Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Gujarati

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો સિદ્ધાંત $i = K \tan \theta$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $i \propto \tan \theta$.
આપેલ છે: $i_1 = \sqrt{3} \text{ A}$,$\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $i_2 = 3 \text{ A}$.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan \theta_2}$.
કારણ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1/\sqrt{3}}{\tan \theta_2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\tan \theta_2 = 1$ મળે છે.
તેથી,$\theta_2 = 45^{\circ}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતી સોય માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = q_m \cdot l$ છે,જ્યાં $q_m$ એ ધ્રુવમાન છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2/12}{q_m \cdot l \cdot B}} = 2\pi \sqrt{\frac{ml}{12 q_m B}}$.
અહીં $T \propto \sqrt{ml}$ હોવાથી,જ્યારે સોયને અડધી કાપવામાં આવે,ત્યારે નવું દળ $m' = m/2$ અને નવી લંબાઈ $l' = l/2$ થાય છે. ધ્રુવમાન $q_m$ સમાન રહે છે.
તેથી,$T' = T \sqrt{\frac{m'l'}{ml}} = T \sqrt{\frac{(m/2)(l/2)}{ml}} = T \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{T}{2}$.
આપેલ $T = 1.0 \, s$ માટે,નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{1.0}{2} = 0.5 \, s$ થશે.

(D) મુક્ત રીતે લટકાવેલા ચુંબકીય ડાયપોલનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
$L$ લંબાઈ,$m$ દળ અને $q_m$ ધ્રુવ શક્તિ ધરાવતા ચુંબક માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = q_m L$ છે અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{12}$ છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં બે સમાન ભાગોમાં તોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = L/2$ થાય છે,નવું દળ $m' = m/2$ થાય છે અને નવી ધ્રુવ શક્તિ $q_m$ સમાન રહે છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = q_m (L/2) = M/2$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{(m/2)(L/2)^2}{12} = \frac{mL^2}{8 \times 12} = I/8$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} T$ છે.
આપેલ છે કે $T = 2 \ s$,તેથી નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{2}{2} = 1 \ s$ થશે.

(D) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
જ્યાં:
$I$ = નિલંબન અક્ષને અનુલક્ષીને ચુંબકની જડત્વની ચાકમાત્રા.
$M$ = ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ.
$H$ = બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ ત્રણેય પરિબળો $I, M$ અને $H$ પર આધાર રાખે છે.

(D) ડિફ્લેક્શન મેગ્નેટોમીટર માટે,કોઈ વિચલન ન થાય (નલ પોઈન્ટ) તેની શરત ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સંતુલન દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{M_1}{d_1^3} = \frac{M_2}{d_2^3}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{27}{8}$ આપેલ છે.
ધારો કે $M_1$ એ શક્તિશાળી ચુંબક છે અને $M_2$ એ નબળું ચુંબક છે. તેથી,$d_2 = 0.12 \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{27}{8} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{3}{2} = \frac{d_1}{0.12}$.
$d_1$ માટે ઉકેલતા: $d_1 = \frac{3}{2} \times 0.12 = 1.5 \times 0.12 = 0.18 \ m$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$,અથવા $B_H \propto \frac{1}{T^2}$.
પ્રથમ સ્થળે,આવૃત્તિ $40 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \,s$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_H)_1 = 0.1 \times 10^{-5} \,T = 10^{-6} \,T$ છે.
બીજા સ્થળે,આવર્તકાળ $T_2 = 2.5 \,s$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{(B_H)_2}{(B_H)_1} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(B_H)_2 = (B_H)_1 \times \left( \frac{1.5}{2.5} \right)^2$
$(B_H)_2 = 10^{-6} \times \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 10^{-6} \times \frac{9}{25} = 10^{-6} \times 0.36 = 0.36 \times 10^{-6} \,T$.

(C) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરના કિસ્સામાં,પ્રવાહ $i = k \tan \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે અને $\phi$ એ કોણાવર્તન છે.
બંને બાજુ $\phi$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{di}{d\phi} = k \sec^2 \phi$ મળે છે.
આમ,સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{di}{i} = \frac{k \sec^2 \phi \cdot d\phi}{k \tan \phi} = \frac{d\phi}{\sin \phi \cos \phi}$ દ્વારા મળે છે.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,$\frac{di}{i} = \frac{2 d\phi}{2 \sin \phi \cos \phi} = \frac{2 d\phi}{\sin 2\phi}$ મળે છે.
ત્રુટિ $\frac{di}{i}$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$\sin 2\phi$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin 2\phi$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $2\phi = 90^o$ એટલે કે $\phi = 45^o$ પર મળે છે.

(A) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર ટેન્જન્ટના નિયમ પર કાર્ય કરે છે,જે જણાવે છે કે $F = H \tan \theta$,જ્યાં $F$ અને $H$ એ એકબીજાને લંબ બે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રો છે.
આ ક્ષેત્રોમાંથી એક પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(H)$ છે,જે ચુંબકીય મેરિડિયન (ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા) ની સાથે હોય છે.
પ્રયોગ કરવા માટે,ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલને ચુંબકીય મેરિડિયનમાં (ઊભી રીતે ઉત્તર-દક્ષિણ) મૂકવી આવશ્યક છે જેથી કોઈલમાં વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકને લંબ રહે.
આ ગોઠવણી એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે ચુંબકીય સોય,જે શરૂઆતમાં ચુંબકીય મેરિડિયનમાં હોય છે,તે ટેન્જન્ટના નિયમ મુજબ વિચલિત થાય છે જ્યારે કોઈલમાંથી પ્રવાહ પસાર થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ રૂપે બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = M/2$ થાય છે અને નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I/8$ થાય છે (કારણ કે $I = \frac{1}{12}mL^2$ અને દળ $m$ એ $m/2$ થાય છે,લંબાઈ $L$ એ $L/2$ થાય છે).
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$ થશે.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકની દોલન આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu B_H}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,$B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
આમ,$f \propto \sqrt{B_H}$ હોવાથી,$\frac{f_B}{f_A} = \sqrt{\frac{(B_H)_B}{(B_H)_A}}$ મળે.
અહીં $f_A = 10 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને $f_B = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{20}{10} = \sqrt{\frac{(B_H)_B}{36 \times 10^{-6} \ T}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2^2 = \frac{(B_H)_B}{36 \times 10^{-6} \ T}$.
$4 = \frac{(B_H)_B}{36 \times 10^{-6} \ T}$.
$(B_H)_B = 4 \times 36 \times 10^{-6} \ T = 144 \times 10^{-6} \ T$.

(D) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અને કોણાવર્તન $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $i = K \tan \phi$ છે,જ્યાં $K$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર છે.
તેથી,$i \propto \tan \phi$.
આપેલ છે કે $i_1 = 2 \ A$ અને $\phi_1 = 30^\circ$.
આપણે $\phi_2 = 60^\circ$ માટે $i_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{\tan \phi_1}{\tan \phi_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{i_2} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,તેથી $\frac{2}{i_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
આમ,$i_2 = 2 \times 3 = 6 \ A$.

(A) સાચું વિધાન એ છે કે કોઈલનું સમતલ પૃથ્વીના ચુંબકીય મેરિડિયનને સમાંતર ગોઠવવું જોઈએ,કાટખૂણે નહીં.
જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય મેરિડિયનને સમાંતર હોય છે,ત્યારે કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ ને લંબ હોય છે.
આ ટેન્જેન્ટના નિયમ માટેની શરત સંતોષે છે,$B = B_H \tan \theta$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times 2l$ (જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $2l$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે),તેથી $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ મળે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
અહીં ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણી $(m' = 4m)$ થાય છે,તેથી નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે:
$T' = T \times \sqrt{\frac{m}{m'}} = 2 \times \sqrt{\frac{m}{4m}} = 2 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \, s$.

(D) ડિફ્લેક્શન મેગ્નેટોમીટર (સમાન અંતરની પદ્ધતિ) માં,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $\tan \theta$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times L$ હોવાથી (જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $L$ એ લંબાઈ છે),આપણી પાસે $\frac{m_1 L_1}{m_2 L_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$,$\theta_1 = 45^\circ$,અને $\theta_2 = 30^\circ$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{m_1}{m_2} \times \frac{1}{2} = \frac{\tan 45^\circ}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = 2\sqrt{3} : 1$.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં,કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ અને વિચલન કોણ $\theta$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$B = B_H \tan \theta$
આપેલ છે:
$B_H = 0.34 \times 10^{-4} \, T$
$\theta = 30^\circ$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan 30^\circ$
કારણ કે $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$:
$B = 0.34 \times 10^{-4} \times 0.577$
$B \approx 0.196 \times 10^{-4} \, T$
$B = 1.96 \times 10^{-5} \, T$

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો સિદ્ધાંત $I = K \tan \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે,$K$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે અને $\phi$ એ કોણાવર્તન ખૂણો છે.
આપેલ ગેલ્વેનોમીટર માટે $K$ અચળ હોવાથી,$I \propto \tan \phi$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\tan \phi_1}{\tan \phi_2}$ મળે.
અહીં $I_1 = 0.1 \, A$,$\phi_1 = 30^\circ$,અને $\phi_2 = 60^\circ$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.1}{I_2} = \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{0.1}{I_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
આમ,$I_2 = 0.1 \times 3 = 0.3 \, A$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા ગજિયા ચુંબક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
જો દળ $m$ ને ચાર ગણું $(m' = 4m)$ કરવામાં આવે,તો નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4ml^2}{12MB}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}) = 2T$ થાય છે.
ગતિ $S.H.M.$ જ રહે છે કારણ કે નાના દોલનો માટે પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -MB \sin \theta \approx -MB \theta$ થાય છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
મૂળ ચુંબક માટે જેનું દળ $m$ અને લંબાઈ $l$ છે,$I = \frac{ml^2}{12}$ અને $M = m_s l$ (જ્યાં $m_s$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે).
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડા માટે: દળ $m' = \frac{m}{2}$,લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$,અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m_s' = m_s$.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/2) (l/2)^2}{12} = \frac{1}{8} \left( \frac{ml^2}{12} \right) = \frac{I}{8}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m_s l' = m_s (l/2) = \frac{M}{2}$.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T'}{T} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$.
અહીં,$I$ એ ગજિયા ચુંબકની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
$w$ દળ,$L$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ ધરાવતા લંબચોરસ ગજિયા ચુંબક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{w(L^2 + b^2)}{12}$ થાય છે.
આમ,$I \propto w$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $T \propto \sqrt{I} \propto \sqrt{w}$.
જો દળ $w$ ને $4$ ગણું કરવામાં આવે,તો નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = T \sqrt{4} = 2T$ થશે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
શરૂઆતમાં,$T = 2 \, s = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં ત્રણ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગ માટે દળ $m' = m/3$ અને લંબાઈ $l' = l/3$ થાય છે.
દરેક ભાગની કેન્દ્રમાંથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{1}{12} m' (l')^2 = \frac{1}{12} (m/3) (l/3)^2 = \frac{I}{27}$ થાય.
દરેક ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = M/3$ થાય.
જ્યારે આવા ત્રણ ભાગોને એકબીજા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = 3 \times I' = 3 \times (I/27) = I/9$ થાય.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_s = 3 \times M' = 3 \times (M/3) = M$ થાય.
નવો આવર્તકાળ $T_s = 2\pi \sqrt{\frac{I_s}{M_s B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/9}{MB}} = \frac{1}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T}{3}$ થાય.
$T = 2 \, s$ મૂકતા,આપણને $T_s = 2/3 \, s$ મળે છે.

(C) ક્ષિતિજ સમાંતર સમતલમાં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H = B \cos \phi$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ક્ષિતિજ સમાંતર ઘટક છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{B \cos \phi}}$,જેનો અર્થ છે કે $B \propto \frac{1}{T^2 \cos \phi}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 2 \ s$,$\phi_1 = 30^o$ અને $T_2 = 3 \ s$,$\phi_2 = 60^o$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{T_2^2 \cos \phi_2}{T_1^2 \cos \phi_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 \times \frac{\cos 60^o}{\cos 30^o} = \frac{9}{4} \times \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{9}{4\sqrt{3}}$.

(C) ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ધરાવતા એક ગજિયા ચુંબકનો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ માં આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સમાન ચુંબકોને લંબરૂપે મૂકવાથી બનતા સંયોજન માટે,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I + I = 2I$ થાય છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{res} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2}M$ થાય છે.
સંયોજનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{total}}{M_{res}H}} = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{\sqrt{2}MH}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$ છે.
આને $T = 2^{1/4} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = 2^{1/4} T'$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$T' = \frac{T}{2^{1/4}} = 2^{-1/4} T$ મળે છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો સિદ્ધાંત આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = B_H \tan \theta$,જ્યાં $B$ એ કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{\mu_0 n i}{2r} = B_H \tan \theta$.
પ્રવાહ $i$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $i = \frac{2r B_H \tan \theta}{\mu_0 n}$.
આપેલ કિંમતો: $r = 0.1\,m$,$n = 10$,$B_H = 4 \times 10^{-5}\,T$,$\theta = 60^{\circ}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$.
આ કિંમતો મૂકતા: $i = \frac{2 \times 0.1 \times 4 \times 10^{-5} \times \tan(60^{\circ})}{10 \times 4\pi \times 10^{-7}}$.
કારણ કે $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \approx 1.732$,તેથી $i = \frac{0.8 \times 10^{-5} \times 1.732}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{0.8 \times 1.732}{4\pi \times 0.1} \approx 1.1\,A$.

(D) શરૂઆતમાં,તટસ્થ બિંદુ ચુંબકની વિષુવરેખા પર મળે છે. તટસ્થ બિંદુએ,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકનું મૂલ્ય $(B_H)$ એ ગજિયા ચુંબક દ્વારા તેની વિષુવરેખા પર ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_e)$ જેટલું હોય છે. તેથી,$|B_H| = |B_e|$.
જ્યારે ચુંબકને $90^o$ જેટલું ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે $P$ બિંદુ હવે ચુંબકની અક્ષ પર આવે છે. ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a = 2 B_e$ છે. કારણ કે $B_e = B_H$,તેથી $B_a = 2 B_H$ થાય.
પૃથ્વીનું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ તેની મૂળ દિશામાં જ રહે છે. $P$ બિંદુએ પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $B_a$ અને $B_H$ નો સદિશ સરવાળો છે,જે એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણ $B = \sqrt{B_a^2 + B_H^2} = \sqrt{(2 B_H)^2 + B_H^2} = \sqrt{4 B_H^2 + B_H^2} = \sqrt{5} B_H$ થાય.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $I$ જડત્વની આઘૂર્ણ ધરાવતા બે સમાન ચુંબકો એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ છે.
કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = I + I = 2I$ છે.
પ્રારંભિક સમયગાળો $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2} B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MB_H}} = 2^{1/4} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 2^{5/4} \ s$,તેથી $2^{5/4} = 2^{1/4} \cdot T_0$,જ્યાં $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ એ એક ચુંબકનો સમયગાળો છે.
આમ,$T_0 = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^1 = 2 \ s$.
જ્યારે એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલા ચુંબકનો સમયગાળો $T_2 = T_0 = 2 \ s$ થાય છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{B_{net}}}$,જ્યાં $B_{net}$ એ પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
શરૂઆતમાં,$T_1 = 2 \ s$ અને $B_{net1} = H$ છે.
જ્યારે ચુંબકને નજીક અને સમાંતર લાવવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામી ક્ષેત્ર $B_{net2} = H + F$ થાય છે અને આવર્તકાળ $T_2 = 1 \ s$ થાય છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{H+F}{H}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{1} = \sqrt{1 + \frac{F}{H}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = 1 + \frac{F}{H} \Rightarrow \frac{F}{H} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{H}{F} = \frac{1}{3}$ થાય.

(C) ધારો કે $M_1$ અને $M_2$ એ ચુંબકોની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
સંતુલનમાં,તારનું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક ચુંબકીય ટોર્ક જેટલું હોય છે: $\tau = C\phi = MH \sin \theta$,જ્યાં $C$ એ એકમ વળ દીઠ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક છે,$\phi$ એ તારનો વળનો ખૂણો છે અને $\theta$ એ વિચલનનો ખૂણો છે.
પ્રથમ ચુંબક માટે: $\phi_1 = 180^o - 30^o = 150^o$. તેથી,$C(150^o) = M_1 H \sin 30^o$.
બીજા ચુંબક માટે: $\phi_2 = 270^o - 30^o = 240^o$. તેથી,$C(240^o) = M_2 H \sin 30^o$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{150^o}{240^o} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $5:8$ છે.

(C) ચુંબકીય મેરિડિયનને લંબ શિરોલંબ સમતલમાં,સોય પર લાગતું અસરકારક ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $B_V$ છે. સમયગાળો $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_V}} = 2 \text{ s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ સમતલમાં,સોય પર લાગતું અસરકારક ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ છે. સમયગાળો $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}} = 2 \text{ s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_1 = T_2$ હોવાથી,આપણને $B_V = B_H$ મળે છે.
ડીપ એંગલ $\phi$ એ સંબંધ $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$B_V = B_H$ મૂકતા,આપણને $\tan \phi = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 45^o$.

(C) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
શરૂઆતમાં,$T = 0.1 \, s$ અને $B_H = 24 \, \mu T$.
$i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા શિરોલંબ તારથી $a$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{a}$ છે.
અહીં $i = 18 \, A$ અને $a = 20 \, cm = 0.2 \, m$ આપેલ છે,તેથી $B = 10^{-7} \cdot \frac{2 \times 18}{0.2} = 18 \times 10^{-6} \, T = 18 \, \mu T$.
તાર પૂર્વ દિશામાં છે અને પ્રવાહ નીચેની તરફ હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકના સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્તર દિશામાં,એટલે કે $B_H$ ની દિશામાં જ હશે.
તેથી,નવું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_H + B = 24 \, \mu T + 18 \, \mu T = 42 \, \mu T$ થશે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m(B_H + B)}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{B_H}{B_H + B}} = \sqrt{\frac{24}{24 + 18}} = \sqrt{\frac{24}{42}} = \sqrt{\frac{4}{7}} \approx 0.7559$.
તેથી,$T' = 0.1 \times 0.7559 \approx 0.0756 \, s \approx 0.076 \, s$.

(B) ટેન્જેન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાં,પ્રવાહ $i$ અને કોણાવર્તન $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $i = K \tan \theta$,જ્યાં $K$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો રિડક્શન ફેક્ટર છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = \arctan(i/K)$.
જેમ $i$ વધે છે,તેમ $\tan \theta$ વધે છે. $\theta$ ના નાના મૂલ્યો માટે,$\tan \theta \approx \theta$,જે ગ્રાફને લગભગ રેખીય બનાવે છે. જેમ $\theta$ એ $\pi/2$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $\tan \theta$ અનંત તરફ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ વધવાની સાથે $\theta$ વિરુદ્ધ $i$ ના વક્રનો ઢાળ ઘટવો જોઈએ (વક્ર $i$-અક્ષ તરફ વળે છે).
આપેલ ગ્રાફ જોતા,વક્ર $b$ આ લાક્ષણિક વર્તન દર્શાવે છે જ્યાં $\theta$ વધવાની સાથે $i$ ના સંદર્ભમાં $\theta$ ના વધવાનો દર ઘટે છે,જે ઇન્વર્સ ટેન્જેન્ટ વિધેયના આકારને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $b$ છે.

(C) જ્યારે ચુંબકનો દક્ષિણ ધ્રુવ ભૌગોલિક ઉત્તર તરફ હોય,ત્યારે તટસ્થ બિંદુ તેની અક્ષ પર મળે છે. અક્ષ પરના બિંદુ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3}$ છે.
તટસ્થ બિંદુએ,ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જેટલું હોય છે:
$\frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{r^3} = B_H$
અહીં,$r = 20 \, cm = 0.2 \, m$,$B_H = 0.3 \times 10^{-4} \, T$,અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10^{-7} \cdot \frac{2M}{(0.2)^3} = 0.3 \times 10^{-4}$
$10^{-7} \cdot \frac{2M}{0.008} = 0.3 \times 10^{-4}$
$2M = 0.3 \times 10^{-4} \times 0.008 \times 10^7$
$2M = 2.4$
$M = 1.2 \, A \cdot m^2$.
$1 \, A \cdot m^2 = 1000 \, ab-amp \cdot cm^2$ હોવાથી,
$M = 1.2 \times 1000 = 1200 \, ab-amp \cdot cm^2$.

(D) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટર માટે દોલનનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સમાન ધ્રુવો સાથે હોય ત્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટનો સરવાળો $(M_1 + M_2)$ થાય,તેથી સમયગાળો $T_s = \frac{60}{12} = 5 \ s$ મળે.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો સાથે હોય ત્યારે ચુંબકીય મોમેન્ટનો તફાવત $(M_1 - M_2)$ થાય,તેથી સમયગાળો $T_d = \frac{60}{4} = 15 \ s$ મળે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{T_d^2 + T_s^2}{T_d^2 - T_s^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતાં: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{15^2 + 5^2}{15^2 - 5^2} = \frac{225 + 25}{225 - 25} = \frac{250}{200} = \frac{5}{4}$.

(B) ટેન્જેન્ટ ગેલ્વેનોમિટરનો સિદ્ધાંત નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = B_H \tan \theta$,જ્યાં $B$ એ કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે અને $\theta$ એ કોણાવર્તનનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
$B_H = 0.34 \times 10^{-4} \, T$
$\theta = 30^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (0.34 \times 10^{-4}) \times \tan(30^{\circ})$
કારણ કે $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735$
$B = 0.34 \times 10^{-4} \times 0.57735$
$B \approx 0.1963 \times 10^{-4} \, T$
$B \approx 1.963 \times 10^{-5} \, T$
આમ,કોઈલનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $1.96 \times 10^{-5} \, T$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H$ માં મુક્ત રીતે લટકાવેલા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય ચાકમાત્રા છે.
આ સૂત્ર પરથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ચાકમાત્રા $M_1 = 100$ છે અને અંતિમ ચુંબકીય ચાકમાત્રા $M_2 = 100 - 19 = 81$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$ થાય.
ટકાવારી ફેરફારની ગણતરી: $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (\frac{10}{9} - 1) \times 100 = \frac{1}{9} \times 100 \approx 11.11\%$.
આમ,આવર્તકાળમાં આશરે $11\%$ નો વધારો થાય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_H = B \cos \phi$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આમ,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB \cos \phi}}$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B \cos \phi}}$.
અહીં $n_1 = 20$ દોલનો $60 \ s$ માં,તેથી $T_1 = \frac{60}{20} = 3 \ s$ અને $\phi_1 = 30^{\circ}$.
અહીં $n_2 = 15$ દોલનો $60 \ s$ માં,તેથી $T_2 = \frac{60}{15} = 4 \ s$ અને $\phi_2 = 60^{\circ}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{B_2 \cos \phi_2}{B_1 \cos \phi_1}} \Rightarrow \frac{3}{4} = \sqrt{\frac{B_2 \cos 60^{\circ}}{B_1 \cos 30^{\circ}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{9}{16} = \frac{B_2}{B_1} \times \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{B_2}{B_1} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{16}{9\sqrt{3}}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ છે,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = 2 \, s$.
જ્યારે સમાન દિશામાં બાહ્ય ક્ષેત્ર $F$ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = H + F$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M(H+F)}} = 1 \, s$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{H+F}{H}} = \sqrt{1 + \frac{F}{H}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{1} = \sqrt{1 + \frac{F}{H}} \Rightarrow 4 = 1 + \frac{F}{H} \Rightarrow \frac{F}{H} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{H}{F} = \frac{1}{3}$ થાય.

(D) સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $T \propto \sqrt{I}$.
શરૂઆતમાં જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. જ્યારે ચુંબક સાથે તેના જેટલી જ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ધરાવતો લાકડાનો ટુકડો જોડવામાં આવે,ત્યારે તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + I = 2I$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{MB_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$T' = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}) = \sqrt{2}T$.

(C) ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે $\tan A$ સ્થિતિમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{d^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડિફ્લેક્શન ગેલ્વેનોમીટરમાં,$B = H \tan \theta$,જ્યાં $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
તેથી,$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{d^3} = H \tan \theta$ ..... $(i)$
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,ત્યારે નવું કોણાવર્તન $\theta'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{(2d)^3} = H \tan \theta'$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\tan \theta'}{\tan \theta} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$\tan \theta' = \frac{\tan 60^\circ}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8}$
$\theta' = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$

(C) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટેનું સૂત્ર $I = K \tan \theta$ છે,જ્યાં $K = \frac{2r B_H}{\mu_0 n}$ છે.
આપેલ છે: $I = 10 \, mA = 10 \times 10^{-3} \, A$,$\theta = 45^{\circ}$,$B_H = 3.6 \times 10^{-5} \, T$,$r = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$I = K$ થાય,તેથી $n = \frac{2r B_H}{\mu_0 I}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{2 \times 0.1 \times 3.6 \times 10^{-5}}{4\pi \times 10^{-7} \times 10 \times 10^{-3}}$.
ગણતરી કરતા: $n = \frac{0.72 \times 10^{-5}}{12.56 \times 10^{-10}} = 573.25$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $570$ છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T$ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે ચુંબકીય મોમેન્ટ $36\%$ ઘટે છે,જો પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = 100$ હોય,તો અંતિમ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = 100 - 36 = 64$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{8}{10} = 0.8$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T_2 = \frac{T_1}{0.8} = 1.25 T_1$.
આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = (1.25 - 1) \times 100\% = 25\%$ છે.

(A) ધારો કે ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1$ અને $M_2$ છે,જ્યાં $\frac{M_1}{M_2} = \frac{13}{5}$ છે.
જ્યારે સમાન ધ્રુવો સાથે હોય,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_s = M_1 + M_2$ થાય અને આવૃત્તિ $\nu_s = 15 \text{ oscillations/min}$ છે.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો સાથે હોય,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_d = M_1 - M_2$ થાય અને આવૃત્તિ $\nu_d$ છે.
વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરની આવૃત્તિ $\nu \propto \sqrt{M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{\nu_s}{\nu_d} = \sqrt{\frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{\nu_s^2}{\nu_d^2} = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2} = \frac{13 + 5}{13 - 5} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\nu_s}{\nu_d} = \frac{3}{2}$.
આપેલ છે કે $\nu_s = 15$,તેથી $\frac{15}{\nu_d} = \frac{3}{2}$.
$\nu_d$ માટે ઉકેલતા: $\nu_d = \frac{15 \times 2}{3} = 10 \text{ oscillations/min}$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકીય ડાયપોલનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B_H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
શરૂઆતમાં,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. તેથી,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$.
જ્યારે ચુંબક સાથે $I$ જેટલી જ જડત્વની ચાકમાત્રા ધરાવતો લાકડાનો ટુકડો જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + I = 2I$ થાય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{MB_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{2I}{MB_H}}$ દ્વારા મળે છે.
આને પ્રારંભિક આવર્તકાળ સાથે સરખાવતા,આપણને $T' = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}) = \sqrt{2}T$ મળે છે.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ લંબાઈ,$m$ દળ અને $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં $6$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $m' = m/6$,લંબાઈ $l' = L/6$ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = M/6$ થાય છે.
દરેક ભાગની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{part} = \frac{I}{6^3}$ લેતા,સિસ્ટમની કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{net} = 6 \times \frac{I}{216} = \frac{I}{36}$ થાય છે.
આકૃતિ પરથી,$2$ ચુંબક એક દિશામાં અને $4$ ચુંબક વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net} = \frac{2M}{6} - \frac{4M}{6} = -\frac{2M}{6} = -\frac{M}{3}$ થાય. તેનું મૂલ્ય $|M_{net}| = \frac{M}{3}$ છે.
નવો સમયગાળો $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I_{net}}{|M_{net}|H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/36}{(M/3)H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{12MH}} = \frac{1}{\sqrt{12}} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = \frac{T}{2\sqrt{3}}$ થાય.

(A) આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ,$M = 6.7 \times 10^{-2} \ Am^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.01 \ T$
જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = 7.5 \times 10^{-6} \ kgm^2$
સરળ આવર્ત ગતિ કરતી ચુંબકીય સોયનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{7.5 \times 10^{-6}}{6.7 \times 10^{-2} \times 0.01}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{7.5 \times 10^{-6}}{6.7 \times 10^{-4}}}$
$T = 2\pi \sqrt{1.1194 \times 10^{-2}}$
$T = 2\pi \times 0.1058 \approx 0.665 \ s$
$10$ પૂર્ણ દોલનો માટે લાગતો સમય:
$t = 10 \times T = 10 \times 0.665 = 6.65 \ s$

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ જડત્વની આઘૂર્ણ,$M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $B_H$ આડું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
બે સમાન ચુંબકો (દરેક $I_0$ જડત્વની આઘૂર્ણ અને $M_0$ ચુંબકીય મોમેન્ટ સાથે) જે પરસ્પર લંબ અને એકબીજાને દુભાગે છે તેના સંયોજન માટે:
કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = I_0 + I_0 = 2I_0$.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_1 = \sqrt{M_0^2 + M_0^2} = M_0\sqrt{2}$.
આપેલ છે $T_1 = 4 \, s$,તેથી $4 = 2\pi \sqrt{\frac{2I_0}{M_0\sqrt{2} B_H}} = 2\pi \sqrt{\frac{I_0\sqrt{2}}{M_0 B_H}}$.
જ્યારે એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે છે:
નવી જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = I_0$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = M_0$.
નવો સમયગાળો $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B_H}}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{I_0\sqrt{2}}{M_0 B_H}}}{2\pi \sqrt{\frac{I_0}{M_0 B_H}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4}$.
તેથી,$T_2 = \frac{T_1}{2^{1/4}} = \frac{4}{2^{1/4}} = \frac{2^2}{2^{1/4}} = 2^{2 - 1/4} = 2^{7/4} \, s$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
મૂળ ચુંબક માટે જેનું દળ $m$ અને લંબાઈ $\ell$ છે,$I = \frac{m\ell^2}{12}$ અને $M = q_m \ell$ (જ્યાં $q_m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે).
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $\ell' = \ell/2$ અને નવું દળ $m' = m/2$ થાય છે.
નવી ધ્રુવ પ્રબળતા $q_m$ સમાન રહે છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = q_m \ell' = q_m (\ell/2) = M/2$.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m'(\ell')^2}{12} = \frac{(m/2)(\ell/2)^2}{12} = \frac{m\ell^2}{12 \times 8} = I/8$.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{I}{MB}} = \frac{1}{2} T$.
તેથી,ગુણોત્તર $T'/T = 1/2$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{H}$ માં બે ચુંબકોના સંયોજન માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{total}}{M_{total} B_{H}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે સમાન ધ્રુવો એક જ બાજુ હોય,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{eff} = M + 2M = 3M$ થાય છે. જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{1} + I_{2}$ રહે છે.
તેથી,$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{I_{1} + I_{2}}{3M B_{H}}}$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે એક ચુંબકની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{eff} = |2M - M| = M$ થાય છે. જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{1} + I_{2}$ સમાન રહે છે.
તેથી,$T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{I_{1} + I_{2}}{M B_{H}}}$.
$T_{1}$ અને $T_{2}$ ની સરખામણી કરતા,$T_{2}$ નો છેદ $T_{1}$ કરતા નાનો હોવાથી,$T_{1} < T_{2}$ મળે છે.