Static EMI (Time Varying Magnetic Field) Questions in Gujarati

(B) વર્તુળાકાર વિસ્તારની બહાર $(r > a)$ આવેલા બિંદુ $P$ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમનો સંકલિત સ્વરૂપમાં ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતો $r$ ત્રિજ્યાનો એક સમકેન્દ્રી વર્તુળાકાર માર્ગ ધ્યાનમાં લો. સંમિતિને કારણે,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય આ માર્ગ પર અચળ રહે છે અને $\vec{E}$ વર્તુળને સ્પર્શક છે.
આમ,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi r)$.
આ વર્તુળાકાર માર્ગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ ફક્ત $a$ ત્રિજ્યાના વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે: $\phi_B = B(t) \cdot (\pi a^2)$.
ફેરાડેનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right|$
$E(2\pi r) = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$
$E = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$
અહીં $a$ અને $\frac{dB}{dt}$ અચળ હોવાથી,આપણને $E \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
તેથી,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{1}{r}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t) = B_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_0 = 0.01\,T$ અને $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 100 = 200\pi\,rad/s$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B_0 \sin(\omega t) \cdot \pi r^2$ છે.
તેથી,$\varepsilon = -\pi r^2 \frac{d}{dt}(B_0 \sin(\omega t)) = -\pi r^2 B_0 \omega \cos(\omega t)$ મળે.
રીંગની પરિઘ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot dl = \varepsilon$ દ્વારા મળે છે.
$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt} \implies E = \frac{r}{2} \frac{dB}{dt}$ થાય.
અહીં $\frac{dB}{dt} = B_0 \omega \cos(\omega t)$ હોવાથી,મહત્તમ પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{max} = \frac{r}{2} B_0 \omega$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $E_{max} = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 200\pi = \pi \approx 3.14\,V/m$ મળે.
જોકે,પ્રશ્નના સંદર્ભમાં સરેરાશ પ્રેરિત emf ની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\varepsilon_{avg} = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{B_0 A}{T/4} = 4 B_0 A f = 4 \times 0.01 \times \pi(1)^2 \times 100 = 4\pi$ મળે.
તેથી $E = \frac{\varepsilon}{2\pi r} = \frac{4\pi}{2\pi(1)} = 2\,V/m$ મળે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ બંધ લૂપ બનાવે છે.
કાગળની અંદરની તરફ જતું અને સમય સાથે વધતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે,લેન્ઝના નિયમ મુજબ પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) હશે.
બિંદુ $P$ પર,જે કેન્દ્રની જમણી બાજુએ છે,ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાનો સ્પર્શક નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વીજભાર હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
આમ,બિંદુ $P$ પર ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ જમણી તરફની દિશામાં હશે.

(C) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot d\ell = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે,$E(2\pi R) = \pi R^2 \frac{dB}{dt}$ થાય.
આપેલ છે કે $B = 4t^2$,તેથી $\frac{dB}{dt} = 8t$ થાય.
આમ,$E(2\pi R) = \pi R^2 (8t) \implies E = 4Rt$ મળે.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે રીંગ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = (qE)R = q(4Rt)R = 4qR^2t$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે લાગતું ટોર્ક મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ ટોર્ક કરતાં વધી જાય ત્યારે રીંગ ફરવાનું શરૂ કરે છે. ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ સંપર્ક બિંદુ પર લાગે છે,પરંતુ રીંગ તેના કેન્દ્રની આસપાસ ફરે તે માટે ઘર્ષણ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતું ટોર્ક $\tau_f = fR = \mu mgR$ છે.
$t = 2 \, s$ સમયે,વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ટોર્ક $\tau = 4qR^2(2) = 8qR^2$ થાય છે.
ટોર્કને સરખાવતા: $8qR^2 = \mu mgR$.
$\mu$ માટે ઉકેલતા: $\mu = \frac{8qR}{mg}$ મળે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $\frac{dB}{dt} = -\alpha$ ના દરે ઘટી રહ્યું છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,લૂપમાં પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉપરના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ $ACB$ અને નીચેના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ $ADB$ ને ધ્યાનમાં લો.
સમાનતાને કારણે,બંને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય સમાન છે,જે $\mathcal{E} = \frac{1}{2} \pi R^2 \alpha$ છે.
બંને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલ બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે.
$EMF$ સમાન હોવાથી અને બંને અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગોના અવરોધ સમાન $(R_{arc} = \pi R r)$ હોવાથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બંને માર્ગો માટે સમાન રહે છે.
પરિણામે,વ્યાસ $AB$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી કારણ કે પ્રેરિત $EMF$ ના સંદર્ભમાં $A$ અને $B$ વચ્ચે કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નથી.
આમ,તાર $AB$ માં પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(B) બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર રીંગની પરિઘ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ પ્રેરિત કરે છે. ફેરાડેના નિયમ મુજબ,$\oint E \cdot dl = -\frac{d\phi}{dt}$.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે,$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt} = \pi r^2 R$.
આમ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{rR}{2}$ છે.
રીંગ પર વિતરિત વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ $F = QE = Q \frac{rR}{2}$ છે.
આ બળ રીંગના કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે તેને ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. રીંગને સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઘર્ષણ બળ દ્વારા મળતું ટોર્ક આને સંતુલિત કરવું જોઈએ. મહત્તમ ઘર્ષણ ટોર્ક $\mu N r = \mu mgr$ છે.
સરખાવતા,$\mu mgr \geq \frac{Qr^2R}{2}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\mu \geq \frac{QrR}{2mg}$ મળે છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતી નાની વર્તુળાકાર રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $d\phi_B$ નીચે મુજબ છે:
$d\phi_B = B \cdot dA = (B_0rt) \cdot (2\pi r dr) = 2\pi B_0 t r^2 dr$
$R/2$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર વિસ્તારમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$:
$\phi_B = \int_0^{R/2} 2\pi B_0 t r^2 dr = 2\pi B_0 t \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{R/2} = 2\pi B_0 t \left( \frac{R^3}{24} \right) = \frac{\pi B_0 t R^3}{12}$
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માટે $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \frac{d\phi_B}{dt}$:
$E(2\pi r) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi B_0 t R^3}{12} \right)$
$r = R/2$ માટે:
$E(2\pi \cdot R/2) = \frac{\pi B_0 R^3}{12}$
$E(\pi R) = \frac{\pi B_0 R^3}{12}$
$E = \frac{B_0 R^2}{12}$

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$r$ $(r > R)$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot dl = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t) = B_0 + B_0 t$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = B_0$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર વિસ્તારમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B(\pi R^2)$ છે.
તેથી,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ નું મૂલ્ય $\left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \left| \frac{d}{dt} (B \pi R^2) \right| = \pi R^2 \frac{dB}{dt} = \pi R^2 B_0$ થાય.
$r$ અંતરે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માટે $E(2\pi r) = \pi R^2 B_0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ આપતા $E = \frac{R^2 B_0}{2r}$ મળે છે.
વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે અને પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $a = \frac{q}{m} \left( \frac{R^2 B_0}{2r} \right) = \frac{q B_0 R^2}{2mr}$ મળે છે.

(D) વર્તુળાકાર વિસ્તારના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ($r < R$ હોય ત્યારે) પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે,$E(2\pi r) = \pi r^2 \alpha$,જે $E = \frac{r \alpha}{2}$ આપે છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે.
ધારો કે $2R$ લંબાઈનો સળિયો વર્તુળના મધ્યબિંદુ પર સ્પર્શક તરીકે મૂકવામાં આવ્યો છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને સળિયાનું મધ્યબિંદુ $M$ છે. સળિયો સ્પર્શક રેખા પર $x = -R$ થી $x = R$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
સળિયા પર પ્રેરિત emf $\varepsilon = \int_{-R}^{R} \vec{E} \cdot d\vec{\ell}$ છે.
મધ્યબિંદુ $M$ થી $x$ અંતરે સળિયા પરના બિંદુ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r = \sqrt{R^2 + x^2}$ છે. સળિયાની દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક $E_x = E \sin \theta = E \frac{x}{r} = (\frac{r \alpha}{2}) \frac{x}{r} = \frac{\alpha x}{2}$ છે.
આમ,$\varepsilon = \int_{-R}^{R} \frac{\alpha x}{2} dx = \frac{\alpha}{2} [\frac{x^2}{2}]_{-R}^{R} = 0$.
જોકે,પ્રશ્નનો અર્થ કેન્દ્ર અને છેડાઓ વચ્ચેના સ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય હોઈ શકે છે. કેન્દ્ર અને સ્પર્શબિંદુ વચ્ચે પ્રેરિત emf $\int_0^R E dr = \int_0^R \frac{r \alpha}{2} dr = \frac{R^2 \alpha}{4}$ છે. સળિયો સંમિત હોવાથી,મધ્યબિંદુ અને કોઈપણ છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\frac{R^2 \alpha}{4}$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પાનાની અંદરની તરફ છે અને વધી રહ્યું હોવાથી,લેન્ઝના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $(A.C.W.)$ કેન્દ્રિત વર્તુળો બનાવશે.
બિંદુ $P$ પર,જે નળાકારના કેન્દ્રની ઉપર સ્થિત છે,ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાંની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાનો સ્પર્શક ડાબી તરફ નિર્દેશ કરે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ઇલેક્ટ્રોન (વીજભાર $-e$) પર લાગતું બળ $F = -eE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ડાબી તરફ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ જમણી તરફ હશે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનનો તાત્કાલિક પ્રવેગ જમણી તરફ હશે.

(A) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$R$ ત્રિજ્યાના નળાકાર વિસ્તાર માટે,પરિઘ પરના બિંદુ $(r = R)$ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{R}{2} \frac{dB}{dt}$ છે.
બિંદુ $P$ પર $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE = \frac{eR}{2} \frac{dB}{dt}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eR}{2m} \frac{dB}{dt}$ છે.

(A) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર વિસ્તાર માટે,જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $\frac{dB}{dt}$ ના દરે બદલાય છે,કેન્દ્રથી $r=R$ અંતરે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\oint E \cdot dl = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
$E(2\pi R) = \pi R^2 \frac{dB}{dt}$
$E = \frac{R}{2} \frac{dB}{dt}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે અને વધી રહ્યું છે,તેથી લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) હશે.
પરિઘ પરના બિંદુ $P$ પર,આ દિશા ડાબી તરફ છે.
પ્રોટોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = \frac{e}{m} \left( \frac{R}{2} \frac{dB}{dt} \right) = \frac{eR}{2m} \frac{dB}{dt}$ ડાબી તરફ.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
$I = I_0 \sin \omega t$ મૂકતા,આપણને $B = \mu_0 n I_0 \sin \omega t$ મળે છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,સોલેનોઈડની અંદર $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\oint E \cdot dl = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે $(r < R)$,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot A = (\mu_0 n I_0 \sin \omega t) (\pi r^2)$ છે.
સંકલન સ્વરૂપ લાગુ પાડતા: $E(2 \pi r) = \frac{d}{dt} (\mu_0 n I_0 \pi r^2 \sin \omega t)$.
$E(2 \pi r) = \mu_0 n I_0 \pi r^2 \omega \cos \omega t$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{\mu_0 n I_0 \omega r}{2} \cos \omega t$ મળે છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $\oint E \cdot dl = \frac{d\phi_B}{dt}$.
અહીં $E$ એ રીંગ પર સ્પર્શકની દિશામાં છે અને રીંગની ત્રિજ્યા $r$ હોવાથી,રેખીય સંકલન $E(2\pi r)$ થશે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B \cdot A = B(\pi r^2)$ છે.
તેથી,$\frac{d\phi_B}{dt} = \pi r^2 \frac{dB}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dB}{dt} = x$,તેથી $E(2\pi r) = \pi r^2 x$.
$E$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$E = \frac{\pi r^2 x}{2\pi r} = \frac{rx}{2}$ મળે છે.

(A) પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,બંધ ગાળાની આસપાસ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નું રેખા સંકલન એ ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
$a = 5 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર વિસ્તારની બહાર $r = 10 \, cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માટે,ચુંબકીય ફ્લક્સ માત્ર $a$ ત્રિજ્યાના વિસ્તારમાં જ સીમિત છે.
તેથી,$E(2\pi r) = \pi a^2 \frac{dB}{dt}$
$E = \frac{a^2}{2r} \frac{dB}{dt}$
આપેલ છે: $a = 5 \times 10^{-2} \, m$,$r = 10 \times 10^{-2} \, m$,અને $\frac{dB}{dt} = 4 \, T/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(5 \times 10^{-2})^2 \times 4}{2 \times 10 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{25 \times 10^{-4} \times 4}{20 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{100 \times 10^{-4}}{20 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^{-2} = 0.05 \, V/m$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\alpha}{t^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સમતલની અંદરની તરફ છે. જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા આ ઘટાડાનો વિરોધ કરશે. તેથી,અંદરની તરફ વધારાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળની દિશામાં વહેશે.
ઘડિયાળની દિશામાં પ્રવાહ માટે,ઉચ્ચ પોટેન્શિયલ બાજુ સાથે જોડાયેલ પ્લેટ પર ધન વીજભાર જમા થશે. ઘડિયાળની દિશાના માર્ગને અનુસરતા,પ્રવાહ પ્લેટ $B$ માં પ્રવેશે છે અને પ્લેટ $A$ માંથી બહાર નીકળે છે. આમ,પ્લેટ $A$ એ પ્લેટ $B$ ની સાપેક્ષમાં નીચા પોટેન્શિયલ પર હશે,જેનો અર્થ છે કે પ્લેટ $A$ ઋણ વીજભાર $(-ve)$ પ્રાપ્ત કરશે.

(A) ચોરસ ફ્રેમની બાજુની લંબાઈ $a = 20 \, cm = 0.2 \, m$ છે.
ચોરસની એક બાજુ $R = 10 \, cm = 0.1 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર વિસ્તારના વ્યાસ પર રહેલી છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદરનો વિસ્તાર એ $R = 10 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધવર્તુળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi R^2 = 0.5 \times 3.14 \times (0.1)^2 = 0.0157 \, m^2$.
પ્રેરિત $EMF$ $|e| = A \frac{dB}{dt} = 0.0157 \times 0.01 = 1.57 \times 10^{-4} \, V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R_{wire}} = \frac{1.57 \times 10^{-4}}{4} \approx 0.39 \times 10^{-4} = 3.9 \times 10^{-5} \, A$.

(A) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ એ બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ સાથે $\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
વર્તુળાકાર વિસ્તારની અંદરના બિંદુ માટે $(r < R)$: ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot (\pi r^2)$ છે. તેથી,$E(2\pi r) = \pi r^2 \frac{dB}{dt}$,જે $E = \frac{r}{2} \frac{dB}{dt}$ આપે છે. અહીં $\frac{dB}{dt}$ અચળ હોવાથી,$E \propto r$ મળે છે.
વર્તુળાકાર વિસ્તારની બહારના બિંદુ માટે $(r > R)$: ચુંબકીય ફ્લક્સ માત્ર $\pi R^2$ વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે,તેથી $\Phi_B = B \cdot (\pi R^2)$ થાય. તેથી,$E(2\pi r) = \pi R^2 \frac{dB}{dt}$,જે $E = \frac{R^2}{2r} \frac{dB}{dt}$ આપે છે. અહીં $\frac{dB}{dt}$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $r < R$ માટે $r$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને $r > R$ માટે $1/r$ મુજબ ઘટે છે. આ ફેરફાર આલેખ $A$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi(t) = B(t) \cdot A = A \cdot B_0 \sin(50 \pi t)$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \cdot B_0 \cdot (50 \pi) \cos(50 \pi t)$ છે.
લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I(t) = \frac{\varepsilon}{R} = -\frac{A \cdot B_0 \cdot 50 \pi}{R} \cos(50 \pi t)$ છે.
લૂપમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $q = \int_{0}^{t} I(t) dt = \frac{1}{R} [\Phi(0) - \Phi(t)]$ છે.
$t = 0$ સમયે, $\Phi(0) = 0$.
$t = 10 \, ms = 0.01 \, s$ સમયે, $\Phi(0.01) = A \cdot B_0 \sin(0.5 \pi) = A \cdot B_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{3.5 \times 10^{-3} \times 0.4}{10} = 0.14 \times 10^{-3} \, C = 0.14 \, mC$.

(A) ચોરસ ફ્રેમની બાજુની લંબાઈ $L = 80\, cm / 4 = 20\, cm = 0.2\, m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલ ચોરસ ફ્રેમનું ક્ષેત્રફળ એ $r = 10\, cm = 0.1\, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (0.1)^2 = 0.005\pi\, m^2$.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_{\text{ind}} = \frac{d\phi}{dt} = A \frac{dB}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dB}{dt} = 0.010\, T/s$,તેથી $E_{\text{ind}} = (0.005\pi) \times 0.01 = 5 \times 10^{-5} \pi\, V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{E_{\text{ind}}}{R} = \frac{5 \times 10^{-5} \pi}{4.0} = 1.25 \times 10^{-5} \pi\, A$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$i \approx 1.25 \times 3.14 \times 10^{-5} \approx 3.925 \times 10^{-5}\, A$.
આમ,પ્રેરિત પ્રવાહ આશરે $3.9 \times 10^{-5}\, A$ છે.

(A) ચોરસ ફ્રેમની બાજુની લંબાઈ $L = 80\,cm / 4 = 20\,cm = 0.2\,m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $r = 10\,cm = 0.1\,m$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર વિસ્તારમાં મર્યાદિત છે.
ચોરસ ફ્રેમને એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે એક બાજુ વ્યાસ પર રહે. આનો અર્થ એ છે કે વર્તુળાકાર વિસ્તારનો બરાબર અડધો ભાગ ચોરસ ફ્રેમની અંદર છે.
ફ્રેમની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (0.1)^2 = 0.005\pi\,m^2$ છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \frac{dB}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dB}{dt} = 0.010\,T/s$,તેથી $e = (0.005\pi) \times 0.010 = 5\pi \times 10^{-5}\,V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{5\pi \times 10^{-5}}{4.0} \approx \frac{5 \times 3.1416 \times 10^{-5}}{4} \approx 3.927 \times 10^{-5}\,A$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$i = 3.9 \times 10^{-5}\,A$.

(NONE) પ્રવાહ $I$ ની દિશામાં બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - IR - L \frac{dI}{dt} - 10 = V_B$
આપેલ છે કે $I = t + 2$,તેથી $\frac{dI}{dt} = 1 \ A/s$.
$t = 0$ સમયે,$I = 0 + 2 = 2 \ A$.
કિંમતો $R = 3 \ \Omega$,$L = 1 \ H$,$I = 2 \ A$,અને $\frac{dI}{dt} = 1 \ A/s$ મૂકતા:
$V_A - (2)(3) - (1)(1) - 10 = V_B$
$V_A - 6 - 1 - 10 = V_B$
$V_A - 17 = V_B$
$V_A - V_B = 17 \ V$.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = 6t^2 - 5t + 1$,તેથી $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 5t + 1) = 12t - 5$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{|e|}{R} = \frac{1}{R} |\frac{d\phi}{dt}|$ છે.
અવરોધ $R = 10 \, \Omega$ અને $t = 0.25 \, s$ લેતા:
$|\frac{d\phi}{dt}| = |12(0.25) - 5| = |3 - 5| = |-2| = 2 \, Wb/s$.
તેથી,$i = \frac{2}{10} = 0.2 \, A$.

(A) ચોરસ ફ્રેમનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (0.2\,m)^2 = 0.04\,m^2$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $E = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{dB}{dt} = -0.1\,T/s$ ના દરે ઘટે છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|E| = A \times |\frac{dB}{dt}| = 0.04\,m^2 \times 0.1\,T/s = 0.004\,V$ છે.
$0.004\,V = 4\,mV$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} = \frac{4\,mV}{1\,\Omega} = 4\,mA$ મળે છે.

(A) સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I(t) = \mu_{0} n I_{0} (t - t^{2})$ છે.
$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ સોલેનોઈડના ક્ષેત્રફળ $(R)$ સુધી મર્યાદિત છે,તેથી $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi R^{2}$.
$\phi = \pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (t - t^{2})$.
પ્રેરિત $EMF$ $V_{R} = -\frac{d\phi}{dt} = -\pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (1 - 2t) = \pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (2t - 1)$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I_{R} = \frac{V_{R}}{R_{R}}$ છે,જ્યાં $R_{R}$ એ રીંગનો અવરોધ છે.
$t = 0.5$ પર,$V_{R} = \pi R^{2} \mu_{0} n I_{0} (2(0.5) - 1) = 0$.
જેમ કે પદ $(2t - 1)$ એ $t = 0.5$ પર ચિહ્ન બદલે છે,તેથી પ્રેરિત $EMF$ અને પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા $t = 0.5$ પર ઉલટાય છે.

(C) લૂપનો વિસ્તાર લંબચોરસના વિસ્તારમાંથી બે ત્રિકોણાકાર કટઆઉટના વિસ્તારને બાદ કરીને ગણી શકાય છે.
કુલ વિસ્તાર $A = (16 \; \text{cm} \times 4 \; \text{cm}) - 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \; \text{cm} \times 4 \; \text{cm}) = 64 \; \text{cm}^2 - 8 \; \text{cm}^2 = 56 \; \text{cm}^2 = 56 \times 10^{-4} \; \text{m}^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = \frac{B_f - B_i}{\Delta t} = \frac{500 - 1000}{5} \; \text{Gauss/s} = -100 \; \text{Gauss/s} = -100 \times 10^{-4} \; \text{T/s}$ છે.
પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = |\frac{d\Phi}{dt}| = |A \frac{dB}{dt}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\varepsilon = (56 \times 10^{-4} \; \text{m}^2) \times (100 \times 10^{-4} \; \text{T/s}) = 5600 \times 10^{-8} \; \text{V} = 56 \times 10^{-6} \; \text{V} = 56 \; \mu \text{V}$.

(N/A) લંબચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 8 \; cm \times 2 \; cm = 16 \; cm^2 = 16 \times 10^{-4} \; m^2$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફારનો દર $\frac{dB}{dt} = 0.02 \; T \, s^{-1}$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ લૂપમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = A \frac{dB}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = (16 \times 10^{-4} \; m^2) \times (0.02 \; T \, s^{-1}) = 0.32 \times 10^{-4} \; V$.
$R = 1.6 \; \Omega$ અવરોધ ધરાવતા લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{0.32 \times 10^{-4} \; V}{1.6 \; \Omega} = 2 \times 10^{-5} \; A$ છે.
ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થતો પાવર $P = i^2 R = (2 \times 10^{-5} \; A)^2 \times 1.6 \; \Omega = 4 \times 10^{-10} \times 1.6 \; W = 6.4 \times 10^{-10} \; W$ છે.
આ પાવરનો સ્ત્રોત એ બાહ્ય એજન્ટ (પાવર સપ્લાય) છે જે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટમાં પ્રવાહ ઘટાડીને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર કરે છે.

(D) જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ છે.
$r \leq a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot \pi r^2$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(2\pi r) = \frac{d}{dt}(B_0 \pi r^2) = \pi r^2 \frac{dB_0}{dt}$ થાય.
તેથી,$E = \frac{r}{2} \frac{dB_0}{dt}$.
રીમ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = R(qE)$ છે,જ્યાં $q = \lambda (2\pi R)$.
કુલ ટોર્ક $\tau = \int R E dq = 2\pi R^2 \lambda E$ થાય.
$r=a$ પર $E$ ની કિંમત મૂકતા અને ઇમ્પલ્સ $\int \tau dt = \Delta L = I\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I = MR^2$:
$\int (2\pi R^2 \lambda) \frac{a}{2} \frac{dB_0}{dt} dt = MR^2 \omega$.
$\pi R^2 \lambda a B_0 = MR^2 \omega$.
$\omega = \frac{\pi a^2 \lambda B_0}{MR}$.

(B) ના,$emf$ પ્રેરિત કરવા માટે સાપેક્ષ ગતિ એ નિરપેક્ષ શરત નથી. ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે પણ પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય ત્યારે $emf$ પ્રેરિત થાય છે. આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર ઘણી રીતે મેળવી શકાય છે:
$1$. સ્થિર ગૂંચળાની સાપેક્ષમાં ચુંબકને ગતિ કરાવીને (સાપેક્ષ ગતિ).
$2$. સ્થિર ચુંબકની સાપેક્ષમાં ગૂંચળાને ગતિ કરાવીને (સાપેક્ષ ગતિ).
$3$. ગૂંચળા અને ચુંબક બંનેને સ્થિર રાખીને,સમય સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતામાં ફેરફાર કરીને (દા.ત. પ્રાથમિક ગૂંચળામાં એસી પ્રવાહનો ઉપયોગ કરીને),જે કોઈપણ ભૌતિક સાપેક્ષ ગતિ વગર નજીકના ગૌણ ગૂંચળામાં $emf$ પ્રેરિત કરે છે.

(N/A) ફેરાડેએ અસંખ્ય પ્રયોગો દ્વારા સાબિત કર્યું કે જ્યારે વાહક સ્થિર હોય અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાતું હોય ત્યારે $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
સ્થિર વાહકના કિસ્સામાં,તેના પર લાગતું બળ $\overrightarrow{F} = q[\overrightarrow{E} + (\vec{v} \times \overrightarrow{B})]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહક સ્થિર હોવાથી,$\vec{v} = 0$,તેથી બળ $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E}$ થાય છે.
આમ,વિદ્યુતભાર પર લાગતું કોઈપણ બળ માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ને કારણે જ હોવું જોઈએ.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ અથવા પ્રેરિત પ્રવાહના અસ્તિત્વને સમજાવવા માટે,આપણે એ નિષ્કર્ષ પર આવવું જોઈએ કે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આ પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રના લક્ષણો:
$1$. સ્થિર વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્ર (જે સંરક્ષી છે) થી વિપરીત,સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર અસંરક્ષી હોય છે.
$2$. પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રની ક્ષેત્રરેખાઓ બંધ ગાળાઓ રચે છે.
$3$. તે સ્થિર વિદ્યુતભારો પર બળ લગાડે છે,જે સ્થિર વાહકમાં પ્રેરિત $emf$ નું મૂળ કારણ છે.

(N/A) ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec B \cdot \vec A = B A \cos(0^\circ) = B A$ છે.
$B = B_0 \cos(\omega t)$ અને $A = \pi a^2$ મૂકતા,$\phi = B_0 \pi a^2 \cos(\omega t)$ મળે.
પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} (B_0 \pi a^2 \cos(\omega t)) = B_0 \pi a^2 \omega \sin(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega t)$ છે.
$1$. $t = \frac{\pi}{2\omega}$ સમયે:
$I = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega \cdot \frac{\pi}{2\omega}) = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટી રહ્યું હોવાથી,લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં વહેશે. $(a, 0, 0)$ બિંદુએ,પ્રવાહ $+\hat j$ દિશામાં છે.
$2$. $t = \frac{\pi}{\omega}$ સમયે:
$I = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega}) = 0$.
$3$. $t = \frac{3\pi}{2\omega}$ સમયે:
$I = \frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \sin(\omega \cdot \frac{3\pi}{2\omega}) = -\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવાહ સમઘડી (clockwise) દિશામાં વહે છે. $(a, 0, 0)$ બિંદુએ,પ્રવાહ $-\hat j$ દિશામાં છે.

(N/A) ધારો કે $t$ સમયે તાર $AB$ એ $x$ સ્થાન પર છે. લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = x \cdot d$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (B_0 \sin(\omega t)) \cdot (x d)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon$ છે:
$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [B_0 d x \sin(\omega t)]$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\varepsilon = -B_0 d [\frac{dx}{dt} \sin(\omega t) + x \frac{d}{dt} \sin(\omega t)]$
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી:
$\varepsilon = -B_0 d [v \sin(\omega t) + x \omega \cos(\omega t)]$
પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય:
$I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{B_0 d}{R} [v \sin(\omega t) + x \omega \cos(\omega t)]$
તાર $AB$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = I L B = I d (B_0 \sin(\omega t))$ છે.
તારને અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે,બાહ્ય બળ $F_{ext}$ એવી રીતે લાગુ કરવું જોઈએ કે જેથી $F_{ext} = F_m$ (મૂલ્યમાં).
$F_{ext} = \frac{B_0^2 d^2}{R} [v \sin(\omega t) + x \omega \cos(\omega t)] \sin(\omega t)$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ખૂબ લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારથી $r$ અંતરે રહેલા બંધ લંબચોરસ લૂપ $ABCD$ પર $dr$ જાડાઈ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતો એક નાનો ક્ષેત્રફળનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
ખૂબ લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારને કારણે આ પટ્ટી પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આ પટ્ટી સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ:
$d\phi = B \cdot da = B \cdot l \cdot dr = \frac{\mu_0 I l}{2 \pi r} dr$
$ABCD$ લૂપ સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ:
$\phi = \int_{x_0}^{x} \frac{\mu_0 I l}{2 \pi r} dr = \frac{\mu_0 I l}{2 \pi} [\ln r]_{x_0}^{x} = \frac{\mu_0 I l}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right)$
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત $emf$:
$\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_0 I l}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right) \right] = \frac{\mu_0 l}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right) \frac{dI}{dt}$
અહીં $\frac{dI}{dt} = \lambda$ હોવાથી,પ્રેરિત $emf$:
$\varepsilon = \frac{\mu_0 l \lambda}{2 \pi} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right)$
પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{ind}$:
$I_{ind} = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\mu_0 l \lambda}{2 \pi R} \ln \left( \frac{x}{x_0} \right)$

(A) આપેલ છે: તારની કુલ લંબાઈ $L = 30 \, cm = 0.3 \, m$. તે ચોરસ લૂપ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $a = L/4 = 0.3/4 = 0.075 \, m = 7.5 \, cm$.
તારનો વ્યાસ $d = 4 \, mm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
અવરોધકતા $\rho = 1.23 \times 10^{-8} \, \Omega m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફારનો દર $dB/dt = 0.032 \, T s^{-1}$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (0.075)^2 = 5.625 \times 10^{-3} \, m^2$.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = |d\phi/dt| = A(dB/dt) = (5.625 \times 10^{-3}) \times 0.032 = 1.8 \times 10^{-4} \, V$.
તારનો અવરોધ $R = \rho (L/A_{wire}) = \rho (L / (\pi r^2)) = (1.23 \times 10^{-8} \times 0.3) / (\pi \times (2 \times 10^{-3})^2) = (3.69 \times 10^{-9}) / (4\pi \times 10^{-6}) \approx 2.937 \times 10^{-4} \, \Omega$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \varepsilon / R = (1.8 \times 10^{-4}) / (2.937 \times 10^{-4}) \approx 0.613 \, A$.
આમ,પ્રેરિત પ્રવાહ $0.61 \, A$ ની નજીક છે.

(B) ગૂંચળા $C_{2}$ ના કેન્દ્ર પર પ્રવાહ $I$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N_{2} I}{2 R_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળા $C_{1}$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A_{1} \cdot N_{1} = \left( \frac{\mu_{0} N_{2} I}{2 R_{2}} \right) (\pi r_{1}^{2}) N_{1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $N_{1} = 500$,$r_{1} = 0.01\; m$,$N_{2} = 200$,$R_{2} = 0.2\; m$,$\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$.
$\phi = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 200 \times (5t^{2} - 2t + 3)}{2 \times 0.2} \times \pi \times (0.01)^{2} \times 500$.
$\phi = \frac{4\pi^{2} \times 10^{-7} \times 200 \times 500 \times 10^{-4}}{0.4} \times (5t^{2} - 2t + 3) = (10\pi^{2} \times 10^{-6}) \times (5t^{2} - 2t + 3)$.
પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -10\pi^{2} \times 10^{-6} \times (10t - 2)$ છે.
$t = 1\; s$ સમયે,$\varepsilon = -10\pi^{2} \times 10^{-6} \times (10(1) - 2) = -80\pi^{2} \times 10^{-6}\; V$.
મૂલ્ય લેતા,$|\varepsilon| = 80\pi^{2} \times 10^{-6}\; V = 80\pi^{2} \times 10^{-3}\; mV \approx 80 \times 9.87 \times 10^{-3} \approx 0.789\; mV$.
આપેલ છે કે $|\varepsilon| = \frac{4}{x} = 0.5\; mV$ ($\pi^{2} \approx 10$ લેતા),તેથી $x = 8$.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (emf) નું મૂલ્ય ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$|\epsilon| = \left| \frac{d\phi_{B}}{dt} \right|$
આપેલ છે કે $\phi_{B}(t) = 10t^{2} + 20t$ ($mWb$ માં),
$|\epsilon| = \frac{d}{dt}(10t^{2} + 20t) = 20t + 20$ ($mV$ માં)
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ મળે:
$|i| = \frac{|\epsilon|}{R} = \frac{20t + 20}{2} = 10t + 10$ ($mA$ માં)
$t = 5\,s$ સમયે:
$|i| = 10(5) + 10 = 50 + 10 = 60\,mA$.

(B) આપેલ છે કે ચુંબકીય ફ્લક્સ પાનાની બહારની તરફ વધી રહ્યું છે,લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ક્લોકવાઇઝ દિશામાં પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે. લૂપની આસપાસનું emf $\oint E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ છે.
પાથ $1$ માટે,જે સોલેનોઇડને ઘેરે છે,$a$ થી $b$ સુધીના વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન $\int_{a}^{b} E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ છે. તેથી,$V_{b}-V_{a} = -\int_{a}^{b} E \cdot ds = -\varepsilon_{0}$ મળે.
પાથ $2$ માટે,જે સોલેનોઇડને ઘેરતું નથી,ઘેરાયેલું ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે. આમ,આ પાથ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન શૂન્ય છે,એટલે કે $\int_{a}^{b} E \cdot ds = 0$. તેથી,$V_{a}-V_{b} = -\int_{b}^{a} E \cdot ds = 0$ મળે.

(C) રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B \cdot A = (B_0 \sin \omega t)(\pi a^2)$ છે.
રીંગમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E = -\frac{d\phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt}(B_0 \pi a^2 \sin \omega t) = -B_0 \pi a^2 \omega \cos \omega t$ છે.
લૂપમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} = -\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \cos \omega t$ છે. આમ,પ્રવાહ $\omega$ આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
જુલ હીટિંગ લોસ $P = I^2 R = \frac{B_0^2 \pi^2 a^4 \omega^2}{R^2} \cos^2 \omega t \cdot R = \frac{B_0^2 \pi^2 a^4 \omega^2}{R} \cos^2 \omega t$ છે. તેથી,ઉષ્માનો વ્યય $a^4$ ના પ્રમાણમાં છે.
રીંગના નાના ખંડ $dl$ પરનું ચુંબકીય બળ $dF = I(dl \times B)$ છે. પ્રવાહ પરિઘ પર વહે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રીંગના સમતલને લંબ હોવાથી,બળ $dF$ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહાર કે અંદરની તરફ લાગે છે. તેનું મૂલ્ય $dF = I B dl = (\frac{B_0 \pi a^2 \omega}{R} \cos \omega t) (B_0 \sin \omega t) dl = \frac{B_0^2 \pi a^2 \omega}{R} \sin \omega t \cos \omega t dl$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $\frac{dF}{dl} = \frac{B_0^2 \pi a^2 \omega}{R} \sin \omega t \cos \omega t$ છે,જે $B_0^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
રીંગની સમપ્રમાણતાને કારણે,રીંગ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf $(\varepsilon)$ એ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સને $\phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્થિર ગૂંચળા માટે, ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અચળ હોય છે. તેથી, ફ્લક્સ ત્યારે જ બદલાય છે જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમય સાથે બદલાતું હોય.
આમ, સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્થિર ગૂંચળામાં emf પ્રેરિત કરે છે.

(B) કોઈલમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(\varepsilon)$ $\varepsilon = N A \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે અને $A = \pi r^2$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે $N' = 4N$ અને $r' = r/2$, તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (r/2)^2 = A/4$ થાય.
નવું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon' = N' A' \frac{dB}{dt} = (4N) (A/4) \frac{dB}{dt} = N A \frac{dB}{dt} = \varepsilon$ થશે.
જો અવરોધ $R$ અચળ ગણવામાં આવે, તો $P = \varepsilon^2 / R$ મુજબ પાવર સમાન રહેશે. તેથી સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d \phi}{d t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા $(r < R)$ ધરાવતા વર્તુળાકાર પથ માટે,$A = \pi r^2$ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \pi r^2$ છે.
વર્તુળાકાર પથ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને $EMF$ વચ્ચેનો સંબંધ $\varepsilon = \oint E \cdot dl = E(2 \pi r)$ છે.
આ કિંમતોને ફેરાડેના નિયમમાં મૂકતા:
$E(2 \pi r) = -\frac{d}{d t} (B \pi r^2)$
$E(2 \pi r) = -\pi r^2 \frac{d B}{d t}$
માત્ર મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$E = \frac{r}{2} \frac{d B}{d t}$

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $n = 50\,turns/cm = 5000\,turns/m$,$I = I_0 \sin(\omega t)$,જ્યાં $I_0 = 2.5\,A$ અને $\omega = 700\,rad\,s^{-1}$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (2.0\,cm)^2 = (0.02\,m)^2 = 4 \times 10^{-4}\,m^2$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A = \mu_0 n I A$ છે.
પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -\mu_0 n A \frac{dI}{dt} = -\mu_0 n A I_0 \omega \cos(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત emf નો કંપનવિસ્તાર $\varepsilon_0 = \mu_0 n A I_0 \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7}) \times (5000) \times (4 \times 10^{-4}) \times (2.5) \times (700)$.
$\varepsilon_0 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 700$.
$\varepsilon_0 = 4 \times 22 \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 100$.
$\varepsilon_0 = 44 \times 10^{-4}\,V$.
આમ,$x = 44$.

(B) આપેલ છે: નળીની લંબાઈ $L = 10 \ m$,નળીની ત્રિજ્યા $r_1 = 0.3 \ m$.
લૂપનો અવરોધ $R = 0.005 \ \Omega$,લૂપની ત્રિજ્યા $r_2 = 0.1 \ m$.
નળીમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I = I_0 \cos(300t)$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 300 \ rad/s$.
લાંબા સોલેનોઇડ (નળી) ની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે. $n=1/L$ લેતા,$B = \frac{\mu_0 I}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10}$.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(r_2)^2 = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(0.1)^2 = \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000}$.
પ્રેરિત emf $e = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000} \right] = \frac{300 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{1000} = 0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{0.005} = 60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = i \cdot A = (60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)) \cdot (\pi (0.1)^2) = 60 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t) \cdot 0.01 = 0.6 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા,$M \approx 0.6 \cdot 10 \mu_0 I_0 \sin(300t) = 6 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$N \mu_0 I_0 \sin(300t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $N = 6$ મળે છે.

(B) $1.$ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$\oint E \cdot dl = -\frac{d\Phi_B}{dt}$.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$E(2\pi R) = -\frac{d}{dt}(B \cdot \pi R^2) = -\pi R^2 \frac{dB}{dt}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $1$ સેકન્ડમાં $0$ થી $B$ સુધી વધતું હોવાથી,$\frac{dB}{dt} = B$.
આમ,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{R}{2} \frac{dB}{dt} = \frac{BR}{2}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ એ કોણીય વેગમાન $J$ સાથે $M = \gamma J$ દ્વારા સંબંધિત છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટમાં ફેરફાર $\Delta M = \gamma \Delta J$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ટોર્ક $\tau = r \times F = R(QE) = R Q (\frac{R}{2} \frac{dB}{dt}) = \frac{QR^2}{2} \frac{dB}{dt}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta J = \int \tau dt = \int_0^1 \frac{QR^2}{2} \frac{dB}{dt} dt = \frac{QR^2}{2} B$.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ગતિનો વિરોધ કરતું હોવાથી (લેન્ઝનો નિયમ),ટોર્ક ઋણ છે,તેથી $\Delta J = -\frac{BQR^2}{2}$.
આમ,$\Delta M = -\gamma \frac{BQR^2}{2}$.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 0.1 \ m^2$ અને $B = 20 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right)$ આપેલ છે.
તેથી,$\phi = 0.1 \times 20 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) = 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \text{ Wb}$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$e = -\frac{d}{dt} \left[ 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \right] = -2 \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \times \frac{2 \pi}{3} = -\frac{4 \pi}{3} \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} \right)$.
$t = 0.5 \ s$ સમયે,emf નું મૂલ્ય $|e| = \left| -\frac{4 \pi}{3} \cos \left( \frac{2 \pi \times 0.5}{3} \right) \right| = \frac{4 \pi}{3} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$ થશે.
ચૂંકી $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = 0.5$ હોવાથી,$|e| = \frac{4 \pi}{3} \times 0.5 = \frac{2 \pi}{3} \text{ volt}$ મળે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi_B}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $O$ થી $r > a$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માટે,આપણે $r$ ત્રિજ્યાનો એક વર્તુળાકાર માર્ગ વિચારીએ છીએ.
આ વર્તુળાકાર માર્ગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ ફક્ત $a$ ત્રિજ્યાના વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે,જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,$\phi_B = B(t) \cdot \pi a^2$.
વર્તુળાકાર માર્ગ પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $EMF$ સાથે $\varepsilon = \oint E \cdot dl = E(2\pi r)$ સંબંધ ધરાવે છે.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $E(2\pi r) = \left| \frac{d}{dt} (B(t) \cdot \pi a^2) \right| = \pi a^2 \left| \frac{dB}{dt} \right|$.
$E$ માટે ઉકેલતા: $E = \frac{\pi a^2}{2\pi r} \left| \frac{dB}{dt} \right| = \frac{a^2}{2r} \left| \frac{dB}{dt} \right|$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,જ્યારે કોઈ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે,ત્યારે તેમાં e.m.f. પ્રેરિત થાય છે.
ટ્રાન્સફોર્મરમાં,પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી અલ્ટરનેટિંગ પ્રવાહ વહે છે,જે અલ્ટરનેટિંગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આ અલ્ટરનેટિંગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર આયર્ન કોર દ્વારા ગૌણ ગૂંચળા સાથે જોડાયેલું હોય છે.
જેમ જેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાય છે,તેમ ગૌણ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ પણ બદલાય છે.
તેથી,ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત થતું અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. મુખ્યત્વે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે હોય છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ એ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ ના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે:
$\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$
$A = \pi r^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (B_0 + \alpha t) \cdot \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને $emf$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} [\pi r^2 (B_0 + \alpha t)]$
અહીં $\pi$ અને $r$ અચળ હોવાથી:
$\varepsilon = -\pi r^2 \frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t)$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt} (B_0 + \alpha t) = 0 + \alpha = \alpha$
તેથી,પ્રેરિત $emf$:
$\varepsilon = -\pi r^2 \alpha$

(D) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 25$, ત્રિજ્યા $r = 1.8 \times 10^{-2} \text{ m}$, અવરોધ $R = 5 \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t) = (0.2t - 0.05t^2) \text{ T}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (1.8 \times 10^{-2})^2 \approx 1.017 \times 10^{-3} \text{ m}^2$.
પ્રેરિત emf $\varepsilon = -N A \frac{dB}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(0.2t - 0.05t^2) = 0.2 - 0.1t$ ગણતા.
તેથી, $\varepsilon = -25 \times 1.017 \times 10^{-3} \times (0.2 - 0.1t) = -0.025425 \times (0.2 - 0.1t)$.
$t = 3 \text{ s}$ સમયે, $\varepsilon = -0.025425 \times (0.2 - 0.3) = -0.025425 \times (-0.1) = 0.0025425 \text{ V}$.
પાવરનો વ્યય $P = \frac{\varepsilon^2}{R} = \frac{(0.0025425)^2}{5} \approx \frac{6.464 \times 10^{-6}}{5} \approx 1.29 \times 10^{-6} \text{ W} = 1.29 \mu\text{W}$.
આ મૂલ્ય $1.25 \mu\text{W}$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) પ્રશ્ન મુજબ,તારની ત્રિજ્યા $\frac{r}{2}$ થાય છે,તેથી તેની લંબાઈ $4l$ થશે અને તેનો અવરોધ $16R$ થશે. કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા બમણી કરવામાં આવે છે,તેથી તારની લંબાઈને સમાવવા માટે તેની ત્રિજ્યા બમણી થવી જોઈએ. કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $4$ ગણું થશે.
હવે,કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $P$ છે,
$\therefore \quad P_1=\frac{V_1^2}{R}$
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) પરથી,આપણને મળે છે
$P_2=\frac{\left(8 V_1\right)^2}{16 R} \Rightarrow P_2=\frac{64 V_1^2}{16 R}$
$P_2=\frac{4 V_1^2}{R}$
તેથી ગુણોત્તર,$P_1: P_2=\frac{V_1^2}{R}: \frac{4 V_1^2}{R}$ અથવા $P_1: P_2=1: 4$.