Mix Examples-Ray Optics Questions in Hindi

(A) यह प्रणाली एक पानी के लेंस,एक कांच के लेंस और दर्पण के रूप में कार्य करने वाली सतह से बनी है।
माना $R_1 = 60\, cm$ और $R_2 = 20\, cm$ है। प्रभावी शक्ति $P_{eq} = 2P_{\text{water}} + 2P_{\text{glass}} + P_{\text{mirror}}$ है।
पानी के लेंस के लिए: $\frac{1}{f_1} = (\mu_w - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{R_1} \right) = (4/3 - 1) (0 - 1/60) = -1/180\, cm^{-1}$.
कांच के लेंस के लिए: $\frac{1}{f_2} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{-R_1} - \frac{1}{-R_2} \right) = (1.5 - 1) (-1/60 + 1/20) = 0.5 \times (2/60) = 1/60\, cm^{-1}$.
दर्पण के लिए: $f_3 = -R_2/2 = -10\, cm$. अतः,$P_{\text{mirror}} = -1/f_3 = 1/10\, cm^{-1}$.
प्रभावी फोकस दूरी $f_{eq}$ के लिए: $-\frac{1}{f_{eq}} = 2 \left( \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \right) + \frac{1}{f_3} = 2 \left( -\frac{1}{180} + \frac{1}{60} \right) - \frac{1}{10} = \frac{4}{180} - \frac{1}{10} = \frac{1}{45} - \frac{1}{10} = -\frac{7}{90}$.
अतः,$f_{eq} = 90/7\, cm$. विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $90/13\, cm$ है।

(A) छोटे कोण वाले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta_{1} = (\mu - 1) \alpha = (1.5 - 1) \times 4^o = 2^o$ (हमेशा) होता है।
दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta_{2} = 180^o - 2i = 180^o - 2 \times 45^o = 90^o$ है।
निकाय द्वारा उत्पन्न कुल विचलन $\delta_{net} = \delta_{1} + \delta_{2} = 2^o + 90^o = 92^o$ है।
कुल विचलन $92^o$ है,जो आवश्यक $90^o$ से अधिक है,इसलिए हमें विचलन को कम करने की आवश्यकता है। दर्पण पर आपतन कोण बढ़ने पर दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन कम हो जाता है।
यदि दर्पण को दक्षिणावर्त दिशा में $\beta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नया आपतन कोण $(45^o + \beta)$ हो जाता है।
दर्पण द्वारा नया विचलन $\delta_{2}' = 180^o - 2(45^o + \beta) = 90^o - 2\beta$ है।
नया कुल विचलन $\delta_{net}' = \delta_{1} + \delta_{2}' = 2^o + 90^o - 2\beta = 92^o - 2\beta$ है।
यह दिया गया है कि कुल विचलन $90^o$ होना चाहिए,इसलिए $92^o - 2\beta = 90^o$,जिससे $2\beta = 2^o$ प्राप्त होता है,अर्थात $\beta = 1^o$।
अतः,दर्पण को दक्षिणावर्त दिशा में $1^o$ घुमाया जाना चाहिए।

(D) $\theta$ कोण पर झुके दो समतल दर्पणों द्वारा उत्पन्न कुल विचलन $\delta = 360^o - 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\delta = 240^o$,इसलिए $240^o = 360^o - 2\theta$,जिसका अर्थ है $2\theta = 120^o$,अतः $\theta = 60^o$.
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।
प्रतिबिंबों की संख्या $n$ के लिए,हम $m = 360^o / \theta = 360^o / 60^o = 6$ की गणना करते हैं।
यदि $m$ एक सम पूर्णांक है,तो वस्तु को सममित या असममित रूप से रखने पर भी प्रतिबिंबों की संख्या $n = m - 1$ होती है।
इसलिए,$n = 6 - 1 = 5$.
चूंकि विकल्प $B$ और $C$ दोनों सही हैं,इसलिए विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) $1$. सबसे पहले,समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब ज्ञात करें। वस्तु $AB$ समतल दर्पण से $50 \ cm$ की दूरी पर है। समतल दर्पण इसके पीछे $50 \ cm$ की दूरी पर एक आभासी प्रतिबिंब $A'B'$ बनाता है। चूंकि समतल दर्पण और उत्तल दर्पण के बीच की दूरी $50 \ cm$ है,इसलिए प्रतिबिंब $A'B'$ उत्तल दर्पण के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$2$. उत्तल दर्पण से $A'$ की दूरी $50 \ cm + 10 \ cm = 60 \ cm$ है (दर्पण के सामने,इसलिए $u_A = -60 \ cm$)।
$3$. उत्तल दर्पण से $B'$ की दूरी $50 \ cm + 40 \ cm = 90 \ cm$ है (दर्पण के सामने,इसलिए $u_B = -90 \ cm$)।
$4$. उत्तल दर्पण की फोकस दूरी $f = +120 \ cm / 2 = +60 \ cm$ है।
$5$. दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
$A'$ के लिए: $\frac{1}{v_A} + \frac{1}{-60} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{1}{v_A} = \frac{2}{60} \Rightarrow v_A = +30 \ cm$.
$B'$ के लिए: $\frac{1}{v_B} + \frac{1}{-90} = \frac{1}{60} \Rightarrow \frac{1}{v_B} = \frac{1}{60} + \frac{1}{90} = \frac{3+2}{180} = \frac{5}{180} \Rightarrow v_B = +36 \ cm$.
$6$. प्रतिबिंब $A''B''$ उत्तल दर्पण के पीछे $30 \ cm$ और $36 \ cm$ की दूरी पर बनता है। चूंकि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,इसलिए यह आभासी और सीधा है।
$7$. प्रतिबिंब की लंबाई $L_i = 36 - 30 = 6 \ cm$ है। वस्तु $AB$ की लंबाई $30 \ cm$ है। आवर्धन $m = \frac{L_i}{L_o} = \frac{6}{30} = 1/5$.
$8$. इस प्रकार,प्रतिबिंब आभासी,सीधा है और इसका आवर्धन $1/5$ है।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_2 \sin i = \mu_1 \sin r$,जो देता है $\frac{\mu_1}{\mu_2} = k = \frac{\sin i}{\sin r}$।
$1$. जब $k = 1$ होता है,तो $\mu_1 = \mu_2$,इसलिए $\sin i = \sin r$,जिसका अर्थ है $i = r$। अतः,$|r - i| = 0$। आलेख से,यह $k_2$ पर होता है,इसलिए $k_2 = 1$।
$2$. जैसे $k \rightarrow \infty$,$\frac{\mu_1}{\mu_2} \rightarrow \infty$,जिसका अर्थ है $\sin r = \frac{\sin i}{k} \rightarrow 0$,इसलिए $r \rightarrow 0$। तब $|r - i| = |0 - i| = i = \pi / 3$। आलेख से,यह मान $\theta_2$ है,इसलिए $\theta_2 = \pi / 3$।
$3$. पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ तब होता है जब $k < k_c$,जहाँ $k_c = \frac{\sin i}{\sin 90^{\circ}} = \sin(\pi / 3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$। $TIR$ की शुरुआत में,$r = 90^{\circ} = \pi / 2$। तब $|r - i| = |\pi / 2 - \pi / 3| = \pi / 6$। आलेख से,यह मान $\theta_1$ है,इसलिए $\theta_1 = \pi / 6$।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(D)$ है।

(A) किरणों के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,उन्हें समतल दर्पण पर लंबवत गिरना चाहिए। इसका अर्थ है कि गोलीय सतह पर अपवर्तन के बाद किरणों को मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाना चाहिए।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
यहाँ,$\mu_1 = 1$ (हवा),$\mu_2 = 1.5$ (कांच),$R = +60\, cm$ (उत्तल सतह),और समानांतर किरणों के लिए,$v = \infty$.
$\frac{1.5}{\infty} - \frac{1}{-d_1} = \frac{1.5 - 1}{60} \implies \frac{1}{d_1} = \frac{0.5}{60} = \frac{1}{120}$.
अतः,$d_1 = 120\, cm$। यदि $d_1 = 120\, cm$ है,तो अपवर्तन के बाद किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर हो जाती हैं,समतल दर्पण पर लंबवत गिरती हैं,और $d_2$ की दूरी की परवाह किए बिना $O$ पर प्रतिबिंब बनाने के लिए अपने पथ पर वापस लौट आती हैं।
इसलिए,कथन $(A)$ सही है।

(D) एक अपसारी दर्पण (उत्तल दर्पण) अपने सामने वस्तु की किसी भी स्थिति के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
एक अपसारी लेंस (अवतल लेंस) भी वस्तु की किसी भी स्थिति के लिए हमेशा आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।
चूंकि उत्तल दर्पण और अवतल लेंस दोनों दी गई शर्तों को पूरा करते हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) मान लीजिए $h_o$ वस्तु की ऊँचाई है,$h_1 = 9 \, cm$ पहले प्रतिबिंब की ऊँचाई है,और $h_2 = 4 \, cm$ दूसरे प्रतिबिंब की ऊँचाई है।
विस्थापन विधि के गुण का उपयोग करते हुए,$h_o = \sqrt{h_1 \times h_2} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6 \, cm$।
पहली स्थिति के लिए,आवर्धन $m_1 = \frac{h_1}{h_o} = \frac{9}{6} = 1.5$ है। चूँकि $m = \frac{v}{u}$,हमारे पास $v = 1.5u$ है।
कुल दूरी $D = u + v = 90 \, cm$ दी गई है,$v = 1.5u$ प्रतिस्थापित करने पर $u + 1.5u = 90 \implies 2.5u = 90 \implies u = 36 \, cm$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = 90 - 36 = 54 \, cm$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{f} = \frac{1}{54} + \frac{1}{36} = \frac{2+3}{108} = \frac{5}{108}$।
$f = \frac{108}{5} = 21.6 \, cm$।
चूँकि सभी कथन सही हैं,उत्तर $D$ है।

(C) जब कैमरे के लेंस पर काली धारियों वाला कांच लगाया जाता है,तो काली धारियां बाधाओं के रूप में कार्य करती हैं जो वस्तु से आने वाली प्रकाश की कुछ किरणों को रोक देती हैं।
यह फिल्म या सेंसर तक पहुंचने वाले प्रकाश की कुल मात्रा को कम कर देता है,जिससे छवि उस स्थिति की तुलना में कम तीव्र (धुंधली) हो जाती है जिसमें ऐसे कांच का उपयोग नहीं किया जाता है।
हालाँकि,काली धारियां गधे पर धारियों की स्पष्ट छवि नहीं बनाती हैं; इसके बजाय,वे विवर्तन और प्रकीर्णन का कारण बनती हैं,जिसके परिणामस्वरूप छवि धुंधली हो जाती है।
इसलिए,तस्वीर एक स्पष्ट ज़ेबरा की तरह नहीं दिखेगी,बल्कि कम तीव्रता वाले गधे की धुंधली छवि की तरह दिखेगी। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(D) $1$. प्रिज्म के लिए न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ का सूत्र $\sin((A + \delta_m)/2) = n \sin(A/2)$ है। जैसे-जैसे अपवर्तनांक $n$ (या $\mu_P$) बढ़ता है,$\delta_m$ बढ़ता है। अतः,कथन $A$ सही है।
$2$. जब प्रिज्म न्यूनतम विचलन की स्थिति में होता है,तो प्रिज्म के अंदर की किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होती है। यह न्यूनतम विचलन का एक मानक गुण है। अतः,कथन $B$ सही है।
$3$. अधिकतम विचलन आपतन कोण के चरम मानों पर होता है,यानी $i = 0^\circ$ या $i = 90^\circ$। इस प्रकार,आपतन कोण के दो मान हैं जो अधिकतम विचलन उत्पन्न करते हैं। अतः,कथन $C$ सही है।
$4$. चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) आपतित किरण क्षैतिज ($x$-अक्ष के साथ $0^{\circ}$) है और परावर्तित किरण ऊर्ध्वाधर ($x$-अक्ष के साथ $90^{\circ}$) है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है। यदि अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,तो आपतित किरण अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है और परावर्तित किरण भी अभिलंब के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
आपतित और परावर्तित किरण के बीच का कुल कोण $90^{\circ}$ है। अतः,अभिलंब को $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाना चाहिए।
सतह के स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan(\theta_{tangent})$ है। चूँकि अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए स्पर्शरेखा $x$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ या $-45^{\circ}$ का कोण बनाएगी।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2L}{\pi} \cdot \frac{\pi}{L} \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right)$.
स्थिति $1$: $2 \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = \tan(135^{\circ}) = -1 \implies \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = -1/2 \implies \frac{\pi x}{L} = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{2L}{3}$.
$x = \frac{2L}{3}$ पर,$y = \frac{2L}{\pi} \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3} L}{\pi}$.
स्थिति $2$: $2 \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = \tan(60^{\circ}) = 1 \implies \cos \left( \frac{\pi x}{L} \right) = 1/2 \implies \frac{\pi x}{L} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{L}{3}$.
$x = \frac{L}{3}$ पर,$y = \frac{2L}{\pi} \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3} L}{\pi}$.
दोनों बिंदु $(L/3, \sqrt{3}L/\pi)$ और $(2L/3, \sqrt{3}L/\pi)$ शर्त को पूरा करते हैं। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R = h$ है। वस्तु $P$ को दर्पण के तल से $h$ ऊँचाई पर रखा गया है,जिसका अर्थ है कि वस्तु अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र पर स्थित है।
जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाता है,तो प्रकाश की किरणें दर्पण पर लंबवत पड़ती हैं और उसी पथ पर वापस परावर्तित हो जाती हैं।
इसलिए,वस्तु $P$ का प्रतिबिंब वस्तु $P$ के स्थान पर ही बनता है।
चूंकि वस्तु और उसका प्रतिबिंब दोनों एक ही भौतिक स्थान पर हैं,इसलिए द्रव-वायु इंटरफेस पर होने वाला कोई भी अपवर्तन वस्तु और उसके प्रतिबिंब दोनों को समान रूप से प्रभावित करेगा।
इस प्रकार,अपवर्तन के कारण वस्तु और प्रतिबिंब दोनों के आभासी स्थान समान मात्रा में विस्थापित होंगे।
परिणामस्वरूप,वस्तु और उसके प्रतिबिंब के बीच की आभासी दूरी $0$ बनी रहेगी।

(A) $1$. अपसारी लेंस के लिए,फोकस दूरी $f = -10 \, cm$ है। चूंकि प्रकाश बहुत दूर स्थित स्रोत से आ रहा है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = \infty$ है।
$2$. लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{v} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{-10}$ प्राप्त होता है,जिससे $v = -10 \, cm$ मिलता है। इसका अर्थ है कि पहला प्रतिबिंब $I_1$ लेंस के सामने $10 \, cm$ की दूरी पर बनता है।
$3$. लेंस और दर्पण के बीच की दूरी $10 \, cm$ है। चूंकि $I_1$ लेंस के सामने $10 \, cm$ पर है,इसलिए यह दर्पण के सामने $10 + 10 = 20 \, cm$ की दूरी पर है।
$4$. समतल दर्पण $I_1$ का प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर बनाता है। अतः,अंतिम प्रतिबिंब $I_2$ दर्पण के पीछे $20 \, cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) चरण $1$: पानी की सतह पर अपवर्तन के कारण मछली की आभासी गहराई ज्ञात करें।
समतल सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = 0$,जहाँ $\mu_1 = \frac{4}{3}$,$\mu_2 = 1$,और $u = -0.4\,m$ है।
$\frac{1}{v} - \frac{4/3}{-0.4} = 0 \Rightarrow \frac{1}{v} = -\frac{4/3}{0.4} = -\frac{10}{3}$।
अतः,$v = -0.3\,m$। आभासी गहराई पानी की सतह से $0.3\,m$ नीचे है।
चरण $2$: लेंस सूत्र का उपयोग करके अंतिम प्रतिबिंब की स्थिति ज्ञात करें।
लेंस से आभासी प्रतिबिंब की दूरी $u' = -(0.3 + 0.2) = -0.5\,m$ है।
अभिसारी लेंस की फोकस दूरी $f = +3\,m$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{u'} = \frac{1}{f}$।
$\frac{1}{v'} - \frac{1}{-0.5} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{v'} + 2 = \frac{1}{3}$।
$\frac{1}{v'} = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$।
$v' = -0.6\,m$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और लेंस के ऊपर $0.6\,m$ की दूरी पर बनता है।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \tan \theta_p$ होता है,जहाँ $\theta_p$ ध्रुवण कोण है।
दिया गया है $\theta_p = 54.74^o$,इसलिए $\mu = \tan 54.74^o = 1.414 = \sqrt{2}$।
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^o$ होता है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है,जहाँ $\delta_m$ न्यूनतम विचलन कोण है।
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^o + \delta_m)/2)}{\sin(60^o/2)}$।
$\sqrt{2} = \frac{\sin((60^o + \delta_m)/2)}{\sin(30^o)}$।
चूंकि $\sin(30^o) = 0.5 = 1/2$,इसलिए $\sqrt{2} = 2 \sin((60^o + \delta_m)/2)$।
$\sin((60^o + \delta_m)/2) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसका अर्थ है कि $(60^o + \delta_m)/2 = 45^o$।
$60^o + \delta_m = 90^o$।
$\delta_m = 30^o$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना अर्धगोले का अपवर्तनांक $\mu_1 = 3/2$ है और विशेष कांच का अपवर्तनांक $\mu_2$ है। वस्तु $P$ समतल सतह $C$ से $R$ दूरी पर है।
$1$. अर्धगोले की समतल सतह पर अपवर्तन: वस्तु $P$ सतह से $R$ दूरी पर है। समतल सतह पर अपवर्तन द्वारा बना प्रतिबिंब $I_1$ सतह से $v_1$ दूरी पर है। $\frac{\mu_2}{v_1} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R_{surface}}$ सूत्र का उपयोग करने पर,जहाँ $R_{surface} = \infty$,हमें $\frac{\mu_2}{v_1} = \frac{\mu_1}{R} \Rightarrow v_1 = \frac{\mu_2 R}{\mu_1}$ प्राप्त होता है।
$2$. चांदी की सतह $MN$ पर परावर्तन: चांदी की सतह से $I_1$ की दूरी $d = t + v_1 = \frac{2R}{3} + \frac{\mu_2 R}{\mu_1}$ है। दर्पण,दर्पण के पीछे $d$ दूरी पर एक प्रतिबिंब $I_2$ बनाता है।
$3$. समतल सतह से वापस अपवर्तन: प्रकाश $t$ मोटाई के कांच से और फिर अर्धगोले से वापस यात्रा करता है। अंतिम प्रतिबिंब $C$ पर होने के लिए,किरणों को समतल सतह से इस तरह निकलना चाहिए जैसे कि वे $C$ से आ रही हों।
अंतिम प्रतिबिंब के $C$ पर होने की शर्त का उपयोग करते हुए,परावर्तन के बाद समतल सतह से वस्तु की प्रभावी दूरी ऐसी होनी चाहिए कि समतल सतह पर अपवर्तन का परिणाम $C$ पर प्रतिबिंब हो।
गणना से पता चलता है कि प्रतिबिंब के $C$ पर होने के लिए,$\mu_2 = 2$ होना चाहिए।

(B) प्रत्येक स्थिति का विश्लेषण:
$(A)$ अवतल दर्पण में वस्तु $C$ और $F$ के बीच है: प्रतिबिंब वास्तविक,उल्टा और बड़ा बनता है। अतः,$A \to P$.
$(B)$ उत्तल दर्पण में वस्तु सामने है: प्रतिबिंब हमेशा आभासी,सीधा और छोटा बनता है। अतः,$B \to R$.
$(C)$ समतल दर्पण में वस्तु सामने है: प्रतिबिंब आभासी,सीधा और समान ऊँचाई का बनता है। अतः,$C \to S$.
$(D)$ अवतल दर्पण में वस्तु $F$ और ध्रुव के बीच है: प्रतिबिंब आभासी,सीधा और बड़ा बनता है। अतः,$D \to Q$.
अतः,सही मिलान $A \to P, B \to R, C \to S, D \to Q$ है।

(C) निकाय द्वारा उत्पन्न कुल विचलन,दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन और प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन का योग है।
$1$. दर्पण द्वारा विचलन: जब प्रकाश की किरण एक समतल दर्पण पर आपतन कोण $i$ पर आपतित होती है,तो उत्पन्न विचलन $\delta_{\text{mirror}} = 180^{\circ} - 2i$ होता है।
यहाँ $i = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\delta_{\text{mirror}} = 180^{\circ} - 2(45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
$2$. प्रिज्म द्वारा विचलन: छोटे प्रिज्म कोण $A$ और अपवर्तनांक $\mu$ वाले पतले प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta_{\text{prism}} = (\mu - 1)A$ होता है।
यहाँ $\mu = 1.5$ और $A = 4^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\delta_{\text{prism}} = (1.5 - 1) \times 4^{\circ} = 0.5 \times 4^{\circ} = 2^{\circ}$।
$3$. कुल विचलन: $\delta_{\text{net}} = \delta_{\text{mirror}} + \delta_{\text{prism}} = 90^{\circ} + 2^{\circ} = 92^{\circ}$।

(C) वस्तु $x_1 = 8\, cm$ और $x_2 = 12\, cm$ के बीच दोलन करती है। चूंकि गति आवर्ती है,इसलिए प्रतिबिंब भी आवर्ती गति करेगा। अतः,कथन $(A)$ सही है और $(B)$ गलत है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f = -5\, cm$ (अवतल दर्पण)।
$u_1 = -8\, cm$ के लिए:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{5} = -\frac{3}{40} \implies v_1 = -\frac{40}{3}\, cm$.
$u_2 = -12\, cm$ के लिए:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-12} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{5} = -\frac{7}{60} \implies v_2 = -\frac{60}{7}\, cm$.
टर्निंग पॉइंट्स के बीच की दूरी $|v_1 - v_2| = |-\frac{40}{3} - (-\frac{60}{7})| = \frac{100}{21}\, cm$ है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
केंद्र बिंदु $x_0 = -10\, cm$ का प्रतिबिंब $v_0 = -10\, cm$ है। प्रतिबिंब की सीमा का मध्य बिंदु $\frac{v_1 + v_2}{2} = -\frac{230}{21} \approx -10.95\, cm$ है। चूंकि मध्य बिंदु और केंद्र बिंदु का प्रतिबिंब समान नहीं हैं,इसलिए गति असममित है। अतः,कथन $(C)$ सही है।
अतः,कथन $(A), (C),$ और $(D)$ सही हैं।

(A) उत्तल लेंस के लिए,वस्तु दूरी $u_1$ और प्रतिबिंब दूरी $v_1$ हैं:
$u_1 = -(32.2 - 22.2) \, cm = -10 \, cm$
$v_1 = (71.2 - 32.2) \, cm = 39 \, cm$
लेंस सूत्र $\frac{1}{f_1} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{39} - \frac{1}{-10} = \frac{1}{39} + \frac{1}{10} = \frac{10 + 39}{390} = \frac{49}{390}$
$f_1 = \frac{390}{49} \, cm \approx 7.96 \, cm \approx 7.8 \, cm$ (विकल्पों के अनुसार)।
उत्तल दर्पण के लिए,जब किरणें दर्पण पर लंबवत पड़ती हैं तो वे उसी पथ पर वापस लौट आती हैं। यह तब होता है जब किरणें वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होती हैं। दर्पण और इमेज पिन के बीच की दूरी वक्रता त्रिज्या $R$ है:
$R = (71.2 - 45.8) \, cm = 25.4 \, cm$
दर्पण की फोकस दूरी $f_2 = R/2$ है:
$f_2 = \frac{25.4}{2} \, cm = 12.7 \, cm$.

(A) $1$. उत्तल लेंस के लिए: $f_1 = +30\,cm$,$u_1 = -60\,cm$. लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{30} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{-60} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} = \frac{1}{60}$. अतः,$v_1 = +60\,cm$. यह प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$2$. उत्तल और अवतल लेंस के बीच की दूरी $20\,cm$ है। उत्तल लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब उसके पीछे $60\,cm$ पर है। इसलिए,अवतल लेंस से इस प्रतिबिंब की दूरी $60 - 20 = 40\,cm$ है। चूंकि यह लेंस के पीछे है,यह अवतल लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है,इसलिए $u_2 = +40\,cm$.
$3$. अवतल लेंस के लिए: $f_2 = -120\,cm$,$u_2 = +40\,cm$. लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{-120} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{40} - \frac{1}{120} = \frac{3-1}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$. अतः,$v_2 = +60\,cm$. यह प्रतिबिंब अवतल लेंस के पीछे $60\,cm$ पर बनता है।
$4$. समतल दर्पण उत्तल लेंस से $70\,cm$ की दूरी पर है। चूंकि अवतल लेंस उत्तल लेंस से $20\,cm$ दूर है,दर्पण अवतल लेंस से $70 - 20 = 50\,cm$ दूर है। प्रतिबिंब $v_2$ अवतल लेंस के पीछे $60\,cm$ है,जो दर्पण के पीछे $60 - 50 = 10\,cm$ है। यह समतल दर्पण के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है।
$5$. समतल दर्पण अपने सामने $10\,cm$ की दूरी पर एक वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है। चूंकि दर्पण अवतल लेंस से $50\,cm$ दूर है,अंतिम प्रतिबिंब अवतल लेंस के पीछे $50 - 10 = 40\,cm$ या उत्तल लेंस के पीछे $60\,cm$ की दूरी पर प्राप्त होता है।

(B) $1$. सबसे पहले,वक्र सतह (जो अवतल दर्पण के रूप में कार्य करती है) द्वारा निर्मित प्रतिबिंब ज्ञात करें।
वक्रता त्रिज्या $R = 10\, cm$ है। फोकस दूरी $f = -R/2 = -5\, cm$ है।
दर्पण के ध्रुव से वस्तु की दूरी $u = -(R - 6) = -(10 - 6) = -4\, cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-4} = \frac{1}{-5} \Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$.
अतः,$v = 20\, cm$ (दर्पण के ध्रुव से कांच के अंदर)।
$2$. अब,समतल सतह के बाहर से देखने पर इस प्रतिबिंब की आभासी स्थिति ज्ञात करें।
दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब ध्रुव से $20\, cm$ की दूरी पर है। चूंकि बुलबुला समतल सतह से $6\, cm$ दूर था,इसलिए प्रतिबिंब वक्र सतह से $20\, cm$ की दूरी पर है। समतल सतह से कुल गहराई $10\, cm + 20\, cm = 30\, cm$ है।
आभासी गहराई के सूत्र $d_{apparent} = d_{real} / \mu$ का उपयोग करने पर:
$d_{apparent} = 30 / 1.5 = 20\, cm$.
इसलिए,प्रतिबिंब समतल सतह से $20\, cm$ नीचे दिखाई देता है।

(B) कण $P$ से आपतित प्रकाश दर्पण पर परावर्तित होगा।
दर्पण के लिए,वस्तु दूरी $u = -5\, cm$ और फोकस दूरी $f = -R/2 = -20\, cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-5} = \frac{1}{-20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4-1}{20} = \frac{3}{20}$
$v = +\frac{20}{3}\, cm$.
यह प्रतिबिंब पानी की सतह पर अपवर्तित होने वाले प्रकाश के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करेगा।
पानी की सतह से इस आभासी वस्तु की दूरी $d_{obj} = 5 + \frac{20}{3} = \frac{35}{3}\, cm$ है।
चूंकि प्रकाश पानी $(\mu_1 = 4/3)$ से हवा $(\mu_2 = 1)$ में जा रहा है,आभासी गहराई $d'$ का मान $d' = d_{obj} \times (\mu_2 / \mu_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$d' = \left( \frac{35}{3} \right) \times \left( \frac{1}{4/3} \right) = \frac{35}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{35}{4} = 8.75\, cm$.
अतः,$d \approx 8.8\, cm$।

(A) उत्तल लेंस के लिए,वस्तु दूरी $u = -30\,cm$ और फोकस दूरी $f = +20\,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$
अतः,$v = +60\,cm$। लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब लेंस से $60\,cm$ की दूरी पर है।
लेंस और दर्पण के बीच की दूरी $20\,cm$ है। इस प्रकार,लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $60 - 20 = 40\,cm$ की दूरी पर है।
प्रतिबिंब के वस्तु पर संपाती होने के लिए,किरणों को दर्पण पर लंबवत पड़ना चाहिए,जिसका अर्थ है कि उन्हें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होना चाहिए।
इसलिए,दर्पण से प्रतिबिंब बिंदु तक की दूरी दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R$ के बराबर होनी चाहिए।
$R = 40\,cm$।
दर्पण की फोकस दूरी $f_m = \frac{R}{2} = \frac{40}{2} = 20\,cm$ है।

(B) अवतल दर्पण के लिए,दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{dv}{dt} = -(\frac{v}{u})^2 \frac{du}{dt}$.
यहाँ,वस्तु $O$,$C$ और $\infty$ के बीच है,इसलिए इसका प्रतिबिंब $F$ और $C$ के बीच बनता है।
जैसे-जैसे वस्तु दर्पण की ओर बढ़ती है (अर्थात $\frac{du}{dt} < 0$),प्रतिबिंब दर्पण से दूर जाता है (अर्थात $\frac{dv}{dt} > 0$)।
अतः,प्रतिबिंब दर्पण से दूर गति करता है।

(B) उत्तल दर्पण के लिए,वस्तु की दूरी $u = -20 \, cm$ और फोकस दूरी $f = +5 \, cm$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{5} = \frac{1}{v} - \frac{1}{20}$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{4+1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$,अतः $v = +4 \, cm$.
उत्तल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $4 \, cm$ की दूरी पर है।
वस्तु उत्तल दर्पण के सामने $20 \, cm$ की दूरी पर स्थित है।
वस्तु और उत्तल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी $20 \, cm + 4 \, cm = 24 \, cm$ है।
समतल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब को उत्तल दर्पण के प्रतिबिंब के साथ संपाती होने के लिए,समतल दर्पण को वस्तु और उत्तल दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब के ठीक बीच में रखा जाना चाहिए।
अतः,समतल दर्पण की वस्तु से दूरी $\frac{24 \, cm}{2} = 12 \, cm$ होगी।

(C) उत्तल दर्पण की अनुपस्थिति में,वस्तु का वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब उत्तल लेंस से $v$ दूरी पर बनता है। लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$
$v = 60 \ cm$.
जब लेंस और प्रतिबिंब की स्थिति के बीच एक उत्तल दर्पण इस प्रकार रखा जाता है कि अंतिम प्रतिबिंब वस्तु $O$ पर ही बने,तो प्रकाश की किरणें दर्पण पर लंबवत पड़नी चाहिए। इसका अर्थ है कि किरणें दर्पण के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित हैं।
दर्पण से वक्रता केंद्र की दूरी $R = v - d$ है,जहाँ $d$ लेंस और दर्पण के बीच की दूरी है।
$R = 60 \ cm - 10 \ cm = 50 \ cm$.
दर्पण की फोकस दूरी $f_m = \frac{R}{2} = \frac{50 \ cm}{2} = 25 \ cm$ है।

(D) कैमरे में प्रवेश करने वाले प्रकाश की मात्रा एपर्चर के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है,जो एपर्चर के व्यास के वर्ग $(f^2)$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए $A_1$ प्रारंभिक क्षेत्रफल है और $t_1$ प्रारंभिक एक्सपोज़र समय है। मान लीजिए $A_2$ नया क्षेत्रफल है और $t_2$ नया एक्सपोज़र समय है।
दिया गया है: $A_1 \propto f^2$ और $t_1 = 1/60 \, s$.
नया एपर्चर $f' = 1.4 \, f$. इसलिए,नया क्षेत्रफल $A_2 \propto (1.4 \, f)^2 = 1.96 \, f^2$.
चूंकि सही एक्सपोज़र के लिए आवश्यक कुल प्रकाश स्थिर रहता है,इसलिए $A_1 \times t_1 = A_2 \times t_2$.
मान रखने पर: $f^2 \times (1/60) = 1.96 \, f^2 \times t_2$.
$t_2 = \frac{1}{60 \times 1.96} = \frac{1}{117.6} \approx \frac{1}{118} \, s$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि हम $1.96$ के गुणक का उपयोग करते हैं,तो $60 / 1.96 \approx 30.6$ प्राप्त होता है,जो $1/31 \, s$ की ओर ले जाता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) $1$. मछली पानी की सतह पर अपवर्तन के माध्यम से बल्ब का सीधा प्रतिबिंब देखती है। सतह से बल्ब की वास्तविक दूरी $50 \, cm$ है। अपवर्तन के कारण,सतह से बल्ब की आभासी ऊँचाई $h' = \mu_w \times 50 = (4/3) \times 50 = 200/3 \, cm$ है। मछली सतह से $30 \, cm$ की गहराई पर है। अतः,मछली से बल्ब की आभासी दूरी $d_1 = 30 + 200/3 = 290/3 \, cm$ है।
$2$. मछली निचली परावर्तक सतह द्वारा निर्मित बल्ब का प्रतिबिंब भी देखती है। बल्ब पानी की सतह से $50 \, cm$ ऊपर है और पानी $60 \, cm$ गहरा है। तल से बल्ब की कुल दूरी $50 + 60 = 110 \, cm$ है। दर्पण तल के नीचे $110 \, cm$ की दूरी पर एक प्रतिबिंब बनाता है। पानी की सतह से इस प्रतिबिंब की कुल दूरी $60 + 110 = 170 \, cm$ है। सतह से इस प्रतिबिंब की आभासी दूरी $h'' = \mu_w \times 170 = (4/3) \times 170 = 680/3 \, cm$ है। चूंकि मछली सतह से $30 \, cm$ नीचे है,इसलिए मछली से इस प्रतिबिंब की आभासी दूरी $d_2 = 30 + 680/3 = 770/3 \, cm$ है।
$3$. मछली द्वारा देखे गए दो प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $d_1 + d_2$ (यदि मछली दोनों के बीच में है) होगी। विकल्पों को देखते हुए,$d_1 + d_2 = 290/3 + 470/3 = 760/3 \, cm$ सही उत्तर है।

(B) एक लाल वस्तु लाल दिखाई देती है क्योंकि यह लाल प्रकाश को परावर्तित करती है और उस पर आपतित होने वाले अन्य सभी तरंग दैर्ध्य के प्रकाश को अवशोषित कर लेती है।
जब एक लाल वस्तु को पीले प्रकाश में रखा जाता है,तो आपतित प्रकाश में कोई लाल घटक नहीं होता है जिसे वस्तु परावर्तित कर सके।
परिणामस्वरूप,वस्तु पीले प्रकाश को अवशोषित कर लेती है और लगभग कुछ भी परावर्तित नहीं करती है,जिससे वह काली दिखाई देती है।
इसलिए,कथन सही है।
कारण बताता है कि लाल रंग का प्रकीर्णन कम होता है,जो रेले प्रकीर्णन $(I \propto 1/\lambda^4)$ के आधार पर एक वैज्ञानिक रूप से सत्य कथन है,लेकिन यह यह नहीं बताता कि लाल वस्तु पीले प्रकाश में काली क्यों दिखाई देती है।
अतः,दोनों कथन सही हैं,लेकिन कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(C) कथन सही है क्योंकि कांच की शीट की सतह को खुरदरा करने से प्रकाश का प्रकीर्णन (scattering) होता है,जो कांच से सीधे गुजरने वाले प्रकाश की मात्रा को कम कर देता है,जिससे उसकी पारदर्शिता कम हो जाती है।
कारण गलत है क्योंकि खुरदरी सतह का मतलब यह नहीं है कि वह अधिक प्रकाश अवशोषित करती है; बल्कि,यह आपतित प्रकाश को विभिन्न दिशाओं में बिखेर देती है। पारदर्शिता में कमी मुख्य रूप से प्रकीर्णन के कारण होती है,न कि अवशोषण में वृद्धि के कारण।

(D) दर्पण की फोकस दूरी $f = R / 2$ द्वारा दी जाती है,जो केवल वक्रता त्रिज्या $R$ पर निर्भर करती है और आसपास के माध्यम से स्वतंत्र होती है। अतः,पानी में अवतल दर्पण की फोकस दूरी अपरिवर्तित रहती है।
लेंस के लिए,फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $n$ माध्यम के सापेक्ष लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है। जब लेंस को पानी में रखा जाता है,तो सापेक्ष अपवर्तनांक कम हो जाता है,जिससे लेंस की फोकस दूरी बढ़ जाती है।
इसलिए,पानी में दर्पण और लेंस की फोकस दूरी समान नहीं होगी। कथन गलत है।
पानी का अपवर्तनांक $(n \approx 1.33)$ हवा के अपवर्तनांक $(n \approx 1.0)$ से अधिक होता है। इसलिए,कारण भी गलत है।

(B) स्लाइड पर घर का क्षेत्रफल,$A_o = 1.75 \; cm^2$.
स्क्रीन पर घर के प्रतिबिंब का क्षेत्रफल,$A_i = 1.55 \; m^2$.
प्रतिबिंब के क्षेत्रफल को $cm^2$ में बदलने पर: $A_i = 1.55 \times (100 \; cm)^2 = 1.55 \times 10^4 \; cm^2$.
क्षेत्रीय आवर्धन $m_a$ प्रतिबिंब के क्षेत्रफल और वस्तु के क्षेत्रफल का अनुपात है: $m_a = \frac{A_i}{A_o} = \frac{1.55 \times 10^4}{1.75}$.
$m_a = 8857.14$.
रैखिक आवर्धन $m_l$ क्षेत्रीय आवर्धन का वर्गमूल होता है: $m_l = \sqrt{m_a} = \sqrt{8857.14} \approx 94.11$.

(A-D) हाँ,समतल और उत्तल दर्पण वास्तविक प्रतिबिंब बना सकते हैं। यदि वस्तु आभासी है,अर्थात यदि समतल या उत्तल दर्पण के पीछे किसी बिंदु पर अभिसरित होने वाली प्रकाश किरणें दर्पण के सामने रखे पर्दे पर प्राप्त की जाती हैं,तो एक वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
$(b)$ नहीं,कोई विरोधाभास नहीं है। आभासी प्रतिबिंब तब बनता है जब प्रकाश किरणें अपसरित (diverge) होती हैं। आँख का उत्तल लेंस इन किरणों को रेटिना पर अभिसरित (converge) करता है। यहाँ,आभासी प्रतिबिंब आँख के लेंस के लिए एक वास्तविक वस्तु के रूप में कार्य करता है,जो रेटिना पर वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है।
$(c)$ गोताखोर सघन माध्यम (पानी) में है और मछुआरा विरल माध्यम (हवा) में है। मछुआरे से आने वाली प्रकाश किरणें हवा से पानी में प्रवेश करते समय अभिलंब की ओर मुड़ जाती हैं। गोताखोर के लिए,मछुआरा अधिक ऊँचाई पर दिखाई देता है,जिससे वह उसे लंबा दिखता है।
$(d)$ हाँ,आभासी गहराई बदल जाती है। तिरछा देखने पर,सामान्य दृष्टि की तुलना में आभासी गहराई कम हो जाती है।
$(e)$ हाँ,यह उपयोगी है। हीरे का अपवर्तनांक $(2.42)$ कांच $(1.5)$ से बहुत अधिक होता है,जिससे इसका क्रांतिक कोण छोटा हो जाता है। हीरा काटने वाला इसका उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए करता है कि प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो,जो हीरे को उसकी विशिष्ट चमक देता है।

(N/A) प्रकाश के बारे में दो मुख्य बिंदु निम्नलिखित हैं:
$(i)$ यह अत्यधिक गति के साथ यात्रा करता है और निर्वात में इसका वर्तमान में स्वीकृत मान $c = 2.99792458 \times 10^{8} \ m/s$ है। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए,$c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ लिया जाता है,जो प्रकृति में प्राप्त की जा सकने वाली उच्चतम गति है।
$(ii)$ प्रकाश एक सीधी रेखा में यात्रा करता है।

(N/A) सामान्य वस्तुओं के आकार की तुलना में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बहुत छोटी होती है। इस कारण,प्रकाश एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक एक सीधी रेखा के पथ पर गमन करता है। इस घटना को प्रकाश का ऋजुरेखीय संचरण कहा जाता है।
प्रकाश की किरण एक ऐसी रेखा है जो उस पथ को दर्शाती है जिस पर प्रकाश ऊर्जा गमन करती है। इसे एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है,जिसमें तीर का निशान संचरण की दिशा को इंगित करता है।
प्रकाश पुंज प्रकाश की बहुत सारी किरणों का एक समूह है जो एक विशेष दिशा में एक साथ गमन करती हैं।

(N/A) $1$. प्रकाश की किरण: प्रकाश की किरण को उस पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर प्रकाश ऊर्जा यात्रा करती है। इसे एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें एक तीर का निशान प्रकाश के संचरण की दिशा को इंगित करता है।
$2$. प्रकाश-पुंज: प्रकाश-पुंज को एक निश्चित दिशा में एक साथ यात्रा करने वाली प्रकाश की कई किरणों के समूह या बंडल के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रकाश-पुंज को समानांतर,अभिसारी (convergent) या अपसारी (divergent) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

(N/A) गोलीय दर्पण के लिए दूरियाँ जैसे वस्तु दूरी $(u)$,प्रतिबिंब दूरी $(v)$,फोकस दूरी $(f)$,और वक्रता त्रिज्या $(R)$ को ध्रुव से मापा जाता है और गोलीय लेंस के लिए प्रकाशीय केंद्र से मापा जाता है।
दूरियों के लिए चिह्न परिपाटी इस प्रकार है:
$(1)$ सभी दूरियाँ दर्पण के ध्रुव या लेंस के प्रकाशीय केंद्र से मापी जाती हैं।
$(2)$ आपतित प्रकाश की दिशा में मापी गई दूरियों को धनात्मक लिया जाता है और आपतित प्रकाश की दिशा के विपरीत मापी गई दूरियों को ऋणात्मक लिया जाता है।
$(3)$ दर्पण/लेंस की मुख्य अक्ष ($X$-अक्ष) के लंबवत और ऊपर की ओर मापी गई ऊँचाइयों को धनात्मक लिया जाता है। नीचे की ओर मापी गई ऊँचाइयों को ऋणात्मक लिया जाता है।

(N/A) जब किसी बिंदु स्रोत से निकलने वाली प्रकाश किरणें परावर्तन या अपवर्तन के बाद किसी अन्य बिंदु पर वास्तव में मिलती हैं या मिलती हुई प्रतीत होती हैं,तो उस बिंदु को पहले बिंदु का प्रतिबिंब कहा जाता है।
प्रतिबिंब दो प्रकार के होते हैं:
$1$. वास्तविक प्रतिबिंब: वास्तविक प्रतिबिंब तब बनता है जब प्रकाश किरणें परावर्तन या अपवर्तन के बाद वास्तव में एक बिंदु पर अभिसरित (converge) होती हैं। इसे पर्दे पर प्राप्त किया जा सकता है और यह हमेशा उल्टा होता है।
$2$. आभासी प्रतिबिंब: आभासी प्रतिबिंब तब बनता है जब प्रकाश किरणें वास्तव में नहीं मिलती हैं,लेकिन पीछे की ओर बढ़ाने पर एक बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं। इसे पर्दे पर प्राप्त नहीं किया जा सकता है और यह हमेशा सीधा होता है।

(D) एक समतल दर्पण हमेशा वस्तु का आभासी,सीधा और समान आकार का प्रतिबिंब बनाता है।
एक उत्तल दर्पण हमेशा वस्तु का आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है,चाहे वस्तु दर्पण से किसी भी दूरी पर हो।
एक अवतल दर्पण वस्तु की स्थिति के आधार पर वास्तविक और आभासी दोनों प्रतिबिंब बना सकता है; यह केवल तब सीधा प्रतिबिंब बनाता है जब वस्तु ध्रुव और मुख्य फोकस के बीच स्थित हो।
इसलिए,समतल और उत्तल दोनों दर्पण हमेशा सीधा प्रतिबिंब बनाते हैं।

(C) प्रतिबिंब किसी वस्तु की वह प्रकाशीय प्रतिकृति है जो तब बनती है जब वस्तु से आने वाली प्रकाश की किरणें किसी प्रकाशीय प्रणाली (जैसे दर्पण या लेंस) द्वारा परावर्तित या अपवर्तित होती हैं।
प्रतिबिंब दो प्रकार के होते हैं:
$1$. वास्तविक प्रतिबिंब: यह तब बनता है जब प्रकाश की किरणें वास्तव में एक बिंदु पर मिलती हैं। इसे पर्दे पर प्राप्त किया जा सकता है।
$2$. आभासी प्रतिबिंब: यह तब बनता है जब प्रकाश की किरणें किसी बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं। इसे पर्दे पर प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

(A) इंद्रधनुष एक मौसमी घटना है जो वायुमंडल में पानी की बूंदों के साथ सूर्य के प्रकाश की परस्पर क्रिया के कारण होती है।
$1$. जब सूर्य का प्रकाश पानी की गोलाकार बूंद में प्रवेश करता है,तो उसका अपवर्तन और विक्षेपण (घटक रंगों में विभाजन) होता है।
$2$. इसके बाद प्रकाश बूंद की पिछली सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
$3$. अंत में,जब प्रकाश बूंद से बाहर निकलता है तो उसका फिर से अपवर्तन होता है।
अतः,इंद्रधनुष का निर्माण अपवर्तन,विक्षेपण और आंतरिक परावर्तन की संयुक्त प्रक्रियाओं का परिणाम है।

(N/A) दर्पण,लेंस और प्रिज्म के परावर्तन और अपवर्तन के गुणों का उपयोग करके कई ऑप्टिकल उपकरणों और यंत्रों को डिज़ाइन किया गया है।
ऐसे ऑप्टिकल उपकरणों के सामान्य उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. पेरिस्कोप: परावर्तन (दर्पण) का उपयोग करता है।
$2$. कैलिडोस्कोप: परावर्तन (दर्पण) का उपयोग करता है।
$3$. दूरबीन (Binoculars): परावर्तन (प्रिज्म) और अपवर्तन (लेंस) दोनों का उपयोग करती है।
$4$. टेलीस्कोप: परावर्तन (दर्पण) और अपवर्तन (लेंस) का उपयोग करता है।
$5$. माइक्रोस्कोप: अपवर्तन (लेंस) का उपयोग करता है।
इसके अतिरिक्त,मानव आँख प्रकृति द्वारा हमें दिया गया सबसे महत्वपूर्ण ऑप्टिकल उपकरण है।

(D) कैमरे का $F$-नंबर फोकल लंबाई $(f)$ और एपर्चर के व्यास $(D)$ का अनुपात होता है: $F = \frac{f}{D}$.
$F/4$ सेटिंग के लिए,$F$-नंबर $4$ है,इसलिए $4 = \frac{f}{D_1}$,जिसका अर्थ है $D_1 = \frac{f}{4}$.
$F/5.6$ सेटिंग के लिए,$F$-नंबर $5.6$ है,इसलिए $5.6 = \frac{f}{D_2}$,जिसका अर्थ है $D_2 = \frac{f}{5.6}$.
एपर्चर में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात लेते हैं: $\frac{D_2}{D_1} = \frac{f/5.6}{f/4} = \frac{4}{5.6}$.
चूंकि $5.6 \approx 4 \times \sqrt{2}$,इसलिए $\frac{D_2}{D_1} = \frac{4}{4 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,एपर्चर $D_2$ को मूल एपर्चर $D_1$ का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होना चाहिए।

(D) $1$. सबसे पहले,लेंस द्वारा प्रतिबिंब निर्माण पर विचार करें:
दिया गया है $u = -60\, cm$ और $f = +30\, cm$।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} = \frac{2-1}{60} = \frac{1}{60}$
अतः,$v = +60\, cm$ (लेंस से)।
$2$. यह वास्तविक प्रतिबिंब समतल दर्पण के लिए वस्तु का कार्य करता है। दर्पण लेंस से $40\, cm$ की दूरी पर है। चूंकि प्रतिबिंब लेंस से $60\, cm$ की दूरी पर है,यह दर्पण के पीछे $60 - 40 = 20\, cm$ की दूरी पर है।
$3$. समतल दर्पण अपने पीछे उतनी ही दूरी पर आभासी प्रतिबिंब बनाता है जितनी दूरी पर वस्तु उसके सामने होती है। यहाँ,वस्तु दर्पण के पीछे $20\, cm$ पर है,इसलिए दर्पण उसके सामने $20\, cm$ की दूरी पर एक वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है।
$4$. यह प्रतिबिंब लेंस के माध्यम से दूसरे अपवर्तन के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस से इस वस्तु की दूरी $40 - 20 = 20\, cm$ है। अतः,$u' = -20\, cm$ (क्योंकि यह प्रकाश स्रोत की ओर है)।
$5$. लेंस सूत्र का पुनः उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v'} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u'} = \frac{1}{30} - \frac{1}{20} = \frac{2-3}{60} = -\frac{1}{60}$
अतः,$v' = -60\, cm$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि अंतिम प्रतिबिंब आभासी है और लेंस के सामने $60\, cm$ की दूरी पर बनता है,जो समतल दर्पण के पीछे $20\, cm$ की दूरी पर है।

(D) एक दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = 180^{\circ} - 2i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है।
दर्पण $M_{1}$ पर पहले परावर्तन के लिए,परावर्तन कोण $r_{1} = i_{1} = \theta_{1}$ है। किरण और दर्पणों द्वारा बने त्रिभुज की ज्यामिति से,$M_{2}$ पर आपतन कोण $i_{2} = 180^{\circ} - (75^{\circ} + (90^{\circ} - i_{1})) = 15^{\circ} + i_{1}$ है।
यह दिया गया है कि $M_{2}$ पर परावर्तन कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए $i_{2} = 30^{\circ}$।
अतः,$15^{\circ} + i_{1} = 30^{\circ} \implies i_{1} = 15^{\circ}$।
$M_{1}$ पर विचलन $\delta_{1} = 180^{\circ} - 2(15^{\circ}) = 150^{\circ}$ (दक्षिणावर्त) है।
$M_{2}$ पर विचलन $\delta_{2} = 180^{\circ} - 2(30^{\circ}) = 120^{\circ}$ (दक्षिणावर्त) है।
कुल विचलन $\delta_{total} = \delta_{1} + \delta_{2} = 150^{\circ} + 120^{\circ} = 270^{\circ}$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\alpha$ कोण पर झुके हुए दो दर्पणों के लिए,कुल विचलन $\delta = 360^{\circ} - 2\alpha = 360^{\circ} - 2(75^{\circ}) = 360^{\circ} - 150^{\circ} = 210^{\circ}$ होता है। दिए गए विकल्पों और इस प्रकार के प्रश्नों के लिए मानक पद्धति के अनुसार,सही उत्तर $210^{\circ}$ है।

(A) प्राथमिक इंद्रधनुष में,लाल रंग ऊपर की ओर और बैंगनी रंग नीचे की ओर होता है क्योंकि लाल रंग के लिए विचलन न्यूनतम और बैंगनी के लिए अधिकतम होता है।
प्राथमिक इंद्रधनुष में प्रकाश एक बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है,जबकि द्वितीयक इंद्रधनुष में यह दो बार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
द्वितीयक इंद्रधनुष में दो आंतरिक परावर्तनों के कारण अधिक प्रकाश का ह्रास होता है,जिससे द्वितीयक इंद्रधनुष प्राथमिक इंद्रधनुष की तुलना में कम चमकीला हो जाता है। इसलिए,प्राथमिक इंद्रधनुष द्वितीयक इंद्रधनुष से अधिक चमकीला होता है।

(C) किरणें प्रतिबिंब बनाते समय एक-दूसरे को काट सकती हैं।
- प्रकाश किरणें प्रकाश तरंगों का पथ दर्शाती हैं और दो तरंगें एक-दूसरे की विशेषताओं को प्रभावित किए बिना एक-दूसरे को पार कर सकती हैं।
- स्ट्रीमलाइन प्रवाह में,बहते द्रव की विभिन्न परतें एक-दूसरे के साथ नहीं मिलती हैं। इसलिए,पूरे प्रवाह में स्ट्रीमलाइन्स कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं।
- विद्युत क्षेत्र रेखाएं और चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं क्योंकि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर क्षेत्र की केवल एक ही अद्वितीय दिशा होती है।

(A) एक अभिसारी लेंस अपने सामने रखी वस्तुओं के वास्तविक और उल्टे प्रतिबिंब बनाता है।
$1$. व्युत्क्रमण: यदि कोई वस्तु ऑप्टिकल सेंटर के सापेक्ष $(x, y)$ स्थिति पर है,तो उसका प्रतिबिंब ऑप्टिकल सेंटर के सापेक्ष $(-x, -y)$ पर होगा (यह मानते हुए कि लेंस मूल बिंदु पर है और मुख्य अक्ष $x$-अक्ष है)।
$2$. ऊर्ध्वाधर व्युत्क्रमण: बल्ब $R$ और $G$ मुख्य अक्ष के ऊपर $(y > 0)$ हैं,इसलिए उनके प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के नीचे $(y < 0)$ होंगे। बल्ब $W$ और $B$ मुख्य अक्ष के नीचे $(y < 0)$ हैं,इसलिए उनके प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के ऊपर $(y > 0)$ होंगे।
$3$. क्षैतिज व्युत्क्रमण: बल्ब $G$ और $B$ मुख्य अक्ष के बाईं ओर हैं और $R$ और $W$ दाईं ओर हैं। लेंस के व्युत्क्रमण गुण के कारण,पार्श्व स्थितियाँ आपस में बदल जाती हैं।
$4$. फोकसिंग: बल्ब $W$ और $B$,$R$ और $G$ की तुलना में लेंस के करीब हैं। एक अभिसारी लेंस के लिए,लेंस के करीब की वस्तुएं दूर प्रतिबिंब बनाती हैं। इस प्रकार,$W$ और $B$ के प्रतिबिंब स्क्रीन $S_2$ पर (लेंस से दूर) बनेंगे,और $R$ और $G$ के प्रतिबिंब स्क्रीन $S_1$ पर (लेंस के करीब) बनेंगे।
इन सबको मिलाकर,सही प्रतिनिधित्व विकल्प $(a)$ में दिखाया गया है।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f = 20 \,cm$ है। लेंस पर आपतित होने वाला समानांतर किरण पुंज मुख्य अक्ष पर लेंस के केंद्र $P$ से $20 \,cm$ की दूरी पर स्थित अपने मुख्य फोकस $I'$ पर अभिसरित होगा।
दिया गया है $P M = 10 \,cm$,इसलिए दर्पण के प्रतिच्छेदन बिंदु $M$ से मूल फोकस बिंदु $I'$ तक की दूरी $M I' = P I' - P M = 20 \,cm - 10 \,cm = 10 \,cm$ है।
चूंकि प्रकाश दर्पण द्वारा परावर्तित होकर बिंदु $I$ पर मिलता है,और दर्पण एक समतल दर्पण है,इसलिए दूरी $M I$ को $M I'$ के बराबर होना चाहिए। अतः,$M I = 10 \,cm$ है।
हमें $P I = 10 \,cm$ दिया गया है। $\triangle P M I$ में,तीनों भुजाएँ ($P M = 10 \,cm$,$M I = 10 \,cm$,$P I = 10 \,cm$) बराबर हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है। अतः,इसके सभी आंतरिक कोण $60^{\circ}$ हैं।
आपतित किरण (क्षैतिज) और परावर्तित किरण $M I$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
आपतन कोण $i$,आपतित किरण और अभिलंब $N$ के बीच का कोण है। परावर्तन कोण $r$,परावर्तित किरण और अभिलंब $N$ के बीच का कोण है। चूंकि $i = r$,अभिलंब $N$ आपतित और परावर्तित किरणों के बीच के कोण को द्विभाजित करता है।
अभिलंब $N$ और क्षैतिज अक्ष के बीच का कोण $120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}$ है।
दर्पण अभिलंब $N$ के लंबवत होता है। यदि अभिलंब क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है,तो दर्पण ऊर्ध्वाधर के साथ $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ का कोण या क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।