से मेल खाता है)
$2$. पथ $e \rightarrow f$ (अभिलंब से दूर अपवर्तन) के लिए: यह तब होता है जब किरण प्रिज्म-ब्लॉक इंटरफेस पर अभिलंब से दूर मुड़ती है,जिसके लिए $\mu_2 < \mu_1$ होना आवश्यक है। इसके बाद यह ब्लॉक से $\mu_3$ माध्यम में बाहर निकलती है,जिसके लिए $\mu_2 > \mu_3$ होना आवश्यक है। (यह $P-2$ से मेल खाता है)
$3$. पथ $e \rightarrow g$ (कोई विचलन नहीं) के लिए: यह तब होता है जब इंटरफेस पर अपवर्तनांक में कोई परिवर्तन नहीं होता है,अर्थात $\mu_1 = \mu_2$. (यह $Q-3$ से मेल खाता है)
$4$. पथ $e \rightarrow h$ (अभिलंब की ओर अपवर्तन) के लिए: यह तब होता है जब $\mu_2 > \mu_1$ (लेकिन पूर्ण आंतरिक परावर्तन न हो) और अंतिम निकास के लिए $\mu_2 > \mu_3$ हो। विशेष रूप से,$\mu_2 < \mu_1 < \sqrt{2} \mu_2$. (यह $R-4$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $P-2, Q-3, R-4, S-1$ है।

$(D)$ $\theta=30^{\circ}$ के लिए, किरण सामने वाले दर्पण पर $90^{\circ}$ के कोण (अभिलंब आपतन) पर टकराती है और अपने पथ को दोहराती है, जिससे वह उसी छेद से बाहर निकल जाती है। यह $0 < l < L$ के लिए सत्य है।
$(B)$ $l=\frac{L}{2}$ और $\theta=60^{\circ}$ के लिए, किरण अन्य दो दर्पणों पर एक-एक बार टकराती है (कुल दो परावर्तन) और छेद से बाहर निकल जाती है।
$(C)$ $l=\frac{L}{3}$ और $\theta=60^{\circ}$ के लिए, किरण कई परावर्तनों से गुजरती है और अंततः छेद से बाहर निकल जाती है। अतः, यह कथन कि यह $\text{कभी}$ बाहर नहीं आएगी, गलत है।
$(D)$ $\theta=60^{\circ}$ और $0 < l < \frac{L}{2}$ के लिए, किरण कई परावर्तनों वाले पथ का अनुसरण करती है और छेद से बाहर निकल जाती है। परावर्तनों की संख्या $l$ के विशिष्ट मान पर निर्भर करती है।

(B) चूंकि $STU$ एक समतल दर्पण है,हम इसके सापेक्ष पूरे सिस्टम का दर्पण प्रतिबिंब ले सकते हैं। यदि किरणें उसी पथ पर वापस आती हैं तो अंतिम प्रतिबिंब वस्तु की स्थिति पर ही बनता है।
यह सिस्टम एक लेंस और दर्पण के संयोजन के रूप में कार्य करता है। सिस्टम की समतुल्य फोकस दूरी $F_{eq}$ को $\frac{1}{F_{eq}} = \frac{2}{f_L} + \frac{1}{f_M}$ द्वारा दिया जाता है।
समतल दर्पण के लिए,$f_M = \infty$,इसलिए $\frac{1}{F_{eq}} = \frac{2}{f_L}$।
लेंस कांच-द्रव इंटरफ़ेस द्वारा बनता है। लेंस की शक्ति $P = (\mu_g - \mu_l) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ है।
यहाँ,$R_1 = 9 \ cm$ और $R_2 = \infty$ (समतल सतह)।
इसलिए,$\frac{1}{f_L} = (1.6 - n) \left(\frac{1}{9} - 0\right) = \frac{1.6 - n}{9}$।
अतः,$\frac{1}{F_{eq}} = 2 \left(\frac{1.6 - n}{9}\right) = \frac{3.2 - 2n}{9}$।
प्रतिबिंब को वस्तु पर बनने के लिए,वस्तु को समतुल्य दर्पण के वक्रता केंद्र पर होना चाहिए,अर्थात $h = 2F_{eq}$।
इसलिए,$\frac{2}{h} = \frac{3.2 - 2n}{9} \implies h = \frac{18}{3.2 - 2n} = \frac{9}{1.6 - n}$।
विकल्पों की जांच करने पर:
$(A)$ $n = 1.42$ के लिए,$h = \frac{9}{1.6 - 1.42} = \frac{9}{0.18} = 50 \ cm$। (सही)
$(B)$ $n = 1.35$ के लिए,$h = \frac{9}{1.6 - 1.35} = \frac{9}{0.25} = 36 \ cm$। (सही)
$(C)$ $n = 1.45$ के लिए,$h = \frac{9}{1.6 - 1.45} = \frac{9}{0.15} = 60 \ cm$। (गलत)
$(D)$ $n = 1.48$ के लिए,$h = \frac{9}{1.6 - 1.48} = \frac{9}{0.12} = 75 \ cm$। (गलत)
अतः,विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(B) गोले में एक आंतरिक परावर्तन से गुजरने वाली किरण के लिए कुल विचलन $\alpha = 180^{\circ} + 2\theta_0 - 4\phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta_0$ आपतन कोण है और $\phi_0$ अपवर्तन कोण है।
$(P)$ $n=2$ और $\alpha=180^{\circ}$ के लिए:
$180^{\circ} = 180^{\circ} + 2\theta_0 - 4\phi_0 \Rightarrow \theta_0 = 2\phi_0$.
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sin \theta_0 = n \sin \phi_0 = 2 \sin(\theta_0/2)$.
$2 \sin(\theta_0/2) \cos(\theta_0/2) = 2 \sin(\theta_0/2) \Rightarrow \cos(\theta_0/2) = 1 \Rightarrow \theta_0 = 0^{\circ}$.
अतः,$P \rightarrow 5$.
$(Q)$ $n=\sqrt{3}$ और $\alpha=180^{\circ}$ के लिए:
$\theta_0 = 2\phi_0$. स्नेल का नियम: $\sin \theta_0 = \sqrt{3} \sin \phi_0 = \sqrt{3} \sin(\theta_0/2)$.
$2 \sin(\theta_0/2) \cos(\theta_0/2) = \sqrt{3} \sin(\theta_0/2) \Rightarrow \cos(\theta_0/2) = \sqrt{3}/2 \Rightarrow \theta_0/2 = 30^{\circ} \Rightarrow \theta_0 = 60^{\circ}$.
साथ ही $\theta_0 = 0^{\circ}$ भी एक हल है। अतः,$Q \rightarrow 2$.
$(R)$ $n=\sqrt{3}$ और $\alpha=180^{\circ}$ के लिए:
$\theta_0 = 2\phi_0$. $\cos(\theta_0/2) = \sqrt{3}/2$ से,हमें $\phi_0 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है। साथ ही $\phi_0 = 0^{\circ}$ भी एक हल है। अतः,$R \rightarrow 1$.
$(S)$ $n=\sqrt{2}$ और $\theta_0=45^{\circ}$ के लिए:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \phi_0 \Rightarrow 1/\sqrt{2} = \sqrt{2} \sin \phi_0 \Rightarrow \sin \phi_0 = 1/2 \Rightarrow \phi_0 = 30^{\circ}$.
$\alpha = 180^{\circ} + 2(45^{\circ}) - 4(30^{\circ}) = 180^{\circ} + 90^{\circ} - 120^{\circ} = 150^{\circ}$. अतः,$S \rightarrow 4$.

(C) उत्तल दर्पण के लिए,वस्तु की दूरी $u = -30 \ cm$ और फोकस दूरी $f = +30 \ cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-30} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
अतः,$v = +15 \ cm$। यह प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के पीछे $15 \ cm$ की दूरी पर बनता है।
वस्तु से इस प्रतिबिंब की दूरी $30 \ cm + 15 \ cm = 45 \ cm$ है।
समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब को उत्तल दर्पण के प्रतिबिंब के साथ संपाती होने के लिए,समतल दर्पण को इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि समतल दर्पण से वस्तु की दूरी और प्रतिबिंब की दूरी समान हो।
माना समतल दर्पण उत्तल दर्पण से $d$ दूरी पर है। वस्तु समतल दर्पण से $(30 - d)$ दूरी पर है। समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $(30 - d)$ दूरी पर बनता है।
इस प्रतिबिंब की उत्तल दर्पण से दूरी $d + (30 - d) = 30 \ cm$ होती है।
प्रतिबिंबों के संपाती होने के लिए,समतल दर्पण का प्रतिबिंब उत्तल दर्पण के प्रतिबिंब के स्थान पर होना चाहिए।
गणना करने पर,$d = 22.5 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) द्वि-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
यहाँ $R_1 = 30 \ cm$ और $R_2 = -30 \ cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार),और $\mu = 1.6$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{30} - \frac{1}{-30} \right) = 0.6 \times \left( \frac{2}{30} \right) = \frac{1.2}{30} = \frac{1}{25}$.
अतः,लेंस की फोकस दूरी $f = 25 \ cm$ है।
चूंकि अवतल दर्पण की फोकस दूरी लेंस की फोकस दूरी के बराबर है,इसलिए $f_{mirror} = 25 \ cm$.
अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 25 \ cm = 50 \ cm$ होती है।

(C) द्वितीयक इंद्रधनुष के निर्माण में पानी की बूंदों के भीतर दो बार अपवर्तन,दो बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन और प्रकाश का कोणीय विक्षेपण शामिल होता है।
व्यतिकरण एक तरंग घटना है जो इंद्रधनुष के निर्माण के ज्यामितीय प्रकाशिकी विवरण में प्राथमिक तंत्र नहीं है।
अतः,द्वितीयक इंद्रधनुष के निर्माण में व्यतिकरण शामिल नहीं है।

(C) प्रकाश की समानांतर किरण पुंज प्रिज्म द्वारा $\delta$ कोण से विचलित होती है, जो इस प्रकार है:
$\delta = (\mu - 1) A = (1.5 - 1) \times 1.8^{\circ} = 0.5 \times 1.8^{\circ} = 0.9^{\circ}$.
इस कोण को रेडियन में बदलने पर:
$\delta = 0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \text{ rad} = \frac{\pi}{200} \text{ rad}$.
प्रिज्म से गुजरने के बाद यह किरण पुंज समानांतर रहती है और मुख्य अक्ष के सापेक्ष $\delta$ आपतन कोण पर अवतल दर्पण पर गिरती है।
किरणें अवतल दर्पण के फोकस तल में एक बिंदु पर केंद्रित होती हैं।
मुख्य अक्ष से इस बिंदु की दूरी $x$ इस प्रकार दी जाती है:
$x = f \times \delta$, जहाँ $f$ दर्पण की फोकस दूरी है।
वक्रता त्रिज्या $R = 40 \,cm$ दी गई है, इसलिए फोकस दूरी $f = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20 \,cm$.
मान रखने पर:
$x = 20 \,cm \times (0.9^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = 20 \times \frac{\pi}{200} \,cm = \frac{\pi}{10} \,cm = 0.314 \,cm = 3.14 \,mm$.

(A) पहले लेंस के लिए:
$u_1 = -f/2$,$f_1 = f$
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-f/2} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} + \frac{2}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{f} \Rightarrow v_1 = -f$.
आवर्धन $m_1 = \frac{v_1}{u_1} = \frac{-f}{-f/2} = 2$.
दूसरे लेंस के लिए:
पहले लेंस से बना प्रतिबिंब दूसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $f$ है। इसलिए,$u_2 = -(f + |v_1|) = -(f + f) = -2f$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{1}{2f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{2f} \Rightarrow v_2 = 2f$.
आवर्धन $m_2 = \frac{v_2}{u_2} = \frac{2f}{-2f} = -1$.
तीसरे लेंस के लिए:
दूसरे लेंस से बना प्रतिबिंब तीसरे लेंस के लिए वस्तु का कार्य करता है। दूसरे और तीसरे लेंस के बीच की दूरी $f$ है। प्रतिबिंब $v_2 = 2f$ दूसरे लेंस के पीछे बनता है। तीसरे लेंस के लिए वस्तु दूरी $u_3 = -(f - v_2) = -(f - 2f) = f$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_3} - \frac{1}{u_3} = \frac{1}{f_3}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_3} - \frac{1}{f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_3} = \frac{2}{f} \Rightarrow v_3 = f/2$.
आवर्धन $m_3 = \frac{v_3}{u_3} = \frac{f/2}{f} = 1/2$.
कुल आवर्धन $M = m_1 \times m_2 \times m_3 = 2 \times (-1) \times (1/2) = -1$.
अंतिम प्रतिबिंब सबसे दाईं ओर वाले लेंस के पीछे $f/2$ दूरी पर बनता है।

(A) उत्तल दर्पण के लिए,वस्तु की दूरी $u = -60 \ cm$ और फोकस दूरी $f = +30 \ cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
अतः,$v = +20 \ cm$ (दर्पण के पीछे)।
उत्तल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $20 \ cm$ की दूरी पर है।
वस्तु से इस प्रतिबिंब की कुल दूरी $60 \ cm + 20 \ cm = 80 \ cm$ है।
मान लीजिए कि समतल दर्पण को वस्तु से $x$ दूरी पर रखा गया है। समतल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब समतल दर्पण के पीछे $x$ दूरी पर होगा।
लंबन न होने के लिए,समतल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब उत्तल दर्पण द्वारा बने प्रतिबिंब के साथ संपाती होना चाहिए।
समतल दर्पण के प्रतिबिंब की वस्तु से दूरी $2x$ है।
दूरियों की तुलना करने पर: $2x = 80 \ cm$,जिससे $x = 40 \ cm$ प्राप्त होता है।