$1.4 \times 10^{9} \text{ years}$ की अर्ध-आयु वाला एक रेडियोआइसोटोप $X$,स्थिर $Y$ में क्षयित होता है। एक गुफा से प्राप्त चट्टान के नमूने में $X$ और $Y$ का अनुपात $1:7$ पाया गया। चट्टान की आयु ........ $\times 10^{9} \text{ years}$ है।

किसी क्षण पर,दो तत्वों $X_1$ और $X_2$ में रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या समान है। यदि $X_1$ और $X_2$ के क्षय नियतांक क्रमशः $10\lambda$ और $\lambda$ हैं,तो वह समय जब उनके परमाणुओं का अनुपात $\frac{1}{e}$ हो जाएगा,होगा:

यदि सभी स्वतंत्र राशियों में मापन त्रुटियां ज्ञात हैं,तो किसी भी आश्रित राशि में त्रुटि निर्धारित करना संभव है। यह श्रेणी विस्तार का उपयोग करके और त्रुटि की पहली घात पर विस्तार को काटकर किया जाता है। उदाहरण के लिए,संबंध $z = x / y$ पर विचार करें। यदि $x, y$ और $z$ में त्रुटियां क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हैं,तो $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y} (1 \pm \frac{\Delta x}{x}) (1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$। $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ के लिए श्रेणी विस्तार,$\Delta y / y$ में पहली घात तक,$1 \mp (\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र चरों में सापेक्ष त्रुटियां हमेशा जुड़ती हैं। इसलिए $z$ में त्रुटि $\Delta z = z (\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ होगी। उपरोक्त व्युत्पत्ति यह मानती है कि $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$। इसलिए,इन राशियों की उच्च घातों को उपेक्षित किया जाता है।
$(1)$ अनुपात $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ पर विचार करें जिसे एक विमाहीन राशि $a$ को मापकर निर्धारित किया जाना है। यदि $a$ के मापन में त्रुटि $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ है,तो त्रुटि $\Delta r$ क्या है?
$(2)$ एक प्रयोग में,रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $3000$ है। यह पाया गया है कि पहले $1.0 \ s$ में $1000 \pm 40$ नाभिक क्षयित हो गए। $|x| < 1$ के लिए,$\ln(1 + x) = x$ है,$x$ में पहली घात तक। क्षय स्थिरांक $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda$,$s^{-1}$ में,क्या है?

दो रेडियोधर्मी तत्वों $A$ और $B$ में प्रारंभ में परमाणुओं की संख्या समान है। $A$ की अर्ध-आयु,$B$ की औसत आयु के बराबर है। यदि $\lambda_A$ और $\lambda_B$ क्रमशः $A$ और $B$ के क्षय नियतांक हैं,तो दिए गए विकल्पों में से सही संबंध चुनिए।

एक रेडियोधर्मी तत्व का क्षय नियतांक $1.5 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1}$ है। सेकंड में इसका औसत जीवनकाल कितना होगा?

एक दिए गए नमूने में दो रेडियोधर्मी नाभिक $P$ और $Q$ एक स्थिर नाभिक $R$ में क्षयित होते हैं। समय $t = 0$ पर,$P$ नाभिकों की संख्या $4N_0$ है और $Q$ की संख्या $N_0$ है। $P$ की अर्ध-आयु $1 \text{ मिनट}$ है जबकि $Q$ की $2 \text{ मिनट}$ है। प्रारंभ में नमूने में $R$ का कोई नाभिक उपस्थित नहीं है। जब $P$ और $Q$ के नाभिकों की संख्या समान हो जाती है,तो नमूने में उपस्थित $R$ के नाभिकों की संख्या होगी