Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Gujarati

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકના દોલનનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times 2l$ (જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $2l$ એ ચુંબકીય લંબાઈ છે),તેથી $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
આપેલ છે કે ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ એ $4$ ગણી થાય છે,તેથી નવી ધ્રુવ પ્રબળતા $m' = 4m$.
તેથી,નવો સમયગાળો $T'$ એ મૂળ સમયગાળા $T$ સાથે $T' = \frac{T}{\sqrt{4}} = \frac{T}{2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આપેલ $T = 2 \ s$ માટે,આપણને $T' = \frac{2}{2} = 1 \ s$ મળે છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,પ્રવાહ $I = K \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે.
ગૂંચળા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને માટે પ્રવાહ $I$ સમાન રહેશે.
તેથી,$K_1 \tan \theta_1 = K_2 \tan \theta_2$.
અહીં $\theta_1 = 60^o$ અને $\theta_2 = 45^o$ આપેલ છે,તેથી $K_1 \tan 60^o = K_2 \tan 45^o$.
$K_1 (\sqrt{3}) = K_2 (1) \Rightarrow \frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
રિડક્શન ફેક્ટર $K = \frac{2 R B_H}{\mu_0 N}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R$ ત્રિજ્યા છે અને $N$ આંટાઓની સંખ્યા છે.
બંને માટે $R$ સમાન હોવાથી,$K \propto \frac{1}{N}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{N_2}{N_1}$.
આમ,$\frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $\frac{N_1}{N_2} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(B) તટસ્થ બિંદુ પર,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
આપેલ છે: અંતર $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$B_H = 0.18 \ G = 0.18 \times 10^{-4} \ T$.
લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$ છે.
$B = B_H$ લેતા,$\frac{\mu_0 I}{2\pi R} = B_H$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 10^{-7} \times I}{0.05} = 0.18 \times 10^{-4}$.
$I = \frac{0.18 \times 10^{-4} \times 0.05}{2 \times 10^{-7}} = \frac{0.009 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-7}} = 0.0045 \times 10^3 = 4.5 \ A$.
આમ,તારમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $4.5 \ A$ છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ધ્રુવો પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ શિરોલંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ શૂન્ય છે.
સૂત્રમાં $B_H = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M \times 0}} = 2\pi \sqrt{\infty} = \infty$ મળે છે.
તેથી,આવર્તકાળ અનંત થઈ જાય છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં,કોઈલ (અથવા ચુંબક) દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{m}$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_{H}$ ને લંબ હોય છે.
વિચલન કોણ $\theta$ એ ટેન્જન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B_{m} = B_{H} \tan \theta$.
આપેલ છે:
$B_{H} = 0.34 \times 10^{-4} \text{ T}$
$\theta = 30^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{m} = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan 30^{\circ}$
$B_{m} = (0.34 \times 10^{-4}) \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$B_{m} = \frac{0.34 \times 10^{-4}}{1.732}$
$B_{m} \approx 0.1963 \times 10^{-4} \text{ T}$
$B_{m} \approx 1.96 \times 10^{-5} \text{ T}$

(C) જ્યારે ટૂંકા ગજિયા ચુંબકને ઉત્તર ધ્રુવ ભૌગોલિક ઉત્તર તરફ રહે તેમ મૂકવામાં આવે, ત્યારે તટસ્થ બિંદુઓ વિષુવવૃત્તીય રેખા (પૂર્વ-પશ્ચિમ રેખા) પર મળે છે.
તટસ્થ બિંદુ પર, ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું હોય છે.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$ છે.
આપેલ છે: $r = 30 \, cm = 0.3 \, m$, $B_H = 3.6 \times 10^{-5} \, T$, અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
ક્ષેત્રોને સરખાવતા: $10^{-7} \cdot \frac{M}{(0.3)^3} = 3.6 \times 10^{-5}$.
$M$ માટે ગણતરી કરતા: $M = \frac{3.6 \times 10^{-5} \times (0.3)^3}{10^{-7}}$.
$M = 3.6 \times 10^2 \times 0.027$.
$M = 360 \times 0.027 = 9.72 \, A \cdot m^2$.
આમ, ચુંબકીય મોમેન્ટ આશરે $9.7 \, A \cdot m^2$ છે.

(A) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં પ્રવાહ $i$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{2 r B_{H}}{\mu_{0} N} \tan \theta$
જ્યાં:
$r = 15 \times 10^{-2}\, m$ (કોઈલની ત્રિજ્યા)
$B_{H} = 3 \times 10^{-5}\, T$ (પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક)
$N = 25$ (આંટાની સંખ્યા)
$\theta = 45^{\circ}$ (કોણાવર્તન)
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$ (શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી)
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{2 \times 15 \times 10^{-2} \times 3 \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 25} \times \tan 45^{\circ}$
$i = \frac{90 \times 10^{-7}}{100 \pi \times 10^{-7}} \times 1$
$i = \frac{0.9}{\pi} \approx 0.2865\, A \approx 0.29\, A$

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M B_{H}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_{H}$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}}$ થાય.
આપેલ છે કે ચુંબકીય મોમેન્ટમાં $19\%$ નો ઘટાડો થાય છે,જો $M_{1} = 100$ હોય,તો $M_{2} = 100 - 19 = 81$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T_{2} = \frac{10}{9} T_{1} \approx 1.11 T_{1}$.
આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1}} \times 100 = (1.11 - 1) \times 100 = 11\%$ છે.
આમ,આવર્તકાળમાં $11\%$ નો વધારો થાય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
દળ $m$ અને લંબાઈ $L$ ધરાવતા મૂળ ચુંબક માટે,$I = \frac{mL^2}{12}$ અને $M = m_s L$ (જ્યાં $m_s$ એ ધ્રુવમાન છે).
જ્યારે તેને લંબાઈને લંબરૂપે $3$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $L' = L/3$ અને દળ $m' = m/3$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m'(L')^2}{12} = \frac{(m/3)(L/3)^2}{12} = \frac{I}{27}$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m_s L' = m_s (L/3) = M/3$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/27}{(M/3)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{9MB}} = \frac{1}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T}{3}$ થશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબકના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા ગજિયા ચુંબક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ અને $B_H$ અચળ રહેતા હોવાથી,$T \propto \sqrt{I}$ મળે છે.
$I \propto m$ હોવાથી,$T \propto \sqrt{m}$ થાય છે.
ધારો કે $m$ દળ સાથેનો પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_0$ છે અને $2m$ દળ સાથેનો નવો આવર્તકાળ $T'$ છે.
$\frac{T'}{T_0} = \sqrt{\frac{2m}{m}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$T' = \sqrt{2} T_0$.

(D) ચુંબકના દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
અહીં $I$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$.
આપેલ છે કે $B_1 = 24 \, \mu T$ અને $T_1 = 2 \, s$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = B_1 - 18 \, \mu T = 24 \, \mu T - 18 \, \mu T = 6 \, \mu T$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$T_2 = 2 \times 2 = 4 \, s$.

(D) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{mB_H}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સમાન ધ્રુવો સાથે હોય,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = m_1 + m_2$ થાય છે અને આવૃત્તિ $f_1 = 12 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ છે.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો સાથે હોય,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = m_1 - m_2$ થાય છે અને આવૃત્તિ $f_2 = 4 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ છે.
$f \propto \sqrt{M}$ હોવાથી,$\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{4} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}} \implies 3 = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 = \frac{m_1 + m_2}{m_1 - m_2}$.
$9m_1 - 9m_2 = m_1 + m_2 \implies 8m_1 = 10m_2$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

(D) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,પ્રવાહ $I = K \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = \frac{2R B_H}{\mu_0 N}$ છે.
ગૂંચળા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને માટે પ્રવાહ $I$ સમાન રહેશે.
તેથી,$K_1 \tan \theta_1 = K_2 \tan \theta_2$.
આપેલ છે કે $\theta_1 = 60^o$ અને $\theta_2 = 45^o$,તેથી $K_1 \tan 60^o = K_2 \tan 45^o$.
$K_1 (\sqrt{3}) = K_2 (1) \Rightarrow \frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અહીં $K \propto \frac{1}{N}$ (કારણ કે ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે),તેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{N_2}{N_1}$ થાય.
આમ,$\frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{N_1}{N_2} = \frac{\sqrt{3}}{1}$.

(D) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં પ્રવાહ $I$ માટેનું સૂત્ર $I = K \tan \theta$ છે,જ્યાં $K = \frac{2r B_H}{\mu_0 n}$ છે.
અહીં,$n = 100$,$r = 0.20\, m$,$B_H = 3 \times 10^{-5}\, T$,અને $\theta = 45^{\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{2 \times 0.20 \times 3 \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 100} \times \tan 45^{\circ}$.
$I = \frac{1.2 \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-5}} \times 1 = \frac{1.2}{4 \pi} = \frac{0.3}{\pi} \approx 0.09549\, A$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રવાહ $0.095\, A$ છે.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B}}$.
નવા ચુંબક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = 3I_0$ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = \frac{M_0}{3}$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_1$ નીચે મુજબ થશે:
$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_1}{M_1 B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3I_0}{(M_0/3) B}}$
$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{9I_0}{M_0 B}} = 3 \times (2 \pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B}})$
$T_1 = 3T_0$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ માં ચુંબકના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન ચુંબકનો ઉપયોગ થતો હોવાથી, તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને ચુંબકીય ચાકમાત્રા $M$ અચળ રહે છે.
તેથી, $T \propto \frac{1}{\sqrt{H}}$, જેનો અર્થ છે કે $T^2 \propto \frac{1}{H}$ અથવા $H \propto \frac{1}{T^2}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં:
આવૃત્તિ $f_1 = 40 \, \text{દોલનો/મિનિટ} = \frac{40}{60} \, \text{Hz}$.
આવર્તકાળ $T_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{60}{40} = 1.5 \, s$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_1 = 0.1 \times 10^{-5} \, T = 10^{-6} \, T$.
બીજા કિસ્સામાં:
આવર્તકાળ $T_2 = 2.5 \, s$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_2 = ?$.
સંબંધ $\frac{H_2}{H_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{H_2}{10^{-6}} = \left( \frac{1.5}{2.5} \right)^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} = 0.36$.
$H_2 = 0.36 \times 10^{-6} \, T$.

(A) દોલનનો સમયગાળો $T$ એ કુલ સમયને દોલનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે: $T = \frac{6.70 \; s}{10} = 0.67 \; s$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતી ચુંબકીય સોયના સમયગાળાનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mB}}$ છે.
આ સૂત્રને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $B = \frac{4\pi^2 I}{m T^2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 7.5 \times 10^{-6}}{(6.7 \times 10^{-2}) \times (0.67)^2}$.
છેદની ગણતરી કરતા: $(6.7 \times 10^{-2}) \times 0.4489 \approx 0.0300763$.
અંશની ગણતરી કરતા: $4 \times 9.8596 \times 7.5 \times 10^{-6} \approx 0.000295788$.
આમ,$B = \frac{0.000295788}{0.0300763} \approx 0.00983 \; T$,જે આશરે $0.01 \; T$ છે.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ક્ષૈતિજ ઘટક $H = 0.36 \; G$ છે.
અક્ષીય રેખા પરના તટસ્થ બિંદુ પર,ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial}$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ક્ષૈતિજ ઘટક $H$ જેટલું હોય છે:
$B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{d^3} = H = 0.36 \; G \dots (i)$
જ્યાં $d = 14 \; cm$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે.
તે જ અંતર $d$ પર વિષુવવૃત્તીય રેખા (લંબ દ્વિભાજક) પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{d^3} = \frac{H}{2} = \frac{0.36}{2} = 0.18 \; G$.
વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ક્ષૈતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં જ હોવાથી,તે બિંદુએ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total}$ નીચે મુજબ થશે:
$B_{total} = B_{equatorial} + H = 0.18 \; G + 0.36 \; G = 0.54 \; G$.

(A) ચુંબકની અક્ષ પર $d_{1} = 14 \; cm$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d_{1}^{3}} = H \dots (1)$
જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ક્ષૈતિજ ઘટક છે.
જ્યારે ચુંબકને $180^o$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે તટસ્થ બિંદુઓ ચુંબકની વિષુવરેખા પર સ્થાનાંતરિત થાય છે.
વિષુવરેખા પર $d_{2}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{2} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d_{2}^{3}} = H \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2}{d_{1}^{3}} = \frac{1}{d_{2}^{3}}$
$d_{2}^{3} = \frac{d_{1}^{3}}{2}$
$d_{2} = \frac{d_{1}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{14}{1.26} \approx 11.1 \; cm$
નવા તટસ્થ બિંદુઓ વિષુવરેખા પર $11.1 \; cm$ અંતરે સ્થિત હશે.

(N/A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mB}}$
જ્યાં:
$T$ એ દોલનનો આવર્તકાળ છે.
$I$ એ ગજિયા ચુંબકની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$m$ એ ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
$B$ એ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળ ચુંબક માટે,$I = \frac{m l^2}{12}$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ બે સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાની લંબાઈ $l' = l/2$ અને દળ $m' = m/2$ થાય છે.
દરેક ટુકડા માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને નવી જડત્વની આઘૂર્ણ $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/2) (l/2)^2}{12} = \frac{m l^2}{12 \times 8} = \frac{I}{8}$ થાય છે.
દરેક ટુકડા માટે નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = M/2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4} \frac{I}{MB}} = \frac{1}{2} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$ થાય છે.

(C) ચુંબકની લંબાઈ $2l = 14 \, cm$,તેથી $l = 7 \, cm = 0.07 \, m$ છે.
કેન્દ્રથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $d = 18 \, cm = 0.18 \, m$ છે.
દરેક ધ્રુવથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $r = \sqrt{d^2 + l^2} = \sqrt{18^2 + 7^2} = \sqrt{324 + 49} = \sqrt{373} \, cm$ છે.
એક ધ્રુવને કારણે તટસ્થ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ પર,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ એ બંને ધ્રુવોના પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $B_H = 2 B_0 \sin \theta$,જ્યાં $\sin \theta = \frac{l}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_H = 2 \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2} \right) \left( \frac{l}{r} \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2ml}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$,જ્યાં $M = m(2l)$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
$0.4 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{M}{(r \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{M}{(373 \times 10^{-4})^{3/2}}$.
$M = \frac{0.4 \times 10^{-4} \times (373 \times 10^{-4})^{3/2}}{10^{-7}} = 0.4 \times 10^3 \times (373)^{3/2} \times 10^{-6} = 0.4 \times 10^{-3} \times 7203.82 \approx 2.88 \, J \, T^{-1}$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 9.85 \times 10^{-2} \, A \cdot m^{2}$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 5 \times 10^{-6} \, kg \cdot m^{2}$.
સોય $5 \, s$ માં $10$ દોલનો કરે છે,તેથી આવર્તકાળ $T = \frac{5}{10} = 0.5 \, s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.5 = 2\pi \sqrt{\frac{5 \times 10^{-6}}{9.85 \times 10^{-2} \times B}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $0.25 = 4\pi^{2} \left( \frac{5 \times 10^{-6}}{9.85 \times 10^{-2} \times B} \right)$.
$\pi^{2} = 9.85$ લેતા: $0.25 = 4 \times 9.85 \times \frac{5 \times 10^{-6}}{9.85 \times 10^{-2} \times B}$.
$0.25 = 4 \times \frac{5 \times 10^{-6}}{10^{-2} \times B} = \frac{20 \times 10^{-6}}{10^{-2} \times B} = \frac{20 \times 10^{-4}}{B}$.
$B = \frac{20 \times 10^{-4}}{0.25} = 80 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{-3} \, T$.
$1 \, T = 1000 \, mT$ હોવાથી,$B = 8 \, mT$.

(A) ઓસિલેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H = B \cos \delta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $\delta$ એ ડીપ એંગલ છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{M B \cos \delta}{I}}$. તેથી,$f \propto \sqrt{B \cos \delta}$.
સ્થળ $P$ પર: $f_P = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$,$\delta_P = 30^{\circ}$.
સ્થળ $Q$ પર: $f_Q = 10 \text{ દોલનો/મિનિટ}$,$\delta_Q = 60^{\circ}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f_P}{f_Q} = \sqrt{\frac{B_P \cos 30^{\circ}}{B_Q \cos 60^{\circ}}}$
$\frac{20}{10} = \sqrt{\frac{B_P (\sqrt{3}/2)}{B_Q (1/2)}}$
$2 = \sqrt{\frac{B_P \sqrt{3}}{B_Q}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{B_P \sqrt{3}}{B_Q}$
તેથી,$\frac{B_Q}{B_P} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 3\,s$,$T_2 = 4\,s$ અને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1}} = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{3}{2}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{M_2}{M_1} = \frac{9}{16}$.
$\frac{M_2}{M_1} = \frac{9}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{8}$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{8}{3}$ થાય.

(A) તટસ્થ બિંદુ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં ચુંબકોને કારણે ઉદ્ભવતું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે ચુંબકોના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય.
બે ગજિયા ચુંબકોની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે દરેક ઝોનમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા નક્કી કરી શકીએ છીએ.
ઝોન $I$ માં,આડા ચુંબકમાંથી નીકળતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ડાબી તરફ નિર્દેશ કરે છે,અને ઊભા ચુંબકમાંથી નીકળતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ પણ એવી દિશામાં હોય છે જે આડા ચુંબકના ક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે. આમ,આ વિસ્તારમાં ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરી શકે છે.
તેથી,તટસ્થ બિંદુ ઝોન $I$ માં સ્થિત છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ રૂપે $n$ સમાન ભાગોમાં તોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = l/n$ થાય છે.
દરેક ભાગનું નવું દળ $m' = m/n$ થાય છે.
દરેક ભાગની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/n) (l/n)^2}{12} = \frac{I}{n^3}$ થાય છે.
દરેક ભાગની નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = M/n$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે છે: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/n^3}{(M/n) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{n^2 MB}} = \frac{1}{n} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{n}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકનો દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
ચુંબકો સમાન કદના હોવાથી,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન છે. ધારો કે $I_1 = I_2 = I$. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I + I = 2I$ થશે.
કિસ્સો $1$: સમાન ધ્રુવો સાથે. પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net} = M_1 + M_2$. આપેલ છે કે $M_1 : M_2 = 1 : 2$,તેથી $M_1 = M$ અને $M_2 = 2M$ લેતા,$M_{net} = M + 2M = 3M$.
આવર્તકાળ $T_1 = 3 \, s = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{3MB}}$.
કિસ્સો $2$: એક ચુંબક ઉલટાવતા. પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'_{net} = |M_2 - M_1| = |2M - M| = M$.
નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{2I/MB}{2I/3MB}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$T_2 = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \, s$.

(D) ચુંબકીય મેરિડિયનમાં,આભાસી ડીપ $\delta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ અને સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ સાથે $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
જ્યારે ડીપ સર્કલને સમક્ષિતિજ સમતલમાં $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H^{\prime} = B_H \cos \alpha$ બને છે,જ્યારે ઉર્ધ્વ ઘટક $B_V$ બદલાતો નથી.
નવો આભાસી ડીપ એંગલ $\delta^{\prime}$ એ $\tan \delta^{\prime} = \frac{B_V}{B_H^{\prime}} = \frac{B_V}{B_H \cos \alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$ મૂકતા,આપણને $\tan \delta^{\prime} = \frac{\tan \delta}{\cos \alpha}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\tan \delta^{\prime}}{\tan \delta} = \frac{1}{\cos \alpha}$ થાય છે.

(D) જ્યારે ગજિયા ચુંબકને એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ પૃથ્વીના સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_H$ ને સમાંતર હોય,ત્યારે ચુંબક દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિષુવવૃત્તીય પ્રદેશમાં પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે.
જે બિંદુઓ પર ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,તે બિંદુઓનો બિંદુપથ વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં ચુંબકની આસપાસ એક વર્તુળ (અથવા રીંગ) બનાવે છે.
આ વર્તુળ પર અનંત બિંદુઓ હોવાથી જ્યાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,તેથી ત્યાં અનંત તટસ્થ બિંદુઓ મળે છે.
$2D$ સમતલમાં (જેમ કે કાગળ પર),આપણે આમાંથી માત્ર બે જ બિંદુઓ જોઈ શકીએ છીએ,જે રીંગ અને કાગળના સમતલનું છેદબિંદુ છે.

(A) સમક્ષિતિજ સમતલમાં દોલન કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H = B \cos \delta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $\delta$ એ ડીપ એંગલ છે.
આપેલ છે કે $\delta = 60^{\circ}$,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B \cos 60^{\circ}}}$.
જ્યારે સોય ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે સંપાતી શિરોલંબ સમતલમાં દોલન કરે છે,ત્યારે તે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અનુભવે છે. નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{M B \cos 60^{\circ}}{M B}} = \sqrt{\cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$T' = \frac{T}{\sqrt{2}}$.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
જ્યારે સમાન ધ્રુવો જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 + M_2$ થાય છે. આપેલ છે કે $T_1 = 5 \, s$,તેથી $5 = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M_1 + M_2}}$.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 - M_2$ થાય છે. આપેલ છે કે $T_2 = 15 \, s$,તેથી $15 = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M_1 - M_2}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{5}{15} = \sqrt{\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \sqrt{\frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $M_1 + M_2 = 9M_1 - 9M_2 \Rightarrow 10M_2 = 8M_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ થાય છે.

(C) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર $K$ સૂત્ર $K = \frac{2 R H}{N}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 80$.
આંતરિક વ્યાસ $d_1 = 19 \, cm$, બાહ્ય વ્યાસ $d_2 = 21 \, cm$.
સરેરાશ ત્રિજ્યા $R = \frac{d_1 + d_2}{4} = \frac{19 + 21}{4} = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H = 0.32 \, \text{oersted} = 0.32 \times 80 \, A/m = 25.6 \, A/m$.
સૂત્ર મુજબ, $K = \frac{2 \times 0.1 \times 25.6}{80} = \frac{5.12}{80} = 0.064 \, A$.

(A) ટેન્જેન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર $K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{2 R B_H}{\mu_0 N}$
જ્યાં $R$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે,$B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે અને $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $K \propto \frac{R}{N}$.
અહીં નવી ત્રિજ્યા $R' = 2R$ અને નવા આંટાની સંખ્યા $N' = 2N$ છે,તેથી નવો રિડક્શન ફેક્ટર $K'$:
$K' = \frac{2 R' B_H}{\mu_0 N'} = \frac{2 (2R) B_H}{\mu_0 (2N)} = \frac{2 R B_H}{\mu_0 N} = K$
આમ,રિડક્શન ફેક્ટર બદલાશે નહીં.

(B) જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેનો ઉત્તર ધ્રુવ ભૌગોલિક ઉત્તર તરફ રહે તેમ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ વિષુવવૃત્તીય રેખા (ચુંબકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી પૂર્વ-પશ્ચિમ રેખા) પર એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તટસ્થ બિંદુ પર,ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{mag})$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ચુંબકની ક્ષેત્રરેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળી દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશતી હોવાથી,વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ક્ષેત્ર ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ (પૃથ્વીના $B_H$ ની વિરુદ્ધ) હોય છે.
આમ,તટસ્થ બિંદુઓ ચુંબકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી પૂર્વ-પશ્ચિમ રેખા પર મળે છે.

(D) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
સૂત્ર પરથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$,જેનો અર્થ છે કે $B_H \propto \frac{1}{T^2}$.
અહીં $T_1 = 2.45 \,s$ અને $T_2 = 4.9 \,s$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{B_{H_1}}{B_{H_2}} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_{H_1}}{B_{H_2}} = \left( \frac{4.9}{2.45} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય સોયના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ જડત્વની આઘૂર્ણ છે, $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે。
આપેલ છે: $B = 0.049 \ T$, $I = 9.8 \times 10^{-5} \ kg \ m^2$, અને સોય $5 \ s$ માં $20$ દોલનો કરે છે。
આવર્તકાળ $T = \frac{5 \ s}{20} = 0.25 \ s = \frac{1}{4} \ s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4} = 2 \pi \sqrt{\frac{9.8 \times 10^{-5}}{M \times 0.049}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{16} = 4 \pi^2 \times \frac{9.8 \times 10^{-5}}{M \times 0.049}$.
$M$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $M = \frac{4 \pi^2 \times 9.8 \times 10^{-5} \times 16}{0.049} = 1280 \pi^2 \times 10^{-5} \ A \ m^2$.
આમ, $x = 1280 \pi^2$.

(B) જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરના ગૂંચળામાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળાના સમતલને લંબ રૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્પન્ન થાય છે,એટલે કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $H$ ને લંબ રૂપે. બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B$ અને $H$ ની અસર હેઠળ,ગેલ્વેનોમીટરની ચુંબકીય સોય $\theta$ જેટલું કોણાવર્તન અનુભવે છે,જે ટેન્જન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ટેન્જન્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંબંધ $I = K \tan \theta$ મેળવી શકીએ છીએ,જ્યાં $K$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે. આ સ્પષ્ટપણે સૂચવે છે કે ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર એ પરિપથમાં વિદ્યુત પ્રવાહ માપવા માટે વપરાતું સાધન છે. નોંધ: ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર ત્યારે સૌથી સચોટ હોય છે જ્યારે તેનું કોણાવર્તન $45^{\circ}$ હોય.

(A) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
આપેલ છે કે $n_1 = 30 \text{ દોલનો/મિનિટ}$,તેથી આવર્તકાળ $T_1 = \frac{60}{30} = 2 \text{ s}$.
ધારો કે પ્રથમ જગ્યાએ ચુંબકીય પ્રેરણ $B_1$ છે અને બીજી જગ્યાએ $B_2 = 3B_1$ છે (પ્રશ્ન મુજબ વધારો).
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{B_1}{3B_1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$T_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ s}$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબકની દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબક $P$ માટે: $f_{P} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{P} B}{I_{P}}}$.
ચુંબક $Q$ માટે: $f_{Q} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{Q} B}{I_{Q}}}$.
આપેલ છે કે $f_{P} = 2 f_{Q}$ અને $I_{P} = 2 I_{Q}$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{f_{P}}{f_{Q}} = \sqrt{\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}} = 4$.
કારણ કે $I_{P} = 2 I_{Q}$,તેથી $\frac{I_{Q}}{I_{P}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{M_{P}}{M_{Q}} \cdot \frac{1}{2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M_{P}}{M_{Q}} = 8$,અથવા $M_{P} = 8 M_{Q}$.

(C) ધારો કે ચુંબક $A$ અને $B$ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ અનુક્રમે $M_A = 2M$ અને $M_B = M$ છે. તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = I_B = I$ છે (કારણ કે તેઓ ભૌમિતિક રીતે સમાન છે).
જ્યારે સમાન ધ્રુવો સાથે રાખવામાં આવે,ત્યારે કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net1} = M_A + M_B = 2M + M = 3M$ થાય. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{net} = I_A + I_B = 2I$ થાય.
આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{net}}{M_{net}B_H}}$ છે.
તેથી,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{3MB_H}}$.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો સાથે રાખવામાં આવે,ત્યારે કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net2} = M_A - M_B = 2M - M = M$ થાય.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{net} = 2I$ જ રહે છે.
તેથી,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$.
ગુણોત્તર લેતા,$T_1 / T_2 = \sqrt{\frac{2I}{3MB_H} / \frac{2I}{MB_H}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 1 : \sqrt{3}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
દળ અને કદ સમાન હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અચળ રહે છે.
નવા ચુંબક માટે,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M' = 9M$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ આ મુજબ મળે: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{9MB}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $T' = \frac{1}{\sqrt{9}} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{1}{3} T$.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $\frac{T}{3}$ થશે.

(D) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,પ્રવાહ $I = K \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = \frac{2r B_{H}}{n \mu_{0}}$.
ગેલ્વેનોમીટર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V$ સમાન છે. તેથી,$I_1 R_1 = I_2 R_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{3}{1}$.
સૂત્ર $I = K \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$.
$\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{9}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય સોયના દોલનનો સમયગાળો શોધવાનું સૂત્ર: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ છે.
આપેલ છે: $T = 2 \text{ s}$,$I = 8 \times 10^{-6} \text{ kg m}^2$,$M = 5 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
$2$ વડે ભાગતા: $1 = \pi \sqrt{\frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = \pi^2 \left( \frac{8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2} \times B} \right)$.
$B$ ને કર્તા બનાવતા: $B = \frac{\pi^2 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}}$.
$\pi^2 \approx 9.86$ લેતા: $B = \frac{9.86 \times 8 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-2}} \approx 1.577 \times 10^{-4} \text{ T}$.
આમ,$B \approx 1.6 \times 10^{-4} \text{ T}$ મળે છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો સિદ્ધાંત $I = K \tan \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે,$K$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે અને $\theta$ એ કોણાવર્તન છે.
આપેલ પ્રવાહ $I = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ A}$ અને કોણાવર્તન $\theta = 60^{\circ}$ છે.
રિડક્શન ફેક્ટર $K$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$K = \frac{I}{\tan \theta}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{2 / \sqrt{3}}{\tan 60^{\circ}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી:
$K = \frac{2 / \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2}{3} \text{ A}$.
આમ,રિડક્શન ફેક્ટર $\frac{2}{3} \text{ A}$ છે.

(C) આપેલ છે: $T_1 = 0.1 \, s$, $B_H = 24 \, \mu T = 24 \times 10^{-6} \, T$, $I = 18 \, A$, $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
ઉર્ધ્વ તારને કારણે ચુંબકના સ્થાન પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે।
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.2} = 18 \times 10^{-6} \, T = 18 \, \mu T$.
તાર પૂર્વ દિશામાં છે અને પ્રવાહ નીચેની તરફ છે, તેથી જમણા હાથના નિયમ મુજબ, તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્તર દિશામાં ($B_H$ ની દિશામાં) હશે।
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_H + B = 24 \, \mu T + 18 \, \mu T = 42 \, \mu T$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ હોવાથી, $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
તેથી, $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_H}{B_{net}}} = \sqrt{\frac{24}{42}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
$T_2 = T_1 \times \frac{2}{\sqrt{7}} = 0.1 \times \frac{2}{2.645} \approx 0.076 \, s$.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય સોયની દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\mu B_H}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H = B \cos \theta$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે,$\mu$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
સમાન સોયનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,$\mu$ અને $I$ અચળ રહે છે. તેથી,$f \propto \sqrt{B \cos \theta}$.
આપેલ છે કે $f_1 = 20$ દોલન/મિનિટ,$\theta_1 = 45^{\circ}$ અને $f_2 = 30$ દોલન/મિનિટ,$\theta_2 = 30^{\circ}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{B_1 \cos 45^{\circ}}{B_2 \cos 30^{\circ}}} \Rightarrow \frac{20}{30} = \sqrt{\frac{B_1 (1/\sqrt{2})}{B_2 (\sqrt{3}/2)}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{9} = \frac{B_1}{B_2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{B_1}{B_2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{9} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$.
આમ,$B_1: B_2 = 2 \sqrt{2}: 3 \sqrt{3}$.

(A) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_{H}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે, $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે, અને $B_{H}$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે。
સૂત્ર પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_{H}}}$.
આપેલ છે કે $T_{A} = 2T_{B}$, તેથી આપણે ગુણોત્તર $\frac{T_{A}}{T_{B}} = 2$ લખી શકીએ。
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{T_{A}}{T_{B}} = \sqrt{\frac{B_{HB}}{B_{HA}}}$.
કિંમતો મૂકતા, $2 = \sqrt{\frac{32 \times 10^{-6}}{B_{HA}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $4 = \frac{32 \times 10^{-6}}{B_{HA}}$.
તેથી, $B_{HA} = \frac{32 \times 10^{-6}}{4} = 8 \times 10^{-6} \,T$.

(B) ટેન્જેન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,પ્રવાહ $I = \frac{2r B_H \tan \theta}{\mu_0 N}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: અવરોધ $R = 9 \ \Omega$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 4.5 \ V$,આંટાની સંખ્યા $N = 10$,કોણાવર્તન $\theta = 30^{\circ}$,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 3.14 \times 10^{-5} \ T$.
સૌ પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહ $I$ શોધો: $I = \frac{V}{R} = \frac{4.5}{9} = 0.5 \ A$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા: $r = \frac{\mu_0 N I}{2 B_H \tan \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10 \times 0.5}{2 \times 3.14 \times 10^{-5} \times \tan 30^{\circ}}$.
અહીં $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \approx 4 \times 3.14 \times 10^{-7}$ લેતા,$r = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 5}{2 \times 3.14 \times 10^{-5} \times (1/\sqrt{3})}$.
$r = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{10^{-5} \times (1/\sqrt{3})} = 10 \times 10^{-2} \times \sqrt{3} \ m = 10 \sqrt{3} \times 10^{-2} \ m$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mk^2$ હોવાથી (જ્યાં $m$ એ દળ અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે),આપણને મળે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{mk^2}{MB}}$
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
અહીં દળ $9$ ગણું વધારવામાં આવે છે $(m_2 = 9m_1)$,તેથી નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{9m_1}{m_1}} = \sqrt{9} = 3$
તેથી,$T_2 = 3T_1 = 3T$.