Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Gujarati

(D) ટૂંકા ચુંબકના દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ, $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને $I$ જડત્વની ચાકમાત્રા છે. તેથી, $f \propto \sqrt{B}$.
શરૂઆતમાં, $f_1 = 10 \, Hz$ અને $B_1 = 12 \, \mu T$.
$r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ અંતરે લાંબા ઉર્ધ્વ તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_w = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 15}{0.2} = 15 \, \mu T$ છે.
તાર ચુંબકની પશ્ચિમમાં હોવાથી, નીચેની તરફના પ્રવાહ માટે જમણા હાથના નિયમ મુજબ, તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર દિશામાં હશે. પૃથ્વીનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ પણ ઉત્તર દિશામાં છે.
જો ક્ષેત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો $B_2 = |12 - 15| = 3 \, \mu T$. તેથી, $f_2 = 10 \times \sqrt{3/12} = 10 \times 0.5 = 5 \, Hz$. આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
પ્રથમ ચુંબક માટે: $T_1 = 8 \text{ s}$,$M_1 = 4 \text{ Am}^2$,$I_1 = I$.
$8 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4B}} \implies 64 = 4\pi^2 \frac{I}{4B} = \frac{\pi^2 I}{B} \quad (i)$
બીજા ચુંબક માટે: $T_2 = 6 \text{ s}$,$M_2 = 8 \text{ Am}^2$,$I_2 = 9 \times 10^{-2} \text{ kg-m}^2$.
$6 = 2\pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-2}}{8B}} \implies 36 = 4\pi^2 \frac{9 \times 10^{-2}}{8B} = \frac{\pi^2 (9 \times 10^{-2})}{2B} \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{64}{36} = \frac{\pi^2 I / B}{\pi^2 (9 \times 10^{-2}) / 2B} = \frac{I \times 2}{9 \times 10^{-2}}$
$\frac{16}{9} = \frac{2I}{9 \times 10^{-2}}$
$16 = \frac{2I}{10^{-2}} \implies 16 \times 10^{-2} = 2I$
$I = 8 \times 10^{-2} \text{ kg-m}^2$.

(D) ચુંબકની લંબાઈ $2l = 10 \,cm$, તેથી $l = 5 \,cm = 0.05 \,m$ છે.
દરેક ધ્રુવથી તટસ્થ બિંદુ $P$ નું અંતર $d = 15 \,cm = 0.15 \,m$ છે.
ચુંબકના કેન્દ્ર $O$ થી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $r = \sqrt{d^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \,cm = 10\sqrt{2} \,cm = 0.1414 \,m$ છે.
તટસ્થ બિંદુ પર ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.4 \,Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \,T$ જેટલું હોય છે.
ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
અહીં, $r^2 + l^2 = d^2 = (0.15)^2 = 0.0225 \,m^2$ છે.
તેથી, $0.4 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.0225)^{3/2}}$.
$M = \frac{0.4 \times 10^{-4} \times (0.0225)^{3/2}}{10^{-7}} = 0.4 \times 10^3 \times (0.15)^3 = 400 \times 0.003375 = 1.35 \,A-m^2$.
ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ એ $M = m \times (2l)$ દ્વારા મળે છે.
$m = \frac{M}{2l} = \frac{1.35 \,A-m^2}{0.10 \,m} = 13.5 \,A-m$.

(D) દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય ચાકમાત્રા છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
આપેલ કિંમતો:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$
$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$
$T = 8.8 \,s$
આ કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I = \frac{ml^2}{12}$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M = m_p l$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,જ્યાં $m_p$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2}{12 m_p l B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{ml}{12 m_p B}}$.
દળ $m$ એ લંબાઈ $l$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$m \propto l$,તેથી $T \propto \sqrt{\frac{l^2}{m_p}} \propto \frac{l}{\sqrt{m_p}}$.
જ્યારે ચુંબકને ત્રણ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = l/3$ થાય છે અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m_p$ સમાન રહે છે.
જ્યારે આ ત્રણ ભાગોને સમાન ધ્રુવો સાથે એકબીજા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = l/3$ અને નવી ધ્રુવ પ્રબળતા $M'_{p} = 3m_p$ થાય છે.
સંયોજન માટે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = 3 \times \frac{(m/3)(l/3)^2}{12} = \frac{ml^2}{108}$ થાય છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = 3m_p \times (l/3) = m_p l = M$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2/108}{M B}} = \frac{1}{\sqrt{9}} T = \frac{T}{3}$ થાય છે.
આપેલ $T = 2 \ s$ માટે,નવો આવર્તકાળ $T' = 2/3 \ s$ મળે છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2r B_H}{\mu_0 N} \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે, $N$ આંટાની સંખ્યા છે અને $\theta$ કોણાવર્તન છે。
ગેલ્વેનોમીટર $V$ emf ધરાવતા સેલ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, દરેક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે $(V_A = V_B = V)$。
$V = IR$ હોવાથી, $I = V/R$ મળે. બંને માટે $R$ સમાન $(8 \Omega)$ હોવાથી, પ્રવાહ $I_A$ અને $I_B$ સમાન છે。
તેથી, $\frac{2 r_A B_H}{\mu_0 N_A} \tan \theta_A = \frac{2 r_B B_H}{\mu_0 N_B} \tan \theta_B$.
સાદુરૂપ આપતા, $\frac{r_A \tan \theta_A}{N_A} = \frac{r_B \tan \theta_B}{N_B}$ મળે。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r_A = 8 \text{ cm}$, $r_B = 16 \text{ cm}$, $N_A = 2$, $\theta_A = 30^{\circ}$, $\theta_B = 60^{\circ}$.
$\frac{8 \tan 30^{\circ}}{2} = \frac{16 \tan 60^{\circ}}{N_B}$.
$4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16 \times \sqrt{3}}{N_B}$.
$N_B = \frac{16 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times 3}{4} = 12$ આંટા.

(D) તટસ્થ બિંદુ પર, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. આ કિસ્સામાં, પૃથ્વીનું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ડાયપોલ દ્વારા વિષુવવૃત્તીય (દુભાગતા) સ્થાને ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નાબૂદ થાય છે.
$B_H = B_{\text{equatorial}}$
અહીં $B_H = 20 \mu T = 20 \times 10^{-6} \text{ T}$ અને અંતર $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ છે.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{d^3}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $20 \times 10^{-6} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.2)^3}$.
$M = \frac{20 \times 10^{-6} \times 0.008}{10^{-7}} = 200 \times 0.008 = 1.6 \text{ A m}^2$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
શરૂઆતમાં,ચુંબક પ્રતિ મિનિટ $30$ દોલનો કરે છે,તેથી આવૃત્તિ $f = 30/60 = 0.5 \,Hz$.
પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T = 1/f = 1/0.5 = 2 \,s$.
જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે $B' = 2B$.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = \frac{T}{\sqrt{B'/B}} = \frac{T}{\sqrt{2B/B}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T' = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$ મળે છે.

(B) ગજિયા ચુંબકનો દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 2 \,s$ અને $M_1 = M$.
બીજા ચુંબક માટે,$M_2 = 4M$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન રહે છે કારણ કે ચુંબકો આકાર અને કદમાં સમાન છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4M}{M}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\frac{2}{T_2} = 2$,જે આપણને $T_2 = 1 \,s$ આપે છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકોને સાથે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{eff} = M_A + M_B$ (સમાન ધ્રુવો માટે) અને $M_{eff} = M_A - M_B$ (વિરુદ્ધ ધ્રુવો માટે) થાય છે.
ધારો કે $f_s = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને $f_d = 15 \text{ દોલનો/મિનિટ}$.
કારણ કે $f \propto \sqrt{M_{eff}}$,તેથી $\frac{f_s}{f_d} = \sqrt{\frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{20}{15}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \frac{16}{9} = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}$.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{16+9}{16-9} = \frac{25}{7}$.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MH}{I}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \sqrt{H}$,અથવા $H \propto f^2$.
અહીં $f_A = 40 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને $f_B = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ આપેલ છે.
સ્થાન $A$ પર $H_A = 36 \times 10^{-6} \ T$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{H_B}{H_A} = \left( \frac{f_B}{f_A} \right)^2$.
$\frac{H_B}{36 \times 10^{-6}} = \left( \frac{20}{40} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$H_B = \frac{36 \times 10^{-6}}{4} = 9 \times 10^{-6} \ T$.

(A) ડિફ્લેક્શન મેગ્નેટોમીટરમાં,ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $F$ અને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ એકબીજાને લંબ હોય છે.
સોય પર લાગતું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{F^2 + B_H^2}$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_{net}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $m$ એ સોયની ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
આમ,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m \sqrt{F^2 + B_H^2}}}$.
જ્યારે ચુંબકને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે માત્ર $B_H$ ક્ષેત્ર કાર્યરત હોય છે,તેથી $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H}}$.
ડિફ્લેક્શન મેગ્નેટોમીટરના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{F}{B_H} = \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $F = B_H \tan \theta$.
$F$ ની કિંમત $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m \sqrt{(B_H \tan \theta)^2 + B_H^2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H \sqrt{\tan^2 \theta + 1}}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H \sec \theta}}$.
કારણ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{I \cos \theta}{m B_H}} = T_0 \sqrt{\cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = T_0^2 \cos \theta$ મળે છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં દોલનોની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M_1$ અને $M_2$ મોમેન્ટ અને $I_1$ અને $I_2$ જડત્વની ચાકમાત્રા ધરાવતા બે ચુંબકો માટે,જ્યારે તેમને સાથે બાંધવામાં આવે ત્યારે કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2$ થાય છે.
જ્યારે સમાન ધ્રુવો સાથે બાંધવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{sum} = M_1 + M_2$ થાય છે. આવૃત્તિ $n_1 = 6 \ Hz$ છે.
જ્યારે અસમાન ધ્રુવો સાથે બાંધવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{diff} = M_1 - M_2$ થાય છે. આવૃત્તિ $n_2 = 2 \ Hz$ છે.
$n \propto \sqrt{M}$ હોવાથી,$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{6}{2})^2 = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2} \implies 9 = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}$.
$9M_1 - 9M_2 = M_1 + M_2$.
$8M_1 = 10M_2$.
$\frac{M_1}{M_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ ચુંબકનું દળ $m_1 = m$ અને બીજા ચુંબકનું દળ $m_2 = 2m$ છે. ધારો કે લંબાઈ $l_1 = l$ અને $l_2 = 2l$ છે.
ગજિયા ચુંબકની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m l^2}{12}$ છે.
તેથી,$I_1 = \frac{m l^2}{12}$ અને $I_2 = \frac{(2m)(2l)^2}{12} = \frac{8 m l^2}{12} = 8 I_1$ થાય.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = M B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\tau_{max,1} = \tau_{max,2}$,તેથી $M_1 B = M_2 B$,એટલે કે $M_1 = M_2 = M$ થાય.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M B}}$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{8 I_1} \cdot \frac{M}{M}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ મળે.

(B) દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચુંબક માટે: $T_1 = 8 \text{ s}$,$M_1 = 4 \text{ Am}^2$,$I_1 = I$. તેથી,$8 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4B_H}}$ $(i)$.
બીજા ચુંબક માટે: $T_2 = 6 \text{ s}$,$M_2 = 8 \text{ Am}^2$,$I_2 = 9 \times 10^{-2} \text{ kg m}^2$. તેથી,$6 = 2\pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-2}}{8B_H}}$ (ii).
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા: $\frac{8}{6} = \sqrt{\frac{I}{4B_H} \times \frac{8B_H}{9 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{2I}{9 \times 10^{-2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{64}{36} = \frac{2I}{9 \times 10^{-2}}$.
$\frac{16}{9} = \frac{2I}{9 \times 10^{-2}} \implies 16 = 2I \times 10^2 \implies I = 8 \times 10^{-2} \text{ kg m}^2$.

(D) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$.
પ્રથમ જગ્યાએ આપેલ છે કે,$n_1 = 30 \text{ દોલનો/મિનિટ} = 0.5 \text{ દોલનો/સેકન્ડ}$.
તેથી,આવર્તકાળ $T_1 = \frac{1}{n_1} = \frac{1}{0.5} = 2 \,s$.
બીજી જગ્યાએ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બમણું છે,તેથી $(B_H)_2 = 2(B_H)_1$.
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{(B_H)_1}{(B_H)_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{(B_H)_1}{2(B_H)_1}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$.

(D) જ્યારે ચુંબકીય સોયને બે પરસ્પર લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે.
પ્રથમ ક્ષેત્ર $B_1$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_1 = mB_1 \sin \theta$ છે,જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
બીજા ક્ષેત્ર $B_2$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_2 = mB_2 \cos \theta$ છે.
સંતુલનમાં,સોય પરનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોય છે,તેથી $\tau_1 = \tau_2$.
$mB_1 \sin \theta = mB_2 \cos \theta$
$\tan \theta = \frac{B_2}{B_1}$
અહીં $B_1 = 1 \text{ T}$ અને $B_2 = \sqrt{3} \text{ T}$ આપેલ છે.
$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
$\theta = 60^{\circ}$

(D) આપેલ છે: ચુંબકની લંબાઈ $2l = 10 \, cm$, તેથી $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$. દરેક ધ્રુવથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $r' = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
ધારો કે $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે. તટસ્થ બિંદુ $P$ પર ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.4 \, Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \, T$ જેટલું હોય છે.
ચુંબકને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ $N$ અને $S$ ધ્રુવોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r'^2} \times 2 \cos\theta$, જ્યાં $\cos\theta = \frac{OP}{r'}$.
ભૂમિતિ પરથી, $OP = \sqrt{r'^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \, cm = 10\sqrt{2} \, cm = 0.1 \sqrt{2} \, m$.
$\cos\theta = \frac{10\sqrt{2}}{15} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
ગણતરી કરતા, $m = 1.35 \, A-m$ મળે છે.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેની લંબાઈને સમાંતર ચાર સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક ટુકડાનું દળ $m' = \frac{m}{4}$ થાય છે.
ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને એક ટુકડાની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{I}{4}$ થાય છે.
એક ટુકડાની નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \frac{M}{4}$ થાય છે.
આ કિંમતોને નવા આવર્તકાળ $T'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/4}{(M/4) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = T$.
તેથી, નવો આવર્તકાળ $T' = 4 \,s$ થશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય ચાકમાત્રા છે અને $H$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$,$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$,$T = 8.8 \,s$,અને $\pi \approx 3.14$:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરની દોલન આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M H}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \sqrt{B_{net}}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H$ છે. તેથી,$n_1 = 12 \propto \sqrt{H}$.
બીજા કિસ્સામાં,ગજિયો ચુંબક અક્ષ પર મૂકવામાં આવે છે,તેથી ચોખ્ખું ક્ષેત્ર $H + H_1$ છે. આમ,$n_2 = 15 \propto \sqrt{H + H_1}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{15}{12} = \sqrt{\frac{H + H_1}{H}} \Rightarrow \frac{5}{4} = \sqrt{1 + \frac{H_1}{H}} \Rightarrow \frac{25}{16} = 1 + \frac{H_1}{H} \Rightarrow \frac{H_1}{H} = \frac{9}{16}$.
જ્યારે ધ્રુવોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્ર $H - H_1$ બને છે. ધારો કે નવી આવૃત્તિ $n_3$ છે.
$\frac{n_3}{n_1} = \sqrt{\frac{H - H_1}{H}} = \sqrt{1 - \frac{H_1}{H}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
તેથી,$n_3 = 12 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 3 \sqrt{7} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{63}$ દોલનો પ્રતિ મિનિટ.

(C) વાઈબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
મૂળ ચુંબક માટે: $I_1 = \frac{m l^2}{12}$ અને $M_1 = M$.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ રૂપે ચાર સમાન ટુકડામાં કાપવામાં આવે,ત્યારે દરેક ટુકડાનું દળ $m' = \frac{m}{4}$ અને લંબાઈ $l' = \frac{l}{4}$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/4) (l/4)^2}{12} = \frac{m l^2}{12 \times 4 \times 16} = \frac{I_1}{64}$ થાય.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = \frac{M}{4}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{I_1/64}{I_1} \cdot \frac{M}{M/4}} = \sqrt{\frac{1}{64} \cdot 4} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 4 \ s$,તેથી $T_2 = T_1 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \ s$.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બે સમાન ચુંબકો એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,તેથી કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I + I = 2I$ અને પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ છે.
આમ,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2}H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 2^{5/4} \ s$,તેથી $2^{5/4} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$ ... $(i)$.
જ્યારે એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે આવર્તકાળ $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ થાય છે ... (ii).
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{2^{5/4}}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}}{2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4}$.
તેથી,$T_2 = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^{5/4 - 1/4} = 2^1 = 2 \ s$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M = m \times l)$ છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ $(I = \frac{m l^2}{12})$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ શક્તિ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
જ્યારે સળિયાને ત્રણ સમાન ભાગોમાં તોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{3}$ થાય છે અને ધ્રુવ શક્તિ $m$ સમાન રહે છે.
તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \times \frac{l}{3} = \frac{M}{3}$ થાય છે.
નવી જડત્વની આઘૂર્ણ $I' = \frac{m(l/3)^2}{12} = \frac{m l^2}{9 \times 12} = \frac{I}{9}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3)H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{3MH}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $T = 4 \ s$,તેથી નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$ થાય છે.