Force on a Current Carrying Conductor Questions in Hindi

(B) दिया गया है: तार का द्रव्यमान, $m = 0.2 \,kg$. तार की लंबाई, $l = 1.5 \,m$. धारा, $I = 2 \,A$. गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m/s^2$.
एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $F_m = I l B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के लंबवत है, $\theta = 90^{\circ}$, इसलिए $F_m = I l B$.
तार के हवा में लटके रहने के लिए, ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल तार के नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।
$F_m = w$
$I l B = m g$
$B$ के लिए हल करने पर:
$B = \frac{m g}{I l}$
$B = \frac{0.2 \times 10}{2 \times 1.5}$
$B = \frac{2}{3} \approx 0.67 \,T$
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $0.67 \,T$ है।

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ है।
यहाँ,लंबाई सदिश $\vec{L} = L \hat{i}$ है।
दिया गया है $\vec{F} = I B_0 L(\hat{k} - \hat{j})$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $I B_0 L(\hat{k} - \hat{j}) = I(L \hat{i} \times \vec{B})$।
$I L$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $B_0(\hat{k} - \hat{j}) = \hat{i} \times \vec{B}$।
मान लीजिए $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$।
तब $\hat{i} \times (B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}) = B_y \hat{k} - B_z \hat{j}$।
इसकी तुलना $B_0(\hat{k} - \hat{j})$ से करने पर,हमें $B_y = B_0$ और $B_z = B_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\hat{i}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट में $\hat{i}$ घटक समाप्त हो जाता है,इसलिए $B_x$ का मान कुछ भी हो सकता है,लेकिन विकल्पों को देखते हुए $B_x = B_0$ शर्त को संतुष्ट करता है।
अतः,$\vec{B} = B_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I (\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का प्रभावी विस्थापन सदिश है।
दिए गए वक्र $y = A \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} x\right)$ के लिए,प्रारंभिक बिंदु $x=0$ पर है,जो $y=0$ देता है। अंतिम बिंदु $x=\lambda$ पर है,जो $y = A \sin(2\pi) = 0$ देता है।
अतः,प्रभावी विस्थापन सदिश $\vec{L}_{eff}$ बिंदु $(0, 0)$ से $(\lambda, 0)$ तक का सदिश है,जो $\vec{L}_{eff} = \lambda \hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $z$-दिशा में है,इसलिए $\vec{B} = B \hat{k}$ है।
चुंबकीय बल $\vec{F} = I (\lambda \hat{i} \times B \hat{k}) = I \lambda B (\hat{i} \times \hat{k}) = -I \lambda B \hat{j}$ होगा।
चुंबकीय बल का परिमाण $|\vec{F}| = I \lambda B$ है।

(C) एक छोटे धारा अवयव $I d\vec{l}$ पर चुंबकीय बल $d\vec{F} = I (d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा अवयव $d\vec{l} = dx \hat{i}$ है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) \hat{k}$ है।
अतः,$d\vec{F} = I (dx \hat{i}) \times B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) \hat{k} = I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (\hat{i} \times \hat{k}) = I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (-\hat{j})$.
कुल बल ज्ञात करने के लिए,हम $x = a$ से $x = 2a$ तक समाकलन करते हैं:
$\vec{F} = \int_{a}^{2a} I B_0 \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx (-\hat{j})$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \int_{a}^{2a} \left( 2 - \frac{x}{a} \right) dx$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ 2x - \frac{x^2}{2a} \right]_{a}^{2a}$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ \left( 2(2a) - \frac{(2a)^2}{2a} \right) - \left( 2(a) - \frac{a^2}{2a} \right) \right]$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} \left[ (4a - 2a) - (2a - 0.5a) \right]$
$\vec{F} = -I B_0 \hat{j} [ 2a - 1.5a ] = -I B_0 \left( \frac{a}{2} \right) \hat{j}$.
इसकी तुलना दिए गए बल $\vec{F} = I B_0 \left( \frac{ka}{2} \right) \hat{j}$ से करने पर,हमें $k = -1$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_B = I \vec{L}_{eff} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार तार के लिए,प्रभावी लंबाई $\vec{L}_{eff}$ दो सिरों के बीच की सीधी दूरी है,जो व्यास $2r$ के बराबर है।
इसलिए,चुंबकीय बल का परिमाण $F_B = I(2r)B = 2IrB$ है।
यह कुल ऊपर की ओर कार्य करने वाला चुंबकीय बल तार के सिरों से जुड़ी दो समान स्प्रिंग $X$ और $Y$ द्वारा समान रूप से साझा किया जाता है।
मान लीजिए कि प्रत्येक स्प्रिंग पर कार्य करने वाला बल $F$ है। तब,$2F = F_B$ होगा।
$F_B$ का मान रखने पर,हमें $2F = 2IrB$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्रत्येक स्प्रिंग पर कार्य करने वाला बल $F = I r B$ है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = I(\overrightarrow{L} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\overrightarrow{L}$ चालक के शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
किसी भी बंद लूप के लिए,शुरुआती बिंदु और अंतिम बिंदु समान होते हैं,जिसका अर्थ है कि कुल विस्थापन सदिश $\overrightarrow{L}$ शून्य है।
इसलिए,एक समान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए किसी भी बंद धारा लूप पर लगने वाला कुल चुंबकीय बल हमेशा शून्य होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में रखे धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I = 1 \ A$,$\vec{L} = 0.5 \hat{i} \ m$,और $\vec{B} = (2\hat{i} + 4\hat{j}) \ T$ है।
मान रखने पर:
$\vec{F} = 1 \times (0.5 \hat{i} \times (2\hat{i} + 4\hat{j}))$
$\vec{F} = 0.5 \times 2(\hat{i} \times \hat{i}) + 0.5 \times 4(\hat{i} \times \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ है:
$\vec{F} = 0 + 2\hat{k} = 2\hat{k} \ N$.
बल का परिमाण $|\vec{F}| = 2 \ N$ है और इसकी दिशा धनात्मक $z$-अक्ष की ओर है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $F$ सूत्र $F = I L B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान हैं:
धारा $I = 10 \ A$
लंबाई $L = 2 \ m$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.15 \ T$
कोण $\theta = 45^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = 10 \times 2 \times 0.15 \times \sin 45^{\circ}$
$F = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$F = \frac{3}{\sqrt{2}} \ N$.

(B) $I_1$ और $I_2$ धारा वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $Q$ $(I_Q = 1 \ A)$ के लिए:
$1$. तार $P$ ($I_P = 3 \ A$,$d_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$) के कारण बल: धाराएं विपरीत दिशा में हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षी है ($P$ से दूर,यानी $R$ की ओर)।
$F_{QP} = \frac{\mu_0 I_Q I_P}{2 \pi d_1} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 3}{0.03} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ की ओर)।
$2$. तार $R$ ($I_R = 2 \ A$,$d_2 = 2 \ cm = 0.02 \ m$) के कारण बल: धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षी है ($R$ की ओर)।
$F_{QR} = \frac{\mu_0 I_Q I_R}{2 \pi d_2} \ell = (2 \times 10^{-7}) \times \frac{1 \times 2}{0.02} \times 0.15 = 3 \times 10^{-6} \ N$ ($R$ की ओर)।
कुल बल $F_{net} = F_{QP} + F_{QR} = 3 \times 10^{-6} + 3 \times 10^{-6} = 6 \times 10^{-6} \ N$,$R$ की ओर।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में धारा $I$ ले जाने वाले $L$ लंबाई के चालक पर बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रति इकाई लंबाई पर बल का परिमाण $f = I B \sin\theta$ है,जहाँ $\theta$ धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
इस मामले में,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दक्षिण से उत्तर की ओर निर्देशित है,और धारा $I$ भी दक्षिण से उत्तर की ओर बह रही है।
इसलिए,धारा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$,इसलिए प्रति इकाई लंबाई पर बल $f = I \times B \times \sin(0^\circ) = 0 \text{ N/m}$ होगा।