Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $N_0 = 10^{20}$ रेडियोधर्मी परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है।
मान लीजिए $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
समय $t$ के बाद शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
$n$-वें वर्ष में उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या उस वर्ष की शुरुआत और अंत में परमाणुओं की संख्या का अंतर है: $\Delta N_n = N(n-1) - N(n) = N_0 e^{-\lambda(n-1)} - N_0 e^{-\lambda n} = N_0 e^{-\lambda(n-1)}(1 - e^{-\lambda})$.
तीसरे वर्ष में उत्सर्जित कणों और दूसरे वर्ष में उत्सर्जित कणों का अनुपात:
$\frac{\Delta N_3}{\Delta N_2} = \frac{N_0 e^{-2\lambda}(1 - e^{-\lambda})}{N_0 e^{-\lambda}(1 - e^{-\lambda})} = e^{-\lambda} = 0.3$.
पहले वर्ष में उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या $\Delta N_1 = N(0) - N(1) = N_0(1 - e^{-\lambda})$ है।
मान रखने पर: $\Delta N_1 = 10^{20}(1 - 0.3) = 10^{20}(0.7) = 7 \times 10^{19}$.

(C) जब कोई रेडियोधर्मी पदार्थ एक साथ कई प्रक्रियाओं के माध्यम से क्षय होता है,तो कुल क्षय नियतांक व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग होता है।
अतः,प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$ है।
अर्ध-आयु $T$,क्षय नियतांक $\lambda$ से $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$।
इसे प्रभावी क्षय नियतांक के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\ln 2}{T_{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\alpha}} + \frac{\ln 2}{T_{\beta}}$।
दोनों पक्षों को $\ln 2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{1}{T_{\alpha}} + \frac{1}{T_{\beta}}$ प्राप्त होता है।
$T_{eff}$ के लिए हल करने पर,हमें $T_{eff} = \frac{T_{\alpha}T_{\beta}}{T_{\alpha} + T_{\beta}}$ प्राप्त होता है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय नियम के अनुसार,समय $t$ पर सक्रियता $A$ को $A = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = t/T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर $A_0 = 1600 \ counts \ s^{-1}$ और $t = 8 \ s$ पर $A = 100 \ counts \ s^{-1}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $100 = 1600 \times (1/2)^{8/T_{1/2}}$.
$1/16 = (1/2)^{8/T_{1/2}} \Rightarrow (1/2)^4 = (1/2)^{8/T_{1/2}}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $4 = 8/T_{1/2} \Rightarrow T_{1/2} = 2 \ s$.
अब,$t = 6 \ s$ के लिए,अर्ध-आयु की संख्या $n = 6/2 = 3$.
$t = 6 \ s$ पर सक्रियता $A = A_0 \times (1/2)^n = 1600 \times (1/2)^3$.
$A = 1600 \times (1/8) = 200 \ counts \ s^{-1}$.

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
नमूने $A$ के लिए: $R_A = \lambda_A N_A = 10\, mCi$ ... $(1)$
नमूने $B$ के लिए: $R_B = \lambda_B N_B = 20\, mCi$ ... $(2)$
दिया गया है $N_A = 2 N_B$ ... $(3)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\lambda_A N_A}{\lambda_B N_B} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
$N_A = 2 N_B$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\lambda_A (2 N_B)}{\lambda_B N_B} = \frac{1}{2} \implies 2 \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{1}{4}$.
चूंकि अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है,इसलिए $\frac{T_{1/2, A}}{T_{1/2, B}} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} = 4$.
इसका अर्थ है $T_{1/2, A} = 4 \times T_{1/2, B}$.
विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $C$ में $20/5 = 4$ प्राप्त होता है,जो सही है।

(C) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर,$R_{A,0} = R_{B,0} = R_0$ है।
समय $t$ पर सक्रियता का अनुपात $\frac{R_B}{R_A} = \frac{R_0 e^{-\lambda_B t}}{R_0 e^{-\lambda_A t}} = e^{-(\lambda_B - \lambda_A)t}$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह अनुपात $e^{-3t}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\lambda_B - \lambda_A = 3$ प्राप्त होता है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
दिया गया है कि $T_{A,1/2} = \ln 2$,इसलिए $\lambda_A = \frac{\ln 2}{\ln 2} = 1$ है।
$\lambda_A$ का मान समीकरण में रखने पर: $\lambda_B - 1 = 3 \Rightarrow \lambda_B = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda_B = \frac{\ln 2}{T_{B,1/2}}$,इसलिए $4 = \frac{\ln 2}{T_{B,1/2}}$ है।
अतः,$T_{B,1/2} = \frac{\ln 2}{4}$ है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ है, जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है $N(0) = 1600$ और $N(8) = 100$।
$100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$4 = \frac{8}{T_{1/2}} \implies T_{1/2} = 2 \, s$।
अब, $t = 6 \, s$ पर, व्यतीत हुई अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{6}{2} = 3$ है।
अतः, गणना दर $N(6) = 1600 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1600}{8} = 200 \, \text{काउंट्स प्रति सेकंड}$।

(C) माना कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
पदार्थ $A$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_A = N_0 e^{-10\lambda t}$ है।
पदार्थ $B$ के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_B = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{1}{e}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$।
यह सरल होकर $e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $e^{-9\lambda t} = e^{-1}$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $-9\lambda t = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{1}{9\lambda}$।

(D) मान लीजिए कि पदार्थ $A$ और $B$ दोनों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए: $N_A(t) = N_0 e^{-5\lambda t}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_A(t)}{N_B(t)} = \frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-4\lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि यह अनुपात $(1/e)^2 = e^{-2}$ है।
अतः,$e^{-4\lambda t} = e^{-2}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $-4\lambda t = -2$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{-2}{-4\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$.

(A) मान लीजिए कि $A$ और $B$ दोनों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
नाभिक $A$ के लिए,अर्ध-आयु $T_{1/2, A} = 10 \, min$ है। $t = 60 \, min$ के बाद,अर्ध-आयु की संख्या $n_A = 60/10 = 6$ होगी।
अक्षयित नाभिकों की संख्या $N_A = N_0 / 2^6 = N_0 / 64$ होगी।
क्षयित नाभिकों की संख्या $D_A = N_0 - N_A = N_0(1 - 1/64) = 63N_0 / 64$ होगी।
नाभिक $B$ के लिए,अर्ध-आयु $T_{1/2, B} = 20 \, min$ है। $t = 60 \, min$ के बाद,अर्ध-आयु की संख्या $n_B = 60/20 = 3$ होगी।
अक्षयित नाभिकों की संख्या $N_B = N_0 / 2^3 = N_0 / 8$ होगी।
क्षयित नाभिकों की संख्या $D_B = N_0 - N_B = N_0(1 - 1/8) = 7N_0 / 8$ होगी।
क्षयित नाभिकों का अनुपात $D_A / D_B = (63N_0 / 64) / (7N_0 / 8) = (63/64) \times (8/7) = 9/8$ होगा।

(D) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R$ को $R = N \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $N$ उपस्थित रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
क्षय नियतांक $\lambda$ अर्ध-आयु $T$ से $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ द्वारा संबंधित है।
समय $T_1$ पर,सक्रियता $R_1 = N_1 \lambda$ है,इसलिए $N_1 = \frac{R_1}{\lambda} = \frac{R_1 T}{\ln 2}$।
समय $T_2$ पर,सक्रियता $R_2 = N_2 \lambda$ है,इसलिए $N_2 = \frac{R_2}{\lambda} = \frac{R_2 T}{\ln 2}$।
$(T_2 - T_1)$ समय अंतराल में विघटित हुए परमाणुओं की संख्या इन समयों पर उपस्थित नाभिकों की संख्या का अंतर है: $\Delta N = N_1 - N_2$।
$N_1$ और $N_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta N = \frac{R_1 T}{\ln 2} - \frac{R_2 T}{\ln 2} = \frac{T}{\ln 2} (R_1 - R_2)$।
चूंकि $T$ और $\ln 2$ स्थिरांक हैं,इसलिए विघटित परमाणुओं की संख्या $(R_1 - R_2)$ के समानुपाती है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ या $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $5\, days$ में $10\%$ क्षय हो जाता है,इसलिए शेष मात्रा मूल मात्रा $N_0$ का $90\%$ है।
अतः,$\frac{N(5)}{N_0} = 0.90$ है।
हम लिख सकते हैं $0.90 = (1/2)^{5/T_{1/2}}$।
हमें $20\, days$ के बाद बची हुई मात्रा ज्ञात करनी है,जो $N(20) = N_0 (1/2)^{20/T_{1/2}}$ है।
इसे $N(20) = N_0 [(1/2)^{5/T_{1/2}}]^4$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
$(1/2)^{5/T_{1/2}} = 0.90$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$N(20) = N_0 (0.90)^4$।
$(0.90)^4 = 0.9 \times 0.9 \times 0.9 \times 0.9 = 0.6561$ की गणना करने पर।
इसलिए,शेष प्रतिशत $0.6561 \times 100\% = 65.61\%$ है।
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,यह मान लगभग $65\%$ है।

(B) मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा है।
समय $t$ पर शेष मात्रा $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20}$ है।
समय $t_1$ पर,$\frac{1}{4}$ भाग का क्षय हो गया है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_1) = N_0 - \frac{1}{4}N_0 = \frac{3}{4}N_0$ है।
समय $t_2$ पर,$\frac{3}{4}$ भाग का क्षय हो गया है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_2) = N_0 - \frac{3}{4}N_0 = \frac{1}{4}N_0$ है।
क्षय नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = \frac{e^{-\lambda t_2}}{e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}$.
मान रखने पर: $\frac{1/4 N_0}{3/4 N_0} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)} \Rightarrow \frac{1}{3} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(1/3) = -\lambda(t_2 - t_1) \Rightarrow \ln 3 = \lambda(t_2 - t_1)$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ रखने पर: $\ln 3 = \frac{\ln 2}{20} (t_2 - t_1)$.
अतः,$t_2 - t_1 = 20 \frac{\ln 3}{\ln 2} \, \text{min}$.

(D) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
दिया गया है:
परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0 = 6.4 \times 10^{10}$.
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 4 \text{ days}$.
कुल समय $t = 12 \text{ days}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}$
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3$
$N = 6.4 \times 10^{10} \times \frac{1}{8}$
$N = 0.8 \times 10^{10}$ परमाणु।

(B) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है।
मान लीजिए $t_1 = 280\, \text{दिन}$ पर $A_1 = 6000\, \text{dps}$ है।
मान लीजिए $t_2 = 280 + 140 = 420\, \text{दिन}$ पर $A_2 = 3000\, \text{dps}$ है।
चूँकि सक्रियता $140\, \text{दिनों}$ में $6000\, \text{dps}$ से घटकर $3000\, \text{dps}$ हो जाती है, इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 140\, \text{दिन}$ है।
संबंध $A = A_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ का उपयोग करते हुए, हम $t_1 = 280\, \text{दिन}$ की स्थिति का उपयोग करके $t = 0$ पर प्रारंभिक सक्रियता $A_0$ ज्ञात कर सकते हैं:
$6000 = A_0 (1/2)^{280/140}$
$6000 = A_0 (1/2)^2$
$6000 = A_0 / 4$
$A_0 = 6000 \times 4 = 24000\, \text{dps}$.

(C) मान लीजिए कि $X$ और $Y$ दोनों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
दी गई अर्ध-आयु: $T_{1/2, X} = 1\, h$ और $T_{1/2, Y} = 2\, h$.
$t = 2\, h$ समय के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
$X$ के लिए: $N_X = N_0 (1/2)^{2/1} = N_0 / 4$.
$Y$ के लिए: $N_Y = N_0 (1/2)^{2/2} = N_0 / 2$.
सक्रियता $A = \lambda N$,जहाँ $\lambda = \ln(2) / T_{1/2}$.
सक्रियता का अनुपात: $\frac{A_X}{A_Y} = \frac{\lambda_X N_X}{\lambda_Y N_Y} = \frac{(\ln 2 / T_{1/2, X}) N_X}{(\ln 2 / T_{1/2, Y}) N_Y} = \frac{T_{1/2, Y}}{T_{1/2, X}} \times \frac{N_X}{N_Y}$.
मान रखने पर: $\frac{A_X}{A_Y} = \frac{2}{1} \times \frac{N_0/4}{N_0/2} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
अतः,अनुपात $1 : 1$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय एक परमाणु प्रक्रिया है जो पूरी तरह से नाभिक की प्रकृति पर निर्भर करती है।
यह तापमान,दबाव या रासायनिक वातावरण जैसे बाहरी भौतिक कारकों से स्वतंत्र है।
चूंकि विघटन की दर क्षय स्थिरांक $\lambda$ और रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ द्वारा निर्धारित होती है $(R = \lambda N)$,और $\lambda$ विशिष्ट रेडियोधर्मी समस्थानिक की एक विशेषता है,इसलिए इसे बाहरी परिस्थितियों द्वारा बदला नहीं जा सकता है।
इसलिए,किसी भी बाहरी साधन द्वारा रेडियोधर्मी तत्व की निश्चित मात्रा के विघटन की दर को बढ़ाना संभव नहीं है।

(D) मान लीजिए कि $t$ वह समय है जिसके बाद $A_1$ और $A_2$ की मात्रा समान हो जाती है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए,$t$ समय पर मात्रा $N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
$A_1$ के लिए: $N_1 = 40 \times (1/2)^{t/20}$.
$A_2$ के लिए: $N_2 = 160 \times (1/2)^{t/10}$.
$N_1 = N_2$ रखने पर:
$40 \times (1/2)^{t/20} = 160 \times (1/2)^{t/10}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर:
$(1/2)^{t/20} = 4 \times (1/2)^{t/10}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1/2)^{t/20} / (1/2)^{t/10} = 4$.
$(1/2)^{(t/20 - t/10)} = 4$.
$(1/2)^{-t/20} = 4$.
$2^{t/20} = 2^2$.
घातांकों की तुलना करने पर,$t/20 = 2$,जिससे $t = 40 \, s$ प्राप्त होता है।

(B) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A(t)$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है:
$A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$
जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N_0$ रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है।
यह समीकरण एक चरघातांकीय क्षय फलन (exponential decay function) को दर्शाता है।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,सक्रियता $A(t)$ अपने प्रारंभिक मान $\lambda N_0$ से घटकर शून्य की ओर जाती है।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,वक्र $B$ एक चरघातांकीय क्षय को दर्शाता है,जो सक्रियता और समय के बीच के गणितीय संबंध से मेल खाता है।
अतः,सही वक्र $B$ है।

(A) प्रारंभिक सक्रियता $R_0 = 1 \, \mu Ci = 10^{-6} \times 3.7 \times 10^{10} \, dps = 3.7 \times 10^4 \, dps$ है।
$t = 5 \, \text{घंटे}$ पर $1 \, cm^3$ नमूने की सक्रियता $r = \frac{296}{60} \, dps \approx 4.933 \, dps$ है।
समय $t$ पर कुल रक्त आयतन $V$ की सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेडियोधर्मी पदार्थ समान रूप से मिश्रित है,प्रति इकाई आयतन सक्रियता $r = \frac{R}{V}$ है।
इसलिए,$V = \frac{R}{r} = \frac{R_0 e^{-\lambda t}}{r}$।
मान रखने पर: $V = \frac{3.7 \times 10^4 \times 0.7927}{4.933} \approx 5945 \, cm^3$।
चूंकि $1000 \, cm^3 = 1 \, L$,इसलिए कुल आयतन $V \approx 5.94 \, L$ है।

(D) समय $t$ पर सक्रियता $A$ को $A = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि सक्रियता मूल का $3\%$ है, इसलिए $0.03 = (1/2)^n$ है।
लघुगणक लेने पर, $\ln(0.03) = n \ln(0.5)$, जिससे $n = \ln(0.03) / \ln(0.5) \approx 5.06$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, ट्रिटियम के क्षय के लिए बीता हुआ समय $t = n \times T_{1/2} = 5.06 \times 12.5 \text{ years} \approx 63.25 \text{ years}$ है।
चूंकि संदर्भ बोतल पहले से ही $7 \text{ years}$ पुरानी थी, नमूने की कुल आयु $63.25 + 7 \approx 70.25 \text{ years}$ है।
अतः, नमूना लगभग $70 \text{ years}$ पहले तैयार किया गया था।

(B) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ वह समय है जिसमें आधे रेडियोधर्मी नाभिक क्षयित हो जाते हैं। इसका सूत्र है: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{\log_e 2}{\lambda}$.
औसत आयु ($T_{av}$ या $\tau$) सभी परमाणुओं की आयु का योगफल और परमाणुओं की कुल संख्या का अनुपात है। इसका सूत्र है: $T_{av} = \frac{1}{\lambda}$.
अतः,अर्ध-आयु और औसत आयु क्रमशः $\frac{\log_e 2}{\lambda}$ और $\frac{1}{\lambda}$ हैं।

(D) रेडियोधर्मी पदार्थ के शेष भाग के लिए सूत्र $\frac{N}{N_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{800} = 8$ की गणना करें।
अब,$n$ का मान सूत्र में रखें:
$\frac{N}{N_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \frac{1}{256}$.
अतः,$6400$ वर्षों के बाद शेष बचा भाग $\frac{1}{256}$ है।

(A) समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ समान है।
मान लीजिए कि समय $t$ पर $X_1$ और $X_2$ के नाभिकों की संख्या क्रमशः $N_1$ और $N_2$ है।
$N_1 = N_0 e^{-5\lambda t}$ और $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$।
अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5\lambda t + \lambda t} = e^{-4\lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4\lambda t = -1$।
अतः,$t = \frac{1}{4\lambda}$।

(B) मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है।
$t$ समय में क्षय होने वाले नाभिकों का अंश $x = \frac{N_0 - N_t}{N_0} = 1 - \frac{N_t}{N_0}$ है।
इससे,$t$ समय के बाद शेष बचा अंश $\frac{N_t}{N_0} = 1 - x$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$2t$ समय के बाद शेष बचे नाभिकों की संख्या $N_{2t} = N_0 \left( \frac{N_t}{N_0} \right)^2$ है।
$\frac{N_t}{N_0}$ का मान रखने पर,हमें $N_{2t} = N_0 (1 - x)^2$ प्राप्त होता है।
$2t$ समय में क्षय होने वाले नाभिकों का अंश $\frac{N_0 - N_{2t}}{N_0} = 1 - \frac{N_{2t}}{N_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$N_{2t}$ का मान रखने पर,हमें $1 - (1 - x)^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - 1 + 2x - x^2 = 2x - x^2$ प्राप्त होता है।

(B) $m \, g$ द्रव्यमान में परमाणुओं की संख्या $N = \frac{m}{M_w} \times N_A$ द्वारा दी जाती है।
रेडियोधर्मिता $R$ क्षय की दर है,जिसे $R = \lambda N$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$N$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $R = \lambda \left( \frac{m}{M_w} \times N_A \right) = \left( \frac{N_A}{M_w} m \right) \lambda$.

(B) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ के नियम का पालन करती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है,प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 8 \text{ counts}$ और अंतिम सक्रियता $A = 1 \text{ count}$ है।
मान रखने पर: $1 = 8 \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
इसे सरल करने पर $\left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$,इसलिए $n = 3$ है।
कुल समय $t = 3 \text{ hours}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
अतः,$3 = \frac{3}{T_{1/2}}$,जिससे $T_{1/2} = 1 \text{ hour}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है। समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$t_1$ पर,क्षय अंश $\frac{1}{5}$ है,इसलिए शेष अंश $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है। अतः,$N(t_1) = N_0 \frac{4}{5} = N_0 e^{-\lambda t_1}$.
$t_2$ पर,क्षय अंश $\frac{4}{5}$ है,इसलिए शेष अंश $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है। अतः,$N(t_2) = N_0 \frac{1}{5} = N_0 e^{-\lambda t_2}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{N(t_1)}{N(t_2)} = \frac{4/5}{1/5} = 4 = \frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = e^{\lambda(t_2 - t_1)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln 4 = \lambda(t_2 - t_1)$.
चूंकि औसत जीवनकाल $\tau = \frac{1}{\lambda}$ है,इसलिए $\lambda = \frac{1}{\tau}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\ln 4 = \frac{t_2 - t_1}{\tau}$.
अतः,$\tau = \frac{t_2 - t_1}{\ln 4}$.

(B) पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \, min$ है। क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20}$ है।
मान लीजिए पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है।
$20\%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.80 N_0$ है। इसमें लगा समय $t_1$ है,जहाँ $0.80 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
$80\%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.20 N_0$ है। इसमें लगा समय $t_2$ है,जहाँ $0.20 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{0.80 N_0}{0.20 N_0} = \frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}}$
$4 = e^{\lambda(t_2 - t_1)}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln 4 = \lambda(t_2 - t_1)$
$2 \ln 2 = \left( \frac{\ln 2}{20} \right) (t_2 - t_1)$
$2 = \frac{t_2 - t_1}{20}$
$t_2 - t_1 = 40 \, min$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0(1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,और $T_{1/2} = 10$ दिन है।
यदि तत्व का $90\%$ भाग विघटित हो जाता है,तो शेष मात्रा $N(t) = 10\%$ ऑफ $N_0 = 0.1 N_0$ है।
इस मान को क्षय समीकरण में रखने पर: $0.1 N_0 = N_0(1/2)^{t/10}$.
$0.1 = (1/2)^{t/10}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log_{10}(0.1) = (t/10) \log_{10}(0.5)$.
$-1 = (t/10) \times (-0.3010)$.
$t/10 = 1 / 0.3010 \approx 3.322$.
$t \approx 33.22$ दिन।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,लगा समय $33$ दिन है।

(B) दिया गया है,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \ min$ है। क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20} \ min^{-1}$ है।
मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा है।
समय $t_1$ पर,$20\%$ क्षय हो चुका है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_1) = 0.8 N_0$ है। $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करते हुए,$0.8 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \implies e^{-\lambda t_1} = 0.8$ प्राप्त होता है।
समय $t_2$ पर,$80\%$ क्षय हो चुका है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_2) = 0.2 N_0$ है। अतः,$0.2 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \implies e^{-\lambda t_2} = 0.2$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
$e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 4$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln 4 = 2 \ln 2$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\ln 2}{20} (t_2 - t_1) = 2 \ln 2$.
$t_2 - t_1 = 2 \times 20 = 40 \ min$.

(D) मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है।
समय $t$ पर,विघटित हुए नाभिकों का अंश $x$ है।
इसलिए,शेष बचे नाभिकों का अंश $N(t)/N_0 = 1 - x$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$N(t) = N_0(1/2)^{t/T}$ होता है।
अतः,$1 - x = (1/2)^{t/T}$।
अब,हमें $t/2$ समय में क्षयित अंश ज्ञात करना है,जो $1 - N(t/2)/N_0$ है।
$N(t/2)/N_0 = (1/2)^{(t/2)/T} = [(1/2)^{t/T}]^{1/2}$।
$1 - x = (1/2)^{t/T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N(t/2)/N_0 = \sqrt{1 - x}$ प्राप्त होता है।
$t/2$ समय में क्षयित अंश $1 - N(t/2)/N_0 = 1 - \sqrt{1 - x}$ है।

(A) मान लीजिए कि चट्टान में मौजूद रेडियोधर्मी समस्थानिक $x$ की मात्रा $N_x$ है और स्थिर तत्व $y$ की मात्रा $N_y$ है।
अनुपात $N_x : N_y = 1 : 7$ दिया गया है।
रेडियोधर्मी समस्थानिक की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ शेष समस्थानिक और क्षयित उत्पाद का योग है:
$N_0 = N_x + N_y = 1 + 7 = 8$.
हम जानते हैं कि $N_x = N_0 \times (1/2)^n$, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$1 = 8 \times (1/2)^n \Rightarrow (1/2)^n = 1/8 = (1/2)^3$.
अतः, $n = 3$.
चट्टान की आयु $t$ का मान $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T_{1/2} = 50$ वर्ष है।
$t = 3 \times 50 = 150$ $\text{वर्ष}$.

(B) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R$,रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{R_0}{R} = e^{\lambda t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\lambda t = \log_e \left( \frac{R_0}{R} \right)$.
अतः,क्षय नियतांक $\lambda$ है: $\lambda = \frac{1}{t} \log_e \left( \frac{R_0}{R} \right)$.
दिए गए मान हैं: $R_0 = 5000 \text{ विघटन/मिनट}$,$R = 1250 \text{ विघटन/मिनट}$,और $t = 5 \text{ मिनट}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\lambda = \frac{1}{5} \log_e \left( \frac{5000}{1250} \right) = \frac{1}{5} \log_e (4)$.
चूंकि $4 = 2^2$,हमारे पास है:
$\lambda = \frac{1}{5} \log_e (2^2) = \frac{2}{5} \log_e 2$.
भिन्न की गणना करने पर: $\frac{2}{5} = 0.4$.
इस प्रकार,क्षय नियतांक $\lambda = 0.4 \log_e 2 \text{ मिनट}^{-1}$ है।

(B) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5\, \text{वर्ष}$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 10\, \text{वर्ष}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या जो बीत चुकी है, वह $n = t / T_{1/2} = 10 / 5 = 2$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे हुए अविघटित नाभिकों का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2$ रखने पर, हमें $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि मूल नाभिकों का $1/4$ भाग अविघटित रहता है।
क्षय हो चुके नाभिकों का अंश $1 - N/N_0 = 1 - 1/4 = 3/4$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए, हम $100$ से गुणा करते हैं: $(3/4) \times 100\% = 75\%$.
अतः, $10\, \text{वर्षों}$ में एक नाभिक के क्षय होने की प्रायिकता $75\%$ है।

(B) विकिरण की तीव्रता $I$ नियम $I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ का पालन करती है, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 64 \times I_{\text{safe}}$, हमें वह समय ज्ञात करना है जब $I = I_{\text{safe}}$ हो जाए।
मान रखने पर: $I_{\text{safe}} = 64 \times I_{\text{safe}} \times \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
इसे सरल करने पर $\left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $64 = 2^6$, इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^6$, जिसका अर्थ है $n = 6$।
कुल समय $t = n \times T_{1/2}$, जहाँ $T_{1/2} = 2\, hours$ है।
अतः, $t = 6 \times 2\, hours = 12\, hours$।

(B) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $M = M_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है: $M = 1 \; g$,$M_{0} = 256 \; g$,और $T_{1/2} = 12.5 \; h$।
मान रखने पर: $1 = 256 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{256} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $256 = 2^{8}$,इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$।
अतः,$n = 8$।
$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ का उपयोग करने पर,$t = n \times T_{1/2} = 8 \times 12.5 \; h = 100 \; h$ प्राप्त होता है।

(B) विघटन की दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
नाभिक $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 1 \, min$,इसलिए $\lambda_A = \frac{\ln 2}{1} = \ln 2 \, min^{-1}$ है।
नाभिक $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 2 \, min$,इसलिए $\lambda_B = \frac{\ln 2}{2} \, min^{-1}$ है।
समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_A(t) = 4N_0 e^{-\lambda_A t}$ और $N_B(t) = N_0 e^{-\lambda_B t}$ है।
विघटन की दर $R_A = \lambda_A N_A = \lambda_A (4N_0 e^{-\lambda_A t})$ और $R_B = \lambda_B N_B = \lambda_B (N_0 e^{-\lambda_B t})$ है।
$R_A = R_B$ रखने पर:
$4 \lambda_A N_0 e^{-\lambda_A t} = \lambda_B N_0 e^{-\lambda_B t}$
$4 (\ln 2) e^{-(\ln 2) t} = \frac{\ln 2}{2} e^{-(\frac{\ln 2}{2}) t}$
$8 = \frac{e^{-(\frac{\ln 2}{2}) t}}{e^{-(\ln 2) t}} = e^{(\ln 2 - \frac{\ln 2}{2}) t} = e^{(\frac{\ln 2}{2}) t}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln 8 = \frac{\ln 2}{2} t$
$3 \ln 2 = \frac{\ln 2}{2} t$
$t = 6 \, min$.

(B) किसी भी समय $t$ पर सक्रिय नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
औसत आयु $\tau = \frac{1}{\lambda}$ है। $t = \tau$ पर,शेष नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = \frac{N_0}{e}$ है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है। $t = 2T_{1/2}$ पर,शेष नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{N_0}{4}$ है।
इन दो समयों के बीच क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या शेष नाभिकों की संख्या का अंतर है: $\Delta N = N_1 - N_2 = \frac{N_0}{e} - \frac{N_0}{4}$.

(A) ग्राफ से, $t = 0 \, hr$ पर, प्रारंभिक क्षय दर $R_0 = 200 \, \text{decays/sec}$ है।
$t = 2 \, hr$ पर, क्षय दर $R = 100 \, \text{decays/sec}$ है।
चूंकि क्षय दर $2 \, hr$ में अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है, इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2 \, hr$ है।
किसी भी समय $t$ पर क्षय दर $R = R_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
$t = 8 \, hr$ के लिए, $R = 200 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/2} = 200 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{200}{16} = \frac{25}{2} \, \text{decays/sec}$.

(C) मान लीजिए $A_0$ रेडियोधर्मी नमूने की प्रारंभिक सक्रियता है।
किसी भी समय $t$ पर सक्रियता रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $A = A_0 e^{-\lambda t}$,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
समय $t_1$ पर,सक्रियता $A_1 = A_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ पर,सक्रियता $A_2 = A_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{A_2}{A_1} = \frac{A_0 e^{-\lambda t_2}}{A_0 e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}$.
चूंकि माध्य जीवनकाल $T = \frac{1}{\lambda}$,हम $\lambda = \frac{1}{T}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$\frac{A_2}{A_1} = e^{-(t_2 - t_1)/T} = e^{(t_1 - t_2)/T}$.
इसलिए,$A_2 = A_1 e^{(t_1 - t_2)/T}$।

(D) दिया गया है कि ${}^{66}Cu$ के नमूने का $\frac{7}{8}$ भाग $15 \ minutes$ में क्षयित हो जाता है।
नमूने का अविघटित (undecayed) भाग $N = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ है।
हम जानते हैं कि $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n = 3$ है।
समय $t$,अर्ध-आयु की संख्या $n$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच का संबंध $n = \frac{t}{T}$ है।
मान रखने पर,$3 = \frac{15}{T}$ प्राप्त होता है।
अतः,अर्ध-आयु $T = \frac{15}{3} = 5 \ minutes$ है।

(A) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t = 3\, \text{दिनों}$ में, सक्रियता $R = R_0/3$ हो जाती है:
$\frac{1}{3} = e^{-\lambda \times 3} = e^{-3\lambda}$ .........$(1)$
हमें $t = 9\, \text{दिनों}$ के बाद सक्रियता $R'$ ज्ञात करनी है:
$R' = R_0 e^{-\lambda \times 9} = R_0 (e^{-3\lambda})^3$
समीकरण $(1)$ से मान रखने पर:
$R' = R_0 \times (1/3)^3$
$R' = R_0 \times (1/27)$
अतः, सक्रियता मूल मान का $(1/27)$ हो जाएगी।

(D) क्षय दर (सक्रियता) को सूत्र $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1.2 \times 10^7 \, s$ का उपयोग करके क्षय नियतांक $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1.2 \times 10^7} \, s^{-1}$।
अब, $\lambda$ और $N = 4.0 \times 10^{15}$ परमाणुओं के मान को क्षय दर के सूत्र में रखें:
$\frac{dN}{dt} = \left( \frac{0.693}{1.2 \times 10^7} \right) \times (4.0 \times 10^{15})$
$\frac{dN}{dt} = \frac{0.693 \times 4.0}{1.2} \times 10^{15-7}$
$\frac{dN}{dt} = \frac{2.772}{1.2} \times 10^8$
$\frac{dN}{dt} = 2.31 \times 10^8 \, \text{atoms/s}$।
उचित सार्थक अंकों को ध्यान में रखते हुए, क्षय दर $2.3 \times 10^8 \, \text{atoms/s}$ है।

(C) किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ रेडियोधर्मी क्षय नियम द्वारा दी जाती है:
$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
जहाँ $N_0$,$t = 0$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है और $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
यह समीकरण एक चरघातांकीय क्षय फलन का प्रतिनिधित्व करता है,जो $y = a e^{-kx}$ के रूप में है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$N$ प्रारंभिक मान $N_0$ से चरघातांकीय रूप से घटता है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह शून्य के करीब पहुंच जाता है।
इसलिए,सही ग्राफ वह है जो $N$-अक्ष पर एक धनात्मक मान से शुरू होने वाला चरघातांकीय क्षय वक्र दिखाता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि $C^{14}$ और $C^{12}$ का अनुपात मूल मात्रा का एक-चौथाई है,इसलिए $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{4}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5700}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$,हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं: $2 = \frac{t}{5700}$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 2 \times 5700 = 11400 \, years$ प्राप्त होता है।

(C) नाभिकों की संख्या $N$ में परिवर्तन की दर उत्पादन दर और क्षय दर का अंतर है: $\frac{dN}{dt} = n - \lambda N$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dN}{n - \lambda N} = dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $t = 0$ $(N = N_0)$ से $t = t$ $(N = N)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{n - \lambda N} = \int_{0}^{t} dt$.
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए,$-\frac{1}{\lambda} [\ln(n - \lambda N)]_{N_0}^{N} = t$.
$-\frac{1}{\lambda} \ln\left( \frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} \right) = t$.
$\ln\left( \frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} \right) = -\lambda t$.
$\frac{n - \lambda N}{n - \lambda N_0} = e^{-\lambda t}$.
$n - \lambda N = (n - \lambda N_0) e^{-\lambda t}$.
$\lambda N = n - (n - \lambda N_0) e^{-\lambda t}$.
$N = \frac{n}{\lambda} - \left( \frac{n}{\lambda} - N_0 \right) e^{-\lambda t} = \frac{n}{\lambda} + \left( N_0 - \frac{n}{\lambda} \right) e^{-\lambda t}$.

(C) जीवाश्म हड्डी में ${}^{14}C$ और ${}^{12}C$ का अनुपात $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ दिया गया है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दोनों की तुलना करने पर,$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$ प्राप्त होता है।
अतः,अर्ध-आयु की संख्या $n = 4$ है।
जीवाश्म की आयु $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2} = 5730 \, years$ है।
$t = 4 \times 5730 = 22920 \, years$.

(D) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ के नियम का पालन करती है।
दिया गया है कि $t = 5 \, minutes$ पर,सक्रियता $N = N_0/e$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $N_0/e = N_0 e^{-\lambda(5)}$।
इसे सरल करने पर $e^{-1} = e^{-5\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $5\lambda = 1$,इसलिए $\lambda = 1/5 \, min^{-1}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ वह समय है जो सक्रियता को उसके प्रारंभिक मान से आधा होने के लिए आवश्यक है,जो $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda = 1/5$ रखने पर,हमें $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/5} = 5 \ln 2 \, minutes$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।